高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))9.9超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布(精講)(原卷版+解析)

9.9超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】一、二項(xiàng)分布1．伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．二、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，三、正態(tài)分布1．定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．3．3σ原則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【題型精講】【題型一超幾何分布】必備技巧求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）列出分布列．例1(2023·華師大二附中高三練習(xí)）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n（）個(gè)人數(shù)超過1000人的大集團(tuán)和4個(gè)人數(shù)低于200人的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是小集團(tuán)的概率為.(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為大集團(tuán)的概率；(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.例2北京某高校有20名志愿者報(bào)名參加2022年北京冬奧會(huì)服務(wù)工作，其中有2名老師，18名學(xué)生.若從中隨機(jī)抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).(1)若，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，的概率取得最大值?最大值是多少?【題型精練】1.(2023·貴州省思南中學(xué)高三月考）某班利用課外活動(dòng)時(shí)間舉行了一次“函數(shù)求導(dǎo)比賽”活動(dòng)，為了解本次比賽中學(xué)生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個(gè)小組的樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個(gè)小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個(gè)小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學(xué)成績不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.2．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問天實(shí)驗(yàn)艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號(hào)航天員乘組成功開啟問天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場，計(jì)劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【題型二二項(xiàng)分布】例3(2023·四川模擬）金壇區(qū)主城區(qū)全新投放一批共享電動(dòng)自行車．本次投放的電動(dòng)自行車分紅、綠兩種，投放比例是3∶1．監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色電動(dòng)自行車的性能，決定從中隨機(jī)抽取4輛電動(dòng)自行車進(jìn)行騎行體驗(yàn)，假設(shè)每輛電動(dòng)自行車被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4輛電動(dòng)自行車中至少有3輛是綠色的概率；(2)在騎行體驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)紅色電動(dòng)自行車的綜合評分較高，監(jiān)管部門決定從該次投放的這批電動(dòng)自行車中隨機(jī)地抽取一輛綠色電動(dòng)自行車，送技術(shù)部門做進(jìn)一步性能檢測，并規(guī)定，若抽到的是綠色電動(dòng)自行車，則抽樣結(jié)束：若抽取的是紅色電動(dòng)自行車，則將其放回后，繼續(xù)從中隨機(jī)地抽取下一輛電動(dòng)自行車，且規(guī)定抽取的次數(shù)最多不超過次在抽樣結(jié)束時(shí)，設(shè)已抽到的紅色電動(dòng)自行車的數(shù)量用表示，問：的數(shù)學(xué)期望能否超過3？例4(2023·武昌模擬）某地為了解高三學(xué)生運(yùn)動(dòng)量是否達(dá)標(biāo)，隨機(jī)抽取了200名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：在120名男生中，運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的有60人；在80名女生中，運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)的有50人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)合計(jì)男生人數(shù)女生人數(shù)合計(jì)（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計(jì)總體，現(xiàn)從該地的所有高三學(xué)生（人數(shù)眾多）中逐一隨機(jī)抽取3人，記這3人中運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的男生人數(shù)為隨機(jī)變量X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.2.(2023·臨沂二模）設(shè)甲?乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.【題型三正態(tài)分布】例5(2023·唐山二模）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是（

）A． B． C． D．例6(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）某校高三年級(jí)有500名學(xué)生，一次考試的語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布表如下：數(shù)學(xué)成績頻率0.160.1680.480.160.032(1)如果成績高于130分為特別優(yōu)秀，則本次考試語文、數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約各多少人？(2)如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：若，則，，.【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）某品牌手機(jī)的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．2.(2023·廣東高三模擬）某共享單車集團(tuán)為了進(jìn)行項(xiàng)目優(yōu)化，對某市月卡用戶隨機(jī)抽取了200人，統(tǒng)計(jì)了他們在同一月的使用次數(shù)（假設(shè)每月使用次數(shù)均在8至36之間）.將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布.(1)求圖中的a的值；(2)設(shè)該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算），取，若該城市恰有1萬個(gè)用戶，試估計(jì)這些用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機(jī)抽取10人，其中月使用次數(shù)在的有Y人，記“事件”的概率為，其中，1，2，…，10，當(dāng)最大時(shí)，求k的值.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，.【題型四特殊分布的綜合應(yīng)用】例7(2023·山東·高密三中高三階段練習(xí)）國慶節(jié)期間，某大型服裝團(tuán)購會(huì)舉辦了一次“你消費(fèi)我促銷”活動(dòng)，顧客消費(fèi)滿300元（含300元）可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）.方案一:從裝有5個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個(gè)，黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地摸出3個(gè)球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二:從裝有10個(gè)形狀，大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地摸出3個(gè)球，中多規(guī)則為:若摸出2個(gè)紅球，1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠;若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折;若摸出1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，則打7.5折;其余情況不打折.(1)某顧客恰好消費(fèi)300元，選擇抽獎(jiǎng)方案一，求他實(shí)付金額的分布列和期望;(2)若顧客消費(fèi)500元，試從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎(jiǎng)方案更合理?【題型精練】1．(2023·常州市新橋高級(jí)中學(xué)高三模擬）甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照答對題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；(2)請分析比較甲、乙兩人誰的面試通過的可能性較大？9.9超幾何分布、二項(xiàng)分布和正態(tài)分布【題型解讀】【知識(shí)儲(chǔ)備】一、二項(xiàng)分布1．伯努利試驗(yàn)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn)；將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為n重伯努利試驗(yàn)．2．二項(xiàng)分布一般地，在n重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．二、超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，三、正態(tài)分布1．定義若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記為X～N(μ，σ2)．2．正態(tài)曲線的特點(diǎn)(1)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；(2)曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；(3)當(dāng)|x|無限增大時(shí)，曲線無限接近x軸．3．3σ原則(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.4．正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝μ，D(X)＝σ2.【題型精講】【題型一超幾何分布】必備技巧求超幾何分布的分布列的步驟（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；（3）列出分布列．例1(2023·華師大二附中高三練習(xí)）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n（）個(gè)人數(shù)超過1000人的大集團(tuán)和4個(gè)人數(shù)低于200人的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是小集團(tuán)的概率為.(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為大集團(tuán)的概率；(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.【解析】（1）由題意知共有個(gè)集團(tuán)，取出2個(gè)集團(tuán)的方法總數(shù)是，其中全是小集團(tuán)的情況有，故全是小集團(tuán)的概率是，整理得到即，解得．若2個(gè)全是大集團(tuán)，共有種情況；若2個(gè)全是小集團(tuán)，共有種情況；故在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，全為大集團(tuán)的概率為．（2）由題意知，隨機(jī)變量的可能取值為，計(jì)算，，，，故的分布列為：0123數(shù)學(xué)期望為．例2北京某高校有20名志愿者報(bào)名參加2022年北京冬奧會(huì)服務(wù)工作，其中有2名老師，18名學(xué)生.若從中隨機(jī)抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).(1)若，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)當(dāng)n為何值時(shí)，的概率取得最大值?最大值是多少?【解析】（1）當(dāng)時(shí)，X的所有可能取值為0，1，2，則，，，所以X的分布列為X012P.（2）的概率為，，且.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的概率取最大值，最大值是.【題型精練】1.(2023·貴州省思南中學(xué)高三月考）某班利用課外活動(dòng)時(shí)間舉行了一次“函數(shù)求導(dǎo)比賽”活動(dòng)，為了解本次比賽中學(xué)生的總體情況，從中抽取了甲、乙兩個(gè)小組的樣本分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示.（1）分別求出甲、乙兩個(gè)小組成績的平均數(shù)與方差，并判斷哪個(gè)小組的成績更穩(wěn)定？（2）從甲組同學(xué)成績不低于70分的人中任意抽取3人，設(shè)表示所抽取的3名同學(xué)的得分在的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.答案：（1）甲的平均數(shù)，方差；乙的平均數(shù)，方差；乙小組的更穩(wěn)定.（2）分布列見解析，.【解析】（1）甲小組的平均數(shù)：甲小組的方差：，乙小組的平均數(shù)：乙小組的方差：.兩個(gè)小組成績的平均數(shù)相同，甲的方差比乙的方差要大，所以乙小組的成績更穩(wěn)定.（2）甲組同學(xué)成績不低于70分的人有人，從中任意抽取3人，得分在的人數(shù)為人.，,,的分布列如下：故.2．(2023·全國高三課時(shí)練習(xí)）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問天實(shí)驗(yàn)艙成功對接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號(hào)航天員乘組成功開啟問天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場，計(jì)劃10月發(fā)射.中國空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長期有人照料的國家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評委測試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.(1)求乙闖關(guān)成功的概率；(2)求甲編寫程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰闖關(guān)成功的可能性更大.【解析】（1）乙正確完成2個(gè)程序或者3個(gè)程序則闖關(guān)成功，記乙闖關(guān)成功為事件A，則.（2）由題意知隨機(jī)變量X所有可能取值為0，1，2，3，，，，，故X的分布列為X0123P所以.所以甲闖關(guān)成功的概率為，因?yàn)椋约妆纫谊J關(guān)成功的可能性大.【題型二二項(xiàng)分布】例3(2023·四川模擬）金壇區(qū)主城區(qū)全新投放一批共享電動(dòng)自行車．本次投放的電動(dòng)自行車分紅、綠兩種，投放比例是3∶1．監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色電動(dòng)自行車的性能，決定從中隨機(jī)抽取4輛電動(dòng)自行車進(jìn)行騎行體驗(yàn)，假設(shè)每輛電動(dòng)自行車被抽取的可能性相等．(1)求抽取的4輛電動(dòng)自行車中至少有3輛是綠色的概率；(2)在騎行體驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)紅色電動(dòng)自行車的綜合評分較高，監(jiān)管部門決定從該次投放的這批電動(dòng)自行車中隨機(jī)地抽取一輛綠色電動(dòng)自行車，送技術(shù)部門做進(jìn)一步性能檢測，并規(guī)定，若抽到的是綠色電動(dòng)自行車，則抽樣結(jié)束：若抽取的是紅色電動(dòng)自行車，則將其放回后，繼續(xù)從中隨機(jī)地抽取下一輛電動(dòng)自行車，且規(guī)定抽取的次數(shù)最多不超過次在抽樣結(jié)束時(shí)，設(shè)已抽到的紅色電動(dòng)自行車的數(shù)量用表示，問：的數(shù)學(xué)期望能否超過3？【解析】（1）∵抽取一輛電動(dòng)車為綠色的概率為∴4輛電動(dòng)車至少有3輛是綠色的概率．（2）的所有可能取值為0，1，2…，n，，∴的分布列如下：012…nP…記①∴②①-②得：∴，∴的數(shù)學(xué)期望不能超過3．例4(2023·武昌模擬）某地為了解高三學(xué)生運(yùn)動(dòng)量是否達(dá)標(biāo)，隨機(jī)抽取了200名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下：在120名男生中，運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的有60人；在80名女生中，運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)的有50人.（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)合計(jì)男生人數(shù)女生人數(shù)合計(jì)（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計(jì)總體，現(xiàn)從該地的所有高三學(xué)生（人數(shù)眾多）中逐一隨機(jī)抽取3人，記這3人中運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的男生人數(shù)為隨機(jī)變量X，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式與數(shù)據(jù)：，其中.0.1000.0500.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879答案：（1）列聯(lián)表見解析，沒有把握；（2）分布列見解析，.【解析】（1）列聯(lián)表如下：運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)運(yùn)動(dòng)量未達(dá)標(biāo)合計(jì)男生人數(shù)6060120女生人數(shù)305080合計(jì)90110200∵，∴沒有95%的把握認(rèn)為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)與性別有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從眾多學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其為運(yùn)動(dòng)量達(dá)標(biāo)的男生概率為，易知可能的取值是0，1，2，3，且，∴，，，，∴分布列為：0123∴.【題型精練】1．(2023·石家莊模擬）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子恰好對準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.（Ⅰ）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【解析】（Ⅰ）記“小球落入4號(hào)容器”為事件，若要小球落入4號(hào)容器，則在通過的四層中有三層需要向右，一層向左，∴理論上，小球落入4號(hào)容器的概率.（Ⅱ）落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)的可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴的分布列為：0123∴.2.(2023·臨沂二模）設(shè)甲?乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為.假定甲?乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的每周五天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記“上學(xué)期間的某周的五天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多3天”為事件，求事件發(fā)生的概率.答案：（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2）.【解析】（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的五天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率為，所以，從而，，所以，隨機(jī)變量的分布列為：P012345X所以；（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的五天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且事件，由題意知，事件之間互斥，且與相互獨(dú)立，由（1）可得.【題型三正態(tài)分布】例5(2023·唐山二模）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因?yàn)閷W(xué)生成績服從正態(tài)分布，且，所以，，，所以從參加這次考試的學(xué)生中任意選取1名學(xué)生，其成績不低于85的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績不低于85的概率是.故選：A.例6(2023·山東·臨沂市蘭山區(qū)教學(xué)研究室高三開學(xué)考試）某校高三年級(jí)有500名學(xué)生，一次考試的語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻率分布表如下：數(shù)學(xué)成績頻率0.160.1680.480.160.032(1)如果成績高于130分為特別優(yōu)秀，則本次考試語文、數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約各多少人？(2)如果語文和數(shù)學(xué)兩科成績都特別優(yōu)秀的共有6人，從（1）中的這些學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)3人中兩科成績都特別優(yōu)秀的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：若，則，，.【解析】（1）因?yàn)檎Z文成績服從正態(tài)分布，所以語文成績特別優(yōu)秀的概率.由頻率估計(jì)概率，得數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率，所以語文成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約有（人），數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的學(xué)生大約有（人）.（2）語文和數(shù)學(xué)成績都特別優(yōu)秀的有6人，則單科成績特別優(yōu)秀的有14人，可取的值有0，1，2，3，所以，，，，故的分布列為0123P【題型精練】1．(2023·高三課時(shí)練習(xí)）某品牌手機(jī)的電池使用壽命（單位：年）服從正態(tài)分布．且使用壽命不少于1年的概率為0.9，使用壽命不少于9年的概率為，則該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為________．答案：0.4【解析】由題意知，，∴∴正態(tài)分布曲線的對稱軸為直線，因?yàn)?，∴，故該品牌手機(jī)的電池使用壽命不少于5年且不多于9年的概率為0.4，故答案為：0.42.(2023·廣東高三模擬）某共享單車集團(tuán)為了進(jìn)行項(xiàng)目優(yōu)化，對某市月卡用戶隨機(jī)抽取了200人，統(tǒng)計(jì)了他們在同一月的使用次數(shù)（假設(shè)每月使用次數(shù)均在8至36之間）.將樣本數(shù)據(jù)分成，，，，，，七組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并用樣本的頻率分布估計(jì)總體的頻率分布.(1)求圖中的a的值；(2)設(shè)該市月卡用戶每月使用次數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（各區(qū)間數(shù)據(jù)用中點(diǎn)值近似計(jì)算），取，若該城市恰有1萬個(gè)用戶，試估計(jì)這些用戶中，月使用次數(shù)X位于區(qū)間內(nèi)的人數(shù)：(3)現(xiàn)從該市月卡用戶中隨機(jī)抽取10人，其中月使用次數(shù)在