新高考一輪復習導學案第14講 函數(shù)的圖象（解析版）

第14講函數(shù)的圖象1.利用描點法作函數(shù)的圖象步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)化簡函數(shù)解析式；(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等)；(4)列表(尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小值點、與坐標軸的交點等)，描點，連線.2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對稱變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于x軸對稱))y＝－f(x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于y軸對稱))y＝f(－x)的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于原點對稱))y＝－f(－x)的圖象；y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象eq\o(→,\s\up7(關于直線y＝x對稱))y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象.(3)伸縮變換y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(縱坐標不變),\s\do4(各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼腬f(1,a)（a>0）倍))y＝f(ax).y＝f(x)eq\o(→,\s\up11(橫坐標不變),\s\do4(各點縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁(A>0)倍))y＝Af(x).(4)翻折變換y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up11(x軸下方部分翻折到上方),\s\do4(x軸及上方部分不變))y＝|f(x)|的圖象；y＝f(x)的圖象eq\o(→,\s\up11(y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)),\s\do4(原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變))y＝f(|x|)的圖象.1、【2022年全國甲卷】函數(shù)y=3x?A． B．C． D．【答案】A【解析】令f(x)=(3則f(?x)=(3所以f(x)為奇函數(shù)，排除BD；又當x∈(0,π2)時，3故選：A.2、【2022年全國乙卷】如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間[?3,3]的大致圖象，則該函數(shù)是（

）

A．y=?x3+3xx2+1【答案】A【解析】設f(x)=x3?x設?(x)=2xcosxx2所以?(x)=2x設g(x)=2sinx故選：A.3、【2019年新課標2卷理科】設函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為R，滿足SKIPIF1<0，且當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.若對任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則m的取值范圍是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0右移1個單位，圖象變?yōu)樵瓉淼?倍．如圖所示：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍），SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0成立，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選B．1、如圖，函數(shù)f(x)的圖象是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0，0)，(1，2)，(3，1)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f(3))))的值為()A.1B.2C.eq\f(7,4)D.eq\f(5,4)【答案】B【解析】由圖可知f(1)＝2，f(3)＝1，則eq\f(1,f(3))＝1，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,f(3))))＝f(1)＝2.2、已知函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)(其中a>b)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)＝ax＋b的圖象是()【答案】C【解析】由函數(shù)f(x)的圖象知a>1，－1<b<0.∴g(x)＝ax＋b在R上是增函數(shù)，且g(0)＝1＋b>0.因此選項C滿足要求.3、設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≤0，,1，x>0，))則滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是()A.(－∞，1)B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)【答案】D【解析】作出函數(shù)f(x)的圖象如圖，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，0)上為減函數(shù)，且當x≥0時，f(x)＝1.因為f(x＋1)<f(2x)，觀察圖象可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x<0，,2x<x＋1，))解得x<0，所以滿足f(x＋1)<f(2x)的x的取值范圍是(－∞，0).4、(多選)(2022·包場高級中學高三開學考試)關于函數(shù)f(x)＝|ln|2－x||，下列說法中正確的有()A.f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增B.f(x)的圖象關于直線x＝2對稱C.若x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，則x1＋x2＝4D.f(x)有且僅有兩個零點【答案】ABD【解析】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象知f(x)在區(qū)間(1，2)上單調(diào)遞增，故A正確；函數(shù)圖象關于直線x＝2對稱，故B正確；如圖，若f(x1)＝f(x2)＝k，則直線y＝k與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點，設最左邊兩個交點橫坐標分別是x1，x2，則x1＋x2＝4不成立，故C錯誤；f(x)的圖象與x軸僅有兩個公共點，即函數(shù)僅有兩個零點，故D正確．故選ABD.考向一作函數(shù)的圖象【例1】作出下列函數(shù)的圖象：(1)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)；(2)y＝|log2(x＋1)|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1)；(4)y＝x2－2|x|－1.【解析】(1)先作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象，保留y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)圖象中x≥0的部分，再作出y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)的圖象中x>0部分關于y軸的對稱部分，即得y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(|x|)的圖象，如圖①實線部分.(2)將函數(shù)y＝log2x的圖象向左平移一個單位，再將x軸下方的部分沿x軸翻折上去，即可得到函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖②.(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函數(shù)圖象可由y＝eq\f(1,x)圖象向右平移1個單位，再向上平移2個單位即得，如圖③.(4)∵y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x<0，))且函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0，＋∞)上的圖象，再根據(jù)對稱性作出(－∞，0)上的圖象，得圖象如圖④.變式1、作出下列函數(shù)的圖象：(1)(1)y＝2－2x；(2)y＝logEQ\s\do4(EQ\F(1,3))[3(x＋2)]；(3)y＝|logEQ\s\do4(EQ\F(1,2))(－x)|.【解析】：(1)作函數(shù)y＝2x的圖象關于x軸對稱的圖象得到y(tǒng)＝－2x的圖象，再將圖象向上平移2個單位，可得y＝2－2x的圖象．如圖1；(2)因為y＝logeq\f(1,3)[3(x＋2)]＝－log3[3(x＋2)]＝－log3(x＋2)－1.所以可以先將函數(shù)y＝log3x的圖象向左平移2個單位，可得y＝log3(x＋2)的圖象，再作圖象關于x軸對稱的圖象，得y＝－log3(x＋2)的圖象，最后將圖象向下平移1個單位，得y＝－log3(x＋2)－1的圖象，即為y＝logeq\f(1,3)[3(x＋2)]的圖象．如圖2；(3)作y＝logeq\f(1,2)x的圖象關于y軸對稱的圖象，得y＝logeq\f(1,2)(－x)的圖象，再把x軸下方的部分翻折到x軸上方，可得到y(tǒng)＝|logeq\f(1,2)(－x)|的圖象．如圖3.變式2、函數(shù)y＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2x＋1))的圖象可以看作是由函數(shù)y＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))的圖象如何變換得到的？請至少寫出兩種不同的變換順序．【解析】①y＝ln|x|y＝ln|2x|y＝ln|2x＋1|.②y＝ln|x|eq\o(→,\s\up7(向左平移1個單位長度))y＝ln|x＋1|y＝ln|2x＋1|.方法總結(jié)：1.作函數(shù)圖象的一般步驟為：(1)確定函數(shù)的定義域．(2)化簡函數(shù)解析式．(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值、極限等)以及圖象上的特殊點(如極值點、與坐標軸的交點、間斷點等)、線(如對稱軸、漸近線等)．(4)選擇描點法或圖象變換法作出相應的函數(shù)圖象．2．采用圖象變換法時，變換后的函數(shù)圖象要標出特殊的線(如漸近線)和特殊的點，以顯示圖象的主要特征，處理這類問題的關鍵是找出基本函數(shù)，將函數(shù)的解析式分解為只有單一變換的函數(shù)鏈，然后依次進行單一變換，最終得到所要的函數(shù)圖象．考向二圖象的辨識例2、(2022·沭陽如東中學期初考試)函數(shù)eqf(x)＝\f(1－x\s\up6(2),e\s\up6(x))的圖象大致為【答案】D【解析】由題意可知，當x＝0時，y＝1，則排除A、C選項，且f(－x)＝EQ\F(1－(－x)\s\up3(2),e\S\UP6(－x))＝ex(1－x2)≠f(x)，所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)，所以可排除選項B，故答案選D．變式1、(2022·江蘇淮安市六校第一次聯(lián)考)(多選題)函數(shù)eqf(x)＝\f(x,x\s\up6(2)＋a)的圖象可能是()【答案】ABC【解析】由題意，①若a＞0，不妨取a＝1，則f(x)＝eq\f(x,x\s\up6(2)＋1)，則函數(shù)定義域為R，且為奇函數(shù)，當x＝0時，f(0)＝0，當x≠0時，函數(shù)可化為f(x)＝eq\f(1,x＋\f(1,x))，則f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－1，0)，(0，1)上單調(diào)遞增，故選項B可能；②若a＜0，不妨取a＝－1，則f(x)＝eq\f(x,x\s\up6(2)－1)，定義域為{x|x≠±1}，且為奇函數(shù)，當x＝0時，f(0)＝0，當x≠0時，eqf(x)＝\f(1,x－\f(1,x))，則f(x)在(－∞，－1)，(－1，0)，(0，1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞減，故選項A可能；故不可能是選項D；綜上，答案選ABC．變式2、（2022年廣東梅州高三月考模擬試卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出四個函數(shù)①|(zhì)f（x）|，②f（-x），③f（|x|），④-f（-x），又給出四個函數(shù)的大致圖象，則正確的匹配方案是（）A.甲-②，乙-③，丙-④，丁-① B.甲-②，乙-④，丙-①，丁-③C.甲-④，乙-②，丙-①，丁-③ D.甲-①，乙-④，丙-③，丁-②【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)SKIPIF1<0，其導數(shù)SKIPIF1<0，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為增函數(shù)，且SKIPIF1<0，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為減函數(shù)，且SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0，其簡圖如圖：對于①SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，其圖象全部在SKIPIF1<0軸上和SKIPIF1<0軸上方，對應圖象丙，②SKIPIF1<0，其圖象與SKIPIF1<0的圖象關于SKIPIF1<0軸對稱，對應圖象甲，③SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，為偶函數(shù)，對應圖象丁，④SKIPIF1<0，其圖象與SKIPIF1<0的圖象關于原點對稱，對應圖象乙，故選：SKIPIF1<0．變式3、（2022年廣東小欖中學高三月考模擬試卷）函數(shù)SKIPIF1<0的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，關于原點對稱，又SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0為偶函數(shù)，排除AC；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，排除D.故選：B.方法總結(jié)：函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項考向三函數(shù)圖象的應用例3、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：①f(x)＋f(2－x)＝0；②f(x)－f(－2－x)＝0；③在區(qū)間[－1，1]上的表達式為f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(1－x2)，－1≤x≤0，,1－x，0<x≤1，))則函數(shù)f(x)與g(x)＝的圖象在區(qū)間[－3，3]上的交點的個數(shù)為________．【答案】6【解析】因為f(x)＋f(2－x)＝0，f(x)－f(－2－x)＝0，所以f(x)的圖象的對稱中心為(1，0)，f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝－1.結(jié)合③畫出f(x)和g(x)的部分圖象，如圖所示，由圖可知f(x)與g(x)的圖象在區(qū)間[－3，3]上有6個交點．變式1、已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則a，b，c的大小關系是()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】在同一直角坐標系內(nèi)，作出函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圖象如下：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的橫坐標；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的橫坐標；SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點的橫坐標；由圖象可得：SKIPIF1<0.故選：C.變式2、(2022·泰州中學期初考試)已知函數(shù)SKIPIF1<0若關于SKIPIF1<0的方程，SKIPIF1<0無實根，則實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為()A.SKIPIF1<0 B.(－1，0)C.SKIPIF1<0 D．(0，1)【答案】B【解析】因為函數(shù)f（x）＝，關于x的方程f（x）＝x+a無實根等價于函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝x+a無交點，設直線y＝x+a與f（x）＝（x＞0）切與點P（x0，y0），由f′（x）＝，由已知有：，解得x0＝1，則P（1，0），則切線方程為：y＝x﹣1，由圖知：函數(shù)y＝f（x）的圖象與直線y＝x+a無交點時實數(shù)a的取值范圍為實數(shù)a的取值范圍為﹣1＜a＜0，故選：B．變式3、（多選題）（2022年廣東中山市高三月考模擬試卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列判斷中，正確的有（）A.存在SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0有4個零點B.存在常數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0為奇函數(shù)C.若SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上最大值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0D.存在常數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減【答案】BC【解析】函數(shù)SKIPIF1<0函數(shù)圖象如圖所示：由圖象可知，函數(shù)SKIPIF1<0的圖象與直線SKIPIF1<0不可能有4個交點，所以不存在SKIPIF1<0使函數(shù)SKIPIF1<0有4個零點，A選項錯誤；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)定義域為R，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0為奇函數(shù)，B選項正確；當SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，最大值為SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，最大值為SKIPIF1<0，不合題意；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，若最大值為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上最大值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，C選項正確；若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，則有SKIPIF1<0，不等式組無解，故不存在常數(shù)SKIPIF1<0使SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，D選項錯誤；方法總結(jié)：函數(shù)的圖象在解題中有著十分廣泛的應用，常見的有：研究函數(shù)的性質(zhì)，解不等式，求函數(shù)的零點等．(1)利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖象的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零點)常借助于圖象研究，但一定要注意性質(zhì)與圖象特征的對應法則．(2)利用函數(shù)的圖象可解決某些方程和不等式的求解問題，方程f(x)＝g(x)的根就是函數(shù)f(x)與g(x)圖象交點的橫坐標；不等式f(x)<g(x)的解集是函數(shù)f(x)的圖象位于g(x)圖象下方的點的橫坐標的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．1、（2022·山東泰安·高三期末）若函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，則函數(shù)SKIPIF1<0的圖象可以是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為減函數(shù)，可知SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故排除A，B又SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，故排除D故選：C2、（2022年福州高級中學高三月考模擬試卷）我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合白般好，隔離分家萬事休.”在數(shù)學的學習和研究中，有時可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征.已知函數(shù)SKIPIF1<0的部分圖象如圖所示，則函數(shù)SKIPIF1<0的解析式可能為（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【詳解】由題干中函數(shù)圖象可知其對應的函數(shù)為奇函數(shù)，而D中的函數(shù)為偶函數(shù)，故排除D；由題干中函數(shù)圖象可知函數(shù)的定義域不是實數(shù)集，故排除B；對于A，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，不滿足圖象；對于C，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，滿足圖象.故排除A，選C.故選：C3、（2022年閩江學院附中高三月考模擬試卷）已知函數(shù)SKIPIF1<0，則函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【詳解】當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以C選項的圖象符合.故選：C4、(2022·泰州中學期初考試)(多選題)設函數(shù)SKIPIF1<0