高中數(shù)學(xué)必修二 6 .4 .3 正、余弦定理的實際運用（精練）

6.4.3正、余弦定理的實際運用（精練）

【題組一距離測量】

1.（2021?云南）世界上有很多國家的著名城市都是沿河而建的，某城市在南北流向的河流兩岸修建了風(fēng)

光帶用于改善城市人居環(huán)境.已知小徐步行到岸邊A點時，測得河對面的某地標(biāo)建筑物戶在其北偏東60°的

方向上，往正北方向步行500m到達B點后，測得該地標(biāo)建筑物在其南偏東75。方向上.則此時小徐與該地

標(biāo)建筑物的距離3P=（）

A.250mB.250&mC.250x/3mD.250#m

2（2021?黑龍江?哈爾濱市第六中學(xué)校）某船從/處向北偏東60。方向航行2道千米后到達6處，然后朝南

偏西30°的方向航行6千米到達C處，則/處與，處之間的距離為（）

A.6千米B.26千米C.3千米D.6千米

3.（2021?廣東?佛山市南海區(qū)里水高級中學(xué)高一月考）如圖，為測量河對岸A、8兩點間的距離，沿河岸

選取相距40米的C、O兩點，測得ZACB=60,48=45,ZA￡>B=60",ZADC=30,則A、8兩

點的距離是（）

A.20五米B.206米C.40&米D.2()6米

4.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖所示，為了測量4、6處島嶼的距離，小海在〃處觀測，/、4分別在

〃處的北偏西15°、北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測6在C處的正北方向，力在

。處的北偏西45°方向，則/、6兩島嶼的距離為海里.

A

B

5.（2021?云南?昆明市官渡區(qū)云子中學(xué)長豐學(xué)校）如圖，一艘船以每小時20km的速度向東航行，船在A處

觀測燈塔C在北偏東45。方向，行駛2h后，船到達8處，觀測個燈塔C在北偏東15。方向，此時船與燈塔C

的距離為km.

6.（2021?浙江師范大學(xué)附屬東陽花園外國語學(xué)校高一月考）某中學(xué)慶祝國慶儀式上舉行升旗禮，在坡度為

15的觀禮臺上，某一列座位與旗桿在同一垂直于地面的平面上，某同學(xué)在該列的第一排和最后一排車的旗

桿頂端的仰角分別是60,30,已知旗桿的高度為28.3米，則第一排與最后一排之間的距離約為

（取#=2.4,小數(shù)點后保留一位有效數(shù)字）

最后一排

第一排

【題組二高度測量】

1.（2021?江蘇省江都中學(xué)）有“蘇中第一高樓”之稱的揚州金奧中心座落于揚州文昌東路，是江都的標(biāo)志

性建筑.小明同學(xué)為了估算大樓的高度，在大樓的正東方向找到一座建筑物高為（15O-5Og）m,在

它們之間的地面上的點M（氏”，。三點共線）處測得樓頂A,樓頂C的仰角分別是15。和60。，在樓頂A處

測得樓頂C的仰角為30°,則小明估算金奧中心的高度為（）

A.200mB.300mC.20073mD.3006m

2（2021?河南信陽）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山底C在西

偏北3（T的方向上；行駛600m后到達8處，測得此山底C在西偏北75。的方向上，山頂。的仰角為30。，則

此山的高度8=.

3.（2021?江西?新余四中）如圖，為了測量河對岸電視塔切的高度，測量者小張在岸邊點｛處測得塔頂。

的仰角為30"塔底。與［的連線同河岸成15。角，小張沿河岸向前走了200米到達M處，測得塔底。與"

的連線同河岸成60。角，則電視塔口的高度為米.

4.（2021?湖南湘西）如圖，為了測量河對岸的塔高力區(qū)選與塔底6在同一水平面內(nèi)的兩個測量點C和〃

現(xiàn)測得Z4CB=45。.ZADB=3O0,/BCD=60°,CD=20m則塔高加=m.

5.（2021?河南鄭州）2021年10月1日，是中華人民共和國成立72周年，某校為了迎接“十一”國慶，

特編排了“迎國慶?唱紅歌”活動，活動地點讓合唱團依斜坡站立，斜坡的前方是升旗臺.如圖，若斜坡的

坡角為15。，斜坡上某一位置力與旗桿CO在同一個垂直于地面的平面內(nèi)，如果在/處和坡腳E處測得旗桿CD

頂端的仰角分別為30°和60。，且AE=66米，則旗桿的高度為米.

6.（2021?河南）滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鷲齊飛，

秋水共長天一色”而名傳千古，流放后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點A,B,C處測得閣頂端點尸

的仰角分別為30、60,451且鉆=8C=75米，則滕王閣高度OP=米.

p.

c

7.（2021?四川巴中）2021年5月27日，以“綠色秦巴，開放互贏”為主題的第三屆秦巴山區(qū)綠色農(nóng)林產(chǎn)

業(yè)投資貿(mào)易洽談會在四川省巴中市開幕，會場設(shè)在剛剛竣工的川東北最大的綜合體育場一一巴中市體育中

心，即民間所說的“興文鳥巢”，能被邀請到現(xiàn)場觀禮是無比的榮耀.如圖，在坡度為15的觀禮臺上，某

一列座位與旗桿在同一個垂直于地面的平面上，在該列的第一排和最后一排測得旗桿頂端的仰角分別為60

和30,且第一排和最后一排的距離為11幾米，則旗桿的高度為米.

8.（2021?河北省臨西縣實驗中學(xué)高一月考）如圖所示，在山頂鐵塔上8處測得地面上一點A的俯角a=60。,

在塔底C處測得點A的俯角4=45。，已知鐵塔8C部分高36米，則山高8=米.

9.（2021?江蘇省蘇州第十中學(xué)校高一月考）如圖，為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀

測點，從A點測得“點的仰角NM4N=60,C點的仰角NCA8=45,以及NMAC=75;從C點測得

ZMCA=601已知山高8C=200m,則山高MTV=m.

【題組三角度測量】

1.（2021?山西?永濟市深北中學(xué)校高一月考）一艘游船從海島4出發(fā)，沿南偏東20°的方向航行8海里后

到達海島B,然后再從海島8出發(fā)，沿北偏東40°的方向航行了16海里到達海島C.若游船從海島A出發(fā)沿

直線到達海島G則航行的方向和路程（單位：海里）分別為（）

A.北偏東50°,8應(yīng)B.北偏東70°,12

C.北偏東70°,8囪D.北偏東50°,12

2.（2021?福建三明）日常生活中，我們?？吹礁魇礁鳂拥暮喴渍陉柵铮ò澹?現(xiàn)有直徑為2m的圓面，在其

圓周上選定一個點固定在水平地面上，然后將圓面撐起，做成簡易遮陽棚（板）.某一時刻的太陽光線與水平

地面成40。角，若要得到最大的遮陰面，則遮陽棚（板）與遮陰面所成角大小為（）

A.60°B.50°C.45°D.40°

3.（2021?云南?陸良縣中樞鎮(zhèn)第二中學(xué)）一艘客船上午9:30在A處，測得燈塔S在它的北偏東30,之后

它以每小時32海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10:00到達3處，此時測得船與燈塔S相距80海

里，則燈塔S在8處的（）

A.北偏東75。B.北偏東75?；驏|偏南75。

C.東偏南75D.以上方位都不對

4.（2021?江西?上高二中）如圖，某人在一條水平公路旁的山頂。處測得小車在/處的俯角為30°,該小

車在公路上由東向西勻速行駛7.5分鐘后，到達8處，此時測得俯角為45°.己知此山的高PO=lkm,小

車的速度是20km/h,貝iJcosNAOB=()

73

vr.----

44

5.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖所示，在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物C/）的頂端C對于

山坡的斜度為6,向山頂前進100m到達8處，又測得C對于山坡的斜度為45,若C￡>=50m,山坡對于地

平面的坡角為。，則cos?=（）

A.—B.2-6

2

C.6-1I).—

2

6.（2021?全國?高一課時練習(xí)）如圖，在離地面//的熱氣球M上，觀察到山頂C處的仰角為。，在山腳A

處觀察到山頂C處的仰角為60°,若A到熱氣球的距離AM=4000,山的高度BC=600,ZACM=45°,

貝Ue=()

A.30°B.25°C.20°D.15°

7.（2021?重慶一中高一期末）為捍衛(wèi)國家南海主權(quán)，我海軍在南海海域進行例行巡邏.某天，一艘巡邏艦

從海島A出發(fā)，沿南偏東70°的方向航行40海里后到達海島8,然后再從海島8出發(fā)，沿北偏東35°的方向

航行了40夜海里到達海島C.若巡邏艦從海島A出發(fā)沿直線到達海島C,則航行的方向和路程（單位：海里）

分別為（）

A.北偏東80°,20（^+72）B.北偏東65°,20（行+2）

C.北偏東65°,20（#+&）D.北偏東800,20（有+2）

8.（2021?福建福州?高一期中）某中學(xué)為推進智能校園建設(shè)，擬在新校區(qū)每個教室安裝“超短距”投影儀，

如圖：投影儀安裝在距離墻面20cm處，其發(fā)射的光線可以近似的看作由一個點S發(fā)出，光線投影在墻面上

的屏幕AB上，已知AB高度為120cm,光線上界曲的俯角為45°,則投影儀的垂直視角的余弦值cos4sB=

（）

9.（2021?全國）如圖，某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓(xùn)練，已知點A到墻面的距

寓為AB,某目標(biāo)點P沿墻面的射擊線CM移動，此人為了準(zhǔn)確瞄準(zhǔn)目標(biāo)點P,需計算由點A觀察點尸的仰

角。的大?。ㄑ鼋?為直線”與平面ABC所成角）.若A8=15m,AC25m,/BCM=30。則tan。的最大

值（）

4石n5百

U?---------

9

10.（2021?福建省寧化第一中學(xué)高一月考）（多選）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為

12>/6nmile;在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°,距離80nmile.貨輪由A處向正北航行到。處時，再

看燈塔8在南偏東60°,則下列說法正確的是（）

A.A處與。處之間的距離是24nmile；B.燈塔C與。處之間的距離是16nmile；

C.燈塔C在。處的西偏南60°；D.。在燈塔8的北偏西30°.

【題組四幾何中的正余弦定理】

1.（2021云南?羅平縣第二中學(xué)高一期末）如圖，在四邊形力靦中切"8=2痛，BC=y/T\,cosA=—,

3

cosZBDC=—.

9

⑴求cosZADB；

⑵求CO的長.

2.（2021?江蘇?無錫市第一中學(xué)高一期中）現(xiàn)有長度分別為1,2,3,4的線段各1條，將它們?nèi)坑蒙?

首尾依次相連地放在桌面上，可組成周長為10的三角形或四邊形.

D

(1)求出所有可能的三角形的面積；

(2)如圖，已知平面凸四邊形A3CD中，AB=\,BC=3,8=2,DA=4.

①求cosAcosC滿足的數(shù)量關(guān)系；

②求四邊形ABCO面積的最大值，并指出面積最大時33的值.

3

3.(2021?福建福州三中高一期中)在平面四邊形AB8中'ZABC=-.,ZBAC=ZDAC,8=4,AB=2.

⑴若5C=啦，sinZADC；

TT

(2)若NAOC=一，求AC.

6

4(2021?浙江?高三月考)在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為。、b、c,已知“sinB+?cosA=0.

(1)求角A的大?。?/p>

⑵已知°=2/，b=2,設(shè)。為BC邊上一點，且A￡＞為角A的平分線，求的面積.

5.(2021?江西省靖安中學(xué)高二月考)如圖，四邊形4?口中，已知4=120°,ZABC=90°,AD=3,8c=3抬,

BD-1.

⑴四的長;

(2)5的長.

【題組五三角函數(shù)與解三角形】

1.(2021?北京?臨川學(xué)校)已知/(x)=Gcos2x+2sin(1+xjsin(乃-x),XeR,

(1)求/*)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)已知銳角AABC的內(nèi)角A8,C的對邊分別為c,且/(4)=-6，a=4,求BC邊上的高的最大值.

2.(2021?全國)已知函數(shù)/(x)=2Gsinxcosx-2cos。+加，且函數(shù)f(x)的最大值為3.

⑴當(dāng)xe0,^時，求函數(shù)“X)的值域；

(2)已知IAABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是。、b、c,若〃8)=0,b=2,求“BC面積的最大值.

3.(2021?河北衡水中學(xué))已知函數(shù)〃x)=sin(乃-x)cosx-cos：x+?)

⑴求/(x)在［0,可上的單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若對也生++恒有/(x)+g>0成立，且______,求AABC面積的最大值.

在①AA8c的外接圓直徑為4,②。是直線&x+y+3=()截圓O:f+y2=4所得的弦長，③

代sinA+cosA=6這三個條件中，任選兩個補充到上面問題中，并完成求解，其中。，b,c分別為“ABC

的內(nèi)角兒B,。所對的邊.

4.(2021?江蘇?鹽城中學(xué)高一月考)已知函數(shù)/'(x)=Gsinscoss-sin28+l(G>0)的圖象中相鄰兩條

7T

對稱軸之間的距離為g.

2

(1)求。的值.

(2)已知a,b,c分別為“WC中角4,B,。的對邊，且滿足a=>5"(A)=1,求AA8c面積S的最大值.

5.(2021?江蘇省外國語學(xué)校高一期中)函數(shù)/(x)=sin3x+w)(o>0，K\)的部分圖象如圖所示，將y=f(x)

的圖象向右平移:個單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象.

⑴求函數(shù)y=g(x)的解析式；

(2)在AABC中，內(nèi)角A,B,C滿足2siM笠O=g[c+]]+l,且其外接圓的半徑為1,求AABC的面積

的最大值.

6.(2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué))已知向量4=卜加,8