湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第3章圓錐曲線與方程檢測(cè)卷含答案

第3章圓錐曲線與方程(滿分150分,考試用時(shí)120分鐘)一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.拋物線y=-12x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.0,18 B.-18,0 2.方程(2x+3y-1)x-3=0所表示的曲線是A.一條直線和一條射線 B.兩條射線C.兩條線段 D.兩條直線3.過(guò)拋物線C:y2=6x的焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被雙曲線E:x2a2-y2=1(a>0)所截得的線段的長(zhǎng)度為22,則雙曲線A.2 B.5+12 C.724.若F1,F2是雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x216+y225=1的共同焦點(diǎn),點(diǎn)P是兩曲線的一個(gè)交點(diǎn),A.y=±22x B.y=±24x C.y=±73x D.y=±5.已知直線x-2y-3=0過(guò)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F,且交橢圓于A,B兩點(diǎn).若線段AB的中點(diǎn)為P,A.x245+y236=1 B.xC.x227+y218=1 D.6.如圖,在底面半徑和高均為22的圓錐中,AB、CD是底面圓的兩條互相垂直的直徑,E是母線PB的中點(diǎn),已知過(guò)CD與點(diǎn)E的平面與圓錐側(cè)面的交線是以E為頂點(diǎn)的拋物線的一部分,則該拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離等于()A.5 B.1 C.104 D.7.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,B是橢圓C的上頂點(diǎn),直線x=13c與直線BF2交于點(diǎn)A,若∠AF1F2A.55 B.33 C.228.設(shè)F1,F2分別為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),圓F1與雙曲線的漸近線相切,過(guò)F2且與圓F1A.815 B.3 C.43二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.已知方程x24-t+y2tA.當(dāng)1<t<4時(shí),曲線C是橢圓B.當(dāng)t>4或t<1時(shí),曲線C是雙曲線C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則1<t<5D.若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則t>410.如圖,記橢圓C1:x225+y29=1,C2:y225+x29=1內(nèi)部重疊區(qū)域(陰影部分)A.P到(-4,0),(4,0),(0,-4),(0,4)四點(diǎn)的距離之和必為定值B.曲線C關(guān)于直線y=x,y=-x均對(duì)稱(chēng)C.曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36D.曲線C的總長(zhǎng)度必大于6π11.已知拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過(guò)F的直線與E交于A,B兩點(diǎn),C,D分別為A,B在l上的投影,且|AF|=3|BF|,M為AB的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是()A.∠CFD=90°B.△CMD為等腰直角三角形C.直線AB的斜率為±3D.△AOB的面積為412.已知l1,l2是雙曲線T:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的兩條漸近線,直線l經(jīng)過(guò)T的右焦點(diǎn)F,且l∥l1,l交T于點(diǎn)M,交l2于點(diǎn)Q,A.△FOQ與△OQN的面積相等B.若T的焦距為4,則點(diǎn)M到兩條漸近線的距離之積的最大值為1C.若FM=MQ,則T的漸近線方程為y=±xD.若|FM||FQ|∈12,三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.若雙曲線y2-x2b2=1(b>0)的漸近線方程為y=±33x,則焦點(diǎn)到漸近線的距離是14.已知點(diǎn)F1,F2分別為橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)A為C的左頂點(diǎn),C上的點(diǎn)與點(diǎn)F2之間的最小距離為2.過(guò)原點(diǎn)O的直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線QF1交AP于點(diǎn)B,且15.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且與x軸垂直的直線與雙曲線C和C的一條漸近線分別相交于P,Q兩點(diǎn)(P,Q在同一象限內(nèi)),若P為線段QF的中點(diǎn),且|PF|=316.已知拋物線y2=2px(p>0)上三點(diǎn)A(2,2),B,C,直線AB,AC是圓(x-2)2+y2=1的兩條切線,則直線BC的方程為.

四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)求滿足下列條件的曲線的方程:(1)離心率為34,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)與橢圓x224+y240=1有相同焦點(diǎn),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,18.(12分)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過(guò)F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點(diǎn),交C2于C,D(1)求C1的離心率;(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn),若|MF|=5,求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.19.(12分)某團(tuán)隊(duì)在O點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處分別設(shè)有A,B兩站點(diǎn),測(cè)量距離時(shí)發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)P滿足|PA|-|PB|=20千米,且以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),東側(cè)為x軸正半軸,北側(cè)為y軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P在點(diǎn)O的北偏東60°方向上.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)該團(tuán)隊(duì)又在O點(diǎn)南側(cè)、北側(cè)15千米處分別設(shè)有C,D兩站點(diǎn),測(cè)量距離時(shí)發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)Q滿足|QA|-|QB|=30千米,|QC|-|QD|=10千米,求|OQ|(精確到1米)和Q點(diǎn)的位置(精確到1°).20.(12分)過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F且傾斜角為π3的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線于點(diǎn)C,且|AF|=|FC|,|BC|=2,O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)求拋物線C的方程;(2)直線l交拋物線C于D,E兩點(diǎn),且D,E兩點(diǎn)位于x軸兩側(cè),直線l與x軸交于點(diǎn)M,若OD·OE=4,求S△DFO+S△DOE的最小值.21.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為13,右焦點(diǎn)為(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F的直線l(不與x軸重合)交橢圓C于點(diǎn)M,N,直線MA、NA分別與直線x=9交于點(diǎn)P,Q,記線段PQ的中點(diǎn)為G,求證:|FG|=1222.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)直線l:y=2x+m,判斷直線l和橢圓C的位置關(guān)系;(3)設(shè)直線l':y=kx+t(t≠0)與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),若以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAPB的頂點(diǎn)P在橢圓C上,求證:平行四邊形OAPB的面積為定值.答案與解析1.D由y=-12x2得x2=-2y,則2p=2,即p=1,所以p2=12.因?yàn)閽佄锞€x2=-2y的焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,-2.A由(2x+3y-1)x-3=0可得2x+3y-1=0或x-3=0.當(dāng)2x+3y-1=0時(shí),x-3≥0,此時(shí)曲線為射線;當(dāng)x-3=0,即x=3時(shí),(2x+3y-1)·x-3=0恒成立,此時(shí)曲線為直線.3.D拋物線C的焦點(diǎn)為32,0.對(duì)于方程x2a2-y2=1(a>0),令x=32,可得y=±94a2-1,所以294a2-1=22,所以a=32,又4.B橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3),所以在雙曲線y2a2-x2b2=1(a>0,b>0)中,有a2+b2=9.設(shè)點(diǎn)P在第一象限,F1為上焦點(diǎn),則|PF2|=|F1F2|=6,|PF1|=10-|PF2|=4,所以在雙曲線中,2a=|PF2|-|PF1|=6-4=2,所以a=1,代入a2+b2=9,得b=22(負(fù)值舍去),所以雙曲線的漸近線方程為y=±ab5.D設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),則x12a2+y12b2=1①,x22a2+y22b2=1②,①-②得x12-x22a2+y12-y22b2=0,整理可得y1-y2x1-x2·y0x0=-b26.A如圖1所示,過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB,垂足為H,設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn),連接PF.因?yàn)镋是母線PB的中點(diǎn),圓錐的底面半徑和高均為22,所以|OH|=|EH|=2,所以|OE|=2.在平面CED內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系,如圖2所示.設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,22),代入拋物線方程可得8=2p·2,所以p=2,所以F(1,0),即|EF|=1.易得|PB|=4,所以|PE|=2,所以∠PEO=90°,所以拋物線的焦點(diǎn)到圓錐頂點(diǎn)P的距離為|PE|2+|EF圖1圖27.A如圖,由題意知B(0,b),F2(c,0),所以直線BF2的方程為xc+y聯(lián)立x=13c,xc+yb=1,解得x=13c,y=23b,即A13c,23b.設(shè)直線x=13c與x軸交于點(diǎn)M,則|F1M|=43c,|MA|=23b.因?yàn)椤螦F1F2=π48.C如圖所示,漸近線l的方程為y=-ba即bx+ay=0,點(diǎn)F1(-c,0)到l的距離為|AF1|=|-bc|b2+a2=b,所以|OA|=|OF1|2-|設(shè)BF2與l的交點(diǎn)為C,因?yàn)锽F2與圓F1相切,且BF2⊥l,所以C為BF2的中點(diǎn),易得|OC|=b2,則cos∠COF2=|OC||OF2|=b2c,又cos∠AOF1=cos∠COF2,所以ac=b2c,9.BC當(dāng)曲線C是橢圓時(shí),4-t>0,t-1>0,4-t≠t-1,解得1<t<52或52<t<4,故A錯(cuò)誤;當(dāng)曲線C是雙曲線時(shí),(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,故B正確;若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則4-t>0,t-1>0,4-t>t-1,解得1<t<52,10.BCD設(shè)F1,F2分別是橢圓C1的左、右焦點(diǎn),F3,F4分別是橢圓C2的上、下焦點(diǎn),則F1(-4,0),F2(4,0),F3(0,4),F4(0,-4),當(dāng)|PF1|+|PF2|=10時(shí),|PF3|+|PF4|不是定值,A錯(cuò)誤;用(y,x)替換橢圓方程x225+y29=1中的(x,y)得y225+x29=1,反之亦然,因此兩個(gè)橢圓關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng),同理,它們也關(guān)于直線y=-x對(duì)稱(chēng),因此曲線C關(guān)于直線y=x,y=-x對(duì)稱(chēng),B正確;由橢圓方程知,曲線C在直線x=±3,y=±3圍成的正方形內(nèi)部,而正方形的面積為(2b)2=36,故曲線C所圍區(qū)域的面積必小于36,C正確;由橢圓的性質(zhì)可知,曲線C上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值為3,曲線C在以原點(diǎn)O為圓心,3為半徑的圓的外部,而圓的周長(zhǎng)為2π×3=6π,11.AC如圖,過(guò)點(diǎn)M向準(zhǔn)線l作垂線,垂足為N,易知F(1,0),設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).易知|AF|=|AC|,所以∠AFC=∠ACF,又因?yàn)椤螼FC=∠ACF,所以∠OFC=∠AFC,所以FC平分∠OFA,同理,FD平分∠OFB,所以∠CFD=90°,故A正確;假設(shè)△CMD為等腰直角三角形,則12因?yàn)閨AF|=3|BF|,所以|AB|=|AF|+|BF|=|AC|+|BD|=2|MN|=4|BF|,所以|MN|=2|BF|,所以|CD|=2|MN|=4|BF|,所以|CD|=|AB|,顯然不成立,故B錯(cuò)誤;設(shè)直線AB的方程為x=my+1,聯(lián)立y2=4x,x=my+1,可得y2-4my-4=0,所以y1+所以m2=13,所以1m=±3,所以直線AB的斜率為±3,故C不妨設(shè)m=33,則y1+y2=433,y1y2=-4,所以|y1-y2|=4332+16=833,所以S△AOB=12.AC由題可知,F(c,0),不妨記l1:y=bax,l2:y=-bax.由l∥l1可得l的方程為y=ba(x-c),與l2的方程聯(lián)立可解得xQ=c2,yQ=-bc2a,即點(diǎn)Qc2,-bc2a.對(duì)于y=ba(x-c),令x=0,可得y=-bca,即點(diǎn)N0,-bca,所以S△FOQ=12×c×bc2a=bc24a,S△OQN=12×c2×bca=bc24a,所以S△FOQ=S△OQN,A正確;設(shè)M(x0,y0),則x02a2-y02b2=1,即b2x02-a2y02=a2b2,所以點(diǎn)M到兩條漸近線的距離之積為|bx0-ay0|a2+b2·|bx0+ay0|a2+b2=|b2x02-a2y02|a2+b2=a2b2a2+b2,因?yàn)門(mén)的焦距為4,所以c=2,所以a2b2a2+b2=a2b24,因?yàn)?=a2+b2≥2ab,所以ab≤2,所以a2b2≤4,所以a2b2a2+b2=a2b24≤13.答案3;4解析易得a=1,漸近線方程為y=±abx=±1bx=±∴1b=33,即b=3,∴焦點(diǎn)到漸近線的距離d=±c易得c=a2+b2=14.答案x29+解析如圖,連接OB,AQ,因?yàn)镺,B分別為PQ,PA的中點(diǎn),所以O(shè)B是△PAQ的中位線,所以O(shè)B∥AQ,所以△OF1B∽△AF1Q,所以|OB||AQ|=|OF1||AF1|=12,即ca-c=12,所以a=3c.因?yàn)镃上的點(diǎn)與點(diǎn)F215.答案x23-y解析由雙曲線方程可得F(c,0),一條漸近線的方程為y=bax.由|PF|=33,可得Pc,33.由P為線段QF的中點(diǎn)可得Qc,233.將Q的坐標(biāo)代入漸近線的方程,得233=bca,整理得43=(c2-a2)c2a2,即4a2=3c4-3a2c2①.因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線上,所以c2a2-13b2=1,所以由①②可得3c4-7a2c2+4a4=0,因?yàn)閏>a,所以c2=43a2③由②③解得c2=4,a2=3,故b2=1,所以雙曲線的方程為x23-y16.答案3x+6y+4=0解析由A(2,2)在拋物線y2=2px(p>0)上,得22=2p×2,解得p=1,故拋物線方程為y2=2x.易知過(guò)點(diǎn)A(2,2)且與圓(x-2)2+y2=1相切的直線的斜率存在,設(shè)其方程為y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,則圓心(2,0)到切線的距離d=|2k-0+2-2k|k2+1=1,解得k=±3.不妨設(shè)直線聯(lián)立y-2=3(x-2),y2=2x,得3x2+(43-14)x+16-83=0,故xAxB=16-833,又xA=2,∴xB=8-433,∴yB=23-63.聯(lián)立y-2=-3(x-2),y2=2x,得3x2-(43+14)x+16+83=0,故xAxC=16+833,又xA=2,∴xC=8+433,∴yC=-23-63,∴y17.解析(1)由題意得2a=8,e=ca=34,解得a=4,c=3,則b=a2-c2=若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+綜上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x216+y27=1或y2(2)易知橢圓的焦點(diǎn)為(0,4)和(0,-4),所以雙曲線的焦點(diǎn)為(0,4)和(0,-4).(6分)設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),則a由雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,15),得15a2-1b2=1聯(lián)立①②,解得a2=12,b2=4,故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y18.解析(1)由已知可設(shè)C2的方程為y2=4cx(c>0),其中c=a2不妨設(shè)A,C在第一象限,由題意可得A,B的縱坐標(biāo)分別為b2a,-b2a,C,D的縱坐標(biāo)分別為2c,-2c,故|AB|=由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×ca=2-2ca2,解得ca=-2(舍去)或ca=(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c設(shè)M(x0,y0),則x024又因?yàn)閥02=4cx0,所以x024易知C2的準(zhǔn)線方程為x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,所以x0=5-c,(10分)代入(*)得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y227=1,C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y19.解析(1)易知點(diǎn)P在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上,設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2-y由題意可得a=10,c=20,所以b2=300,所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2100-y2易得直線OP:y=33x,且P在第一象限.聯(lián)立x2100-y2300=1,y=33x(2)由|QA|-|QB|=30可知,點(diǎn)Q在以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上,設(shè)其為C1,標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a12-y2b12=1(a1>0,b1>0),易知a1=15,c1=20,所以b12=175,由|QC|-|QD|=10可知,點(diǎn)Q在以C,D為焦點(diǎn)的雙曲線上,設(shè)其為C2,標(biāo)準(zhǔn)方程為y2a22-x2b22=1(a2>0,b2>0),易知a2=5,c2=15,所以b22=200,兩雙曲線方程聯(lián)立,結(jié)合題意可得Q1440047所以|OQ|≈19米.設(shè)OQ與x軸所成的角為α,則tanα=2975471440047,解得α≈24°,故Q點(diǎn)在O點(diǎn)的北偏東66°方向上20.解析(1)如圖所示,過(guò)點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為A1,過(guò)點(diǎn)B作準(zhǔn)線的垂線,垂足為B1.設(shè)準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)G.易知∠AFx=∠CBB1=π3∴|BB1|=1,∴|BF|=1,(2分)∴|AF|=|CF|=|BC|+|BF|=3,∴|GF|=12|AA1|=12|AF|=32,∴∴拋物線C的方程為y2=3x.(4分)(2)不妨設(shè)D(x1,y1),E(x2,y2)(y1>0,y2<0),lDE:x=my+t.聯(lián)立x=my+t∴y1+y2=3m,y1y2=-3t,(6分)∴OD·OE=x1x2+y1y2=y123·y22∴y1y2=3(舍去)或y1y2=-12,∴-3t=-12,∴t=4,∴M(4,0).(9分)∴S△DFO+S△DOE=12|OF|·y1+12|OM|·(y1-y2)=3y18+2(y1-y2)=19y18-2y2≥2198y1×(-2y2)=2194×12=257,當(dāng)且僅當(dāng)198∴S△DFO+S△DOE的最小值為257.(12分)21.解析(1)由題意得ca=13,a所以橢圓C的方程為x29+y2(2)證明:如圖,設(shè)直線l的方程為x=ty+1,點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立x=ty+1,x