高三寒假數(shù)學練習試卷一

高三寒假數(shù)學練習試卷一一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，集合B={x|1＜2x+1＜4}，則A∩B等于（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，0） C．（0，1） D．（1，）2．函數(shù)f（x）=ln（x2+1）的圖象大致是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)f（x）=（2+x）2﹣3x，則f′（1）為（）A．6 B．0 C．3 D．74．已知sinα=，則cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．5．函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調遞增區(qū)間是（）A．（2，+∞） B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）6．已知a，b，c∈R，且滿足2a＜2b＜2c＜1，則（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減，若f（log2a）+f（loga）＞2f（1），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（，+∞）8．函數(shù)f（x）=ex|lnx|﹣1的零點個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分）.9．若f（a）是函數(shù)f（x）=x+（x＞0）的最小值，則a=．10．已知向量，滿足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，則與的夾角為．11．在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，則AB的值為．12．（幾何證明選講選做題）如圖，半徑為2的⊙O中，∠AOB=90°，D為OB的中點，AD的延長線交⊙O于點E，則線段DE的長為．13．在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，點D在邊AC上，且=λ，λ∈R．若?=2，則λ=．14．函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在區(qū)間（﹣π，）上單調遞增，則ω的取值范圍是．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．15．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=，b=2，△ABC的面積為．（1）求a和c的值；（2）求sin（2B﹣）的值．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．17．已知函數(shù)f（x）=ex﹣kx，x∈R．（Ⅰ）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，2]上單調遞增，求實數(shù)k的取值范圍．18．已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx﹣2的圖象在點（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為9x﹣y+3=0．（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和單調區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）（x∈[0，3]）的值域為A，函數(shù)f（x）（x∈[a，a+]）的值域為B，當B?A時，求實數(shù)a的取值范圍．19．設函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）當x∈[1，e]時，求f（x）的最值；（Ⅲ）證明：f（x）≤2x﹣2．20．已知函數(shù)f（x）=ln（ex+a）+x（a為常數(shù)）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）若m∈R，討論關于x的方程=x2﹣2ex+m根的個數(shù)；（3）若方程=x2﹣2ex+m有兩個根x1，x2（x1≠x2），證明：當m＜2e﹣1時，x1+x2＞2e．參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的．1．已知集合A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}，集合B={x|1＜2x+1＜4}，則A∩B等于（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，0） C．（0，1） D．（1，）【考點】1E：交集及其運算．【分析】根據(jù)題意，解不等式（x﹣1）（x+2）＞0可得集合A，解1＜2x+1＜4可得集合B，進而由交集的定義計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，（x﹣1）（x+2）＞0?x＜﹣2或x＞1，則A={x|（x﹣1）（x+2）＞0}=（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）；1＜2x+1＜4?0＜x＜，則B={x|1＜2x+1＜4}=（0，），則A∩B=（1，）；故選：D．2．函數(shù)f（x）=ln（x2+1）的圖象大致是（）A． B． C． D．【考點】3O：函數(shù)的圖象．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）單調遞增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函數(shù)的圖象應在x軸的上方，在令x取特殊值，選出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）單調遞增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函數(shù)的圖象應在x軸的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴圖象過原點，綜上只有A符合．故選：A3．已知函數(shù)f（x）=（2+x）2﹣3x，則f′（1）為（）A．6 B．0 C．3 D．7【考點】63：導數(shù)的運算．【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式計算可得f′（x）=2x+1，將x=1代入計算即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，f（x）=（2+x）2﹣3x=x2+x+4，其導數(shù)f′（x）=2x+1，則f′（1）=3；故選：C．4．已知sinα=，則cos（π﹣2α）=（）A．﹣ B．﹣ C． D．【考點】GT：二倍角的余弦；GO：運用誘導公式化簡求值．【分析】先根據(jù)誘導公式求得cos（π﹣2a）=﹣cos2a進而根據(jù)二倍角公式把sinα的值代入即可求得答案．【解答】解：∵sina=，∴cos（π﹣2a）=﹣cos2a=﹣（1﹣2sin2a）=﹣．故選B．5．函數(shù)f（x）=（x﹣3）ex的單調遞增區(qū)間是（）A．（2，+∞） B．（0，3） C．（1，4） D．（﹣∞，2）【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】先求出函數(shù)的導數(shù)，令導函數(shù)f′（x）＞0，從而求出其遞增區(qū)間．【解答】解：∵f（x）=（x﹣3）ex的，∴f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得：x＞2，∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（2，+∞），故選：A．6．已知a，b，c∈R，且滿足2a＜2b＜2c＜1，則（）A．log（ab）＜log（bc）＜log（ac）B．log（ab）＜log（ac）＜log（bc）C．log（bc）＜log（ac）＜log（ab）D．log（ac）＜log（ab）＜log（bc）【考點】4M：對數(shù)值大小的比較．【分析】2a＜2b＜2c＜1，可得a＜b＜c＜0．ab＞ac＞bc＞0，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可得出．【解答】解：∵2a＜2b＜2c＜1，∴a＜b＜c＜0．∴ab＞ac＞bc＞0，∴l(xiāng)og（ab）＜log（ac）＜log（bc），故選：B．7．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減，若f（log2a）+f（loga）＞2f（1），則實數(shù)a的取值范圍是（）A．（，2） B．（2，+∞） C．（0，2） D．（，+∞）【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義將所給不等式轉化為不等式f（log2a））＞f（1），再利用偶函數(shù)的單調性列出關于a的不等式，求解即可得到a的取值范圍．【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，則f（log2a）+f（loga）＞2f（1）?2f（log2a）＞2f（1）?f（|log2a|）＞f（1），又由函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調遞減，則f（|log2a|）＞f（1）?|log2a|＜1，解可得＜a＜2；即實數(shù)a的取值范圍是（，2）；故選：A．8．函數(shù)f（x）=ex|lnx|﹣1的零點個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考點】52：函數(shù)零點的判定定理．【分析】由題意，可將函數(shù)f（x）=ex|lnx|﹣1的零點個數(shù)問題轉化為兩個函數(shù)y=e﹣x與y=|lnx|的交點問題，作出兩個函數(shù)的圖象，由圖象選出正確選項【解答】解：由題意，函數(shù)f（x）=ex|lnx|﹣1的零點個數(shù)?兩個函數(shù)y=e﹣x與y=|lnx|的交點個數(shù)，兩個函數(shù)的圖象如圖．由圖知，兩個函數(shù)有2個交點，故函數(shù)f（x）=ex|lnx|﹣1的零點個數(shù)是2，故選：B．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分）.9．若f（a）是函數(shù)f（x）=x+（x＞0）的最小值，則a=．【考點】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=1，當且僅當x=時取等號，∴a=．故答案為：．10．已知向量，滿足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，則與的夾角為．【考點】9S：數(shù)量積表示兩個向量的夾角．【分析】由條件可得求得=1，再由兩個向量的夾角公式求出cosθ=，再由θ的范圍求出θ的值．【解答】解：設與的夾角為θ，∵向量，滿足（+2）?（﹣）=﹣6，且||=1，||=2，∴+﹣2=1+﹣8=﹣6，∴=1．∴cosθ==，再由θ的范圍為[0，π]，可得θ=，故答案為．11．在△ABC中，若，∠C=150°，BC=1，則AB的值為．【考點】HP：正弦定理；GG：同角三角函數(shù)間的基本關系．【分析】由tanA的值及A的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinA的值，再由sinC及BC的值，利用正弦定理即可求出AB的值．【解答】解：∵tanA=，∴cos2A==，又A∈（0，30°），∴sinA=，又sinC=sin150°=，BC=1，根據(jù)正弦定理得：=，則AB===．故答案為：12．（幾何證明選講選做題）如圖，半徑為2的⊙O中，∠AOB=90°，D為OB的中點，AD的延長線交⊙O于點E，則線段DE的長為．【考點】NC：與圓有關的比例線段．【分析】延長BO交⊙O與點C，我們根據(jù)已知中⊙O的半徑為2，∠AOB=90°，D為OB的中點，我們易得，代入相交弦定理，我們即可求出線段DE的長．【解答】解：延長BO交⊙O與點C，由題設知：，又由相交弦定理知AD?DE=BD?DC，得故答案為：13．在三角形ABC中，∠B=，AB=1，BC=2，點D在邊AC上，且=λ，λ∈R．若?=2，則λ=．【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】利用向量的加減法法則及平面向量基本定理把用和表示，然后結合?=2列式求得λ值．【解答】解：如圖，∵=，且∠B=，AB=1，BC=2，∴?=[（1﹣λ）+λ]?=（1﹣λ）+=（1﹣λ）+=1×（1﹣λ）+4λ=2，解得λ=．故答案為：．14．函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）在區(qū)間（﹣π，）上單調遞增，則ω的取值范圍是（0，]．【考點】H2：正弦函數(shù)的圖象；GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用兩角和的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的增區(qū)間求得ω的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=sinωx+cosωx=sin（ωx+）（ω＞0）在區(qū)間（﹣π，）上單調遞增，∴，求得0＜ω≤，故答案為：（0，]．三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫出文字說明、證明過程或演算過程．15．在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A=，b=2，△ABC的面積為．（1）求a和c的值；（2）求sin（2B﹣）的值．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理即可求出，（2）根據(jù)正弦定理和二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關系，以及兩角差的正弦公式即可求出．【解答】解：（1）∵△ABC的面積為，∴，∴c=3由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA∴（2）由正弦定理∴∵a＞b，∴，∴，∴，，∴==．16．已知cosα=，cos（α﹣β）=，且0＜β＜α＜．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．【考點】GI：三角函數(shù)的化簡求值．【分析】（Ⅰ）根據(jù)同角的三角函數(shù)關系和二倍角根據(jù)，求出tanα和tan2α的值；（Ⅱ）由同角的三角函數(shù)關系和三角恒等變換，即可求出cosβ的值．【解答】解：（Ⅰ）由cosα=，0＜α＜，得sinα===；…∴tanα==×=4，于是tan2α===﹣；…（Ⅱ）由0＜α＜β＜，得0＜α﹣β＜，…又∵cos（α﹣β）=，∴sin（α﹣β）===；…由β=α﹣（α﹣β）得：cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）=×+×=．…17．已知函數(shù)f（x）=ex﹣kx，x∈R．（Ⅰ）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，2]上單調遞增，求實數(shù)k的取值范圍．【考點】6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．【分析】（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e，討論導數(shù)的正負，即可求出單調區(qū)間．（Ⅱ）可得f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，求出ex在[0，2]上的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）由k=e得f（x）=ex﹣ex，所以f′（x）=ex﹣e．…令f′（x）=0，解得x=1x（﹣∞，1）1（1，+∞）f′（x）_0+f（x）單減單增故單調區(qū)間為在（﹣∞，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增…..當x=1時f（x）取得極小值為f（1）=0…..（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間[0，2]上單調遞增，則有f'（x）=ex﹣k≥0在[0，2]上恒成立，即k≤ex，…..而ex在[0，2]上的最小值為1，故k≤1…..18．已知函數(shù)f（x）=x3+mx2+nx﹣2的圖象在點（﹣1，f（﹣1））處的切線方程為9x﹣y+3=0．（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和單調區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）（x∈[0，3]）的值域為A，函數(shù)f（x）（x∈[a，a+]）的值域為B，當B?A時，求實數(shù)a的取值范圍．【考點】6B：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，由f′（﹣1）=9及點（﹣1，f（﹣1））在切線9x﹣y+3=0上列關于m，n的方程組求得m，n的值，則函數(shù)解析式可求，進一步利用導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）內單調遞減，在（2，3）內單調遞增，求出集合A，再由x∈[a，a+]的值域為B，且B?A得到關于a的不等式組，求解不等式組可得實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）f′（x）=3x2+2mx+n，∴f′（﹣1）=﹣2m+n+3，①由題意可知f′（﹣1）=9，即2m﹣n+6=0，∵點（﹣1，f（﹣1））在切線9x﹣y+3=0上，∴f（﹣1）=﹣6，即（﹣1）3+m（﹣1）2+n（﹣1）﹣2=﹣6，即m﹣n+3=0，②聯(lián)立①②解得m=﹣3，n=0，∴f（x）=x3﹣3x2﹣2．∴f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）．令f′（x）＞0，得x＞2或x＜0，函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（﹣∞，0），（2，+∞）．令f′（x）＜0，得0＜x＜2，函數(shù)f（x）的單調遞減區(qū)間為（0，2）；（2）由（1）知，f（x）在（0，2）內單調遞減，在（2，3）內單調遞增，且f（0）=f（3）=﹣2，f（2）=﹣6，∴A=[﹣6，﹣2]．由（1）知f（﹣1）=f（2）=﹣6，∵B?A，∴，∴，解得，∴實數(shù)a的取值范圍是[﹣1，]．19．設函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx，曲線y=f（x）過P（1，0），且在P點處的切線斜率為2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）當x∈[1，e]時，求f（x）的最值；（Ⅲ）證明：f（x）≤2x﹣2．【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)的導數(shù)，由題意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；（Ⅱ）求得導數(shù)，求得極值點，求出端點處的函數(shù)值，可得最值；（Ⅲ）構造函數(shù)g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，求出導數(shù)和單調區(qū)間，可得極值和最值，即可證得不等式【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x+ax2+blnx的導數(shù)為f′（x）=1+2ax+，由已知條件得，即，解得a=﹣1，b=3；（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），由（Ⅰ）知f（x）=x﹣x2+3lnx．令f′（x）=1﹣2x+=0解得x=或x=1．x[1，）（，e]f′（x）+0﹣f（x）增減當x=時，取得最大值f（）=3ln﹣；當x=e時，取得最小值f（e）=e﹣e2+3．（Ⅲ）證明：設g（x）=f（x）﹣（2x﹣2）=2﹣x﹣x2+3lnx，g′（x）=﹣1﹣2x+，當0＜x＜1時，g′（x）＞0，當x＞1時，g′（x）＜0，則g（x）