高中數學必修2-第2課時 平面與平面平行

第2課時平面與平面平行

h預習導學i挑戰(zhàn)自我，點點落實

［學習目標］

1.理解平面與平面平行的判定定理、性質定理的含義.

2.會用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述平面與平面平行的判定定理、

性質定理，并知道其地位和作用.

3.能運用平面與平面平行的判定定理、性質定理證明一些空間面面關系的簡單

問題.

［知識鏈接］

I.直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內的一條直線平行,

則該直線與該平面平行.

2.直線和平面平行的性質定理：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一

平面與此平面的交線與該直線平行.

［預習導引］

面面平行的判定定理、性質定理

\^理

表小、面面平行的判定定理面面平行的性質定理

一個平面內的兩條相交直線與另兩個平面平行，則任意一個平面

文字敘述一個平面平行，則這兩個平面平與這兩個平面相交所得的交線互

行相平行

aUa、

bUaa//p、

符號表示>^a///3gr\y=g^a//b

B8c尸b.

b//p>

Z^7

圖形表示口

F課堂講義J重點難點，個個擊破

要點一平面與平面的位置關系

例1已知下列說法：

①若兩個平面a〃/，aua,buB,則a//b\

②若兩個平面a〃6，aua,buB,則a與。是異面直線；

③若兩個平面a〃夕，aca,bu。,則。與〃一定不相交；

④若兩個平面a〃夕，aua,buB,則。與。平行或異面；

⑤若兩個平面aCQ=/?,aua,則a與夕一定相交.

其中正確的是（將你認為正確的序號都填上）.

答案③④

解析①錯.。與人也可能異面；

②錯.a與8也可能平行；

③對...七〃夕，.?.a與夕無公共點.

又,：aua,bu8,

'.a與b無公共點；

④對.由已知及③知：。與人無公共點，

那么a〃匕或a與Z?異面；

⑤錯.。與夕也可能平行.

規(guī)律方法兩個平面的位置關系有兩種：平行和相交，沒有公共點則平行，有公

共點則相交.熟練掌握這兩種位置關系，并借助圖形來說明，是解決本題的關鍵.

跟蹤演練1如果在兩個平面內分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么兩

個平面的位置關系一定是（）

A.平行B.相交

C.平行或相交D.不能確定

答案C

解析如圖所示，由圖可知C正確.

要點二平面與平面平行的判定

例2如圖，在正方體ABC。-AiBGOi中，M,E,F,N分別是48,BiCi,

C\D\,D1A1的中點.

求證：（1）E,F,B,。四點共面；

⑵平面MAN〃平面EFDB.

證明⑴連結8Q,

■:E,尸分別是BC,GDi的中點，：.EF//B\D\.

而BO〃助Oi,：.BD//EF.

：.E,F,B,。四點共面.

Q）易知MN〃B\D\,B\D\//BD,：.MN//BD.

又MNQ平面EFDB,BOu平面EFDB,

...MN〃平面EFDB.

連結DF,MF.

,：M,F分別是AiB,GOi的中點，

：.MF//A\D\,MF=A\D\.：.MF//AD,MF=AD.

四邊形AOFM是平行四邊形，J.AM//DF.

又AMQ平面BDFE,DFu平面BDFE,

〃平面BDFE.

又,：AMCMN=M,AM,MNu平面PMN,

：.平面MAN//平面EFDB.

規(guī)律方法證明兩個平面平行的關鍵在于證明線面平行.在證明面面平行時，可

利用面面平行判定定理的推論：如果一個平面內的兩條相交直線平行于另一個平

面內的兩條相交直線，則這兩個平面平行，即證一個平面內的兩條相交直線與另

一個平面的兩條相交直線分別平行即可.

跟蹤演練2如圖，三棱錐尸一ABC中，E,F,G分別是AB,AC,AP的中點.證

明平面GEE〃平面PCB.

證明因為E,EG分別是A8,AC,AP的中點，

所以EE〃BC,GF//CP.

因為后凡GRZ平面PCB,BC,CPu平面PCB,

所以〃平面PCB,GF〃平面PCB.

又EFCGF=F,EF,GFu平面GFE,

所以平面GFE〃平面PCB.

要點三面面平行的性質定理的應用

例3如圖，平面四邊形的四個頂點A,B,C,。均在平行四邊形A5CO

所確定的一個平面a外，且A4，，BB',CC,。?；ハ嗥叫?

求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

證明在口48'。'。中，A'B'//C'D',

?.'A'B'a平面CD'DC,C'D'U平面C'D'DC,

；.A5〃平面C'D'DC.

同理4A〃平面CDDC.

又A'ACA'B'=A,A'A,A'B'u平面A'B'BA,

，平面〃平面C'D'DC.

?平面ABC。n平面A'B'BA=AB,

平面ABCDA平面C'D'DC=CD,

：.AB//CD.

同理

...四邊形ABCD是平行四邊形.

規(guī)律方法1.利用面面平行的性質定理證明線線平行的關鍵是把要證明的直線

看作是平面的交線，往往需要有三個平面，即有兩平面平行，再構造第三個面與

兩平行平面都相交.

2.面面平行=線線平行，體現了轉化思想與判定定理的交替使用，可實現線線、

線面及面面平行的相互轉化.

跟蹤演練3如圖所示，兩條異面直線。。與兩平行平面a,4分別交于8,

A和。，C,M,N分別是AB,CO的中點.

求證：MN//平面a.

證明過A作AE〃。。交a于￡,取AE的中點P,

連結MP,PN,BE,ED.

\'AE//CD,：.AE,CO確定平面AEDC

則平面AE￡>Cna=OE,平面AEDCC4=AC.

,：a///3,：.AC//DE.

又P,N分別為AE,CD的中點，

PN//DE."：PNQa,DEua,

：.PN//a.

又M,P分別A3,AE的中點，

，MP//BE,又MRa,BEua,

：.MP//a,又MPCPN=P,MP,PNu平面MPN,

平面MPN//a.

又MNu平面MPN,：.MN//a.

守當堂檢測當堂訓練，體驗成功

1.圓柱的兩個底面的位置關系是（）

A.相交B.平行

C.平行或異面D.相交或異面

答案B

解析圓柱的兩個底面無公共點，則它們平行.

2.下列說法正確的是()

①一個平面內有兩條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；

②一個平面內有無數條直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；

③一個平面內任何直線都與另外一個平面平行，則這兩個平面平行；

④一個平面內有兩條相交直線與另外一個平面平行，則這兩個平面平行.

A.①③B.②④

C.②③④D.③④

答案D

解析由兩平面平行的判定定理知③④正確.

3.在正方體EFG”-EIFIGIH中，下列四對截面中，彼此平行的一對截面是

()

A.平面Ei/Gi與平面

B.平面與平面RHiG

C.平面與平面

D.平面與平面

答案A

解析EG//E\G\,EC輯平面E1FG1,EiGiu平面BFGi,〃面EiFGi,同理

EHi〃平面EiFGi,且EGCEHi=E,EG,EHiu平面EGHi,平面EGHi〃平

面E\FG\.

4.已知a和。是異面直線，且au平面a,Ou平面夕，a///3,b//a,則平面a與

6的位置關系是.

答案平行

解析在。上任取一點O,則直線”與點。確定一個平面力

設yAQ=/,則/u￡,

...a與/無公共點，：.a//l,：.l//a.

又?！╝,bC/=O,根據面面平行的判定定理可得a〃夕.

5.若平面a〃平面￡,aua,下列說法正確的是.

①a與月內任一直線平行；②。與A內無數條直線平行；③。與萬內任一直線不

垂直；④a與夕無公共點.

答案②④

c,

解析???〃(=a,a與夕無公共點，④正確；如圖，在正方

體中，令線段所在的直線為a,平面ABC。為平面夕，平面AiB—GOi為

平面a,顯然。與口內無數條直線平行，故②正確；又故在夕內存

在直線與a垂直，故①③錯誤.

課堂小結

常見的面面平行的判定方法：

(1)利用定義：兩個平面沒有公共點.

(2)歸納為線面平行.

①平面a內的所有直線(任一直線)都平行于人則a〃夕；

②判定定理：平面a內的兩條相交直線a,8都平行于川.

aca、

bua

aC\b=P>^a///3,五個條件缺一不可.

a//p

b〃B>

應用時的關鍵是在a內找到與尸平行的相交直線a,b.

(3)化歸為線線平行：平面a內的兩條相交直線與平面口內的兩條相交直線分別

平行，則a〃以證明后可用).

(4)利用平行平面的傳遞性：兩個平面同時和第三個平面平行，則這兩個平面平

行.

尹課時精練J解疑糾偏，訓練檢測

一、基礎達標

1.a//a,b〃B，a//[i,則a與人位置關系是()

A.平行B.異面

C.相交D.平行或異面或相交

答案D

解析如圖(1),(2),(3)所示，。與8的關系分別是平行、異面或相交.

a------------a——~/~a

b/b7b

%/////

(1)⑵(3)

2.下列說法中正確的是()

A.如果兩個平面a,4只有一條公共直線a,就說平面a,4相交，并記作aC4

=a

B.兩平面a,4有一個公共點A,就說a,4相交于過A點的任意一條直線

C.兩平面a,尸有■—個公共點A,就說a,4相交于A點，并記作aCl￡=A

D.兩平面ABC與DBC相交于線段

答案A

解析B不正確，若AeaC』，則a,4相交于過A點的一條直線；同理C不正

確；D不正確，兩個平面相交，其交線為直線而非線段.

3.平面a內有不共線的三點到平面夕的距離相等且不為零，則a與4的位置關

系為()

A.平行B.相交

C.平行或相交D.可能重合

答案C

解析若三點分布于平面夕的同側，則a與尸平行，若三點分布于平面￡的兩側，

則。與￡相交.

4.a是平面a外的一條直線，過。作平面夕，使夕〃a,這樣的夕有()

A.只能作一個B.至少一個

C.不存在D.至多一個

答案D

解析???”是平面a外的一條直線，

.,.a//a或a與a相交.

?.?當a〃a時，夕只有一個，當a與a相交時，夕不存在.

5.平面。與尸平行的條件可能是()

A.a內有無窮多條直線與夕平行

B.直線?！╝,a//[i

C.直線aua,直線8u￡,且a〃4，b//a

D.a內的任何直線都與夕平行

答案D

解析

①

如圖①，a內可有無數條直線與夕平行，但a與夕相交.

②

如圖②，a//a,a//p,但a與夕相交.

如圖③，aua,buB,a"B,b//a,但a與夕相交.故選D.

6.如圖是正方體的平面展開圖.在這個正方體中,

①〃平面OE；②CN〃平面Ab；③平面BOM〃平面AFN；④平面8DE〃平

面NCF.

以上四個命題中，正確命題的序號是.

答案①②③④

解析以ABCZ）為下底面還原正方體，如圖：

則易判定四個命題都是正確的.

7.已知底面是平行四邊形的四棱錐P—ABC。,點E在尸。上，且PE：ED=2：1.

在棱PC上是否存在一點F,使BF〃平面AEC?證明你的結論，并說出點F的

位置.

解存在，點E為PC的中點時，〃平面AEC理由如下：如

圖，連結8。交AC于。點，連結。E,過8點作0E的平行線

交PD于點G,過點G作GF//CE,交PC于點F,連結BF.

VBG//OE,BG(t平面AEC,OEu平面AEC,

...3G〃平面AEC.同理，GF〃平面AEC

又BGCGF=G,GF,BGu平面BGF,

，平面8GF〃平面AEC.

?.?BFu平面BGF,

〃平面AEC.

'."BG//OE,。是3。的中點，

是G。的中點.

又；PE：ED=2：1,

，G是PE的中點.

而GF//CE,

:.F為PC的中點.

因此，當點尸是PC中點時，〃平面AEC.

二'能力提示

8.設a〃4，AGa,B-C是A3的中點，當A,8分別在平面a,夕內運動時,

那么所有的動點C()

A.不共面

B.當且僅當A,B分別在兩條直線上移動時才共面

C.當且僅當A,8分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面

D.不論A,B如何移動，都共面

答案D

解析由面面平行的性質定理，點C應在過A3中點且平行于a(或份的平面內.故

選D.

9.如圖，P是△ABC所在平面外一點，平面。〃平面ABC,a分別交線段布,

N八A，R，「

PB，00于A'，笈，C，若以'：川=2：3,則管￡=_

答案言

解析由平面a〃平面ABC,^-AB//A'B',BC//B'C,AC//A'C,由等角定理得

ZABC=ZA'B'C,NBCA=NB'C'A',ZCAB=ZC'A'B',

從而△A5CS/\4B，C,△/MBs△鞏b,

S&A'B'CA'B'、、RA'4

^7=W=W=25-

10.如圖所示，在正方體ABCO—AiBiGDi中，E,F,G,"分別為CG,CiDi,

D\D,CO的中點，N是8C的中點，點M在四邊形EFG”及其內部運動，則M

滿足時，有MN〃平面

答案Md/77（答案不唯一，如;77nGE=M等）

解析如圖，取BG的中點P,

連結NP,NH,MN,HF,PF,則可證明平面NPFH//平面BDDiBi,

若MNu平面NPFH,

則MN〃平面BDDiBi.故M為上任意一點.

11.如圖所示，在三棱柱ABC—4BG中，點0,E分別是8C與3iG的中

點.

求證：平面〃平面AOG.

證明由棱柱性質知，B\C\//BC,BiCi=BC.

又。，E分別為8C,&G的中點，

所以CiE〃DB,CiE=DB,

則四邊形GO8E為平行四邊形，

因此GO,

又GOu平面ADC\,

EBQ平面ADCi,

所以平面AOCi.

連結OE,同理，EB\//BD,EBi=BD,

所以四邊形EDBBi為平行四邊形，

則ED〃B\B,ED=BiB.

因為B\B=A\A,

所以EQ〃AiA,ED=A\A,

則四邊形ED4Al為平行四邊形，

所以

又AiEQ平面A。。，AOu平面AOG,

所以4E〃平面ADCi.

由Ai