蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第3章圓錐曲線與方程3-2-2雙曲線的幾何性質(zhì)練習(xí)含答案

3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練題組一根據(jù)雙曲線的標準方程研究其幾何性質(zhì)1.雙曲線4x2+ky2=4k的虛軸長是實軸長的2倍,則實數(shù)k的值是()A.16B.12.(多選題)(2024江蘇宿遷泗陽實驗高級中學(xué)開學(xué)測試)已知雙曲線C:x2A.C的實軸長為2B.若C的兩條漸近線相互垂直,則m=2C.若C的一個焦點為(2,0),則m=2D.若m=2,則C上的點到焦點距離的最小值為23.(多選題)(2024江蘇鹽城聯(lián)盟期中)設(shè)F1,F2分別是雙曲線C:x2m?y2A.m=2B.存在實數(shù)t,使直線y=2x+t與雙曲線的左、右兩支各有一個交點C.C的虛軸長是2D.C的離心率是2題組二由雙曲線的幾何性質(zhì)求其標準方程4.(2024山東臨沂開學(xué)考試)已知雙曲線C:y2A.y2-x2C.y25.(教材習(xí)題改編)已知雙曲線C:x2A.x2C.x26.(2024天津百中期中)與橢圓C:x225+A.x2C.x27.(2024江蘇連云港贛榆期中)已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F(1)求E的方程;(2)設(shè)點P為線段AB的中點,求直線OP的方程.題組三雙曲線的漸近線8.(2023江蘇鎮(zhèn)江句容碧桂園學(xué)校期中)若雙曲線C:x2A.25B.6C.29.(2024河北部分高中期中)已知雙曲線C:x2a2A.2B.1C.110.(2024重慶十一中期中)已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的虛軸的一個端點為D,F1,FA.y=±78C.y=±21411.(多選題)(2023江蘇揚州寶應(yīng)中學(xué)期中)已知雙曲線C過點(3,2),且漸近線方程為y=±33A.雙曲線C的方程為x23-yB.雙曲線C的離心率為3C.曲線y=ex-2-1經(jīng)過雙曲線C的一個焦點D.焦點到漸近線的距離為1題組四雙曲線的離心率12.(2023江蘇南通如東期中)過雙曲線x2A.2B.2C.13.(2024江蘇鹽城一中、大豐中學(xué)聯(lián)考)設(shè)F1,F2是橢圓C1:x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2:x2a22?y2b22=1(aA.(1,2]B.(1,3]C.[14.(2024江蘇南京第九中學(xué)調(diào)研)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2?y2bA.215.(2024河南焦作第一中學(xué)月考)已知雙曲線C:x2(1)若雙曲線C為等軸雙曲線,且過點P(2,3),求雙曲線C的方程;(2)經(jīng)過原點O且傾斜角為45°的直線l與C的右支交于點M,△OMF是以線段OF為底邊的等腰三角形,求雙曲線C的離心率.能力提升練題組雙曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用1.(2023江蘇淮安漣水第一中學(xué)月考)若雙曲線C:y2a2?xA.8B.10C.12D.162.(2023江蘇連云港灌云期中)已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為x-2y=0,左焦點在直線x+y+5=0上,A,B分別是左、右頂點,點P為右支上位于第一象限的動點,直線PA,PB的斜率分別為kA.[2,+∞)B.(2,+∞)C.(2,+∞)D.(1,+∞)3.(2024江蘇蘇州調(diào)研)已知雙曲線C:x2a2A.24.(2023吉林長春實驗中學(xué)期中)已知F1,F2是橢圓與雙曲線的公共焦點,P是它們的一個公共點,且PF1>PF2,線段PF1的垂直平分線過F2,若橢圓的離心率為e1,雙曲線的離心率為e2,則2eA.65.(2024四川部分學(xué)校聯(lián)考)已知F1,F2分別是雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線分別交雙曲線左、右兩支于A,B兩點,點C在x軸上,A.y=±63C.y=±626.(2024江蘇南京六校聯(lián)考)已知圓C1:x2+y2=b2(b>0)與雙曲線C2:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0),在C2上存在一點P,過點P作圓CA.1,52B.52,+∞C.(1,7.(多選題)(2024江西九江第一中學(xué)期中)過雙曲線C:x2A.存在四條直線l,使AB=6B.存在直線l,使弦AB的中點為(4,1)C.與該雙曲線有相同漸近線且過點(8,10)的雙曲線的標準方程為y2D.若A,B都在該雙曲線的右支上,則直線l斜率的取值范圍是-∞,-8.(多選題)(2024重慶十一中期中)隨著我國航天科技的快速發(fā)展,雙曲線鏡的特性使得它在天文觀測中具有重要的作用,雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是:從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線,經(jīng)雙曲線反射后,反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個焦點.由此可得,過雙曲線上任意一點的切線平分該點與兩焦點連線的夾角.已知F1,F2分別為雙曲線C:x24-y2=1的左、右焦點,過C右支上一點A(x0,y0)(x0>2)作直線l交x軸于MA.C的漸近線方程為y=±12B.過點F1作F1H⊥AM于H,則OH=2C.點N的坐標為0,D.四邊形AF1NF2的面積的最小值為259.(2023江蘇南京第十三中學(xué)調(diào)研)已知雙曲線C:x2-2y2=1的左、右頂點分別為A,B,點P(x,y)是雙曲線C在第一象限內(nèi)的點,則yx-1+10.(2024遼寧朝陽聯(lián)考)設(shè)雙曲線C:x2a2?y(1)若b<22(2)若∠AOB恒為銳角,求C的實軸長的取值范圍.11.(2023湖南長沙期中聯(lián)考)已知橢圓C1:x24+y2=1與雙曲線C2:x2a2?y(1)求雙曲線C2的標準方程;(2)若曲線C1與C2在第一象限內(nèi)的交點為P,求證:∠F1PF2=90°;(3)過右焦點F2的直線l與雙曲線C2的右支交于A,B兩點,與橢圓C1交于C,D兩點,記△AOB,△COD的面積分別為S1,S2,求S1

答案與分層梯度式解析3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)練1.C雙曲線方程可化為x2k+y24=1,易知k<0,所以雙曲線的焦點在y軸上,且a2=4,b2=-k,所以2a=4,2b=2-2.BC由題意知a=2,則實軸長為2a=22,A錯誤;漸近線方程為y=±m(xù)2x,若兩條漸近線相互垂直,則-m2=-1,∴m=2,B由(2,0)為焦點,知c=2,則2+m=c2=4,得m=2,C正確;若m=2,則雙曲線C:x22?故選BC.3.AD由于雙曲線的焦點在x軸上,所以m>0,由于F1F2=4,所以2c=4,c=2,則m+m=c2=4,故m=2,A正確;由m=2得雙曲線的方程為x22?y22=1,則a=b=2,所以虛軸長為22易得漸近線的方程為y=±x,斜率為±1,由于直線y=2x+t的斜率為2>1,所以不存在實數(shù)t,使直線y=2x+t與雙曲線的左、右兩支各有一個交點,B錯誤.故選AD.4.C由題意知雙曲線的焦點在y軸上,2a=4,-ab=-2,即a=2,b=1,故C的標準方程為y24-x2=1.5.B因為雙曲線C的漸近線方程為x±2y=0,所以可設(shè)C的方程為x2-4y2=λ(λ≠0),把點(4,1)代入得λ=42-4×1=12,所以C的方程為x2-4y2=12,即x212?y方法技巧若題目中已知雙曲線的漸近線方程為Ax±By=0,求雙曲線的標準方程時,標準方程可設(shè)為A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0),再代入某點坐標求解.6.C解法一:易得橢圓C中c=3,記F1(-3,0),F2(3,0),所以|PF1-PF2|=|25+2?所以a=3,所以b=c2-a2=6解法二:由題意可設(shè)雙曲線的標準方程為x225-把點P(2,2)代入,得425-∴雙曲線的標準方程為x2方法技巧與橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)有共同焦點的雙曲線方程可設(shè)為7.解析(1)因為|AF2-AF1|=4,所以2a=4,即a=2.因為斜率為2的直線l與E的一條漸近線垂直,所以-ba所以E的方程為x24-y(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則Px1+x22又點A,B在雙曲線E上,所以x兩式相減得(x兩邊同時除以(x2-x1)(x2+x1),并整理得kOP·kAB=b2又kAB=2,a=2,b=1,所以kOP=18,所以直線OP的方程為y=18.C由題意得雙曲線的這條漸近線方程為2x-ay=0,由兩直線垂直得2×3-2a=0,解得a=3,∴c2=a2+b2=13,∴雙曲線的焦點坐標為(13,0),(?13,0),易知虛軸的一個頂點坐標為(0,2),∴S=12×29.B由題意得漸近線l的方程為y=bax,即bx-ay=0,點F(c,0),則FA=|因為FB=BA,所以B為線段AF的中點,則BF=設(shè)雙曲線C的左焦點為F1,則BF1=2a+b2在△BFF1中,cos∠BFF1=BF又AF⊥OA,所以cos∠BFF1=AFOF=bc10.D由題意知虛軸的端點為(0,±b),不妨取D(0,b),A在x軸上方,聯(lián)立x=2a,所以△ABD重心的坐標為2a+2a易得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=c2,因為△ABD的重心在以F1F2為直徑的圓上,所以43a2+b29=c2=a2+b2,所以11.ACD設(shè)雙曲線C的方程為Ax2+By2=1(AB<0),將點(3,2)代入可得9A+2B=1①,因為漸近線方程為y=±33x,所以±-AB=±由①②解得A=13,B=-1,故雙曲線的方程為x23-y2=1,由A可知a=3,b=1,c=2,所以離心率e=ca雙曲線的焦點坐標為(±2,0),其中(2,0)在雙曲線y=ex-2-1上,C正確.焦點(2,0)到漸近線3x±3y=0的距離為|23|3+9=1,D正確.12.B雙曲線的漸近線方程為y=±ba不妨取A(a,-b),B(a,b),左焦點為F1(-c,0),∵△ABF1為正三角形,∴a+cb=3,即(a+c)213.B不妨設(shè)F1(-c,0),F2(c,0),由橢圓及雙曲線的定義得M在△MF1F2中,由余弦定理得4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos60°=a1兩邊同時除以c2得1e因為e1∈33,1,所以e12∈13,1,所以1e1故選B.14.A過F2作F2N⊥AB于點N(圖略),設(shè)AF2=BF2=m,則AF1=m-2a,BF1=2a+m,∴AB=BF1-AF1=4a,AN=2a,F1N=m,由題意知∠BF1F2=30°,∴在Rt△F1NF2中,F2N=F1F2sin30°=c,F1N=F1F2cos30°=3c,在Rt△ANF2中,AN2+NF2即(2a)2+c2=(3c)2,即2c2=4a2,∴e=ca=2.15.解析(1)由題意可知a=b,把點P(2,3)代入方程得4a2?3b2=1,解得a(2)解法一:易知△OMF是等腰直角三角形,OF=c,過M作MA⊥x軸于點A,則Ac2設(shè)左焦點F1(-c,0),由雙曲線的定義知MF1-MF=2a,∴2a=3c22解法二:同解法一得Mc2∵點M在C上,∴c24a2?c24b2=1,即∵e>1,∴e=3+5能力提升練1.A易知雙曲線的漸近線方程為y=±a2x,不妨設(shè)直線y=a2x,即ax-2y=0被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長為2,所以圓心(2,0)到直線ax-2y=0的距離為|2a|a2+4=4-1=3,解得a2.D由雙曲線的一條漸近線方程為x-2y=0,得a=2b,在x+y+5=0中,令y=0,得x=-5,故左焦點為(-5,0),則c=5,結(jié)合c2=a2+b2得a=2,b=1,故A(-2,0),B(2,0),設(shè)P(x,y),x>2,y>0,則k1·k2=yx因為P在第一象限內(nèi),所以k1>0,k2>0,則k1+k2≥2k1k2=1,顯然k1≠k2,故等號不成立,即k1+k2>1.3.B由題意得雙曲線的右焦點為F(c,0),漸近線方程為bx±ay=0,∵OB·BF=0,∴OB⊥BF,故F到漸近線的距離為BF=∴OB=OF則tan∠AOB=2ba,tan∠FOB=ba,tan2∠由∠AOB=π-2∠FOB,得tan∠AOB+tan2∠FOB=0,即2ba+則c2a2=a2+b4.C設(shè)橢圓的長軸長為2a1(a1>0),雙曲線的實軸長為2a2(a2>0),由題意可知F1F2=F2P=2c,不妨設(shè)點P在第一象限內(nèi),由橢圓及雙曲線的定義得F1P+F2P=2a1,F1P-F2P=2a2,∴F1P+2c=2a1,F1P-2c=2a2,兩式相減,可得4c=2a1-2a2,即a1-a2=2c,則2e1+e22=2a1c+c25.D因為CB=4F2A,所以△F1AF2在雙曲線中,易知F1F2=2c,則F2C=6c,設(shè)AF1=t,則BF1=4t,AB=3t.由BF2平分∠F1BC及角平分線定理可知BF所以BC=3BF1=12t,所以AF2=14由雙曲線定義知AF2-AF1=2a,即3t-t=2a,解得t=a.由BF1-BF2=2a,得BF2=4t-2a=2t=2a,所以AB=AF2=3a,即△ABF2是等腰三角形.由余弦定理知cos∠F1BF2=BF即16a2+4a2-4c216a2=136.B連接OB,OA,OP,則OA⊥AP,由切線長定理可知PA=PB,易證得△AOP≌△BOP,所以∠APO=∠BPO=12∠APB=π設(shè)P(x,y),且|x|≥a,則y2=b2x2OP=2b=x2所以ba≥1故選B.7.ACD由已知得a=2,b=5,c=3,對于A,雙曲線的通徑為2b2a=5<6,實軸長為2a=4<6,故有四條直線l滿足題意,故對于B,假設(shè)存在滿足題意的直線l,設(shè)其方程為y-1=k(x-4),與x24?y25=1聯(lián)立,得(5-4k2)x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=8k-32k25-4k2,y1+y2=k(x所以8k對于C,設(shè)與該雙曲線有相同漸近線的雙曲線的方程為x24?y把點(8,10)代入得λ=-4,所以該雙曲線的標準方程為y220?x對于D,設(shè)直線l的方程為x=my+3.聯(lián)立x24-y2設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),則yA+yB=-30m若A、B都在該雙曲線的右支上,則yAyB=255即5m2-4<0,解得1m>52或1m<?解后反思求解本題要熟記兩個結(jié)論:一是雙曲線的通徑,即過雙曲線的焦點作垂直于實軸的直線,該直線被雙曲線截得的弦叫通徑,其長為2b2a,它是過雙曲線焦點的弦中最短的一條;二是與雙曲線x2a28.ABD對于A,由已知可得a=2,b=1,所以雙曲線的漸近線方程為y=±12x,故A正確對于B,易得kAM=y0所以直線AM的方程為y=x0聯(lián)立y=x04y0x-1由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知AM平分∠F1AF2,延長F1H與AF2交于點E(圖略),則AH垂直平分F1E,即H為F1E的中點.又O是F1F2的中點,所以O(shè)H=12F2E=12(AE?AF2對于C,設(shè)N(0,yN),則y0整理可得-x02yN+4yN=4y又x024?y02=1,所以x02=4+4y02,所以-(4+4y對于D,S四邊形當(dāng)且僅當(dāng)|y0|=1|y0所以四邊形AF1NF2的面積的最小值為25,故D正確.故選ABD.9.答案(2,+∞)解析由雙曲線方程可知A(-1,0),B(1,0),則kPB=yx∵點P(x,y)在雙曲線上,∴x2-2y2=1,∴kPA·kPB=y2x2-1=令kPA=m,則kPB=12則yx-1+yx+1=12∵雙曲線漸近線的斜率為±22,∴m≠2∴yx-1+10.解析