等式與不等式的性質解析版公開課教學設計課件資料

專題03等式與不等式的性質

【考綱要求】

1、會用不等式表示不等關系；掌握等式性質和不等式性質.

2、會利用不等式性質比較大小

【思維導圖】

兩個關數(shù)db,其大小關系有三種可能，印第，Mb.

依據(jù)d>b^a-b>Qa=b^a~b=0

基確一要比較兩個實數(shù)的大小，可以轉化為比較它們的是與0的大小

本

事

實

①如果a=b,那么b=a

②如果a=b,b=c,那么a=c

③如果a=b,那么a士c=b±c

等

④如果a=b,那么ac=bc

式/

性⑤如果a=b"0,那么

fcc

質

與

不IQ別名性質內(nèi)容注意

等

對稱性a>b<^>b<a今

式

性傳遞性a>b,b>c=^a>c不可逆

質

可加性a>b<^a~^c>b+c可逆

a>btc>Q=>ae>bc

可柬性c的符號

a>b,c<0=>ac<bc

同向可加性a>btc>d=>a+c>b+d同向

同向

同向同正可乘姓a>b>0tC>d>0=>ac>bd

不

等可兼方性a>bX)=a">3(〃￡N,n>2)同正

式

性

質

【考點總結】

【考點總結】

一、等式的基本性質

性質1如果a=b,那么b=a；

性質2如果a=b,b=c,那么〃=c；

性質3如果a=b,那么a±c=b±c；

性質4如果a=b,那么ac=bc\

性質5如果a=b,c#),那么

二、不等式的概念

我們用數(shù)學符號“尹"豈"、"W’連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系.含有這些

不等號的式子叫做不等式.

三、比較兩個實數(shù)。、力大小的依據(jù)

文字語言符號表示

如果a>hf那么a—b是正數(shù)；

a>b<^>a—b>0

如果a<bf那么a-b是負數(shù)；

a<b<^a-b<0

如果。=力，那么〃一〃等于0,

a=boa—b=0

反之亦然

［化解疑難］

1.上面的表示“等價于“，即可以互相推出.

2.右邊的式子反映了實數(shù)的運算性質，左邊的式子反映的是實數(shù)的大小順序，二者結合起來即是實數(shù)

的運算性質與大小順序之間的關系.

四、不等式的性質

(1)對稱性：a>bob<a；

⑵傳遞性：a>h,b>c=^a>c；

(3)可加性：a>b=>a-\~c>b+c.

a>b]

推論(同向可加性)：J^a+ob+d；

c>a)

a>b]a>b]

(4)可乘性：?\^>ac>hc-,\^ac<bc-,

c>OJc<0nJ

6Z>Z?O]

推論(同向同正可乘性)：\^>ac>bd-.

c>力OJ

(5)正數(shù)乘方性：a>6>0=a">〃5GN*,n>l)；

(6)正數(shù)開方性：a>b>0=>y［a>y［b(nGN*,n>2).

［化解疑難］

1.在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件.不可強化或弱化成立的條件.

2.要注意“箭頭”是單向的還是雙向的，也就是說每條性質是否具有可逆性.

【題型匯編】

題型一：利用不等式的性質比較數(shù)(式)大小

題型二：作差法比較數(shù)(式)大小

題型三：利用不等式的性質證明不等式

【題型講解】

題型一：利用不等式的性質比較數(shù)(式)大小

一、單選題

1.(2022?浙江?三模)已知a,b,c,deR,S.a<b<c,c^d,(a-d)(b-d)(c-d)+c=d,則()

A."v"B.a<d<hC.b<d<cD.d>c

【答案】B

【解析】

【分析】

由(“-4)3—d)(c-4)+c=d得(a-d)3-d)=-l<0,結合“〈匕即可求解.

【詳解】

由題意知：(a-d)(b-d)(c-d)=d-c,又cwd,則(a-d)(6-d)=-l<0,顯然a-d,b-d異號,

又a<b,所以a<4<b<c.

故選：B.

2.(2022?北京?北大附中三模)已知。>人>0,下列不等式中正確的是()

A.—>yB.ab<h2

ab

C.a-b-\——-->2D.—!—<—!—

a-ba-\b-\

【答案】C

【解析】

【分析】

由。>匕>0,結合不等式的性質及基本不等式即可判斷出結論.

【詳解】

解：對于選項A,因為a>b>0,0<」<2,而c的正負不確定，故A錯誤；

ab

對于選項B,因為。>方>0,所以外>從，故B錯誤;

對于選項C,依題意a>8>0,所以a—匕>0,—!->0,所以a-b+—Lw2j(a-6)x—!-=2,故C正確;

a-ba-bVa-b

對于選項。，因為〃>b>0,a-1>>-1,7與—止負不確定，故大小不確定，故D錯誤；

a-\b-\

故選：C.

3.(2022?江西萍鄉(xiāng)?三模(理))設。=21nl.01,*=>/LO2-1,。=擊，則()

A.a<b<cB.c<a<b

C.h<a<cD.c<b<a

【答案】D

【解析】

【分析】

令/(x)=lnx,g(x)=?—l,h(x)=f(x)-g(x)=Inx-4+1，求導研究函數(shù)〃*)的單調(diào)性，從而得到。>8,

利用不等式的性質比較得出h>c,從而求得答案.

【詳解】

令/(無)=加元送(工)=&-1,

h(x)=f(x)-g(x)=\nx->/x+l,

//(%)---一\=="正，可以判斷Kx)在［0,4)上單調(diào)遞增，

x2y1x2x

a-》=21n1.01-?55+l=In1.()/-而JT+1=In1.0201-455+1

>In1.02-^/L02+1=〃(1.02)>〃⑴=0,

所以a>h,

S+1)-C+I)』.02Y+-L)2=3-2.^=202200_2=」__

1011001011012100x1011012100x1011012

所以S+l)2>(c+l)2,

又因為b=Jl.02-1>0,c=>0,

所以b+l>c+l,即b>c,所以

故選：D.

4.(2022?北京?二模)是"(加一〃)(1。82，%-1。82〃)>0"的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根據(jù)不等式的性質，求解出(/n-n)(log2z72-log2n)>0,進而根據(jù)邏輯關系進行判斷即可.

【詳解】

對于(〃[一〃)(log?-log?〃)>0等價為：

nt-n>0[m-n<0

〈或《

[log2m-log2〃>0[log2m-log2n<0

m>nfm<n

即.《或《

[log2/n>log2n[log2tn<log2n

得：M>〃>0或0<機<〃，

，“小>〃>0”是“(m-?)(log2m-log2冷>0”的充分不必要條件.

故選：A.

5.(2022?江西鷹潭?二模(理))己知。>0,匕>0,且j"=手則下列不等式中恒成立的個數(shù)是()

①②③b_a<e〃-e"(4)ln￡！5<：/2^7-72^7

b<ahab+52

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】

①，分析得到所以匕―正確；②，構造函數(shù)舉反例判斷得解；③，構造函數(shù)利用函數(shù)單調(diào)性判斷

得解；④，轉化為判斷21nm+5)-"^<21皿+5)-亞而，再構造函數(shù)利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即得

解.

【詳解】

解：①，若=所以矛盾，所以。所以廠；<??；正確；

b+l0

小1,11,1n.rzx1/八、/，/、(X+1)(X-1)

②,CI—<h—fu-\—</?4—,設f(X)=XH—,(X>0),/.f(x)------2-----，

baabxx

所以當xe(0,l)時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞減，當xe(l,+8)時，函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，因為a<b,所以+!不

恒成立，如a=gj(g)=圻=1J⑴=2<f(；),所以該命題錯誤；

③，e"-a<e"-b,設g(x)=ex-x,:.g'(x)=ex-l>0,:.g(x)在(0,-KO)單調(diào)遞增，因為a<6,所以e"-a<e"-A

恒成立，所以該命題正確：

④，In<“2a+172b曰=2ln(a+5)-j2a+7<2Ing+5)-，2「+7,

b+52

設〃(x)=2ln(x+5)-<2x+7,

所以h'(x)=2^/^7-(x+5)=4(2x+7)-(x+5尸

(x+5)j2x+7(x+5),2x+7[2>/2x+7+(x+5)]

-(-r-l)(x+2)^

(x+5)j2x+7[2j2x+7+(x+5)]'

所以函數(shù)〃(x)在(0,1)單調(diào)遞增，在(1,”)單調(diào)遞減.

取a=1,e*-'=——(b+l)e*6=3e,

b+1

設k(x)=(x+l)ex,.'.k'(x)=(x+2)ex>0,所以k(x)在(0,+oo)單調(diào)遞增，

k。)=2e<3e,k(2)=3e2>3e,

所以存在6e(1,2),(6+l)e〃>3e,

止匕時2ln(a+5)-j2a+7>2ln(6+5)-。2〃+7,

所以該命題錯誤.

故選：B

6.(2022?山東日照?二模)若“，b,c為實數(shù)，S.a<b,c>0,則下列不等關系一定成立的是()

A.a+c<b+cB.—<-C.ac>beD.b-a>c

ab

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式的基本性質和特值法即可求解.

【詳解】

對于A選項，由不等式的基本性質知，不等式的兩邊都加上(或減去)同一個數(shù)或同一個整式，不等號方

向不變，則a<8=a+c<b+c,A選項正確；

對于B選項，由不等式的基本性質知,不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個負數(shù)，不等號方向改變，若a=-2,

b=—l,則B選項錯誤；

ab

對于C選項，由不等式的基本性質知，不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號方向不變，c>0,

0<a<b=>ac<bc,C選項錯誤；

對于D選項，因為c>0,所以無法判斷方-a與c大小，D選項錯誤.

7.（2022?陜西渭南?二模（文））設X、”都是實數(shù)，則“x>2且>>3"是“x+y>5且孫>6”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】

由不等式性質及特殊值法判斷條件間的推出關系，結合充分必要性的定義即可確定答案.

【詳解】

由x>2旦y>3,必有x+y>5且外>6,

當x+y>5且孫>6時，如x=l,y=7不滿足x>2,故不一定有x>2且y>3.

所以2且y>3”是“x+y>5且孫>6”的充分不必要條件.

故選：A

8.（2022.安徽黃山.二模（文））設實數(shù)”、分滿足“>6,則下列不等式一定成立的是（）

A.a1>b~B.—<-----C.ac2>be2D.3"+3*>2

aa+\

【答案】D

【解析】

【分析】

對于A,B,C可以取特殊值驗證，對于D,根據(jù)題意得3">3">0，3"+3-〃>3"+3叫利用基本不等式求

解即可.

【詳解】

對于A：當a=2,b=-4時不成立，故A錯誤；

對于B：當a=-1,b=-\,所以2=2,組=0,即空，故C錯誤；

2aa+1aa4-1

對于C：當c=0時不成立，故C錯誤；

對于D：因為。>b,所以3">3〃>0，乂3">0，

所以3"+3”>3"+3一"N2j3"x3一"=2(等號成立的條件是匕=0)，故D正確.

故選：D.

9.(2022?寧夏六盤山高級中學二模(文))設QWO,若x=〃為函數(shù)八月=〃(工-。)2(工-6)的極小值點，則

()

A.a<bB.a>h

C.ab<a2D.ab>a2

【答案】C

【解析】

【分析】

先對函數(shù)求導，令/'*)=0,則1=。或X=蟲了，然后分”色言和結合。的正負討論判斷函

數(shù)的極值點即可

【詳解】

由/（x）=6T（X-6T）2（X-Z?）,

得f'M=2a(x-a)(x-b)+a{x-a)2—a(x—a)(3x-a-2b),

令((x)=0,則彳=?；騒=巴產(chǎn)，

當。<絲竺，即時，

3

若4>0時，則“X)在(-8,4),(M產(chǎn),+8)上單調(diào)遞增，在名")上單調(diào)遞減,

所以X=4是函數(shù)的極大值點，不合題意，

若。<0時，則Ax)在(-?),a),(土產(chǎn)，茁)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以尤=。是函數(shù)的極小值點，滿足題意，此時由a<0,可得/>必，

3a+2b…

當。＞---時，a＞b,

?.,、Ja+2b土產(chǎn)"，上單調(diào)遞增,

若。＜0時，/U）^l-CO.-y-,3,物)上單調(diào)遞減，在

所以x=a是函數(shù)的極大值點，不合題意,

〃+2b色|絲，，上單調(diào)遞減,

若a>0時，/⑴在f3,m,yo)上單調(diào)遞增，在

所以x=。是函數(shù)的極小值點，滿足題意，此時由々>6,〃>0得〃2>ab,

綜上，一定成立，所以C正確，ABD錯誤，

故選：C

10.（2022?江西?二模（文））已知正實數(shù)m人滿足。+。=1,則下列結論不正確的是（）

A.有最大值g

14

B.上+；的最小值是9

ab

C.若a>b，則

a'b~

D.logza+log2。的最大值為。

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式，以及對數(shù)的運算，不等式的性質，對每個選項進行逐一分析，即可判斷和選擇.

【詳解】

對A：a>0,>0,1=a+b>2^/ab,y[abW—,

當且僅當a=b=；時，等號成立，故A正確；

14（\

對B：-+-=-+-（?+/>）=5+-+—>9,

ab\ab）ab

1?

當且僅當2a=b,即a力=（時，等號成立，故B正確；

對C：>/?>0,?*.a~>b~1?**~<yy,故C正確；

對D:由A可知0<"?—,故log,a+log"=log,ab<log,-7=-2,

44

當且僅當。=8=g時.，等號成立，故D錯誤.

故選：D.

二、多選題

1.（2022?全國?模擬預測）已知l<;<0,則下列不等關系中正確的是（）

ab

A.ab>a-bB.ab<-a—bC.—+—>2D.—>—

abab

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質，特值法以及基本不等式即可判斷各關系式的真假.

【詳解】

對A,由一<;<0,得當〃=---,b=—2時，A錯誤；

ab2

對B,當。=一2,〃=一3時，B錯誤；

對C,由得b<a<0,根據(jù)基本不等式知，C正確：

ab

對D,由1<1<0,得6<a<0,所以從>〃2,因為2-色=止《.>。，所以D正確.

ababah

故選：CD.

2.（2022?遼寧?二模）己知非零實數(shù)如匕滿足〃>屹1+1,則下列不等關系一定成立的是（）

A.a2>h2+\B.2">2b+l

D.加+1

C.a2>4b

【答案】ABC

【解析】

【分析】

利用不等式的性質及特殊值法判斷即可.

【詳解】

解：對于非零實數(shù)。，6滿足。習切+1,則/>（聞+1>,

即/>從+2聞+1>6+1,故A一定成立;

因為。>1勿+1泊+1=2">2"1故B一定成立;

又（|“-l）2z0,即后+122|切，所以/>4|勿246,故C一定成立;

b=3,滿足此時料=3

對于D：令a=5,<〃+1=4故D不一定成立.

故選：ABC

3.(2022?重慶?二模)已知2"=5〃=10,貝U()

11

A.—+->1tB.a>2bC.ab>4D.a+b>4

ab

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，再利用對數(shù)的運算性質及對數(shù)大小的比較及不等式的性質即可求解.

【詳解】

ab

2=5=10,/.a=log2iOyb=log510,

1,1_1,1_1?1_坨211g5

對于A,ablog210log510lg￡<>IglOIglOIglO

lg5

=logI02+log105=log102x5=log1010=1,故A不正確；

2

對于B,-：a=log210,2b=2log510=log510=log5100,

23=8,24=16,52=25,53=125

log28<log210<log216=>3<a<4;logs25<log5100<log5125=>2<2Z?<3,

a>2h,故B正確；

對于c,岫=1嗎10?1幅10=答裊=字魯?異詈=（1+1啕5）（1+32）

1g21g5lg2lg5

=l+log25+log52+log251og52=2+log,5+log52

log25>log,4=2,log52>log51=06/Z>>2+2+0=4,故C正確；

311

對于D,由B知，3<<4,2<2b<31<b<一4<a+b<—,故DlE確；

22

故選：BCD.

題型二：作差法比較數(shù)（式）大小

—,單選題

1.（2022.全國.模擬預測（理））已知a>匕>J>0,則下列結論正確的是（）

a

A.⑶">1B.log〃<logJ

\a）bb

C.log/vlog"D.b--<a--

baah

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的性質，結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、作差法比較大小等知識，逐一分析各個選項，即

可得答案.

【詳解】

因為。>b>L>0,所以4>1,

a

b

對于A：0<-<l,a-b>0,所以故A錯誤;

a

對于B：Y>1,所以'=垢8g”在（0,+8）上為增函數(shù),

bb

又a>b,所以log/'bgj,故B錯誤；

bb

對于C："gg"T°g^b=l°g巴a+log?b=log?ab,

babbb

因哈“>】，所以log產(chǎn)號叫

所以bg￡”>bg〃，故C錯誤；

ba

一；1TC,11l-ab}

對于D：b------a--\=b-a+---------=(za-b)\—―,

ayb)ba\ab)

因為a-b>0,ab>\,

所以6-，—儲-口=(4-與(可)<0,gpz,_l<(7_'故D正確.

a\bj\ab)ab

故選：D

2.（2022?重慶?二模）若非零實數(shù)“，h滿足。>6,則下列不等式一定成立的是（）

A.B.a+b>2\[ab

ab

C.Iga2>1g/?2D.a3>b3

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)不等式的基本性質、基本不等式的條件和對數(shù)的運算，逐項判定，即可求解.

【詳解】

對于A中，由因為“>〃，可得b-a<0,當時不確定，所以A錯誤;

對于B中，只有當a>0,0>0,4b不相等時，才有。+。>2而成立，所以B錯誤；

對于C中，例如4=1,6=-2,此時滿足a>b,但所以C錯誤；

對于D中，由不等式的基本性質，當人時，可得成立，所以D正確.

故選：D.

3.(2022?江西上饒二模(理))設〃=1_3-匕113，b=￡,c=噌，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則()

242ece4"12

注：e=2.718…,ln2=0.693…

A.b<a<cB.b<c<aC.a<c<bD.c<a<b

【答案】c

【解析】

【分析】

構造函數(shù)/(x)=W，則人=/(e)、c=/(41n2),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得

e

0>c；根據(jù)作差法和對數(shù)的運算性質可得c-a=：(lnG-4+26),構造新函數(shù)

g(x)=lnx-生?(x>0),利用導數(shù)研究函數(shù)的性質可得ln6-4+2G>0，

x+\

進而c>a,即可得出結果.

【詳解】

令f(x)=。，

e

1—X

則小)=一，令八x)=Onx=l,

e

x

則/在a”)單調(diào)遞減，

e

e41n2

所以b=^=/(e),c=-^=/(41n2),

ee

?.?41n2>4x0.69=2.76>e,/.b>c；

41n2

e4m2

.In2A/31.1rr.*/T.

??c-a=-------1+—+—In—=—(ZI1nV3-4+2v3)，

42424

令g(x)=InX_2(x;DQ>0),

x+l

14(r-l)2

則g'(R)=--~~-7=告~\>0,???g(X)在(1,4W)單調(diào)遞增,

x(x+l)~x(x+l)~

???P(V3)=lnV3-2(^~l)=lnV3-4+2>/3>0,

V3+l

：.c>a.

綜上，b>c>a.

故選：C

4.(2022?安徽黃山?二模(文))設實數(shù)%方滿足〃>如則下列不等式一定成立的是()

A.a1>b'B.—<-----C.ac1>be1D.3"+3"'>2

aa+1

【答案】D

【解析】

【分析】

對于A,B,C可以取特殊值驗證，對于D,根據(jù)題意得3">3">0，3"+3">3〃+3”，利用基本不等式求

解即可.

【詳解】

對于A：當a=2,b=T時不成立，故A錯誤；

對于B：當“=一4，b=—l,所以2=2,虻1=0,即2>小1,故C錯誤；

2a。+1aa+l

對于C：當c=0時不成立，故C錯誤；

對于D：因為a>b,所以3">3">0，又3">0，

所以3"+3">3］+3一”22y13bx3"=2（等號成立的條件是分=0），故D正確.

故選：D.

5.（2022?廣東廣州?一?模）若正實數(shù)a,b滿足a>b,且InaJn人>0,則下列不等式一定成立的是（）

A.log?Z?<0B.a-->b--C.2uZ,+,<2a+bD.ab^'<b"'

ba

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性及l(fā)na-ln0>0得至或分別討論兩種情況下四個選項是否正確，A選項

可以用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，B選項可以用作差法，C選項用作差法及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性進行求解，D選項,

需要構造函數(shù)進行求解.

【詳解】

因為a>6>0,）'=Inx為單調(diào)遞增函數(shù)，故lna>ln/?,由于lna」n〃>0,故Ina>lnb>0,或lnb<lna<0,

當lna>lnb>0時,a>b>\,此時log“b>0：

a-6）［1-乙］>0,故；

b\a）Iab）ba

而+=2aM>2a+b;

當lnZ?vlna<0R寸，0<b<a<l,此時bg“b>0,?-y-|/?--|=（6t-/?）|1--y|<0,^a-\<b--；

b\a）\ab）ba

而+l-(a+/?)=(a-l)(人一l)〉0,2aM>2a+h;

故ABC均錯誤；

D選項，ah-'<ba-',兩邊取自然對數(shù)，僅-l)lna<(a-l)lnb,因為不管還是,均有

(4一1)僅一1)>0,所以當<絲，故只需證里〈瞥即可，

a-\b-\a-\b-\

1?

inx1f-----InX|

設--(x>0且xwl),則尸(工)=X2,令g(x)=l------Inx(x>0且xwl),則

X-(x-1)2X

g'(x)=3—1=M，當xe(O,l)時，g'(x)>0,當時，g'(x)<0,所以g(x)<g⑴=0,所以

r(x)<0在x>0且XHI上恒成立，故外同=巫(x>0且xwl)單調(diào)遞減，因為。>6,所以迎〈學，

結論得證，D正確

故選：D

6.(2022?山西太原?二模(文))已知3"=2,5"=3,則下列結論正確的有()

?a<b②4++：③a+b<2ab?a+ah<b+ba

ab

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【解析】

【分析】

求出。、b的值，比較。、匕的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、導數(shù)法、不等式的基本性質以及基本不等式

逐項判斷可得出合適的選項.

【詳解】

因為3"=2,5'=3,則a=logj2,b=log53.

■2-2

對于①，25<32,則2<3儲從而0=10831<。=10832<108333=§,

,22-2

?/33>52,則則一=k)gs53<k)gs3=》<k)g55=1,HP0<a<-<i<l,①對；

J°33

對于②，。叫+|}-{|=("蜉叫'

211

因為。則。一/??<(),0<cib<1,所以，—>/?+：,②錯；

3ab

對于③，2ab=21og32log53=21og52=log54,

所以，”+Tg%2+bg5370g54=嘀2-岷4嗚6-1叫石=。，

所以，a+b>2ab,③錯；

對于④，構造函數(shù)f(x)=W，其中()<x<e,則/'(力=與篝.

當0<x<e時,r(x)>0,則函數(shù)f(x)在(O,e)上單調(diào)遞增,

因為則“。)</(3，即吆<華，可得d<b"，所以，a+ab<b+b",④對.

ab

故選：B.

7.(2022?河北衡水中學一模)已知則下列結論一定正確的是()

ab

A.a2>b2B.—+—<2C.D.Iga2<\gab

ab

【答案】D

【解析】

【分析】

由!<?<0,得到b<a<0,結合不等式的基本性質、作差比較、基本不等式和對數(shù)的運算法則，逐項判定,

ab

即可求解.

【詳解】

由,<,<0,可得b<a<0,則a+匕V0,。一匕>0"必>0,

ab

對于A中，由。2—/=(a+b)(a-b)<Q,所以/<6，所以A不正確；

貝心+烏>2區(qū)屋2,所以B不正確;

對于B中，由一<0,7>0,且一聲：，

ababab\ab

對于C中，由同">0,同〃>0,且卷=

14?，

當時>1時,音=小>1,此時同">

*

當14=1時，4=14""'=1，此時|a『=

i小

間

當時<1時,"<1,此時向“<

“，所以c不正確；

2

對于D中,由1ga2-lgab=lg—=lg—,因為b<a<0,可得

ahbb

所以lgf<0,可得lga2<iga/>,所以D正確.

h

故選：D.

8.（2022?重慶?三模）己知〃=0=3，b=0胃9,c=sin0.1,則。，b,。的大小關系正確的是（）

A.a>b>cB.c>a>bC.a>c>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】

【分析】

作差法比較出構造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性比較出c>“，從而得出c>a>4

【詳解】

,0.30.90.3兀-0.903x3-0.9,、,,?,,,_,,,

a-b=------=-----j——>----2----=0,所CC以I,a-b>0,故a>b,X/（x）=7tsinx-3x,則

nn

0向上單調(diào)遞減,且^-3<0,所以存在與e

/'(X)=7TCOSX-3在X￡又廣⑼=兀-3>0,f

使得/'（%）=0,且在xe（O,x（））時，f'（x）>0,在xe（xo,費時?，/（x）<0,即/。）=兀$吊》一3%在彳€（0,%）

乂竺0兀一3>0,所以%>號,又因為了（0）=0,所以

上單調(diào)遞增，在X€單調(diào)遞減，W.f'

41N

當xw(O,x0)時，y(x)=7rsinx-3x>0,其中因為得靖，所以持(0,須)，所以/品)=7tsin0.1-0.3>0,

故sin0.1>”,即c>a>6.

故選：B

9.（2022.湖南.雅禮中學二模）有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間

顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：加2）分別為孫y,2,且xvyvz,三種顏色涂料的粉

刷費用（單位：元/疝）分別為。，b,c,且在不同的方案中，最低的總費用（單位：元）是

A.ax+by+czB.az+by+cxC.ay+bz+cxD.ay-^-bx+cz

【答案】B

【解析】

【詳解】

由xvyvz,a<b<c,所以or+by+cz-(az+by+cr)=a(x-z)+c(z-x)

=(x-z)(^z-c)>0,故ax+by+cz>az+by+cx；同理，ay+bz+cx-(ay+bx+cz)

=b(z—x)+c(x-z)=(x—z)(c-Z?)<0,古攵ay+Z?z+exv紗+bx+cz.因為az+力y+or-(ay+Z?z+ex)

=a(z-y)+0(y-z)=(a-Z?)(z-y)<0,故或+少+3<歿+m+3.故最低費用為成+辦+5.故選B.

二、多選題

1.(2022?山東日照?三模)某公司通過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率E與工作年限r(nóng)(r>0),勞累程度

T(O<7'<1),勞動動機可1<。<5)相關，并建立了數(shù)學模型E=10-10T??」〃，已知甲、乙為該公司的員

工，則下列結論正確的是()

A.甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作年限長，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高

B.甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長，勞動動機高，則甲比乙工作效率低

C.甲與乙勞動動機相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.則甲比乙勞累程度弱

D.甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動動機低，則甲比乙勞累程度強

【答案】AC

【解析】

【分析】

設甲與乙的工人工作效率月,馬,工作年限小今，勞累程度小靠，勞動動機片,仇，利用作差法和指數(shù)函數(shù)的

性質比較大小即可判斷選項AB：利用作商法和'幕函數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質比較大小即可判斷選項CD.

【詳解】

設甲與乙的工人工作效率耳,外，工作年限小與，勞累程度1名，勞動動機々也,

Mr

對于A,bi=b2,ri>r2,Ti<T2,\<b<5,0<b^<\：.b^>b^',T2>Ti>Q,

則￡；-EzulOTOlk""_(10-10④2產(chǎn)刎)=10傳力產(chǎn)&_14?力>0,

/.Et>E2,即甲比乙工作效率高，故A正確；

對于B,工=￡，八>0，片>包，；.1>與°'4>6：”>0力丁3>偽4”攵>坪。叫，

則耳一4=10T叫曲向"電>外)=1四(石0i_。4")>0,

E,>E2,即甲比乙工作效率高，故B錯誤：

對于C,ft,=i>2,E,>E2,rt<r2,

4r2r,24r

：.Et-E2=10(7^-b^'-Tt-b^)>0,T2b^>Tl-b^''

.4T>能>-0.14/;

l\02

所以石>工，即甲比乙勞累程度弱，故C正確；

對于D,4=公&<4,0<3<1,

4r4

Z.Et-E2=10（7；-b^-Tt-b^''）>0,（。。…>7；"i?途>￡5醞=（4尸"㈤>1，

所以《>7；,即甲比乙勞累程度弱，故D錯誤.

故選：AC

2.（2022?遼寧葫蘆島?二模）已知a+h+-+^-=5,則下列不等式成立的是（）

ab

A.l<a+b<4B.］：+“（\+Q）N4

C-%4>［+"）'D.

【答案】AB

【解析】

【分析】

AB