江蘇省連云港市外國(guó)高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試題部分（本卷滿分150分共4頁(yè)考試時(shí)間120分鐘）一?單選題（本題共8小題每小題5分共40分）1.已知集合，，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，?故選：A2.已知集合，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，得到，再根據(jù)集合的運(yùn)算得解.【詳解】易知，，由得，則，所以，，故選：A．3.已知集合，，若中有2個(gè)元素，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知：，，，列不等式求解即可.【詳解】由中有2個(gè)元素可知：，，，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.4.已知集合，則“”是“”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則；反之，當(dāng)時(shí)，或，解得或，若，，滿足，若，顯然滿足，因此或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：B5.命題，的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱存在量詞命題的否定形式，直接求解.【詳解】全稱存在命題的否定是存在量詞命題，并且否定結(jié)論，所以命題，的否定是，.故選：A6.已知，則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】把指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由，可得，所以故選：B．7.17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對(duì)數(shù)，對(duì)數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對(duì)數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”.已知，，設(shè)，則所在的區(qū)間為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出的值，結(jié)合選項(xiàng)即可判斷．【詳解】，，所以所在的區(qū)間為.故選：C8.已知，，且，則的最小值為（）A.4 B. C.6 D.【答案】D【解析】【分析】利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D二?多選題（本題共4小題每小題5分滿分20分）9.如圖，已知矩形表示全集，是的兩個(gè)子集，則陰影部分可表示為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用集合的交集、并集以及補(bǔ)集的定義，結(jié)合韋恩圖分析各選項(xiàng)即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圖示可知陰影部分表示的元素是屬于集合，而不屬于集合，即在陰影部分區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)元素，則滿足，且，即且；因此陰影部分可表示為，即A正確；且，因此陰影部分可表示為，C正確；易知陰影部分表示的集合是和的真子集，即B錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.當(dāng)一個(gè)非空數(shù)集滿足“任意，則，，，且時(shí)，”，我們稱就是一個(gè)數(shù)域，以下關(guān)于數(shù)域的說(shuō)法.其中正確的選項(xiàng)有（）A.0是任何數(shù)域的元素B.若數(shù)域有非零元素，則C.集合是一個(gè)數(shù)域D.任何一個(gè)數(shù)域元素個(gè)數(shù)必為奇數(shù)【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)新定義進(jìn)行驗(yàn)證.【詳解】對(duì)任意數(shù)域，只要有，則，A正確；是的一個(gè)非零元素，則，因此，，依此類推所有正整數(shù)是的元素，從而，B正確；集合中，，但，因此不是數(shù)域，C錯(cuò)；有理數(shù)集是一個(gè)數(shù)域，但有理數(shù)集中元素個(gè)數(shù)是無(wú)窮多個(gè)，D錯(cuò)；故選：AB．11.下列說(shuō)法中正確的有（）A.命題，則命題的否定是B.“”是“”必要條件C.命題“”的是真命題D.“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與特稱命題的否定、充分必要條件等逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】命題的否定是，故A正確；不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；關(guān)于x的方程有一正一負(fù)根，所以“”是“關(guān)于的方程有一正一負(fù)根”的充要條件，故D正確.故選：AD.12.已知，則下列不等式可能成立，也可能不成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】AB作差法比較大小，舉出可能成立和可能不成立的例子；C選項(xiàng)，利用基本不等式得到C一定正確；D選項(xiàng)，由基本不等式入手，舉出可能成立和可能不成立的例子.【詳解】A選項(xiàng)，，故，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，A可能成立，也可能不成立，B選項(xiàng)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B可能成立，也可能不成立；C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，故，所以，而，故，即，C一定正確；D選項(xiàng)，若，由基本不等式得，兩個(gè)等號(hào)成立的條件為，但，不妨設(shè)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然，故可能成立，也可能不成立，D正確.故選：ABD三?填空題（本題共4小題每小題5分滿分20分）13.若集合，實(shí)數(shù)的值為______【答案】【解析】【分析】由已知中集合，根據(jù)集合相等對(duì)應(yīng)元素分別相等，我們可以分若、、，三種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合集合元素的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】令,,，,,，,,，，，若，則，則,,，,,，滿足要求；若，則，而中元素，矛盾；若，則，則,,，,,，滿足要求；故實(shí)數(shù)的值為.故答案為：14.已知集合，或.若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，若，則，分情況討論，進(jìn)而求解，得出答案．【詳解】已知集合，或.若，則，當(dāng)，即時(shí)，滿足條件；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，若，則或，解得（舍）或，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是或.故答案為：或.15.命題“，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】原命題為假，則其否定為真，轉(zhuǎn)化為二次不等式的恒成立問(wèn)題求解.【詳解】命題“，”的否定為：“，”，因?yàn)樵}為假命題，所以其否定為真，所以當(dāng)即時(shí)，恒成立，滿足題意；當(dāng)即時(shí)，只需，解得：.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知“”與“”互為充要條件，則“”和“”的最小值之和為___________．【答案】23【解析】【分析】根據(jù)配湊原式，使得相乘可得一個(gè)常數(shù)，再利用基本不等式即可求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，解得或時(shí)取等號(hào)，所以和的最小值之和為5+18=23.故答案為：23.四?解答題（本題共6小題第17題10分第18-22題12分滿分70分）17.已知集合，，且.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得集合，再求即可；（2）由集合的包含關(guān)系，列出滿足的不等式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，因，所以.【小問(wèn)2詳解】由題可知，，因?yàn)椋郧?，解得所以m的取值范圍為.18.已知集合，．（1）若，求；（2）在①，②，③中任選一個(gè)作為已知，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）選①②③，答案均為.【解析】【分析】（1）根據(jù)交集的概念求出答案；（2）選①②③均可得到，從而得到不等式組，求出答案.【小問(wèn)1詳解】時(shí)，，故；【小問(wèn)2詳解】選①，，則，由于，故，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是；選②，，故，由于，故，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是；選③，，故，由于，故，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.19已知集合，集合，集合，且．（1）求實(shí)數(shù)a值組成的集合；（2）若，是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出集合，然后根據(jù)得到，由此分析集合并求解出的值，則結(jié)果可知；（2）先求解出，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“是C的真子集”，由此列出關(guān)于的不等式，則結(jié)果可求.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由，知，則或或，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以的取值集合為．【小問(wèn)2詳解】由題意得，，故，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，于是，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)符合條件，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是．20.計(jì)算下列各式：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算與根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)運(yùn)算即可；（2）根據(jù)指對(duì)互化可得，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)運(yùn)算即可.【小問(wèn)1詳解】【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，所以所以21.新能源開發(fā)能夠有效地解決我國(guó)能源短缺和傳統(tǒng)能源使用帶來(lái)的環(huán)境污染問(wèn)題，國(guó)家新能源政策的出臺(tái)，給新能源產(chǎn)業(yè)帶來(lái)了春天，已知江蘇某新能源企業(yè)，年固定成本萬(wàn)，每生產(chǎn)臺(tái)設(shè)備，另需投入成本萬(wàn)元，若年產(chǎn)量不足臺(tái)，則；若年產(chǎn)量不小于臺(tái)，則，每臺(tái)設(shè)備售價(jià)萬(wàn)元，通過(guò)市場(chǎng)分析，該企業(yè)生產(chǎn)的設(shè)備能全部售完.（1）寫出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（臺(tái)）的關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？【答案】（1）（2）當(dāng)年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大為萬(wàn)元.【解析】【分析】（1）分、兩種情況討論，根據(jù)年利潤(rùn)總收入另外投本固定投本，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別求出當(dāng)、時(shí)，的最大值，比較大小后可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】解：依題意，若年產(chǎn)量不足臺(tái)，另外投本，固定投本萬(wàn)，總收入萬(wàn)元，故利潤(rùn)；若年產(chǎn)量不小于臺(tái)，另外投本，固定投本萬(wàn)，總收入萬(wàn)元，故利潤(rùn).故.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，故時(shí)，利潤(rùn)取得最大值，，綜上可知，當(dāng)年產(chǎn)量為臺(tái)時(shí)，該企業(yè)所獲利潤(rùn)最大為萬(wàn)元.22.對(duì)于數(shù)集，，定義向量集，若對(duì)任意，存在使得，則稱X是“對(duì)稱的”.（1）判斷以下三個(gè)數(shù)集、、是否是“對(duì)稱的”（不需要說(shuō)明理由）；（2）若，且是“對(duì)稱的”，求的值；（3）若“對(duì)稱的”數(shù)集，滿足：，，.求證：.【答案】（1）是，是，否（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意直接判斷即可；（2）由題意可得，因?yàn)椋灾斜赜幸粋€(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，分類整合即可求解；（3）取，設(shè)，得到，假設(shè)，推導(dǎo)出異號(hào)，從而之中恰有一個(gè)為，最后分類研究得出即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可判斷：是，是，否【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，且是“?duì)稱的”，所以可取，設(shè)滿足，即，因?yàn)?，所以中必有一個(gè)負(fù)數(shù)一個(gè)正數(shù)，而X中只有一個(gè)負(fù)數(shù)，所以必有一個(gè)是，若則，但且，與題意矛盾；若則，其