2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.5-空間向量與線、面位置關(guān)系-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

7.5-空間向量與線、面位置關(guān)系-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練一、單項(xiàng)選擇題1．已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，則|a－b＋2c|等于()A．310B．210C．10D．52．(2024·安徽滁州模擬)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，則x＝()A．－3 B．3C．－1 D．63．已知向量a＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，若向量a，b，c共面，則實(shí)數(shù)m等于()A．4 B．6C．8 D．104．已知A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA＋λOB與OB的夾角為120°，則λ的值為()A．±66 B．6C．－66 D．±5．已知向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，則向量a在向量b上的投影向量c＝()A．52，54C．54，56．在空間四邊形ABCD中，AB·A．－1 B．0C．1 D．不確定7．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，AG＝2GE，則GF＝()A．1B．1C．－2D．－18．如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M＝AN＝2a3，則MN與平面BB1C1A．斜交 B．平行C．垂直 D．MN在平面BB1C1C內(nèi)二、多項(xiàng)選擇題9．《九章算術(shù)》中，將上、下底面為直角三角形的直三棱柱叫做塹堵，在如圖所示的塹堵中，B1D＝2DA．AD＝AB．AD＝AC．向量AD在向量AB上的投影向量為2D．向量AD在向量AC上的投影向量為210．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3AD＝3AA1＝3，點(diǎn)P為線段AA．當(dāng)A1C＝2A1P時(shí)，B1，B．當(dāng)AP⊥A1C時(shí)，APC．當(dāng)A1C＝3A1P時(shí)，D1PD．當(dāng)A1C＝5A1P時(shí)，A1C⊥三、填空題11．如圖是某段新開(kāi)河渠的示意圖．在二面角α-l-β的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB＝2，AC＝3，BD＝4，CD＝41，則該二面角的大小為_(kāi)_______．12．在通用技術(shù)課上，老師給同學(xué)們提供了一個(gè)如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模型P-ABCD，設(shè)底邊和側(cè)棱長(zhǎng)均為4，則該正四棱錐的外接球表面積為_(kāi)_______；過(guò)點(diǎn)A作一個(gè)平面分別交PB，PC，PD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G進(jìn)行切割，得到四棱錐P-AEFG，若PEPB＝35，PFPC四、解答題13．已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)．(1)求以AB，AC為邊的平行四邊形的面積；(2)若|a|＝3，且a分別與AB，AC垂直，求向量14．如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長(zhǎng)都等于2，∠ABC和∠A1AC均為60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求證：BD⊥AA1；(2)在直線CC1上是否存在點(diǎn)P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出點(diǎn)P的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．A[∵a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，∴a－b＋2c＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋2(3，1，0)＝(9，3，0)，∴|a－b＋2c|＝92+32．B[向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，則2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，則－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3.故選B.]3．A[因?yàn)橄蛄縜＝(2，1，－3)，b＝(1，－4，－2)，c＝(－1，22，m)，且向量a，b，c共面，所以c＝xa＋yb，x，y∈R，即2x+y=?1，x?4y=故選A.]4．C[由于OA＋λOB＝(1，－λ，λ)，OB＝(0，－1，1)，則cos120°＝λ+λ1+2λ2·2＝－12，解得λ＝±5．B[向量a＝(1，3，0)，b＝(2，1，1)，則a·b＝2＋3＋0＝5，|b|＝4+1+故向量a在向量b上的投影向量c＝a·bb·bb6．B[令A(yù)B＝a，AC＝b，AD＝c，則AB＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a)＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0.故選B.]7．D[因?yàn)锳G＝2GE，所以GE＝13AE，又E是所以AE＝12(AB+AC)，所以GE＝1因?yàn)镋F＝EC+CF，E，F(xiàn)分別是BC，CC所以EF＝12(BC因此GF＝GE+EF＝16(AB故選D.]8．B[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由于A1M＝AN＝2a3，則Ma，2a3，又C1D1⊥平面BB1C1C，所以C1D1＝(0，a，0)為平面BB1C因?yàn)镸N·所以MN⊥C1D1，又MN?平面BB1C所以MN∥平面BB1C1C.]9．BD[因?yàn)锳D＝AA1+A1B1+如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作DE垂直于BC，過(guò)點(diǎn)E作EF垂直于AB，EG垂直于AC，故向量AD在向量AB上的投影向量為AF，向量AD在向量AC上的投影向量為AG，由題意易得AFAB＝13，AGAC＝23，故AF10．ACD[在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．因?yàn)锳B＝3AD＝3AA1＝3，所以AD＝AA1＝1，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，3，0)，D1(0，0，1)，B(1，3，0)，C1(0，3，1)，B1(1，3，1)，則A1C＝(－1，3，－1)，當(dāng)A1C＝2A1P時(shí)，P為線段A1C的中點(diǎn)，則P12，32，12，DP＝12，設(shè)A1P＝λA1C＝λ(－1，3，－1)＝(－λ，3λ，－λ)(0≤λ≤1)，AP＝AA1+A由AP⊥A1C，可得AP·A1C＝5所以AP＝?15＝(1，0，－1)＋?15，所以D1P·AP＝－4所以AP與D1當(dāng)A1C＝3A1P＝13A1C＝?1設(shè)平面BDC1的法向量為n＝(x，y，z)，則n·D令y＝1，則x＝z＝－3，∴n＝(－3，1，－3)，又A1所以D1P＝A1所以D1P·n＝23×(－3)＋33×1－1所以D1P⊥∵D1P?平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，C正確；當(dāng)A1C＝5A1P＝15所以D1P＝A1所以A1C·D1P＝－1×45+3×35－1×?15＝0，A1C·D1A＝－1×1＋3×0＋(－1)2＝0．所以A1C⊥D1PD1P?平面D1AP，D1A?平面D1AP，所以A1C⊥平面D1AP，D正確．故選ACD.]11．120°[設(shè)所求二面角為θ，由CD＝CA+AB+BD，得CD＝CA2＋AB2＋BD2＋2CA·＝32＋22＋42＋0－2×3×4cosθ＋0＝41，∴cosθ＝－12，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°12．32π34[設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，連接PO由于P-ABCD為正四棱錐，故PO為四棱錐的高，由底邊和側(cè)棱長(zhǎng)均為4可得，OA＝OB＝OC＝OD＝22，PO＝PA2?OA2即點(diǎn)O到點(diǎn)P，A，B，C，D的距離相等，故O即為該正四棱錐的外接球球心，則外接球半徑為22，故外接球表面積為4π×(22)2＝32π.PA＝PD+DA＝PD+CB設(shè)PD＝tPG，則PA＝tPG+53由于點(diǎn)A，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面，故t＋53解得t＝43，故PD＝43PG，則PG13．解：(1)由題意可得AB＝(－2，－1，3)，AC＝(1，－3，2)，所以cos〈AB，AC〉＝AB·ACABAC＝?2+3+所以以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為S＝2×12|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝14×3(2)設(shè)a＝(x，y，z)，由題意得x2解得x=1，所以向量a的坐標(biāo)為(1，1，1)或(－1，－1，－1)．14．解：(1)證明：設(shè)BD與AC交于點(diǎn)O，則BD⊥AC，連接A1O，在△AA1O中，AA1＝2，AO＝1，∠A1AO＝60°，所以A1O2＝AA12＋AO2－2AA1所以AO2＋A1O2＝AA12，所以A1O由于平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，A1O?平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABCD.以O(shè)B，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A(0，－1，0)，B(3，0，0)，C(0，1，0)，D(－3，0，0)，A1(0，0，3)，C1(0，2，3)．由于BD＝(－23，0，0)，AA1＝(0，1，3)，AA1·BD＝0×(－23所以BD⊥AA1，即BD⊥AA(2)假設(shè)在直線CC1上存在