2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年廣東省廣州市番禺區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={1,?1}，B={1,0,?1}，則集合C={a+b|a∈A,b∈B}中元素的個(gè)數(shù)為(

)A.2 B.3 C.4 D.52.已知復(fù)數(shù)z=2?ii，則z的虛部為(

)A.2 B.2i C.?2 D.?2i3.“a=1”是“函數(shù)f(x)=2x?a2A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1，4，m，12，14，21，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的25，則該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是(

)A.4 B.6 C.8 D.125.過坐標(biāo)原點(diǎn)O向圓C：x2+y2?4x?2y+4=0作兩條切線，切點(diǎn)分別為M，NA.34 B.43 C.36.菱形ABCD中，AC=2，BD=4，點(diǎn)E在線段CD上，則AB?AE的取值范圍是(

)A.[2,3] B.[0,1] C.[0,2] D.[?3,2]7.為了預(yù)測某地的經(jīng)濟(jì)增長情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1～6月的GDP的數(shù)據(jù)y(單位：百億元)建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y=0.4x+a，其中自變量x指的是時(shí)間1月2月3月4月5月6月編號x123456y百億元yyy11.1yy參考數(shù)據(jù)：i=16yiA.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)(3.5,11)

B.a=9.6

C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測值為14.4百億元

D.相應(yīng)于點(diǎn)(8.油紙傘是中國傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史，為宣傳和推廣這一傳統(tǒng)工藝，北京市文化宮于春分時(shí)節(jié)開展油紙傘文化藝術(shù)節(jié).活動(dòng)中將油紙傘撐開后擺放在戶外展覽場地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為2的圓，圓心到傘柄底端距離為2，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子(春分時(shí)，北京的陽光與地面夾角為60°)，若傘柄底端正好位于該橢圓的焦點(diǎn)位置，則該橢圓的離心率為(

)A.2?3 B.2?1 C.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知函數(shù)f(x)=sinx?|cosx|，則(

)A.f(x)是奇函數(shù) B.f(x)的最小正周期為π

C.f(x)的最小值為?12 D.f(x)在10.設(shè)函數(shù)f(x)=2x3?3axA.當(dāng)a>1時(shí)，f(x)有三個(gè)零點(diǎn)

B.當(dāng)a<0時(shí)，x=0是f(x)的極大值點(diǎn)

C.存在a，b，使得x=b為曲線y=f(x)的對稱軸

D.存在a，使得點(diǎn)(1,f(1))為曲線y=f(x)的對稱中心11.半正多面體(semiregular?solid)亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美．傳統(tǒng)的足球，就是根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)而制成，最早用于1970年的世界杯比賽．二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成(如圖所示)，若這個(gè)二十四等邊體的棱長都為2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.MQ⊥平面AEMH B.異面直線BC和EA所成角為60°

C.該二十四等邊體的體積為4023 三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.二項(xiàng)式(2x+1x313.某中學(xué)1600名學(xué)生參加一分鐘跳繩測試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績X近似服從正態(tài)分布N(150,σ2)，已知成績小于130的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績X在150～17014.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosC═ccosB，則1tanA+1四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且sinC+3cosC=3ab．

(1)求角B；

(2)若a+c=2，b=3，∠ABC16.(本小題15分)

人工智能研究實(shí)驗(yàn)室發(fā)布了一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對話.在測試聊天機(jī)器人模型時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為85%；如果輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為50%．

(1)在某次測試中輸入了8個(gè)問題，聊天機(jī)器人模型的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取3個(gè).以ξ表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為10%．

(i)求聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率；

(ii)若已知聊天機(jī)器人模型的回答被采納，求該輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤的概率．17.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)．

(1)求直線B1D與平面EFG所成角的正弦值；

(2)求平面18.(本小題17分)

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，a1=1,a3=43+1，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列{bn19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=ex?1x．

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性；

(3)若f(x)>ax，其中a>0，且答案解析1.D

【解析】解：當(dāng)a=1時(shí)，b=1、0、?1，則a+b=2、1、0；

當(dāng)a=?1時(shí)，b=1、0、?1，則a+b=0、?1、?2；

集合C={a+b|a∈A,b∈B}={?2,?1,0,1,2}．

故選D．2.C

【解析】解：z=2?ii=(2?i)ii2=?1?2i，

則z的虛部為3.A

【解析】解：根據(jù)題意，若a=1，則f(x)=2x?12x+1，

則f(?x)=12x?112x+1=1?2x1+2x=?2x?12x4.A

【解析】解：根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是m+122，

根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是21?1=20，

依題意得，m+122=20×25，解得m=4，

因?yàn)?×0.45=2.7?Ζ，

根據(jù)百分位數(shù)的定義，

該組數(shù)據(jù)的第45百分位數(shù)是從小到大排列的第3個(gè)數(shù)，即為4．5.B

【解析】解：解法一：由x2+y2?4x?2y+4=0，得(x?2)2+(y?1)2=1，

該圓的圓心為C(2,1)，半徑為1，如圖所示，連接OC，CN，

易知tan∠MOC=tan∠CON=|CN||ON|=12，

所以tan∠MON=tan(∠MOC+∠CON)=12+121?12×12=6.D

【解析】解：因?yàn)榱庑蜛BCD中，AC=2，BD=4，

設(shè)對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則AC⊥BD，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則A(0,?1)，C(0,1)，B(2,0)，D(?2,0)，

因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，

所以設(shè)DE=λDC(0≤λ≤1)，即DE=λ(2,1)=(2λ,λ)，

所以AB=(2,1)，AE=AD+DE=(?2,1)+(2λ,λ)=(2λ?2,λ+1)，

所以AB?AE=2(2λ?2)+λ+1=5λ?37.D

【解析】解：由表中數(shù)據(jù)可知，x?=16×(1+2+3+4+5+6)=3.5，

i=16yi2=796,i=16(yi?y?)2=70，

則i=16(yi?y?)2=i=16yi2?6y?2=70，解得y?=11，

故經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)(3.5,11)，故A正確；8.A

【解析】解：如圖，傘的傘沿與地面接觸點(diǎn)B是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，

傘沿在地面上最遠(yuǎn)的投影點(diǎn)A是橢圓長軸的另一個(gè)端點(diǎn)，

對應(yīng)的傘沿為C，O為傘的圓心，F(xiàn)為傘柄底端，即橢圓的左焦點(diǎn)，

令橢圓的長半軸長為a，半焦距為c，

由OF⊥BC,|OF|=|OB|=2，得a+c=|BF|=2，∠FBC=45°，|AB|=2a,|BC|=22，

在△ABC中，∠BAC=60°，則∠ACB=75°，

又sin75°=sin(45°+30°)=22×32+22×12=9.AC

【解析】解：f(x)=sinx?|cosx|=12sin2x,?π2+2kπ≤x≤π2+2kπ?12sin2x,π2+2kπ<x≤3π2+2kπ，k∈Z，

其大致圖象如圖所示，

因?yàn)閒(?x)=sin(?x)|cos(?x)|=?sinx|cosx|=?f(x)，即f(x)為奇函數(shù)，A正確；

因?yàn)閒(x+π)=sin(x+π)|cos(x+π)|=?sinx|cosx|≠f(x)10.AD

【解析】解：由f(x)=2x3?3ax2+1，得f′(x)=6x(x?a)，

對于A，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(?∞,0)和(a,+∞)上單調(diào)遞增；

f(x)的極大值f(0)=1>0，f(x)的極小值f(a)=1?a3<0，所以f(x)有三個(gè)零點(diǎn)，故A正確；

對于B，當(dāng)a<0時(shí)，f(x)在(a,0)上單調(diào)遞減，在(?∞,a)和(0,+∞)上單調(diào)遞增，x=0是極小值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

對于C，任何三次函數(shù)不存在對稱軸，故C錯(cuò)誤；

對于D，當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=2x11.BCD

【解析】解：對于A中，若MQ⊥平面AEMH，因?yàn)镸H?平面AEMH，所以MQ⊥MH，

又因?yàn)椤鱉QH為等邊三角形，所以∠QMH=60°，所以A不正確；

對于B中，因?yàn)锽C//AD，所以異面直線BC和EA所成角即為直線AD和EA所成角，

設(shè)角∠EAD=θ，在正六邊形ADGPNE中，可得θ=120°，

所以異面直線BC和EA所成角為60°，所以B正確；

對于C中，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長為22的一個(gè)正方體，

則該正方體的體積為V=(22)3=162，

其中每個(gè)小三棱錐的體積為V1=13×12×2×2×2=23，

12.448

【解析】解：根據(jù)(2x+1x3)7的展開式的通項(xiàng)Tr+1=C713.500

【解析】解：因?yàn)槌煽僗服從正態(tài)分布

N(150,σ2)，即正態(tài)曲線關(guān)于μ=150對稱，

因?yàn)槌煽冃∮?/p>

130的有

300

人，

所以P(X<130)=P(X>170)=3001600=316，

所以P(150<X<170)=12?316=14.2【解析】解：因?yàn)?bcosC=ccosB，

所以2sinBcosC=sinCcosB，

即2tanB=tanC，

又因?yàn)锳+B+C=π，

所以tanA=tan[π?(B+C)]=?tan(B+C)=?tanB+tanC1?tanBtanC=?3tanB1?2tan2B，

所以1tanA+1tanB+1tanC

=1?2tan2B?3tanB+1tanB15.解：(1)∵sinC+3cosC=3ab=3sinAsinB，∴sinBcinC+3sinBcosC=3sinA=3sin(B+C)，

整理得sinBsinC=3cosBsinC，C∈(0,π)，sinC≠0，

∴sinB=3cosB，即tanB=3，B∈(0,π)，【解析】(1)利用三角變換即可求解；

(2)先利用余弦定理求ac，再結(jié)合三角形面積公式求BD即可．

16.解：(1)易知的所有可能取值為0，1，2，3，

P(ξ=0)=C50C33C83=156，

ξ0123P115155E(ξ)=0×156+1×1556+2×1528+3×528=158．

(2)(i)記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，

記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，

記“C?atGP7的回答被采納”為事件C，

則P(A)=0.9，P(B)=0.1，P(C|B)=0.5【解析】(1)ξ服從超幾何分布，直接用公式求解；

(2)(i)利用全概率公式求解C?atGPT的回答被采納的概率；

(ii)利用條件概率公式求解該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率即可．

17.解：如圖建系，

因?yàn)檎襟wABCD?A1B1C1D1中，AB=2，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，

所以D(0,0,0)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，

E(2,1,0)，F(xiàn)(1,2,2)，G(0,1,2)，

則DB1=(2,2,2)，EF=(?1,1,2)，EG=(?2,0,2)，

(1)設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n?EF=?x+y+2z=0n?EG=?2x+2z=0，

令z=1，則x=1，y=?1，

所以n=(1,?1,1)，

設(shè)直線B1D與平面EFG所成角的正弦值為θ，

則sinθ=|cos<n,DB1>|=|n?DB1||n|?|DB1|=|2?2+2|22+22【解析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線B1D的方向向量與平面EFG的法向量，利用向量夾角公式即可；

(2)分別求出平面C1GF與平面EGF的法向量，利用向量夾角公式即可；

(3)令點(diǎn)H到平面EFG的距離為d18.解：(1)證明：根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，

若a1=1,a3=43+1，則d=a3?a12=23，

則Sn=na1+n(n?1)d2=n+3n(n?1)=3n2?(3?1)n，

故bn=Snn=3n?(3?1)，

故當(dāng)n≥2時(shí)，則有bn?bn?1=3；

(2)根據(jù)題意，假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)am、ak、an構(gòu)成等比數(shù)列(m∈N【解析】(1)根據(jù)題意，求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可得數(shù)列{bn}的表達(dá)式，分析可得答案；

(2)假設(shè)數(shù)列{an}中存在三項(xiàng)am19.解：(1)由題意f(1)=e?1，即切點(diǎn)為(1,e?1),f′(x)=xex?ex+1x2,k=f′(1)=1，

所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y=x?1+e?1，即y=x+e?2；

(2)由f′(x)=(x?1)ex+1x2，設(shè)g(x)=(x?1)ex+1，則g′(x