蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第4章數(shù)列4-2-3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第2課時 練習(xí)含答案

第2課時等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及綜合應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練題組一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.(2024甘肅武威四校聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若SnTnA.2B.52.(2023四川雅安中學(xué)月考)一個等差數(shù)列共有2n項(xiàng),奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和分別為24和30,且末項(xiàng)比首項(xiàng)大10.5,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是()A.4B.8C.12D.203.(2024江蘇淮安五校聯(lián)盟學(xué)情調(diào)查)已知{an}和{bn}均為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,且SnTnA.6B.7C.8D.94.(2024江蘇鹽城伍佑中學(xué)期末)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前4m項(xiàng)和為.

5.(2024福建寧德第一中學(xué)開學(xué)檢測)已知等差數(shù)列{an},{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,且滿足SnTn=n題組二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性6.(2024江蘇蘇州張家港沙洲中學(xué)開學(xué)檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1>0,S20>0,S21<0,則當(dāng)Sn最大時,n=()A.20B.19C.10D.117.(多選題)(2023江蘇宿遷實(shí)驗(yàn)學(xué)校期中)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1>0,公差d<0,則()A.{an}是遞減數(shù)列B.{an}是遞增數(shù)列C.Sn有最大值D.Sn有最小值8.(多選題)(2024河北師大附中月考)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a4+2a8=a6,則下列結(jié)論正確的是()A.a7=0B.S7最大C.S5=S9D.S13=09.(多選題)(2023江蘇南京建鄴高級中學(xué)開學(xué)考試)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1>0,公差d≠0,則下列說法正確的是()A.若S5>S9,則S14>0B.若S5=S9,則S7是{Sn}中最大的項(xiàng)C.若S6>S7,則S7>S8D.若S6>S7,則S5>S610.(2024江蘇南通如皋調(diào)研)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,?n∈N*,點(diǎn)(n,an)都在直線2x-y-22=0上.(1)求Sn;(2)求Sn的最小值及此時n的值.題組三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用11.(2024江蘇鹽城響水中學(xué)期中)《算法統(tǒng)宗》中有一道“八子分棉”的題:“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言.”題意是把996斤棉分給8個子女做盤纏.按照年齡從大到小的順序依次分棉,年齡小的比年齡大的多分17斤棉,則年齡最小的孩子分到的棉有()A.65斤B.82斤C.184斤D.201斤12.(2023江蘇連云港期末)風(fēng)雨橋是侗族最具特色的民間建筑之一.風(fēng)雨橋由橋、塔、亭組成,其中亭、塔的俯視圖通常是正方形、正六邊形或正八邊形.下圖是某風(fēng)雨橋亭的大致俯視圖,其中正六邊形的邊長的計(jì)算方法如下:A1B1=A0B0-B0B1,A2B2=A1B1-B1B2,……,AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn,其中B3B4=B2B3=B1B2=B0B1,n∈N*.已知該風(fēng)雨橋亭共5層,若A0B0=8m,B0B1=0.5m,則圖中的五個正六邊形的周長總和為()A.120mB.210mC.130mD.310m題組四與等差數(shù)列有關(guān)的數(shù)列求和13.(2023河南駐馬店高級中學(xué)模擬)已知函數(shù)f(x)=x+3sinx-12+12,數(shù)列{an}滿足an=n2023A.2022B.2023C.4044D.404614.(2024天津河?xùn)|期中)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,已知a5=11,S10=120,bn=1anan+1A.9B.8C.7D.615.(2023陜西榆林期末)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=3,Sn+1+Sn=(n+1)an+1.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=1anan+1能力提升練題組一等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1.(2022山東聊城期末)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S4S8A.52.(多選題)(2024江蘇泰州靖江高級中學(xué)期中)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,則()A.S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列B.S3C.S9=2S6-S3D.S9=3(S6-S3)3.已知等差數(shù)列{an}的前m(m為奇數(shù))項(xiàng)的和為135,其中偶數(shù)項(xiàng)之和為63,且am-a1=14,則a100=.

題組二等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)特性4.(2023廣東五校期末)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a2+3a8<0,a6·a7<0,且Sn有最大值,則當(dāng)Sn取得最小正值時,n=()A.11B.12C.7D.65.(2023江蘇鎮(zhèn)江第一中學(xué)質(zhì)檢)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足4Sn=an2+2an-3,則A.1B.546.(2024江蘇南通如皋月考)已知數(shù)列{an}滿足a1+2a2+…+2n-1an=n·2n,記數(shù)列{an-tn}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn≤S10對任意的n∈N*恒成立,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()A.127.(多選題)(2024江蘇蘇州張家港開學(xué)檢測)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且當(dāng)n=7時,Sn取得最大值.記數(shù)列Snn的前k項(xiàng)和為TA.若S6=S8,則當(dāng)且僅當(dāng)k=13時,Tk取得最大值B.若S6<S8,則當(dāng)且僅當(dāng)k=14時,Tk取得最大值C.若S6>S8,則當(dāng)且僅當(dāng)k=15時,Tk取得最大值D.若?m∈N*,Sm=0,則當(dāng)k=13或k=14時,Tk取得最大值8.(多選題)(2024山東德州聯(lián)考)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差為d,a1>0,a6+a7>0,a6·a7<0,則下列結(jié)論正確的是()A.d<0B.當(dāng)Sn>0時,n的最大值為13C.數(shù)列Snn為等差數(shù)列,且和數(shù)列{aD.當(dāng)n=12時,數(shù)列Sn題組三等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用9.(多選題)(2024江蘇南通期中)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述:今有良馬與駑馬發(fā)長安至齊,齊去長安一千一百二十五里,良馬初日行一百零三里,日增十三里;駑馬初日行九十七里,日減半里;良馬先至齊,復(fù)還迎駑馬,二馬相逢.則()A.駑馬第七日行九十四里B.第七日良馬先至齊C.第八日兩馬相逢D.兩馬相逢時良馬行一千三百九十五里10.(2024江蘇鹽城阜寧中學(xué)期中)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2=3,且(n+1)·Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,若存在n∈N*,使得2Sn+22≤kan成立,則實(shí)數(shù)k的最小值為()A.45+1B.8C.11.(2023廣東茂名一模)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,an>0,an2+2an=4S(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=1anan+1,Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn,并證明:1812.(2023福建三明一中月考)已知函數(shù)f(x)=12x2+12x,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(n,S(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若函數(shù)g(x)=4x4x+2,令bn=gan2025(n∈N13.(2024江蘇啟東期中)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1n+1?(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(-1)n-14nanan答案與分層梯度式解析第2課時等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及綜合應(yīng)用基礎(chǔ)過關(guān)練1.D因?yàn)閧an},{bn}為等差數(shù)列,所以a2b1+2.B設(shè)該等差數(shù)列為{an},其前n項(xiàng)和為Sn,公差為d,由題意得S偶-S奇=nd=6,a2n-a1=(2n-1)d=10.5,解得n=4,∴該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是2n=8.故選B.3.B由于S2n-1=(a1+a2要使anbn為整數(shù),則n+1為24的因數(shù),由于n+1≥2,故n+1可以為2,3,4,6,8,12,24,故滿足條件的正整數(shù)n的個數(shù)為7,4.答案360解析設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn.由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)得30,100-30,S3m-100,S4m-S3m成等差數(shù)列,∴30+5.答案4解析由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可得S9=9a5,即a5=19S9,所以a6.C因?yàn)镾20>0,所以20(a1+a20)2>0,即a1因?yàn)镾21<0,所以21(a1+a21)2<0,即a1因此a10>0,而a11<0,因此{(lán)an}是遞減數(shù)列,當(dāng)n=10時,Sn最大,故選C.7.AC因?yàn)閐<0,所以an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)是關(guān)于n的單調(diào)遞減函數(shù),故數(shù)列{an}是遞減數(shù)列,A正確,B錯誤;Sn=na1+n(n-1)2d=d2n28.AD設(shè){an}的公差為d.因?yàn)閍4+2a8=a6,所以a1+3d+2(a1+7d)=a1+5d,得a1+6d=0,即a7=0,A正確;當(dāng)a1<0時,d>0,則S6或S7最小,B錯誤;因?yàn)閍1+6d=0,所以a1=-6d,所以Sn=-6nd+n(其圖象的對稱軸方程為n=132,所以S5=S8S13=13a7=0,D正確.故選AD.9.BC對于A,因?yàn)镾5>S9,所以a6+a7+a8+a9<0,即2(a7+a8)=2(a1+a14)<0,所以a1+a14<0,又S14=14(a1+對于B,由S5=S9,得5a1+10d=9a1+36d,得d=-213a1因?yàn)閍1>0,a7=a1+6d=a1所以S7是{Sn}中最大的項(xiàng),故B正確;對于C,因?yàn)镾6>S7,所以S7-S6=a7<0,又a1>0,所以d<0,所以a8<a7<0,所以S7>S8,故C正確;對于D,因?yàn)镾6>S7,所以S7-S6=a7<0,但不能確定a6是不是負(fù)值,因此不一定有S5>S6,故D錯誤.故選BC.10.解析(1)由點(diǎn)(n,an)在直線2x-y-22=0上,可得2n-an-22=0,所以an=2n-22,所以an+1=2n-20,則an+1-an=2,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以Sn=(a1+(2)由(1)知an=2n-22.令an≥0,解得n≥11且n∈N*,當(dāng)n≤10時,an<0,當(dāng)n=11時,an=0,當(dāng)n≥12時,an>0,所以當(dāng)n=10或n=11時,Sn有最小值,為S10=S11=102-21×10=-110.11.C設(shè)8個子女按年齡從小到大依次分棉a1斤,a2斤,a3斤,…,a8斤,則數(shù)列{an}是公差為-17的等差數(shù)列.因?yàn)槊薜目倲?shù)為996斤,所以8a1+8×72×(-17)=996,解得a1=184.故選C12.B由已知得AnBn=An-1Bn-1-Bn-1Bn(n≤4且n∈N*),B3B4=B2B3=B1B2=B0B1=0.5m,易知題圖中五個正六邊形的邊長(單位:m)構(gòu)成等差數(shù)列,設(shè)為{ak},且a1=8,公差d=-0.5,1≤k≤5,k∈N*.則數(shù)列{ak}(k∈N*,1≤k≤5)的前5項(xiàng)和S5=5a1+12所以題圖中的五個正六邊形的周長總和為6S5=6×35=210m.故選B.13.A∵f(1-x)=1-x+3sin12∴f(x)+f(1-x)=2.∵an+a2023-n=n2023+2023-n2023=1,∴f(an)+f(a2023-n)=2.令S=f(a1則S=f(a2022)+f(a2021)+…+f(a1),兩式相加得2S=2×2022,∴S=2022.故選A.14.B設(shè){an}的公差為d,則a1+4d故bn=1a則Tn=b1+b2+…+bn=1213?15因?yàn)門k=857,所以121315.解析(1)當(dāng)n≥2時,由Sn+1+Sn=(n+1)an+1,得Sn+Sn-1=nan,兩式相減得an+1+an=(n+1)an+1-nan,即an利用累乘法可得a1·a2a1·a當(dāng)n=1時,a1=3滿足上式,所以{an}的通項(xiàng)公式為an=3n.(2)由(1)可知an=3n,所以bn=13則Tn=19能力提升練1.A由題意得S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列,因?yàn)镾4S8=25,所以S4S8則數(shù)列S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12是以S4為首項(xiàng),12S4則S12-S8=2S4,S16-S12=52S4,所以S8=52S4,S16=7S4,所以S8S2.ABD設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則S9=9a1+36d,S6=6a1+15d,S3=3a1+3d.對于A,由于S3=3a1+3d,S6-S3=3a1+12d,S9-S6=3a1+21d,所以2(3a1+12d)=3a1+3d+3a1+21d,所以S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列,A正確;對于B,由于S33=a1+d,S66=a所以S33,S對于C,易得2S6-S3=2(6a1+15d)-(3a1+3d)=9a1+27d,只有當(dāng)d=0時,才有S9=2S6-S3,C錯誤;對于D,3(S6-S3)=3[(6a1+15d)-(3a1+3d)]=9a1+36d=S9,D正確.故選ABD.3.答案101解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項(xiàng)和為Sn,由題意可知Sm=135,前m項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)之和S偶=63,∴奇數(shù)項(xiàng)之和S奇=135-63=72,∴S奇-S偶=a1+(m又∵am-a1=14,∴a1=2,am=16,∵Sm=m(a1∴d=am∴a100=a1+99d=101.4.A設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則a2+3a8=4a1+22d=2(a6+a7)<0,∵a6·a7<0,且{an}的前n項(xiàng)和有最大值,∴{an}是遞減數(shù)列,∴a6>0,a7<0,∴S11=11(a1+S12=12(a1+a12故Sn取得最小正值時,n的值為11.故選A.5.B因?yàn)?Sn=an2+2an-3,所以當(dāng)n≥2時,4Sn-1=an-12+2an-1-3,兩式相減得4an=an2?an-12+2an-2an-1,整理得2(a因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列,所以an+an-1>0,則an-an-1=2,故數(shù)列{an}為等差數(shù)列,公差為2.當(dāng)n=1時,4S1=4a1=a12+2a1-3,解得a1=3或a1=-1(舍去),所以an=2n+1,Sn=3n+n(則Sn令t=n+1,t≥2,則n+12+所以當(dāng)t=2,即n=1時,Sn+2an+1取得最小值,最小值為6.Aa1+2a2+…+2n-1an=n·2n①,當(dāng)n=1時,a1=2,當(dāng)n≥2時,a1+2a2+…+2n-2an-1=(n-1)·2n-1②,①-②,化簡得an=n+1(n≥2),a1=2也符合上式,所以an=n+1,令bn=an-tn=n+1-tn=(1-t)n+1,則bn+1-bn=(1-t)(n+1)+1-[(1-t)n+1]=1-t,為常數(shù),所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,首項(xiàng)b1=2-t,所以Sn=2-t+(1-t)n+12×n=1-由于Sn≤S10對任意的n∈N*恒成立,所以1-t2<0,9.5≤-3-t2-2t7.BD因?yàn)楫?dāng)n=7時,Sn有最大值,所以{an}為遞減數(shù)列,且當(dāng)n≤7時,an>0,當(dāng)n≥8時,an<0.對于A,設(shè)Sn=an2+bn(a<0),因?yàn)镾6=S8,所以b=-14a,所以Sn=an2-14an(a<0),則Snn=an-14a=a(n-14),當(dāng)n≤13時,Snn>0;當(dāng)n=14時,Sn所以當(dāng)k=13或k=14時,Tk取得最大值,A錯誤.對于B,由S6<S8,得S8-S6=a7+a8>0,則S14=14(a1+a14)2=7(a對于C,若S6>S8,則S8-S6=a7+a8<0,所以S14=14(a1+a14對于D,易得Sm=m(a1+am)2=0,所以a1+am=a7+a8=0,S13=13(a1+a138.AD對于A,若d>0,則{an}為遞增數(shù)列,所以a7>a6>a1>0,與a6·a7<0矛盾,若d=0,則{an}為常數(shù)列,a7=a6=a1>0,與a6·a7<0矛盾,若d<0,則{an}為遞減數(shù)列,則a1>a6>a7,由a6+a7>0,a對于B,由A可知a6>0,a7<0,則S12=12(a1+所以當(dāng)Sn>0時,n的最大值為12,B錯誤;對于C,Sn=na1+n(n-1)d2所以數(shù)列Snn為等差數(shù)列,且其首項(xiàng)為a1,公差為對于D,由a6>0得a1+5d>0,由a7<0得a1+6d<0,由a6+a7>0得2a1+11d>0,即a1+112令bn=Snn,b且b11=a1+5d>0,b12=a1+11d2>0,b13=a所以當(dāng)n=12時,Snn的前n項(xiàng)和最大,D正確.故選9.AD由題意可知,兩馬日行里數(shù)都成等差數(shù)列,記數(shù)列{an}為良馬的日行里數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,a1=103,公差d1=13,所以an=13n+90,n∈N*.記數(shù)列{bn}為駑馬的日行里數(shù),b1=97,公差d2=-0.5,所以bn=-0.5n+97.5,n∈N*.駑馬第七日所行里數(shù)為b7=-0.5×7+97.5=94,A正確;前七日良馬所行總里數(shù)為S7=72(a1+a7設(shè)第m日兩馬相逢,由題意可知兩馬所行的總里數(shù)是齊和長安之間距離的兩倍,即103m+m(由C可知,第九日兩馬相逢,此時良馬所行總里數(shù)為S9=92(a1+a9)=1395,D正確.故選AD10.D由(n+1)Sn+1=(n+1)Sn+(n+2)an,得(n+1)Sn+1-(n+1)Sn=(n+1)an+1=(n+2)an,則an+1n+2=又a2=3,∴ann+1又a1=2,an+1-an=n+2-(n+1)=1,∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,∴Sn=n(2+∵2Sn+22≤kan,∴n(n+3)+22≤k(n+1),即k≥n(令n+1=t(t≥2,t∈N*),則k≥(t-1)(t+2)+22t=t2+可知當(dāng)t∈[2,25)且t∈N*時,g(t)單調(diào)遞減;當(dāng)t∈(25,+∞