整式恒等變形一覽

初中數學中的整式恒等式一覽表草根霧巖 @初中理科班數學 學完乘法公式和因式分解后，對比較常見的整式恒等式進行總結，以方便學生們進行查閱.比較重要的恒等式都有自己的名字，一般以恒等式的形式或者發(fā)現(xiàn)者的名字命名；另外一些雖然在“中考中不能使用，但卻是廣大勞動人民智慧的結晶，所謂的‘民間定理’”！【1】在恒等式的群山之巔閃耀著不朽的光輝！本文試著按照不同難度要求對恒等式進行分類.【課內涉及的恒等式】 （1）平方差公式 （2）完全平方和、差公式 （3）平方和與完全平方和差的關系 （4）完全平方和差的關系 （5）三項和完全平方公式 （6）兩項輪換差的完全平方和 （7）十字相乘法 （8）分組分解法【自招中涉及的公式】 （1）立方和、差公式 （2）完全立方和、差公式 （3）立方和差與完全立方和差的關系 （4）楊輝三角 （5）四項和完全平方公式

【幾個比較有名的配方公式】 （1） 這是著名的菲波那切（Fibonacci，1170--1250）恒等式.該恒等式可以推出二元柯西不等式. （2） （3） （4） 該恒等式可以推出四元的均值不等式. （5） 該恒等式可以說明連續(xù)四個正整數的積不是完全平方數. （6） 一個求最值問題的變形，奧精上有這道題，去年某區(qū)初賽考了它的推廣形式. （7） 雙二次式的因式分解，配方法和平方差結合的典例，類似的方法可以證明對于一切整數，及都是合數，前者被稱為哥德巴赫定理（Goldbach，1690--1764），后者被稱為吉梅茵（Germain，1776--1831）定理【2】. 當然，4這個系數還可以改為64、324、1024等具有形式的數。【競賽中常見的恒等式】 （1） 一個非常有名的“民間定理”，很多的競賽題與它有關.這個恒等式有很多稱號，小編還查不到不知道哪個是真的.從它可以得到下面的恒等式：從它還可以推出三項的均值不等式. （2）兩項n次方差公式 （Ⅰ）（n為正整數） （Ⅱ）（n為正偶整數） （Ⅲ）（n為正奇整數） 后兩個公式都源于公式（Ⅰ），都是b取后，公式（Ⅰ）分別在奇數次冪和偶數次冪條件下展現(xiàn)的結果.所以只要記住第一個公式就可以啦！ （3） 這個公式的多元推廣形式可用于求正整數n的所有正因數的和.展開后的結果非常好記憶.它的姊妹就稍微難一點： （4） （5） （6） 上面這兩個恒等式經常一起出現(xiàn)，它們只差一個，常被用于證明一些有關分式的條件恒等式. （7） 式子左邊再乘以一些對稱式（例如、）可以得到一些很漂亮的結果. （8） 等式左邊將來會出現(xiàn)在著名的“海倫公式”中. （9） 這個公式主要用于求遞推數列的值，對給定，上式可改寫為：.這樣可逐步遞推求得的值.可解決例如這樣的問題：求的末位數.其推廣形式為牛頓公式. （10） 由這個恒等式可以證明任何整數都能表示成五個整數的立方和的形式.【學生小課題級別】 （1）多項和完全平方公式 （2）三項和的完全立方展開式： （3）牛頓公式法 即用基本對稱式表達. 例如：考慮時，記 則有： 78年的上海數學競賽中出現(xiàn)過這樣一個條件恒等式的證明【2】. 若是實數，且滿足，試證明： （Ⅰ）. （Ⅱ）

以及求下面這個恰定方程的實根問題，都可以用牛頓公式順利解決. 確定方程組的所有實數根.附注