滬教版九年級上冊數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題05由三角函數(shù)值求銳角重難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題05由三角函數(shù)值求銳角重難點(diǎn)專練（原卷版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海金山區(qū)·九年級一模）若是銳角，，那么銳角等于（）A． B． C． D．2．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如果一個正多邊形的外角為銳角，且它的余弦值是，那么它是（）A．等邊三角形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十二邊形3．(2023·上海九年級專題練習(xí)）若cosα＝，則銳角α的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°4．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級月考）等腰三角形一腰上的高與腰長之比為，則等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或5．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級期中）已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°第II卷（非選擇題）二、解答題6．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知是的弦，點(diǎn)在⊙O上，且，聯(lián)結(jié)、，并延長交弦于點(diǎn)，，．（1）求的大?。唬?）若點(diǎn)E在⊙O上，，求的長．7．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O上，且，聯(lián)結(jié)AO，CO，并延長CO交弦AB于點(diǎn)D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大??；（2）若點(diǎn)E在⊙O上，BEAO，求BE的長．8．(2023·上海九年級專題練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：．例如：．（1）求的值；（2）已知，算式“”的最終結(jié)果是1，“●”部分的值和相等，且，求銳角的值．9．(2023·上海九年級專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求cosC的值．10．(2023·上海普陀區(qū)·九年級一模）如圖1，的余切值為2，，點(diǎn)D是線段上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形的另兩個頂點(diǎn)E、F都在射線上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，并延長，交射線于點(diǎn)P．（1）點(diǎn)D在運(yùn)動時，下列的線段和角中，________是始終保持不變的量（填序號）；①；②；③；④；⑤；⑥；（2）設(shè)正方形的邊長為x，線段的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）如果與相似，但面積不相等，求此時正方形的邊長．11．(2023·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖1，在中，，，AB=4,點(diǎn)是邊上動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn).（1）求的大??；（2）若把沿著直線翻折得到，設(shè)①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在斜邊上時，求的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在外部時，與相交于點(diǎn)，如果，寫出與的函數(shù)關(guān)系式以及定義域.12．(2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，如果直線和直線的夾角為15o，求線段的長度；（3）設(shè)點(diǎn)為此拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△為直角三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．三、填空題13．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知一條斜坡的長度是10米，高度是6米，那么坡角的角度約為_______．（備用數(shù)據(jù)tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6)14．(2023·上海九年級專題練習(xí)）中，，，，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AD上處，點(diǎn)C落在處，交AD于點(diǎn)P，則的面積是___________．

15．(2023·上海九年級專題練習(xí)）△ABC中，，，則△ABC的形狀是___________．16．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）（1）若，則銳角=____________；（2）若，則銳角=____________；17．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝20，c＝20，則∠B的度數(shù)為_______.18．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）若sin30°=cosB，那么∠B=________°．19．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如果，那么銳角的度數(shù)是____________.20．(2023·上海嘉定區(qū)·）已知一個斜坡的坡度，那么該斜坡的坡角的度數(shù)是______．21．(2023·上海浦東新區(qū)·）若α為銳角，已知cosα=，那么tanα=________.22．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，那么∠A=____度．專題05由三角函數(shù)值求銳角重難點(diǎn)專練（解析版）第I卷（選擇題）一、單選題1．(2023·上海金山區(qū)·九年級一模）若是銳角，，那么銳角等于（）A． B． C． D．答案:B分析：由sin45°=可得=45°即可確定．【詳解】解：∵sin45°=，，是銳角∴=45°，即=30°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值確定=45°成為解答本題的關(guān)鍵．2．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如果一個正多邊形的外角為銳角，且它的余弦值是，那么它是（）A．等邊三角形 B．正六邊形 C．正八邊形 D．正十二邊形答案:D分析：先根據(jù)一個外角的余弦值是，求出一個外角的度數(shù)，再利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個外角相等即可求出答案．【詳解】∵一個外角為銳角，且其余弦值為，∴這個一個外角=30°，∴360÷30=12．故它是正十二邊形．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的外角和及特殊角的三角函數(shù)值，利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個外角相等即可求出答案．3．(2023·上海九年級專題練習(xí)）若cosα＝，則銳角α的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．60° D．90°答案:C分析：根據(jù)cosα＝，求出銳角α的度數(shù)即可．【詳解】解：∵cosα＝，∴α＝60．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.4．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級月考）等腰三角形一腰上的高與腰長之比為，則等腰三角形頂角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或答案:C分析：分三角形是銳角三角形與三角形是鈍角三角形兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)高與腰的比可得高所對的角的正弦值，即可求出高所對的角的度數(shù)，進(jìn)而求解即可．【詳解】如圖1，當(dāng)三角形ABC為銳角三角形時，AB=AC，BD為腰AC的高，∵=sin∠A，∴∠A=30°，如圖2，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，AB=AC，BD為腰AC的高，∵=sin∠BAD，∴∠BAD=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°，綜上所述，頂角的度數(shù)為30°或150°，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵，注意要分情況討論，避免漏解而導(dǎo)致出錯．5．(2023·上海浦東新區(qū)·九年級期中）已知∠A為銳角，且sinA＝，那么∠A等于（）A．15° B．30° C．45° D．60°答案:B【詳解】試題分析：∵∠A為銳角，sinA=，∴∠A=30°．故選B．考點(diǎn)：特殊角的三角函數(shù)值．第II卷（非選擇題）二、解答題6．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知是的弦，點(diǎn)在⊙O上，且，聯(lián)結(jié)、，并延長交弦于點(diǎn)，，．（1）求的大??；（2）若點(diǎn)E在⊙O上，，求的長．答案:（1）30°，理由見解析；（2）4，理由見解析．分析：（1）連接OB，證OD垂直平分AB，在中通過解直角三角形可求出的度數(shù)；（2）連接OE，證是等邊三角形，即可知BE的長度等于半徑．【詳解】解：（1）如圖1，連接OB，∵，∴，∴，∴，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝6?r，在中，，∴，解得：r＝4，∴＝＝，∴，即；（2）如圖2，連接OE，由（1）知：，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形性質(zhì)等知識點(diǎn)，解題關(guān)鍵是牢固掌握并熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)．7．(2023·上海九年級專題練習(xí)）如圖，已知AB是⊙O的弦，點(diǎn)C在⊙O上，且，聯(lián)結(jié)AO，CO，并延長CO交弦AB于點(diǎn)D，AB＝4，CD＝6．（1）求∠OAB的大??；（2）若點(diǎn)E在⊙O上，BEAO，求BE的長．答案:（1）30°；（2）4分析：（1）連接OB，證OD垂直平分AB，在Rt△AOD中通過解直角三角形可求出∠OAB的度數(shù)；（2）連接OE，證△OBE是等邊三角形，即可知BE的長度等于半徑．【詳解】解：（1）如圖1，連接OB，∵，∴∠AOC＝∠BOC，∴180°﹣∠AOC＝180°﹣∠BOC，∴∠AOD＝∠BOD，∵OA＝OB，∴OD垂直平分AB，∴AD＝BD＝AB＝2，設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝6﹣r，在Rt△AOD中，AO2＝AD2+OD2，∴r2＝（2）2+（6﹣r）2，解得，r＝4，∴，∴∠OAD＝30°，即∠OAB＝30°；（2）如圖2，連接OE，由（1）知，∠OAB＝30°，∵OB＝OA，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∵EB∥AO，∴∠EBD＝∠OAB＝30°，∴∠EBO＝∠EBD+∠OBA＝60°，∵OE＝OB，∴△OEB是等邊三角形，∴BE＝r＝4．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等，解題關(guān)鍵是牢固掌握并熟練運(yùn)用圓的有關(guān)性質(zhì)．8．(2023·上海九年級專題練習(xí)）定義一種新運(yùn)算：．例如：．（1）求的值；（2）已知，算式“”的最終結(jié)果是1，“●”部分的值和相等，且，求銳角的值．答案:（1）-5；（2）45°分析：（1）根據(jù)已知的式子計算即可；（2）根據(jù)已知條件列出式子，再根據(jù)計算即可；【詳解】解：（1）；（2）∵，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的知識點(diǎn)計算是關(guān)鍵．9．(2023·上海九年級專題練習(xí)）在銳角三角形ABC中，若sinA＝，B＝75°，求cosC的值．答案:．分析：先利用特殊角的三角函數(shù)值得到∠A的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C的度數(shù)，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解．【詳解】解：∵sinA＝，∴銳角A＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴cosC＝cos45°＝．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是熟記幾個特殊角的三角函數(shù)值．10．(2023·上海普陀區(qū)·九年級一模）如圖1，的余切值為2，，點(diǎn)D是線段上的一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)A、B重合），以點(diǎn)D為頂點(diǎn)的正方形的另兩個頂點(diǎn)E、F都在射線上，且點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)，聯(lián)結(jié)，并延長，交射線于點(diǎn)P．（1）點(diǎn)D在運(yùn)動時，下列的線段和角中，________是始終保持不變的量（填序號）；①；②；③；④；⑤；⑥；（2）設(shè)正方形的邊長為x，線段的長為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（3）如果與相似，但面積不相等，求此時正方形的邊長．答案:（1）④⑤；（2）；（3）或.分析：（1）作于M，交于N，如圖，利用三角函數(shù)的定義得到，設(shè)，則，利用勾股定理得，解得，即，，設(shè)正方形的邊長為x，則，，由于，則可判斷為定值；再利用得到，則可判斷為定值；在中，利用勾股定理和三角函數(shù)可判斷在變化，在變化，在變化；（2）易得四邊形為矩形，則，證明，利用相似比可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；（3）由于，與相似，且面積不相等，利用相似比得到，討論：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時，則，所以，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時，則，所以，然后分別解方程即可得到正方形的邊長．【詳解】（1）如圖，作于M，交于N，在中，∵，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，，設(shè)正方形的邊長為x，在中，∵，∴，∴，在中，，∴為定值；∵，∴，∴為定值；在中，，而在變化，∴在變化，在變化，∴在變化，所以和是始終保持不變的量；故答案為：④⑤（2）∵M(jìn)N⊥AP，DEFG是正方形，∴四邊形為矩形，∴，∵，∴，∴，即，∴（3）∵，與相似，且面積不相等，∴，即，∴，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)右側(cè)時，AP=AF+PF==，∴，解得，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)F點(diǎn)左側(cè)時，，∴，解得，綜上所述，正方形的邊長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似形綜合題：熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義、正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．11．(2023·上海浦東新區(qū)·八年級期末）如圖1，在中，，，AB=4,點(diǎn)是邊上動點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)作，交邊于點(diǎn).（1）求的大小；（2）若把沿著直線翻折得到，設(shè)①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在斜邊上時，求的值；②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在外部時，與相交于點(diǎn)，如果，寫出與的函數(shù)關(guān)系式以及定義域.答案:(1)；(2)①x=1，②，定義域分析：（1）根據(jù)正弦的定義求出∠B=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)解答；

（2）根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定定理得到△AQP為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AQ=QP，證明AQ=QC，計算即可；

（3）作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，根據(jù)正弦的定義用x表示出QG，證明RE=RB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EH=y，根據(jù)正切的定義計算即可．【詳解】解：(1)在Rt△ABC中，∵，AB=4,∴∵∴(2)①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在斜邊上時；由翻折得∴∵∴∴∵∴是等邊三角形即x=1.②如圖3，當(dāng)點(diǎn)落在外部時，作QG⊥AB于G，RH⊥AB于H，

∵QR∥AB，

∴QG=RH，

在Rt△AQG中，QG=AQ×sinA由翻折的性質(zhì)可知，∠PRP=∠CRQ=30°，

∵QR∥AB，

∴∠REB=∠PRQ，

∴∠REB=∠B，

∴RE=RB，

∵RH⊥AB，在Rt△ERH中，∴整理得，y=3x，

則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=3x（0＜x＜1）．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，函數(shù)解析式的確定，掌握等邊三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．12．(2023·上海）在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，拋物線（、是常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)、，與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)．（1）求此拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，如果直線和直線的夾角為15o，求線段的長度；（3）設(shè)點(diǎn)為此拋物線的對稱軸上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△為直角三角形時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．答案:（1）拋物線的表達(dá)式是;(2)或;(3)P或或或.分析：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式求解可得；

（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得出OC=OB=3，∠CBO=45°，據(jù)此知∠DBO=30°或60°，依據(jù)DO=BO?tan∠DBO求出得DO＝或3，從而得出答案；

（3）設(shè)P（-1，t），知BC2=18，PB2=4+t2，PC2=t2-6t+10，再分點(diǎn)B、點(diǎn)C和點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)三種情況分別求解可得．【詳解】（1）依題意得：，解得：∴拋物線的表達(dá)式是（2）∵拋物線與軸交點(diǎn)為點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，又點(diǎn)的坐標(biāo)是∴∴或在直角△中，∴或，∴或.（3）由拋物線得：對稱軸是直線根據(jù)題意：設(shè)，又點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是∴，，，①若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，②若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，③若點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，則即：解之得：，.綜上所述的坐標(biāo)為或或或.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式及直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)．三、填空題13．(2023·上海九年級專題練習(xí)）已知一條斜坡的長度是10米，高度是6米，那么坡角的角度約為_______．（備用數(shù)據(jù)tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6)答案:37°．分析：畫出圖形，設(shè)坡角為α，根據(jù)sinα=，可求得α的度數(shù)．【詳解】由題意，作出圖形，設(shè)坡角為α，

∵sina=即sina=0.6∴a=37°故答案為:37°.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，解直角三角形.14．(2023·上海九年級專題練習(xí)）中，，，，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，將繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在AD上處，點(diǎn)C落在處，交AD于點(diǎn)P，則的面積是___________．

答案:分析：過點(diǎn)作，作，，，，為垂足，根據(jù)，，，可證是直角三角形，，可求△各邊長，以及的長，由可求的長，即可求的面積．【詳解】解：過點(diǎn)作，作，，，，為垂足，

，，，，，．，，，是平行四邊形，，，，，在中，，旋轉(zhuǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，且，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題．15．(2023·上海九年級專題練習(xí)）△ABC中，，，則△ABC的形狀是___________．答案:直角三角形分析：根據(jù)特殊的三角函數(shù)值，求得∠A，∠B的度數(shù)，再進(jìn)行判斷．【詳解】∵，，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°，故△ABC是直角三角形，故填：直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查特殊的三角函數(shù)值，熟練記憶是關(guān)鍵．16．(2023·上海市靜安區(qū)實(shí)驗中學(xué)九年級課時練習(xí)）（1）若，則銳角=____________；（2）若，則銳角=____________；答案:分析：（1）根據(jù)特殊角的余弦值即可得；（2）根據(jù)特殊角的正弦值即可得．【詳解】（1），銳角；（2），，銳角；故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了特殊角的正弦與余弦值，熟記特殊角的正弦與