統(tǒng)考版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章9.6雙曲線課時作業(yè)理含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGE1-課時作業(yè)52雙曲線〖基礎(chǔ)達標〗一、選擇題1．〖2021·開封市高三模擬試卷〗關(guān)于漸近線方程為x±y＝0的雙曲線有下述四個結(jié)論：①實軸長與虛軸長相等，②離心率是eq\r(2)，③過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長與實軸長相等，④頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離比值為eq\r(2).其中所有正確結(jié)論的編號是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④2．〖2021·合肥市高三調(diào)研性檢測〗已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝13．〖2020·浙江卷〗已知點O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)點P滿足|PA|－|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖象上的點，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D.eq\r(10)4．〖2021·石家莊市重點高中高三畢業(yè)班摸底考試〗設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩條漸近線的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(7),2)D．25．〖2021·安徽安慶模擬〗點F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦點，直線4x－y－12＝0與該雙曲線交于兩點P，Q，則|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝()A．4eq\r(2)B．4C．2eq\r(2)D．26．〖2021·唐山市高三年級摸底考試〗雙曲線C：x2－y2＝2的右焦點為F，點P為C的一條漸近線上的點，O為坐標原點．若|PO|＝|PF|，則S△OPF＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．27．〖2021·廣州市高三年級階段訓(xùn)練題〗已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的兩個焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與C相交于A，B兩點，若|AB|＝eq\r(2)，則△ABF2的內(nèi)切圓的半徑為()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2\r(3),3)8．〖2021·山西省八校高三聯(lián)考〗已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，雙曲線E的一條漸近線上一點M滿足|eq\o(MF,\s\up6(→))|＝2b，若點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，則雙曲線E的實軸長為()A．2eq\r(3)B．3C．4eq\r(3)D.eq\f(3,2)9．〖2021·福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試〗若雙曲線上存在四點，使得以這四點為頂點的四邊形是菱形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(2))B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，＋∞)D．(eq\r(3)，＋∞)10．〖2020·全國卷Ⅱ〗設(shè)O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．32二、填空題11．〖2021·武漢市高中畢業(yè)生學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測〗已知以x±2y＝0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(4,1)，則該雙曲線的標準方程為________________．12．已知雙曲線C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點的坐標為________；C的焦點到其漸近線的距離是________．13．〖2021·惠州市高三調(diào)研考試試題〗已知雙曲線C1：eq\f(x2,4)－y2＝1，雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C1與C2的離心率相同，點M在雙曲線C2的一條漸近線上，且OM⊥MF2，O為坐標原點，若S△OMF2＝16，求雙曲線C2的實軸長是________．14．〖2021·安徽省示范高中名校高三聯(lián)考〗雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，線段F2A垂直直線y＝eq\f(b,a)x，垂足為點A，與雙曲線交于點B，若eq\o(F2B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，則該雙曲線的離心率為________．〖能力挑戰(zhàn)〗15．〖2021·黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考〗在△ABC中，A，B分別是雙曲線E的左、右焦點，點C在E上，若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則雙曲線E的離心率為()A.eq\r(5)－1B.eq\r(2)＋1C.eq\f(\r(2)－1,2)D.eq\f(\r(2)＋1,2)16．〖2021·河北省九校聯(lián)考試題〗已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，使得點F2到直線PF1的距離為a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．(1，eq\r(5))D．(eq\r(5)，＋∞)17．〖2021·江西省名校高三教學(xué)質(zhì)量檢測〗已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，若△ABF2的周長為24，則當(dāng)ab2取得最大值時，該雙曲線的焦點到漸近線的距離為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)課時作業(yè)521．〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故此雙曲線為等軸雙曲線，即a＝b，c＝eq\r(2)a，則離心率e＝eq\r(2)，故①②均正確．過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為2×eq\f(b2,a)＝2a，故等于實軸長，③正確．不妨取一個頂點(a,0)，其到漸近線x±y＝0的距離d1＝eq\f(a,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)a，焦點到漸近線的距離d2＝b，又a＝b，所以eq\f(d1,d2)＝eq\f(\r(2),2)，故④錯誤．綜上可知，正確結(jié)論的編號為①②③，故選C.〖答案〗C2．〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，a＝2，所以當(dāng)焦點在x軸上時，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.綜上所述，該雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1，故選D.〖答案〗D3．〖解析〗由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知點P的軌跡是雙曲線的右支，點P的軌跡方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq\r(4－x2)，所以x2＝eq\f(13,4)，y2＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq\r(10)，故選D.〖答案〗D4．〖解析〗∵a＞b＞0，∴漸近線y＝eq\f(b,a)x的斜率小于1，∵兩條漸近線的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2eq\f(α,2)＝eq\f(2,3)，sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1,3)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,2)，∴e2＝eq\f(3,2)，e＝eq\f(\r(6),2).故選B.〖答案〗B5．〖解析〗因為雙曲線x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點是F2(3,0)，所以直線4x－y－12＝0經(jīng)過點F2(3,0)，又知P，Q兩點在右支上，于是由雙曲線定義可知，|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|－|F2P|＋|F1Q|－|F2Q|＝2a＋2a＝4.故選B.〖答案〗B6．〖解析〗由題意可知F(2,0)，雙曲線C是等軸雙曲線，所以其漸近線方程y＝±x，因為點P在漸近線上，且|PO|＝|PF|，所以點P(1,1)或P(1，－1)，所以S△OPF＝eq\f(1,2)×2×1＝1，故選C.〖答案〗C7．〖解析〗由雙曲線方程知b＝1.由通徑公式，知eq\f(2b2,a)＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(3).由雙曲線的定義，知|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AF1|＋|BF1|＝5eq\r(2).設(shè)△ABF2的內(nèi)切圓半徑為r，則eq\f(1,2)r·(|AF2|＋|BF2|＋|AB|)＝eq\f(1,2)·|AB|·|F1F2|，即r·6eq\r(2)＝eq\r(2)×2eq\r(3)，解得r＝eq\f(\r(3),3)，故選B.〖答案〗B8．〖解析〗由題意得，右焦點F(c,0)，由點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))滿足|eq\o(MF,\s\up6(→))|＝2b，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－c))2＋eq\f(9,4)＝4b2.由漸近線y＝eq\f(b,a)x過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，得a＝eq\r(3)b，又c2＝a2＋b2，所以4b2＝c2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－c))2＋eq\f(9,4)＝c2，所以c＝eq\r(3)，從而a＝eq\f(3,2)，故雙曲線E的實軸長2a＝3，故選B.〖答案〗B9．〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意可得雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于45°，即eq\f(b,a)＞1，所以b2＞a2，所以c2－a2＝b2＞a2，所以c2＞2a2，所以該雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＞eq\r(2).〖答案〗C10．〖解析〗直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線y＝±eq\f(b,a)x分別交于D、E兩點，則|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq\f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，即cmin＝4，所以雙曲線的焦距2c的最小值為8，故選B.〖答案〗B11．〖解析〗由x±2y＝0得x2－4y2＝0，設(shè)所求雙曲線的方程為x2－4y2＝λ，因為點(4,1)在雙曲線上，所以42－4＝λ，即λ＝12，所以該雙曲線的方程為x2－4y2＝12，故該雙曲線的標準方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.〖答案〗eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝112．〖解析〗雙曲線C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，則C的右焦點的坐標為(3,0)，C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0，則C的焦點到其漸近線的距離d＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).〖答案〗(3,0)eq\r(3)13．〖解析〗解法一雙曲線C1：eq\f(x2,4)－y2＝1的離心率為eq\f(\r(5),2).由題意知F2(c,0)，雙曲線C2的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，可得|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，即有|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a，由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2且離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以雙曲線C2的實軸長為2a＝16.解法二依題意，由雙曲線C1與C2的離心率相同，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b①.由雙曲線的焦點到漸近線的距離等于其虛半軸長，得|F2M|＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.又△OMF2的面積為16，所以eq\f(1,2)ab＝16，ab＝32②，由①②解得b＝4，a＝8，故雙曲線C2的實軸長為2a＝16.〖答案〗1614．〖解析〗解法一由題意知，直線F2A的方程為y＝－eq\f(a,b)(x－c)，與直線y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立得交點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).又eq\o(F2B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以B為線段F2A的中點，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2,2c)，\f(ab,2c)))，因為點B在雙曲線上，所以代入雙曲線方程得b2×eq\f(c2＋a22,4c2)－a2×eq\f(a2b2,4c2)＝a2b2，得c2＝2a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).解法二由題意可知F2A⊥OA(O為坐標原點)，由于焦點到漸近線的距離為b，所以|AF2|＝b，且|OF2|＝c，所以|OA|＝a，且cos∠OF2A＝eq\f(b,c).由eq\o(F2B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，知B為線段F2A的中點，所以|BF2|＝eq\f(b,2)，又點B在雙曲線上，所以|BF1|－|BF2|＝2a，則|BF1|＝2a＋eq\f(b,2).在△BF1F2中，由余弦定理|BF1|2＝|F1F2|2＋|BF2|2－2|F1F2||BF2|cos∠OF2A，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(b,2)))2＝4c2＋eq\f(b2,4)－2×2c×eq\f(b,2)×eq\f(b,c)，化簡得a＝b，所以e＝eq\r(2).〖答案〗eq\r(2)15．〖解析〗解法一不妨令C為第一象限的點，如圖，作AD∥BC，CD∥AB，連接BD，由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，可得BC⊥AB，AC⊥BD，故四邊形ABCD是正方形．所以C(c,2c)，設(shè)雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，因為點C在雙曲線E上，所以eq\f(c2,a2)－eq\f(4c2,b2)＝1，又b2＝c2－a2，所以c4－6a2c2＋a4＝0，因為e＝eq\f(c,a)＞1，所以e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3＋2eq\r(2)或e2＝3－2eq\r(2)(舍去)，所以e＝eq\r(2)＋1，故選B.解法二設(shè)雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，不妨令C為第一象限的點，如圖，作AD∥BC，CD∥AB，連接BD，由eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，可得BC⊥AB，AC⊥BD，故四邊形ABCD是正方形．所以2|OB|＝|BC|，所以2c＝eq\f(b2,a)，因為c2＝a2＋b2，所以b2＝c2－a2＝2ac，即c2－2ac－a2＝0，因為e＝eq\f(c,a)＞1，所以e2－2e－1＝0，所以e＝eq\r(2)＋1，故選B.〖答案〗B16．〖解析〗雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.設(shè)直線PF1的方程為y＝k(x＋c)，因為點P在雙曲線的右支上，所以|k|＜eq\f(b,a)，F(xiàn)2(c,0)到直線PF1的距離d＝eq\f(2|kc|,\r(k2＋1))＝a，解得k2＝eq\f(a2,4c2－a2)＝eq\f(a2,3c2＋b2)，根據(jù)k2＜eq\f(b2,a2)，得a4＜3b2c2＋b4，所以a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2＜3b2c2，則a2－b2＜3b2，即eq\f(b2,a2)＞eq\f(1,4)，所以e2＝1＋eq\f(b2,a2)＞eq\f(5,4)，則e＞eq\f(\r(5),2)，故選B.〖答案〗B17．〖解析〗由題意得，|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝eq\f(2b2,a)①，由雙曲線的定義，得|AF2|－|AF1|＝2a②，|BF2|－|BF1|＝2a③，由①②③，得|AF2|＋|BF2|＝4a＋eq\f(2b2,a).因為△ABF2的周長為24，即4a＋eq\f(4b2,a)＝24，得b2＝6a－a2，得ab2＝6a2－a3.令f(a)＝6a2－a3(0＜a＜6)，則f′(a)＝12a－3a2，令f′(a)＝0，得a＝0或a＝4，所以當(dāng)a∈(0,4)時f′(a)＞0；當(dāng)a∈(4,6)時，f′(a)＜0.所以f(a)在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,6)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)a＝4時，f(a)取得最大值，此時b2＝6×4－42＝8，得b＝2eq\r(2).取該雙曲線的焦點F2(c,0)，漸近線l：bx－ay＝0，則該雙曲線的焦點到漸近線的距離d＝eq\f(|bc|,\r(b2＋－a2))＝b＝2eq\r(2).〖答案〗D課時作業(yè)52雙曲線〖基礎(chǔ)達標〗一、選擇題1．〖2021·開封市高三模擬試卷〗關(guān)于漸近線方程為x±y＝0的雙曲線有下述四個結(jié)論：①實軸長與虛軸長相等，②離心率是eq\r(2)，③過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長與實軸長相等，④頂點到漸近線與焦點到漸近線的距離比值為eq\r(2).其中所有正確結(jié)論的編號是()A．①②B．①③C．①②③D．②③④2．〖2021·合肥市高三調(diào)研性檢測〗已知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，實軸長為4，則該雙曲線的方程為()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1C.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,8)＝1D.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝13．〖2020·浙江卷〗已知點O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．設(shè)點P滿足|PA|－|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖象上的點，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D.eq\r(10)4．〖2021·石家莊市重點高中高三畢業(yè)班摸底考試〗設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的兩條漸近線的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(5),2)B.eq\f(\r(6),2)C.eq\f(\r(7),2)D．25．〖2021·安徽安慶模擬〗點F1、F2分別是雙曲線x2－eq\f(y2,8)＝1的左、右焦點，直線4x－y－12＝0與該雙曲線交于兩點P，Q，則|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝()A．4eq\r(2)B．4C．2eq\r(2)D．26．〖2021·唐山市高三年級摸底考試〗雙曲線C：x2－y2＝2的右焦點為F，點P為C的一條漸近線上的點，O為坐標原點．若|PO|＝|PF|，則S△OPF＝()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．27．〖2021·廣州市高三年級階段訓(xùn)練題〗已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的兩個焦點，過點F1且垂直于x軸的直線與C相交于A，B兩點，若|AB|＝eq\r(2)，則△ABF2的內(nèi)切圓的半徑為()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2\r(3),3)8．〖2021·山西省八校高三聯(lián)考〗已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，雙曲線E的一條漸近線上一點M滿足|eq\o(MF,\s\up6(→))|＝2b，若點M的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，則雙曲線E的實軸長為()A．2eq\r(3)B．3C．4eq\r(3)D.eq\f(3,2)9．〖2021·福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測試〗若雙曲線上存在四點，使得以這四點為頂點的四邊形是菱形，則該雙曲線的離心率的取值范圍為()A．(1，eq\r(2))B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，＋∞)D．(eq\r(3)，＋∞)10．〖2020·全國卷Ⅱ〗設(shè)O為坐標原點，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．32二、填空題11．〖2021·武漢市高中畢業(yè)生學(xué)習(xí)質(zhì)量檢測〗已知以x±2y＝0為漸近線的雙曲線經(jīng)過點(4,1)，則該雙曲線的標準方程為________________．12．已知雙曲線C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點的坐標為________；C的焦點到其漸近線的距離是________．13．〖2021·惠州市高三調(diào)研考試試題〗已知雙曲線C1：eq\f(x2,4)－y2＝1，雙曲線C2：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線C1與C2的離心率相同，點M在雙曲線C2的一條漸近線上，且OM⊥MF2，O為坐標原點，若S△OMF2＝16，求雙曲線C2的實軸長是________．14．〖2021·安徽省示范高中名校高三聯(lián)考〗雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2為其左、右焦點，線段F2A垂直直線y＝eq\f(b,a)x，垂足為點A，與雙曲線交于點B，若eq\o(F2B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，則該雙曲線的離心率為________．〖能力挑戰(zhàn)〗15．〖2021·黃岡中學(xué)、華師附中等八校聯(lián)考〗在△ABC中，A，B分別是雙曲線E的左、右焦點，點C在E上，若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則雙曲線E的離心率為()A.eq\r(5)－1B.eq\r(2)＋1C.eq\f(\r(2)－1,2)D.eq\f(\r(2)＋1,2)16．〖2021·河北省九校聯(lián)考試題〗已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點P，使得點F2到直線PF1的距離為a，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(5),2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，＋∞))C．(1，eq\r(5))D．(eq\r(5)，＋∞)17．〖2021·江西省名校高三教學(xué)質(zhì)量檢測〗已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1且垂直于x軸的直線與該雙曲線的左支交于A，B兩點，若△ABF2的周長為24，則當(dāng)ab2取得最大值時，該雙曲線的焦點到漸近線的距離為()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)課時作業(yè)521．〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為y＝±x，故此雙曲線為等軸雙曲線，即a＝b，c＝eq\r(2)a，則離心率e＝eq\r(2)，故①②均正確．過焦點且與實軸垂直的直線被雙曲線截得的線段長為2×eq\f(b2,a)＝2a，故等于實軸長，③正確．不妨取一個頂點(a,0)，其到漸近線x±y＝0的距離d1＝eq\f(a,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)a，焦點到漸近線的距離d2＝b，又a＝b，所以eq\f(d1,d2)＝eq\f(\r(2),2)，故④錯誤．綜上可知，正確結(jié)論的編號為①②③，故選C.〖答案〗C2．〖解析〗因為雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(2),2)x，a＝2，所以當(dāng)焦點在x軸上時，eq\f(b,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1；當(dāng)焦點在y軸上時，eq\f(a,b)＝eq\f(\r(2),2)，所以b＝2eq\r(2)，所以雙曲線的方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1.綜上所述，該雙曲線的方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,2)＝1或eq\f(y2,4)－eq\f(x2,8)＝1，故選D.〖答案〗D3．〖解析〗由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知點P的軌跡是雙曲線的右支，點P的軌跡方程為x2－eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq\r(4－x2)，所以x2＝eq\f(13,4)，y2＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq\r(10)，故選D.〖答案〗D4．〖解析〗∵a＞b＞0，∴漸近線y＝eq\f(b,a)x的斜率小于1，∵兩條漸近線的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，∴cos2eq\f(α,2)＝eq\f(2,3)，sin2eq\f(α,2)＝eq\f(1,3)，tan2eq\f(α,2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(c2－a2,a2)＝eq\f(1,2)，∴e2＝eq\f(3,2)，e＝eq\f(\r(6),2).故選B.〖答案〗B5．〖解析〗因為雙曲線x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦點是F2(3,0)，所以直線4x－y－12＝0經(jīng)過點F2(3,0)，又知P，Q兩點在右支上，于是由雙曲線定義可知，|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|－|F2P|＋|F1Q|－|F2Q|＝2a＋2a＝4.故選B.〖答案〗B6．〖解析〗由題意可知F(2,0)，雙曲線C是等軸雙曲線，所以其漸近線方程y＝±x，因為點P在漸近線上，且|PO|＝|PF|，所以點P(1,1)或P(1，－1)，所以S△OPF＝eq\f(1,2)×2×1＝1，故選C.〖答案〗C7．〖解析〗由雙曲線方程知b＝1.由通徑公式，知eq\f(2b2,a)＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(2)，所以c＝eq\r(3).由雙曲線的定義，知|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AF1|＋|BF1|＝5eq\r(2).設(shè)△ABF2的內(nèi)切圓半徑為r，則eq\f(1,2)r·(|AF2|＋|BF2|＋|AB|)＝eq\f(1,2)·|AB|·|F1F2|，即r·6eq\r(2)＝eq\r(2)×2eq\r(3)，解得r＝eq\f(\r(3),3)，故選B.〖答案〗B8．〖解析〗由題意得，右焦點F(c,0)，由點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))滿足|eq\o(MF,\s\up6(→))|＝2b，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－c))2＋eq\f(9,4)＝4b2.由漸近線y＝eq\f(b,a)x過點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，得a＝eq\r(3)b，又c2＝a2＋b2，所以4b2＝c2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)－c))2＋eq\f(9,4)＝c2，所以c＝eq\r(3)，從而a＝eq\f(3,2)，故雙曲線E的實軸長2a＝3，故選B.〖答案〗B9．〖解析〗不妨設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由題意可得雙曲線的漸近線與x軸的夾角大于45°，即eq\f(b,a)＞1，所以b2＞a2，所以c2－a2＝b2＞a2，所以c2＞2a2，所以該雙曲線的離心率e＝eq\f(c,a)＞eq\r(2).〖答案〗C10．〖解析〗直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線y＝±eq\f(b,a)x分別交于D、E兩點，則|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq\f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號)，即cmin＝4，所以雙曲線的焦距2c的最小值為8，故選B.〖答案〗B11．〖解析〗由x±2y＝0得x2－4y2＝0，設(shè)所求雙曲線的方程為x2－4y2＝λ，因為點(4,1)在雙曲線上，所以42－4＝λ，即λ＝12，所以該雙曲線的方程為x2－4y2＝12，故該雙曲線的標準方程為eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝1.〖答案〗eq\f(x2,12)－eq\f(y2,3)＝112．〖解析〗雙曲線C：eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，則C的右焦點的坐標為(3,0)，C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0，則C的焦點到其漸近線的距離d＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).〖答案〗(3,0)eq\r(3)13．〖解析〗解法一雙曲線C1：eq\f(x2,4)－y2＝1的離心率為eq\f(\r(5),2).由題意知F2(c,0)，雙曲線C2的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，可得|F2M|＝eq\f(bc,\r(a2＋b2))＝b，即有|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a，由S△OMF2＝16，可得eq\f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2且離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq\r(5)，所以雙曲線C2的實軸長為2a＝16.解法二依題意，由雙曲線C1與C2的離心率相同，得eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4)，即a＝2b①.由雙曲線的焦點到漸近線的距離等于其虛半軸長，得|F2M|＝b，所以|OM|＝eq\r(c2－b2)＝a.又△OMF2的面積為16，所以eq\f(1,2)ab＝16，ab＝32②，由①②解得b＝4，a＝8，故雙曲線C2的實軸長為2a＝16.〖答案〗1614．〖解析〗解法一由題意知，直線F2A的方程為y＝－eq\f(a,b)(x－c)，與直線y＝eq\f(b,a)x聯(lián)立得交點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).又eq\o(F2B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，所以B為線段F2A的中點，所以Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c2＋a2,2c)，\f(ab,2c)))，因為點B在雙曲線上，所以代入雙曲線方程得b2×eq\f(c2＋a22,4c2)－a2×eq\f(a2b2,4c2)＝a2b2，得c2＝2a2，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).解法二由題意可知F2A⊥OA(O為坐標原點)，由于焦點到漸近線的距離為b，所以|AF2|＝b，且|OF2|＝c，所以|OA|＝a，且cos∠OF2A＝eq\f(b,c).由eq\o(F2B,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，知B為線段F2A的中點，所以|BF2|＝eq\f(b,2)，又點B在雙曲線上，所以|BF1|－|BF2|＝2a，則|BF1|＝2a＋eq\f(b,2).在△BF1F2中，由余弦定理|BF1|2＝|F1F2|2＋|BF2|2－2|F1F2||BF2