八年級下冊18 1勾股定理 教學設計包滬科版初中數學

課題：§17.1勾股定理

教學目標：

知識與技能：探索直角三角形三邊關系，了解勾股定理的發(fā)現過程，掌握勾股定理的

內容，會用面積法證明勾股定理。

過程與方法：（1）、經歷觀察與發(fā)現直角三角形三邊關系的過程，感受勾股定理的應用

意識。（2）、在探索勾股定理的過程中，讓學生經歷“觀察一猜想一歸納一驗證”的能力，

并體會數形結合和特殊到一般的思想方法。

情感態(tài)度與價值觀：。）、介紹我國古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受數學文

化，激發(fā)學生的愛國熱情，促其勤奮學習。（2）、在探究活動中，培養(yǎng)學生的合作交流意識

和探索精神。

教材分析

勾股定理是數學中兒個重要定理之一，它揭示的是直角三角形邊的數量關系。它在數

學的發(fā)展中起著重要的作用，在現實世界中也有著廣泛的應用。學生通過對勾股定理的學

習，可以在原有的基礎上對直角三角形有進一步的認識和理解。

教學重點：了解勾股定理的演繹過程，掌握勾股定理及其應用。

教學難點：理解勾股定理的演繹和推導過程。

教學方法：探討法、發(fā)現法等。

教具準備：多媒體、網格紙。

教學過程

一、創(chuàng)設情境一一觀察探索——形成概念

引入首先創(chuàng)設這樣一個問題情境：（用多媒體播放視頻）“某樓房二樓失火，消防

隊員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊員取來6.5米長的云梯,如果梯子的底部離墻

基的距離是2.5米,請問消防隊員能否進入三樓滅火？”

［設計意圖及設想］問題設計具有一定的挑戰(zhàn)性，目的是激發(fā)學生的探究欲望，教師引導

學生將實際問題轉化成數學問題，也就是“已知一直角三角形的兩邊，如何求第三邊？”的

問題。學生會感到困難，從而教師指出學習了今天這一課后就有辦法解決了。這種以實際問

題為切入點引入新課，不僅自然，而且反映了數學來源于實際生活，數學是從人的需要中產

生這一認識的基本觀點。

1、（用多媒體投影）如圖是一個行距、列距都是1的方格網。問:

每一個最小格點正方形面積是多少？

然后，在方格網中投影顯示出以格點為頂

點等腰直角△ABC,并顯示分別以三角形的各邊

為邊，向形外作正方形I、n、m。

問：1、三個正方形面積SI、SH和Sm分別是

多少？它們之間有怎樣的關系？如用它們的邊

長表示，能得到怎樣的式子？（思考、與同伴交

流）

［設計意圖及設想］從學生的生活經驗和

己有的知識背景出發(fā)，讓他們從中去發(fā)現數學、探究數學、認識并掌握數學。同時也體現了

知識的發(fā)生過程，而且解決問題的過程也是一個“數學化”的過程。

2、在上一題的基礎上，設置下列問題情境：

在行距、列距都是1的方格網中，再作一個格點不等腰直角△ABC,分別以三角形的各

邊為邊，向形外作正方形I、II、III。讓學生在課前備好的網格紙上畫圖，然后投影出圖.

根據上述我先后安排如下三個探究題：

（1）、三個正方形面積Su和&口分別是多少？（思考、分組討論、交流）（學生分組

交流，展示求面積的不同方法，如：在正方形C周圍補出四個全等的直角三角形而得到一個

大正方形，通過圖形面積的和差，得到正方形C的面積.或者，將正方形C分割成四個全等

的直角三角形和一個小正方形，求得正方形C面積）。

（2）、Si.S”和Sm是什么關系？（思考、分組討論、交流）

點，為歸納結論打下了基礎，讓學生體會到觀察、猜想、歸納的思想，也讓學生的分析問題

和解決問題的能力在無形中得到了提高，這對后面的學習及有幫助。

根據上述的問題的探究，可安排如下面探究題：你們發(fā)現直角三角形三邊的長有怎樣

的關系？能用簡練的語言概括出來嗎？（學生分組討論、小組代表發(fā)言）

結論：勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。

二、創(chuàng)設情境一一合作探究一一推理論證

介紹全世界的數學家和數學

1、設置下列問題情境：如圖caBP6!R,bF

在直角AABC中，/C=90°AB=C,BC=a,AC=b,

求證：a2+b'=c2

讓學生按圖示拼圖。問：（1）所拼的圖中，邊長為C的四邊形是正方形嗎？為什么？

（2）讓學生根據理解寫出證明的推理過程。

S定力攙ABCD=（a+BP=c2+4-x.—ab

a2+b2=c2

［設計意圖及設想］讓學生親身體驗勾股定理的探索與驗證，使學生對定理的理解更加

深刻，體會數形結合思想，發(fā)展創(chuàng)造性思維能力.

由傳統(tǒng)的數學課堂向實驗的數學課堂轉變.

2、可向學生介紹下列兩種方法，激發(fā)學生的興趣

方法二：“趙爽弦圖”法.將四個全等的直角三角形拼成如圖所示的正?

F

力段EFGH=C"={a-bf+4x—ab

a1+i2=c2

方法三：“總統(tǒng)”法.如圖所示將兩個直角三角形拼成直角梯形

以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等

于.把這兩個直角三角形拼成如圖所

形狀，使A、E、B三點在一條直線上.：Rt△EAD絲Rt△CBE,

ZADE=ZBEC.

ZAED+ZADE=90°,

ZAED+ZBEC=90°.

，ZDEC=180°-90°=90°.

ADEC是一個等腰直角三角形，

-c2

它的面積等于2.

又,:ZDAE=90°,ZEBC=90°,

AD/7BC.

—(a+b)2

：.ABCD是一個直角梯形，它的面積等于2

/.a2+b2=c2.

以上證明方法都由學生先分組討論獲得，教師只做指導.最后總結說明。

［設計意圖及設想］讓學生模擬數學家的思維方式和思維過程，體會探索的快樂。

3、（定理命名）.約2000年前,代算書《周髀算經》中就記載了公元前1120年我國古

人發(fā)現的“勾三股四弦五”.當時把較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股,斜邊叫做

弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾為3,股為4,那么弦為5.這里.

人們還發(fā)現,勾為6,股為8,那么弦一定為10.勾為5,股為12,那么弦一定為13等.所以我國

稱它為勾股定理.

西方國家稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。

［設計意圖及設想］對學生進行愛國主義教育，增強學生的民族自豪感.

三、即時訓練一一鞏固新知

1、課本第6頁練習第1、2、題

2、RtaABC的兩邊長分別是3和4,則第三邊長的平方為多少？

3、已知等邊三角形ABC的邊長是6cm.求:(1)局AD的長；(2)AABC

的面積。

4、如圖，一個3cm長的梯子，AB,斜靠在一

豎直的墻A0上，這時A0的距離為2.5m,如果梯

子的頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外

移0.5m嗎？

思路點撥：從BD=0D-0B可以看出，必需

先求OB,0D,因此，可以通過勾股定理在RtA

AOB,RtaCOD中求出0B和0D,最后將BD求出.

教師活動：制作投影儀，提出問題，引導學生觀察、應用勾股定理，提問個別學生.

學生活動：觀察、交流，從中尋找出RtAAOB,RtACOD,以此為基礎應用勾股定理求

得0B和0D.

［設計意圖及設想］補充課堂練習，讓學生對本節(jié)課的知識進行最基本的運用，為下節(jié)

課勾股定理的應用做好鋪墊.

四、課堂總結一一提高認識

主要通過學生回憶本節(jié)課所學內容，從內容、應用、數學思想方法、獲取新知的途徑

方面先進行小結，后由教師總結。

五、布置作業(yè)

1、課本Ps習題17.1第1、2、3、題

2、體會本堂課你所獲得成功的經驗，寫好數學日記，同學交流

《18.1勾股定理》

教學內容

力；

情感態(tài)度與價值觀：通過探索直角三角形的三邊之間關系，培養(yǎng)學生積極參與、合作交流的

意識，體驗獲得成功的喜悅，通過介紹勾股定理在中國古代的研究情況，提高學生民族自豪

感，激發(fā)學生熱愛祖國、奮發(fā)學習的熱情.

教學分析

重點：探索和驗證勾股定理過程.

難點：通過面積計算探索勾股定理.

關鍵：關注性質的推導，主動探索，在實踐中獲得結論，并能正確地用語言表述性質.

教學方法及教學手段

采用探究發(fā)現式的教學方法，通過計算面積為學生設計一個數學實驗的平臺，結合多媒體課

件的演示，培養(yǎng)學生動手實踐能力和合作交流的意識.

教學過程

1.創(chuàng)設情境，導入課題

多媒體演示勾股樹圖片，激發(fā)學生求知欲，成功導入本節(jié)課題.

2.自主探索，合作交流

活動一：動腦想一想

小明用一邊長為k?加的正方形紙片，沿對角線折疊，你知道折痕有多長嗎？①這個問題你

是怎樣想的？請說出你的想法.②若把折疊后的直角三角形紙片放在如圖所示的格點圖中

（每個小正方形邊長為1C〃2）,你能知道斜邊的長嗎？③觀察圖形，并

填空：

（1）正方形尸的面積為cm2,

正方形Q的面積為cm2,

正方形彳的面積為cm2.

（2）你能發(fā)現圖中正方形?0、斤的面積之間有什么關系？從中你發(fā)現了什么？

正方形。的面積為—cm2,

正方形"的面積為cm2.

（3）正方形凡Q、"的面積之間的關系是什么？

（4）你會用直角三角形的邊長表示正方形尸,。、"的面積嗎？你能發(fā)現直角三角形三邊長

度之間存在什么關系嗎？與你的同伴進行交流.

讓學生自己總結，并用符號語言、文字語言表達勾股定理的內容.

22

對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為C、b,斜邊為C,那么一定有，+b-

=c-,這種關系我們稱為勾股定理.（我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長

的稱為股，斜邊稱為弦）

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.

3.驗證定理，拓展提高

請你利用手中的直角三角形紙片，通過拼圖來驗證剛才大家的發(fā)現.

拼一拼：給出4個全等的直角三角形紙片，拼一拼，擺一擺，看看能否得到一個以C為一邊

的正方形？（介紹趙爽弦圖和2002ICM標志）A

4.運用新知，體驗成功b

例1.RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=C,AC=6,BC=aCB

a

（1）已知AC=6,除8,求AB.

(2)已知。=15,b=9,求

（示范格式，提醒學生注意邊的位置，關鍵“直角所對的邊是斜邊”）

5.生活中的數學一一你知道嗎？

小紅家新買了一臺29英寸（74須）的電視機，小紅量了電視機的屏幕后，發(fā)現屏幕只有58前

長和46或寬，他認為營業(yè)員搞錯了，你同意他的想法嗎？你能作出合理的解釋嗎？

6.課堂小結：

師生一起回顧本節(jié)知識，主要是讓學生回憶學到了哪些知識和方法，教師最后再作補充.（1

數學家大會所用標志.2勾股定理是宇宙語言.3利用勾股定理，可以解決“已知直角三角形

的兩邊，求第三邊”的問題）

7.作業(yè)布置：

P55,2、3

《18.1勾股定理》

教學目標

1.在探索基礎上掌握勾股定理.

2.掌握直角三角形中的邊邊關系和三角之間的關系.

3.已知兩邊，運用勾股定理列式求第三邊.

4.應用勾股定理解決實際問題（探索性問題和應用性問題）.

5.學會簡單的合情推理與數學說理，能寫出簡單的推理格式.

重點難點

重點：在直角三角形中，知道兩邊，可以求第三邊.

難點：應用勾股定理時斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

疑點：靈活運用勾股定理.

教學設想

課型：新授課.

教學思路：探索結論-驗證結論-初步應用結論-應用結論解決實際問題.

教學過程

1、情境導入

從觀察課本中圖18.1.1和圖18.1.2入手引入勾股定理.

2、課前熱身

觀看圖18.1.1和圖18.1.2,數一數三塊面積之間的關系，體驗勾股定理的內涵.

3、合作探究

（1）整體感知

由觀察課本中圖18.1.1和圖18.1.2入手得出勾股定理；通過在圖18.1.3中動手操作證實

勾股定理：通過對本課本第50頁例1的探索求解鞏固勾股定理.

（2）四邊互動

互動1：

師：你們能數出圖18.1.1中三塊面積P、Q、R的數值嗎？數數看.

生：根據圖形進行操作.

由此得出：以直角三角形兩直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形

的面積.

師生共同歸納：SP+SQ=SR,即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

互動2

師：你們能數出圖18.1.2中三塊面積P、Q、R的數值嗎？數數看.

生：根據圖形進行操作.

由此得出：以直角三角形兩直角邊為邊長的兩個正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形

的面積.師生共同歸納，SP+SQ=SR,即兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

明確：師生合作通過操作證明勾股定理：a2+h2=c\

例題教學：

已知：如圖，在AABC中，BC=2,AB=4后，AC=4,AD是BC邊上的高，求BC的長.

師：你會用勾股定理解這道題嗎？試試看.A

生：操作后相互交流./X.

明確：在一個直角三角形中：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方./'

注：在實際問題中往往需要求取近似值.CD

4、達標反饋

(1)在直角AABC中，NC=90°,a=3,b=4,則c值是,理由是.

(2)在直角^ABC中，ZB=90°,a=3,b=4,則c值是,理由是.

(3)在AABC中，a=3,b=4,c=5,則△ABC是.

5、學習小結

(1)內容總結

直角三角形三邊滿足勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

注意：應用勾股定理時應特別注意哪個角是直角.

(2)方法歸納

讓學生經歷觀察、操作、交流合作、合理猜想等體驗吸取知識.

6、實踐活動：利用勾股數確定直角的方法在測量中的應用，如測量河寬時可用勾股數確定

直角，再利用直角三角形知識解決實際問題.

7、鞏固練習：課本第18.1中第1、2題.

《18.1勾股定理》

教學目標

1.掌握直角三角形的邊、角之間分別存在著的關系，熟練地運用直角三角形的勾股定理和

其他性質解決實際問題.

2.正確使用勾股定理的逆定理，準確地判斷三角形的形狀.

3.熟悉勾股定理的歷史，進一步了解我國古代數學的偉大成就，激發(fā)學生的愛國熱情，培

養(yǎng)探索知識的良好習慣.

疑難重點

教學重點：掌握勾股定理及其逆定理.

教學難點：準確應用勾股定理及其逆定理.

教學過程

1.按教材的思路講解，帶領同學一起做推導的例子，并歸納相關的知識點：

勾股定理是把形的特征（三角形中有一個角是直角），轉化為數量關系（a2+42=c2）,不僅

可以解決一些計算問題，而且通過數的計算或式的變形來證明一些幾何問題，特別是證明線

段間的一些復雜的等量關系.在幾何問題中為了使用勾股定理，常作高（或垂線段）等輔助

線構造直角三角形.

2.為了計算方便，要熟記幾組勾股數：

①3、4、5：

②6、8、10；

③5、12、13；

④8、15、17；

⑤9、40、41.

3.勾股數的推算公式：

羅士琳法則（羅士琳是我國清代的數學家1789——1853）任取兩個正整數勿和〃（?>n）,

那么成-〃2,2mn,成+成是一組勾股數.

4.典型例題分析:

例1:在直線1上依次擺放著七個正方形（如圖1所示），已知斜放置的三個正方形的面積

分別是1、2、3,正放置的四個正方形的面積依次是S1、52、S3、%,則51+52+53+%=—

依據這個圖形的基本結構，可設夕、52、53、54的邊長為a、b、c、d,則有a2+62=l,。2+龍=3,

51=62,S2=a2,S3=c2,54=o2.51+52+53+51=Z?2+a2+c2+o2=l+3=4

例2：已知線段a,求作線段百a.

分析一：\[5a—J5a2—J4a2+4/

/.、石a是以2a和a為兩條直角邊的直角三角形的斜邊.

分析二:亞a=《9a-4a2

,是以3a為斜邊，以2a為直角邊的直角三角形的另一條直角邊.

5.要學會用方程觀點解題:

例3：已知：如圖7,△/及7中，/廬3,叱4,/廬90°,若將△/比折疊，使C點與4點重

合，求折痕跖的長.

分析：當解這樣的問題時，由軸對稱的概念，自然想到連4E由已知，可得

AE=-

2,因此欲求外只要求4尸的長.設4后X,則向d,階4-X,只要

利用/ZXA（聲中，腑-胭=力應這個相等關系布列方程0（4-x）2=9,問題

就可以解決.

6.課堂小結:

2

（1）對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,那么一定有a

27

+/=c,這種關系我們稱為勾股定理.（我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾,

較長的稱為股，斜邊稱為弦）

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關系.

222

(2)直角三角形的判定：如果三角形的三邊長a、b、c有關系：a+b=c,那么這

個三角形是直角三角形.

7.作業(yè):

用5頁第1.2題.

《18.1勾股定理》

教學目標

1.通過拼圖，用面積的方法說明勾股定理的正確性.

2.通過實例應用勾股定理，培養(yǎng)學生的知識應用技能.

重點難點

重點：在直角三角形中，知道兩邊，可以求第三邊.

難點：應用勾股定理時斜邊的平方等于兩直角邊的平方和.

疑點：靈活運用勾股定理.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，導入課題

1、直角三角形有哪些性質？（從邊、角兩方面考慮）

（1）有一個角是直角；

（2）兩個銳角的和為90°（互余）;

（3）兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

反之，一個三角形滿足什么條件，才能是直角三角形呢？

2、一個三角形滿足什么條件才能是直角三角形？（板書課題）

（1）有一個角是直角的三角形是直角三角形；（板書）

（2）有兩個角的和為90°的三角形是直角三角形；（板書）

（3）如果一個三角形的三邊a,b,c,滿足a2+62=c2,那么這個三角形是直角三角形.

3、合作探究

（1）整體感知

通過相同直角三角形的拼圖體驗，讓學生找出多種不同的方法來說明勾股定理的正確性，通

過運用勾股定理解題，訓練培養(yǎng)學生應用知識的技能，通過閱讀材料讓學生體驗勾股定理的

妙用.

（2）動手實踐，發(fā)現新知.

試用小塑料棒拼出三邊長度分別為如下數據的三角形，猜想它們是些什么形狀的三角形(按

角分類)

1)3,4,4銳角三角形

2)2,3,4鈍角三角形

3)3,4,5直角三角形

使用“幾何畫板”演示(拼圖/還原/度量)，加深學生對拼出三角形形狀的認識.

請比較上述每個三角形的兩條較短邊的平方和與最長邊的平方之間的大小關系.

1)3,4,4銳角三角形―32+42>42

2)2,3,4鈍角三角形-22+32<42

3)3,4,5直角三角形-32+42=52

勾股定理是直角三角形的判定方法之一.

一般地說，在平面幾何中，經常利用直線間的位置關系，角的相互關系而判定直角，從而判

定直角三角形，而勾股定理則是通過邊的計算的判定直角三角形和判定直角的.利用它可以

判定一個三角形是否是直角三角形，一般步驟是：

1)確定最大邊；

2)算出最大邊的平方，另外兩邊的平方和；

3)比較最大邊的平方與另外兩邊的平方和是否相等，若相等，則說明是直角三角形；

4、例(補充)已知：在△/回中，NA、NB、NC的對邊分別是a、b、c,a=n2-l,b=-1n,

c=/?2+l(n>l)求證：Z<?=90°.

分析：(1)運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：①先判斷

那條邊最大.②分別用代數方法計算出a2+62和c-2的值.③判斷a2+62和c2是否相等,若相

等，則是直角三角形；若不相等，則不是直角三角形.

(2)要證NC=90°,只要證△4比■是直角三角形，并且c邊最大.根據勾股定理的逆定理只

要證明a2+62=c2即可.

(3)由于a2+62=(/?2-1)2+(2/?)2=/?4+2/?2+1,c2=(〃2+l)2=/?4+2成+1,從而a2+82=c2,

故命題獲證.

已知：如圖，在△49C中，G9是邊上的高，且或求證：△c

BDA

4況1是直角三角形.

分析：?.362=492+或，

B(2=C%BD2.：.A(2+BCi=ADl+2CgBDl=AIk+2AD?B史BD1=(AABD)2=ABI

5、學習小結

(1)內容總結

可以通過拼圖，得到正方形，再根據面積相等列出等式，從而驗證勾股定理；

運用勾股定理可以解決許多實際問題；

運用三角形相似或全等知識能證明直角三角形中的勾股定理.

(2)方法歸納

通過動手操作、合作交流和親身體驗培養(yǎng)學生良好的學習方法，逐步養(yǎng)成優(yōu)良的學習.

6、實踐活動

動手制作直角三角形，并以三邊長度為邊作一個你喜歡的正多邊形，研究它們面積之間的關

系.

7、鞏固練習

課本練習

18.1勾股定理

一、教學目標

1.了解勾股定理的發(fā)現過程，掌握勾股定理的內容，會用面積法證明勾,股定理。

2.培養(yǎng)在實際生活中發(fā)現問題總結規(guī)律的意識和能力。

3.介紹我國古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激發(fā)學生的愛國熱情，促

其勤奮學習。

二、重點、難點

1.重點：勾股定理的內容及證明。

2.難點：勾股定理的證明。

三、例題的意圖分析

例1（補充）通過對定理的證明，讓學生確信定理的正確性；通過拼圖，發(fā)散學

生的思維，鍛煉學生的動手實踐能力；這個古老的精彩的證法，出自我國古代無名數

學家之手。激發(fā)學生的民族自豪感，和愛國情懷。

例2使學生明確，圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改

變。進一步讓學生確信勾股定理的正確性。

四、課堂引入

目前世界上許多科學家正在試圖尋找其他星球的“人”，為此向宇宙發(fā)出了許多

信號，如地球上人類的語言、音樂、各種圖形等。我國數學家華羅庚曾建議，發(fā)射一

種反映勾股定理的圖形，如果宇宙人是“文明人”，那么他們一定會識別這種語言的。

這個事實可以說明勾股定理的重大意義。尤其是在.兩千年前，是非常了不起的成就。

讓學生畫一個直角邊為3cm和4cm的直角AABC,用刻度尺量出AB的長。

以上這個事實是我國古代3000多年前有一個叫商高的人發(fā)現的，他說：“把一根

直尺折成直角”兩段連結得一直角三角形，勾廣三，股修四，弦隅五。”這句話意思

是說一個直角三角形較短直角邊（勾）的長是3,長的直角邊（股）的長是4,那么斜

邊（弦）的長是5。

再畫一個兩直角邊為5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的長。你是否發(fā)現32.+42

與52的關系，52+122和132的關系，即32+42=52,52+122=132,那么就有勾2+股2=弦2。

對于任意的直角三角形也有這個性質嗎？

五、例習題分析

例1(補充)已知：在AABC中，ZC=90°,NA、/B、NC的對邊為a、b、c。

求證：a2+b2=c2。

分析：⑴讓學.生準備多個三角形模型，最好是有顏色的吹塑紙，讓學生拼擺不同

的形狀，利用面