新高考數(shù)學(xué)二輪考點培優(yōu)專題（精講+精練）27 立體幾何中的折疊和探索性問題（原卷版）

素養(yǎng)拓展27立體幾何中的折疊和探索性問題（精講+精練）一、知識點梳理一、知識點梳理1.折疊問題解決折疊問題最重要的就是對比折疊前后的圖形，找到哪些線、面的位置關(guān)系和數(shù)學(xué)量沒有發(fā)生變化，哪些發(fā)生了變化，在證明和求解的過程中恰當(dāng)?shù)丶右岳谩Ｒ话悴襟E：①確定折疊前后的各量之間的關(guān)系，搞清折疊前后的變化量和不變量；②在折疊后的圖形中確定線和面的位置關(guān)系，明確需要用到的線面；③利用判定定理或性質(zhì)定理進行證明。2.探索性問題探究性問題常常是條件不完備的情況下探討某些結(jié)論能否成立，立體幾何中的探究性問題既能夠考查學(xué)生的空間想象能力，又可以考查學(xué)生的意志力及探究的能力。對于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法來解決．一般此類立體幾何問題描述的是動態(tài)的過程，結(jié)果具有不唯一性或者隱藏性，往往需要耐心嘗試及等價轉(zhuǎn)化，因此，對于常見的探究方法的總結(jié)和探究能力的鍛煉是必不可少的。二、題型精講精練二、題型精講精練【典例1】如圖所示的五邊形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，沿SKIPIF1<0折疊成四棱錐SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0．(1)在四棱錐SKIPIF1<0中，可以滿足條件①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，請從中任選兩個作為補充條件，證明：側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；（注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．）(2)在（1）的條件下求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【典例2】如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求四棱錐SKIPIF1<0的體積；(2)在線段PB上是否存在點M，使得SKIPIF1<0平面PAD？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．【題型訓(xùn)練-刷模擬】1.折疊問題1．如圖1，在梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，其中SKIPIF1<0為斜邊.若把SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0邊折疊到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖2.（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0的中點，求點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離.2．如圖，四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，以SKIPIF1<0為折痕，將SKIPIF1<0向一方折疊到SKIPIF1<0的位置，使D點在平面SKIPIF1<0內(nèi)的射影在SKIPIF1<0上，再將SKIPIF1<0向另一方折疊到SKIPIF1<0的位置，使平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，形成幾何體SKIPIF1<0.（1）若點F為SKIPIF1<0的中點，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值.3．如圖是矩形SKIPIF1<0和以邊SKIPIF1<0為直徑的半圓組成的平面圖形，將此圖形沿SKIPIF1<0折疊，使平面SKIPIF1<0垂直于半圓所在的平面，若點SKIPIF1<0是折后圖形中半圓SKIPIF1<0上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的點（1）證明：SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，且異面直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，求三棱錐SKIPIF1<0的體積．4．如圖1，在邊長為4的正方形ABCD中，點P、Q分別是邊AB、BC的中點，將SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別沿DP、DQ折疊，使A、C兩點重合于點M，連BM、PQ，得到圖2所示幾何體．(1)求證：SKIPIF1<0；(2)在線段MD上是否存在一點F，使SKIPIF1<0平面PQF，如果存在，求SKIPIF1<0的值，如果不存在，說明理由．5．如圖①，在平面四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．將SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0折疊，使得點SKIPIF1<0到達點SKIPIF1<0的位置，且二面角SKIPIF1<0為直二面角，如圖②．已知SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的點，且SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正切值為SKIPIF1<0．(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求四棱錐SKIPIF1<0的體積．6．如圖1，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.現(xiàn)沿平行于SKIPIF1<0的SKIPIF1<0折疊，使得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖2所示.(1)求SKIPIF1<0的長度；(2)求二面角SKIPIF1<0的大小.7．如圖甲所示的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將正方形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0折疊使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱SKIPIF1<0．(1)若點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．8．）如圖甲所示的正方形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0對角線SKIPIF1<0分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，將正方形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，構(gòu)成如圖乙所示的三棱柱SKIPIF1<0(1)若點SKIPIF1<0在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.9．如圖，將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD⊥平面CBD，AE⊥平面ABD，且SKIPIF1<0.

(1)求證：直線EC與平面ABD沒有公共點；(2)求點C到平面BED的距離.10．如圖1所示，等邊SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊的中點．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折疊，如圖2所示.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)折疊后若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.11．在圖1中，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，O為AC邊的中點，E在BC邊上，且SKIPIF1<0，沿AC將SKIPIF1<0進行折疊，使點D運動到點F的位置，如圖2，連接FO，F(xiàn)B，F(xiàn)E，使得SKIPIF1<0．

(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值．12．已知矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別為AD，BC中點，O為對角線AC，BD交點，如圖1所示．現(xiàn)將SKIPIF1<0和SKIPIF1<0剪去，并將剩下的部分按如下方式折疊：沿MN將SKIPIF1<0折疊，并使OA與OB重合，OC與OD重合，連接MN，得到由平面OAM，OBN，ODM，OCN圍成的無蓋幾何體，如圖2所示．

(1)求證：MN⊥平面SKIPIF1<0；(2)求此多面體體積V的最大值．13．如圖（1）所示，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0垂直平分SKIPIF1<0．現(xiàn)將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使得二面角SKIPIF1<0大小為SKIPIF1<0，得到如圖（2）所示的空間幾何體（折疊后點SKIPIF1<0記作點SKIPIF1<0）

(1)求點SKIPIF1<0到面SKIPIF1<0的距離；(2)求四棱錐SKIPIF1<0外接球的體積；(3)點SKIPIF1<0為一動點，滿足SKIPIF1<0，當(dāng)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角最大時，試確定點SKIPIF1<0的位置．14．如圖SKIPIF1<0所示，在邊長為SKIPIF1<0的正方形SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，分別交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，將該正方形沿SKIPIF1<0折疊，使得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，構(gòu)成如圖SKIPIF1<0所示的三棱柱SKIPIF1<0．(1)在三棱柱SKIPIF1<0中，求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)試判斷直線SKIPIF1<0是否與平面SKIPIF1<0平行，并說明理由．2.探索性問題1．已知正四棱臺SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.

(1)求側(cè)棱SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的角；(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在一點P，使得SKIPIF1<0？若存在請確定點SKIPIF1<0的位置；若不存在，請說明理由.2．）如圖，在五棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，探索：SKIPIF1<0是否為定值？若為定值，請求出SKIPIF1<0的值；若不是定值，請說明理由.3．）如圖，在五面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為4的正方形，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點G是EF的中點．

(1)證明：SKIPIF1<0平面ABCD；(2)線段AC上是否存在一點M，使SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面ABF？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，說明理由．4．已知四棱錐SKIPIF1<0中，四邊形SKIPIF1<0為等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形．

(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)是否存在一點SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，使直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0？若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．5．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，三角形SKIPIF1<0為正三角形，且側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0.SKIPIF1<0分別為線段SKIPIF1<0的中點.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在棱SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？若存在，請求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由.6．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的動點，且SKIPIF1<0．

(1)證明:SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)是否存在實數(shù)SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的余弦值是SKIPIF1<0?若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請說明理由．7．如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在點SKIPIF1<0，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成銳二面角的平面角為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0.若不存在，請說明理由；若存在，求出SKIPIF1<0的長度.8．如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等邊三角形，D，E分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)在線段SKIPIF1<0上是否存在點F，使得平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的長；若不存在，請說明理由．9．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面ABCD為正方形，側(cè)面SAD為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．

(1)證明：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)側(cè)棱SC上是否存在一點P（P不在端點處），使得直線BP與平面SAC所成角的正弦值等于SKIPIF1<0？若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由．10．如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，底面SKIPIF1<0為菱形，SKIPIF1<0為等邊三角形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，O為SKIPIF1<0的中點．(1)若E為線段SKIP