整式恒等變形一覽

初中數(shù)學中的整式恒等式一覽表草根霧巖 @初中理科班數(shù)學 學完乘法公式和因式分解后，對比較常見的整式恒等式進行總結(jié)，以方便學生們進行查閱.比較重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者發(fā)現(xiàn)者的名字命名；另外一些雖然在“中考中不能使用，但卻是廣大勞動人民智慧的結(jié)晶，所謂的‘民間定理’”！【1】在恒等式的群山之巔閃耀著不朽的光輝！本文試著按照不同難度要求對恒等式進行分類.【課內(nèi)涉及的恒等式】 （1）平方差公式 （2）完全平方和、差公式 （3）平方和與完全平方和差的關(guān)系 （4）完全平方和差的關(guān)系 （5）三項和完全平方公式 （6）兩項輪換差的完全平方和 （7）十字相乘法 （8）分組分解法【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式 （2）完全立方和、差公式 （3）立方和差與完全立方和差的關(guān)系 （4）楊輝三角 （5）四項和完全平方公式

【幾個比較有名的配方公式】 （1） 這是著名的菲波那切（Fibonacci，1170--1250）恒等式.該恒等式可以推出二元柯西不等式. （2） （3） （4） 該恒等式可以推出四元的均值不等式. （5） 該恒等式可以說明連續(xù)四個正整數(shù)的積不是完全平方數(shù). （6） 一個求最值問題的變形，奧精上有這道題，去年某區(qū)初賽考了它的推廣形式. （7） 雙二次式的因式分解，配方法和平方差結(jié)合的典例，類似的方法可以證明對于一切整數(shù)，及都是合數(shù)，前者被稱為哥德巴赫定理（Goldbach，1690--1764），后者被稱為吉梅茵（Germain，1776--1831）定理【2】. 當然，4這個系數(shù)還可以改為64、324、1024等具有形式的數(shù)。【競賽中常見的恒等式】 （1） 一個非常有名的“民間定理”，很多的競賽題與它有關(guān).這個恒等式有很多稱號，小編還查不到不知道哪個是真的.從它可以得到下面的恒等式：從它還可以推出三項的均值不等式. （2）兩項n次方差公式 （Ⅰ）（n為正整數(shù)） （Ⅱ）（n為正偶整數(shù)） （Ⅲ）（n為正奇整數(shù)） 后兩個公式都源于公式（Ⅰ），都是b取后，公式（Ⅰ）分別在奇數(shù)次冪和偶數(shù)次冪條件下展現(xiàn)的結(jié)果.所以只要記住第一個公式就可以啦！ （3） 這個公式的多元推廣形式可用于求正整數(shù)n的所有正因數(shù)的和.展開后的結(jié)果非常好記憶.它的姊妹就稍微難一點： （4） （5） （6） 上面這兩個恒等式經(jīng)常一起出現(xiàn)，它們只差一個，常被用于證明一些有關(guān)分式的條件恒等式. （7） 式子左邊再乘以一些對稱式（例如、）可以得到一些很漂亮的結(jié)果. （8） 等式左邊將來會出現(xiàn)在著名的“海倫公式”中. （9） 這個公式主要用于求遞推數(shù)列的值，對給定，上式可改寫為：.這樣可逐步遞推求得的值.可解決例如這樣的問題：求的末位數(shù).其推廣形式為牛頓公式. （10） 由這個恒等式可以證明任何整數(shù)都能表示成五個整數(shù)的立方和的形式.【學生小課題級別】 （1）多項和完全平方公式 （2）三項和的完全立方展開式： （3）牛頓公式法 即用基本對稱式表達. 例如：考慮時，記 則有： 78年的上海數(shù)學競賽中出現(xiàn)過這樣一個條件恒等式的證明【2】. 若是實數(shù)，且滿足，試證明： （Ⅰ）. （Ⅱ）

以及求下面這個恰定方程的實根問題，都可以用牛頓公式順利解決. 確定方程組的所有實數(shù)根.附注