考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷1（共241題）

考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷1（共9套）（共241題）考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A是n階矩陣，α是n維列向量，若=r(A)，則線性方程組()A、Ax=α必有無窮多解。B、Ax=α必有唯一解。C、=0僅有零解。D、=0必有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：齊次線性方程必有解(零解)，則選項(xiàng)C、D為互相對立的命題，且其正確與否不受其他條件制約，故其中有且只有一個(gè)正確，因而排除A、B。又齊次線性方程組=0有n+1個(gè)變量，而由題設(shè)條件知，=r(A)≤n＜n+1。所以該方程組必有非零解，故選D。2、設(shè)A是m×n矩陣，Ax=0是非齊次線性方程組Ax=b所對應(yīng)的齊次線性方程組，則下列結(jié)論正確的是()A、若Ax=0僅有零解，則Ax=b有唯一解。B、若Ax=0有非零解，則Ax=b有無窮多個(gè)解。C、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0僅有零解。D、若Ax=b有無窮多個(gè)解，則Ax=0有非零解。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)椴徽擙R次線性方程組Ax=0的解的情況如何，即r(A)=n或r(A)＜n，以此均不能推得r(A)=r(Ab)，所以選項(xiàng)A、B均不正確。而由Ax=b有無窮多個(gè)解可知，r(A)=r(Ab)＜n。根據(jù)齊次線性方程組有非零解的充分必要條件可知，此時(shí)Ax=0必有非零解。所以應(yīng)選D。3、設(shè)α1，α2，α3均為線性方程組Ax=b的解，下列向量中α1一α2，α1一2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2—4α3，可以作為導(dǎo)出組Ax=0的解向量有()個(gè)。A、4。B、3。C、2。D、1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由于Aα1=Aα2=Aα3=b，可知A(α1一α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1一2α2+α3)=Aα1—2Aα2+Aα3=b一2b+b=0，A[(α1一α3)]=(Aα1一Aα3)=(b一b)=0，A(α1+3α2—4α3)=Aα1+3Aα2—4Aα3=b+3b一4b=0。這四個(gè)向量都是Ax=0的解，故選A。4、已知α1=(1，1，一1)T，α2=(1，2，0)T是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是()A、(1，一1，3)T。B、(2，1，一3)T。C、(2，2，一5)T。D、(2，一2，6)T。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如果A選項(xiàng)是Ax=0的解，則D選項(xiàng)必是Ax=0的解。因此選項(xiàng)A、D均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=0的任何一個(gè)解η均可由α1，α2線性表示，也即方程組x1α1+x2α2=η必有解，而可見第二個(gè)方程組無解，即(2，2，一5)T不能由α1，α2線性表示。所以應(yīng)選B。5、設(shè)α1，α2，α3，α4是四維非零列向量組，A=(α1，α2，α3，α4)，A*為A的伴隨矩陣。已知方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為k(1，0，2，0)T，則A*x=0的基礎(chǔ)解系為()A、α1，α2，α3。B、α1+α2，α2+α3，α1+α3。C、α2，α3，α4。D、α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)解向量，所以四階方陣A的秩r(A)=4一1=3，則其伴隨矩陣A*的秩r(A*)=1，于是方程組A*x=0的基礎(chǔ)解系含有三個(gè)線性無關(guān)的解向量。又A*(α1，α2，α3，α4)：A*A=｜A｜E=0，所以向量α1，α2，α3，α4都是方程組A*x=0的解。將(1，0，2，0)T代入方程組Ax=0可得α1+2α3=0，這說明α1可由向量組α2，α3，α4線性表出，而向量組α1，α2，α3，α4的秩等于3，所以向量組α2，α3，α4必線性無關(guān)。所以選C。事實(shí)上，由α1+2α3=0可知向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，選項(xiàng)A不正確；顯然，選項(xiàng)B中的向量都能被α1，α2，α3線性表出，說明向量組α1+α2，α2+α3，α1+α3線性相關(guān)，選項(xiàng)B不正確；而選項(xiàng)D中的向量組含有四個(gè)向量，不是基礎(chǔ)解系，所以選型D也不正確。6、設(shè)A是m×n矩陣，AT是A的轉(zhuǎn)置，若η1，η2，…，ηt為方程組ATx=0的基礎(chǔ)解系，則r(A)=()A、t。B、n—t。C、m—t。D、n—m。標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：r(AT)+t等于AT的列數(shù)，即r(AT)+t=m，所以r(AT)=m一t=r(A)。7、已知β1，β2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)不同的解，α1，α2是對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，k1，k2為任意常數(shù)，則方程組Ax=b的通解是()A、k1α1+k2(α1+α2)+。B、k1α1+k2(α1一α2)+。C、k1α1+k2(β1+β2)+。D、k1α1+k2(β1一β2)+。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：對于A、C選項(xiàng)，因?yàn)?b一b)=0，所以選項(xiàng)A、C中不含有非齊次線性方程組Ax=b的特解，故均不正確。對于選項(xiàng)D，雖然β1一β2是齊次線性方程組Ax=0的解，但它與α1不一定線性無關(guān)，故D也不正確，所以應(yīng)選B。事實(shí)上，對于選項(xiàng)B，由于α1，α1一α2與α1，α2等價(jià)(顯然它們能夠互相線性表示)，故α1，α1一α2也是齊次線性方程組的一組基礎(chǔ)解系，而由(Aβ1+Aβ2)=(b+b)=b，可知是齊次線性方程組Ax=b的一個(gè)特解，由非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)定理知，B選項(xiàng)正確。8、設(shè)A是n階矩陣，對于齊次線性方程組(Ⅰ)Anx=0和(Ⅱ)An＋1x=0，現(xiàn)有四個(gè)命題：①(Ⅰ)的解必是(Ⅱ)的解；②(Ⅱ)的解必是(Ⅰ)的解；③(Ⅰ)的解不是(Ⅱ)的解；④(Ⅱ)的解不是(Ⅰ)的解。以上命題中正確的是()A、①②。B、①④。C、③④。D、②③。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：若Anα=0，則An＋1α=A(Anα)=A0=0，即若α是(1)的解，則α必是(2)的解，可見命題①正確。如果An＋1α=0，而Anα≠0，那么對于向量組α，Aα，A2α，…，Anα，一方面有：若kα+k1Aα+k2A2α+…+knAnα=0，用An左乘上式的兩邊得kAnα=0。由Anα≠0可知必有k=0。類似地可得k1=k2=…=kn=0。因此，α，Aα，A2α，…，Anα線性無關(guān)。但另一方面，這是n+1個(gè)n維向量，它們必然線性相關(guān)，兩者矛盾。故An＋1α=0時(shí)，必有A2α=0，即(2)的解必是(1)的解。因此命題②正確。所以應(yīng)選A。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、方程組有非零解，則k=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是方程組的系數(shù)矩陣對應(yīng)的行列式等于零，即=12(k+1)=0，因此得k=一1。10、已知方程組有無窮多解，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：n元線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是r(A)=，而有無窮多解的充分必要條件是r(A)=＜n，對增廣矩陣作初等行變換，有由于r(A)=2，所以6—2a=0，即a=3。11、，方程Ax=β無解，則a=________。標(biāo)準(zhǔn)答案：1或3知識點(diǎn)解析：已知方程組無解，所以r(A)≠r(A，β)。又因?yàn)閞(A，β)=3，所以r(A)≤2，故有｜A｜=0a=1或3。12、設(shè)A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T，k1，k2是任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：｜A｜=0，且r(A)=2，所以r(A*)=1，則由n—r(A*)=2可知，A*x=0的基礎(chǔ)解系含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，其通解形式為k1η1+k2η2。又因?yàn)锳*A=｜A｜E=0，所以矩陣A的列向量是A*x=0的解，故通解是k1(1，2，一1)T+k2(1，0，1)T。13、設(shè)(1，1，1)T，(2，2，3)T均為線性方程組的解向量，則該線性方程組的通解為________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R知識點(diǎn)解析：該線性方程組的系數(shù)矩陣為A=。已知原方程組有兩個(gè)不同的解，所以系數(shù)矩陣A不滿秩，也即r(A)＜3，又因?yàn)锳的一個(gè)二階子式=一2≠0，所以r(A)≥2。故r(A)=2。因此導(dǎo)出組Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有1個(gè)解向量，由線性方程組解的性質(zhì)可知(2，2，3)T一(1，1，1)T=(1，1，2)T是Ax=0的解，即Ax=0的基礎(chǔ)解系。故原方程組的通解為k(1，1，2)T+(1，1，1)T，k∈R。14、已知齊次線性方程組有通解k1(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T，則方程組的通解是__________。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(13，一3，1，5)T，k為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：方程組(2)的通解一定會(huì)在方程組(1)的通解之中，且是方程組(1)的通解中滿足(2)中第三個(gè)方程的解，將(1)的通解代入(2)的第三個(gè)方程，得(2k1+3k2)一2(一k1+2k2)+0k2+k1=0，即5k1=k2，將其代入(1)的通解中，得方程組(2)的通解為5k2(2，一1，0，1)T+k2(3，2，1，0)T=k2(13，一3，1，5)T，k2為任意常數(shù)。三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)設(shè)A=，ξ1=。15、求滿足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣(Aξ1)作初等行變換，則得Ax=0的基礎(chǔ)解系(1，一1，2)T和Ax=ξ1的特解(0，0，1)T。故ξ2=(0，0，1)T+k(1，一1，2)T，其中k為任意常數(shù)。A2=作初等行變換，有得A2x=0的基礎(chǔ)解系(一1，1，0)T，(0，0，1)T和A2x=ξ1的特解(，0，0)T。故ξ3=(，0，0)T+t1(一1，1，0)T+t2(0，0，1)T，其中t1，t2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析16、對(Ⅰ)中任意向量ξ2和ξ3，證明ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)椋?，ξ2，ξ3｜=≠0，所以ξ1，ξ2，ξ3線性無關(guān)。知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)有齊次線性方程組試問a取何值時(shí)，該方程組有非零解，并求出其通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組的系數(shù)矩陣A作初等行變換，有當(dāng)a=0時(shí)，r(A)=1＜n，方程組有非零解，其同解方程組為x1+x2+…+xn=0，由此得基礎(chǔ)解系為η1=(一1，1，0，…，0)T，η2=(一1，0，1，…，0)T，…，ηn－1=(一1，0，0，…，1)T，于是方程組的通解為x=k1η1+…+kn－1ηn－1，其中k1，…，kn－1為任意常數(shù)。當(dāng)a≠0時(shí)，對矩陣曰作初等行變換，有當(dāng)a=時(shí)，r(A)=n一1＜n，方程組也有非零解，其同解方程組為由此得基礎(chǔ)解系為η=(1，2，…，n)T，于是方程組的通解為x=kη，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)n元線性方程組Ax=b，其中18、當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有唯一解，并求x1；標(biāo)準(zhǔn)答案：由數(shù)學(xué)歸納法得到方程組系數(shù)矩陣的行列式｜A｜=Dn=(n+1)an。當(dāng)a≠0時(shí)，Dn≠0，方程組有唯一解。將A的第一列換成b，得行列式為=Dn－1=nan－1，所以由克拉默法則得x1=。知識點(diǎn)解析：暫無解析19、當(dāng)a為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)a=0時(shí)，方程組為此時(shí)方程組系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩均為n一1，所以方程組有無窮多解，其通解為x=(0，1，…，0)T+k(1，0，…，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)，當(dāng)a，b為何值時(shí)，存在矩陣C使得AC—CA=B，并求所有矩陣C。標(biāo)準(zhǔn)答案：令C=，則由AC—CA=B得該方程組是四元非齊次線性方程組，如果C存在，此線性方程組必須有解。對系數(shù)矩陣的增廣矩陣作初等行變換，得當(dāng)a=一1，b=0時(shí)，線性方程組有解，即存在C，使AC—CA=B。此時(shí)增廣矩陣變換為所以通解為x=，即C=(其中c1，c2為任意常數(shù))。知識點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，k1，…，ks為實(shí)數(shù)，滿足k1+k2+…+ks=1。證明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程組的解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于η1，…，ηs是非齊次線性方程組Ax=b的s個(gè)解，故有Aηi=b(i=1，…，s)。因?yàn)閗1+k2+…+ks=1，所以Ax=A(k1η1+k2η2+…+ksηs)=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b(k1+…+ks)=b，由此可見x也是方程組的解。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、已知三階矩陣A的第一行是(a，b，c)，a，b，c不全為零，矩陣B=(k為常數(shù))，且AB=O，求線性方程組Ax=0的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由AB=O知，B的每一列均是Ax=0的解，且r(A)+r(B)≤3。若k≠9，則r(B)=2，于是r(A)≤l，顯然r(A)≥1，故r(A)=1?？梢姶藭r(shí)Ax=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為3一r(A)=2，矩陣B的第一列、第三列線性無關(guān)，可作為其基礎(chǔ)解系，故Ax=0的通解為：x=k1(1，2，3)T+k2(3，6，k)T，k1，k2為任意常數(shù)。若k=9，則r(B)=1，從而1≤r(A)≤2。①若r(A)=2，則Ax=0的通解為：x=k1(1，2，3)T，k1為任意常數(shù)。②若r(A)=1，則Ax=0的同解方程組為：ax1+bx2+cx3=0，不妨設(shè)a≠0，則其通解為x=k1(，1，0)T+k2(，0，1)T，k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)方程組與方程(2)x1+2x2+x3=a一1有公共解，求a的值及所有公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(a一1)(a—2)=0。當(dāng)a=1時(shí)，，此時(shí)方程組(3)的通解為k(一1，0，1)T(k為任意常數(shù))，此即為方程組(1)與(2)的公共解。當(dāng)a=2時(shí)，，此時(shí)方程組(3)有唯一解(0，1，一1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)四元齊次線性方程組(1)為而已知另一四元齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，a+8)T。24、求方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則n—r(A)=4—2=2，基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成。取x3，x4為自由變量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程組(1)的基礎(chǔ)解系。知識點(diǎn)解析：暫無解析25、當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)與(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)η是方程組(1)與(2)的非零公共解，則η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2與l1，l2均是不全為0的常數(shù)。由k1β1+k2β2—l1α1一l2α2=0，得齊次方程組對方程組(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有當(dāng)a≠一1時(shí)，方程組(3)的系數(shù)矩陣變?yōu)??？芍匠探M(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合題意。當(dāng)a=一1時(shí)，方程組(3)系數(shù)矩陣變?yōu)?，解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以當(dāng)a=一1時(shí)，方程組(1)與(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，l1，l2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)1、設(shè)齊次線性方程組經(jīng)高斯消元化成的階梯形矩陣是，則自由變量不能取成A、x4，x5．B、x2，x3．C、x2，x4．D、x1，x3．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：自由未知量選擇的原則是：其他未知量可用它們唯一確定．如果選擇x4，x5，對應(yīng)齊次方程組寫作顯見把x4，x5當(dāng)作參數(shù)時(shí)，x1，x2，x3不是唯一確定的．因此x4，x5不能唯一確定x1，x2，x3，它們不能取為自由變量．選(A)．2、設(shè)A是m×n矩陣，則下列命題正確的是A、如m＜n，則Ax=b有無窮多解．B、如Ax=0只有零解，則Ax=b有唯一解．C、如A有n階子式不為零，則Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如m＜n，齊次方程組Ax=0有無窮多解，而線性方程組可以無解，兩者不要混淆，請舉簡單反例．如Ax=0只有零解，則r(A)=n，但由r(A)=n推斷不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以無解．例如前者只有零解，而后者無解．故(B)不正確．3、已知η1，η2，η3，η4是齊次方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則此方程組的基礎(chǔ)解系還可以是A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3+η4，η3-η4．C、η1，η2，η3，η4的一個(gè)等價(jià)向量組．D、η1，η2，η3，η4的一個(gè)等秩的向量組．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：向量組(A)線性相關(guān)，(A)不正確．η1，η2，η3，η4，η1+η2與η1，η2，η3，η4等價(jià)．但前者線性相關(guān)，故(C)不正確．等秩的向量組不一定能互相線性表出，因而可能不是方程組的解，故(D)不正確．選(B)．4、設(shè)A是5×4矩陣，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，-2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無關(guān)組可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由Aη1=0，知α1+α2-2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因?yàn)閚-r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4線性相關(guān)．故應(yīng)排除(B)．把②代入①得α1-2α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除(A)．如果α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)=r(-2α3，α2，α3，-α2)=r(α2，α3)=1與r(A)=2相矛盾．所以選(C)．二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)5、已知齊次方程組同解，a______，b_______，它們的通解________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1；2；c1(1，-1，1，0)T+c2(-1，0，0，1)T，c1，c2任意知識點(diǎn)解析：暫無解析6、構(gòu)造非齊次方程組______，使得其通解為(1，0，0，1)T+c1(1，1，0，-1)T+c2(0，2，1，1)T，c1，c2任意．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識點(diǎn)解析：暫無解析7、已知方程組有無窮多解，則a=______.標(biāo)準(zhǔn)答案：-5知識點(diǎn)解析：對增廣矩陣作初等行變換，有當(dāng)a=-5時(shí)，r(A)=＜3，方程組有無窮多解．8、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠1且λ≠知識點(diǎn)解析：對任意b，b，b，方程組有解r(A)=3｜A｜≠0．而由=(5λ+4)(λ-1)≠0，可知λ≠1且λ≠.9、四元方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(0，0，1，0)T，(-1，1，0，1)T知識點(diǎn)解析：n-r(A)=4-2=2．取x4，x5為自由變量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=-1，所以基礎(chǔ)解系是(0，0，1，0)T，(-1，1，0，1)T．10、四元方程組Ax=b的三個(gè)解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，則方程組Ax=b的通解是______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知識點(diǎn)解析：由(α2+α3)-2α1=(α2-α1)+(α3-α1)=(2，3，4，5)T-2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(a)=3，n-r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．11、設(shè)A為三階非零矩陣，B=，且AB=0，則Ax=0的通解是______.標(biāo)準(zhǔn)答案：c1(1，4，3)T+c2(-2，3，1)T，c1，c2任意知識點(diǎn)解析：由AB=0得r(A)+r(B)≤3．顯然r(B)≥2，r(A)＞0，因而r(A)=1，n-r(A)=2．又AB=0說明B的每個(gè)到向量都是AX=0的解，取它的1，3兩列作為基礎(chǔ)解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(-2，3，1)T，c1，c2任意．12、設(shè)A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*X=0的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知識點(diǎn)解析：因?yàn)橹萺(A)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．13、已知α1，α2，…，αt都是非齊次線性方程組Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，則c1+c2+…+ct=______．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識點(diǎn)解析：因?yàn)棣羒是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，則A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．14、已知方程組的通解是(1，2，-1，0)T+k(-1，2，-1，1)T，則a=_____.標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：因(1，2，-1，0)T是Ax=b的解，則將其代入第2個(gè)方程可求出b=1．因(-1，2，-1，1)T是Ax=0的解，則將其代入第1個(gè)方程可求出a=3．15、已知ξ1=(-3，2，0)T，ξ2=(-1，0，-2)T是方程組的兩個(gè)解，則此方程組的通解是_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T知識點(diǎn)解析：由于矩陣A中有2階子式不為0，故秩r(A)≥2．又ξ1-ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n-r(A)=1．所以方程組通解是：(-3，2，0)T+k(-1，1，1)T．三、解答題(本題共16題，每題1.0分，共16分。)16、已知齊次方程組同解，求a，b，c．標(biāo)準(zhǔn)答案：本題可以用上例的方法，先求出其中一個(gè)方程組的解，代入另一個(gè)方程組求參數(shù)．但是由于兩個(gè)方程組都有參數(shù)，先求一個(gè)方程組的解時(shí)，參數(shù)會(huì)使得計(jì)算復(fù)雜．可先從概念上著眼，兩個(gè)方程組同解可推得它們的系數(shù)矩陣的秩相等．左邊方程組系數(shù)矩陣的秩不會(huì)小于2，右邊方程組系數(shù)矩陣的秩不會(huì)大于2，于是它們的系數(shù)矩陣的秩為2．這樣參數(shù)口可先求得，再求左邊方程組的解，代入右邊方程組求b，c．(計(jì)算過程略)下面我們用一個(gè)更加簡單的方法．這兩個(gè)方程組同解，則它們的聯(lián)立方程組也和它們同解，系數(shù)矩陣的秩也為2．由此可直接通過計(jì)算聯(lián)立方程組系數(shù)矩陣的秩來求a，b，c．于是a-2=0，c-b-1=0，c-b2-1=0．則a=2，b，c有兩組解①b=0，c=1；②b=1，c=2．可是b=0，c=1時(shí)右邊方程組系數(shù)矩陣的秩為1，因此兩個(gè)方程組不會(huì)同解，這組解應(yīng)該舍去．得a=2，b=1，c=2．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、設(shè)齊次方程組(Ⅰ)有一個(gè)基礎(chǔ)解系β1=(b11，b12，…，b1×2n)T，β2=(b21，b22，…，b2×2n)T，…，βn=(bn1，bn2，…，bn×2n)T．證明A的行向量組是齊次方程組(Ⅱ)的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：分別記A和B為(Ⅰ)和(Ⅱ)的系數(shù)矩陣．(Ⅰ)的未知量有2n個(gè)，它的基礎(chǔ)解系含有n個(gè)解，則r(A)=n，即A的行向量組α1，α2，…，αn線性無關(guān)．由于β1，…，βn都是(Ⅰ)的解，有ABT=(Aβ1，Aβ2，…，An)=0，轉(zhuǎn)置得BAT=0，即BαiT=0，i=1，…，n．于是，α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的n個(gè)線性無關(guān)的解．又因?yàn)閞(B)=n，(Ⅱ)也有2n個(gè)未知量，2n-r(B)=n．所以α1，α2，…，αn是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．從而(Ⅱ)的通解為c1α1+c2α2+…+cnαn，c1，c2，…，cn可取任意數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、構(gòu)造齊次方程組，使得η1=(1，1，0，-1)T，η2=(0，2，1，1)T構(gòu)成它的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：所求AX=0要滿足：4維向量η是AX=0的解η可用η1，η2線性表示．設(shè)η=(c1，c2，c3，c3)T，(η1，η1｜η)=于是η可用η1，η2線性表示c2-c1-2c3=0且c4+c1-c3=0η是齊次方程組的解．這個(gè)齊次方程組滿足要求．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt線性無關(guān)，其中α1，α2，…，αs是齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系．證明Aβ1，Aβ2，…，Aβt線性無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：用定義法證．設(shè)c1Aβ1+c2Aβ2+…+ctAβt=0．則A(c1β1+c2β2+…+ctβt)=0即c1β1+c2β2+…+cTβT是AX=0的一個(gè)解．于是它可以用α1，α2，…，αs線性表示：c1β1+c2β2+…+ctβt=x1α1+t2α2+…+tsαs，再由α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt線性無關(guān)，得所有系數(shù)都為0．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、設(shè)η1，η2，η3為3個(gè)n維向量，已知n元齊次方程組AX=0的每個(gè)解都可以用η1，η2，η3線性表示，并且r(A)=n-3，證明η1，η2，η3為AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)閞(A)=n-3，所以AX=0的基礎(chǔ)解系包含3個(gè)解．設(shè)γ1，γ2，γ3是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則條件說明γ1，γ2，γ3可以用η1，η2，η3線性表示．于是有下面的關(guān)于秩的關(guān)系式：3=r(γ1，γ2，γ3)≤r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)=r(η1，η2，η3)≤3，從而r(γ1，γ2，γ3)=r(η1，η2，η3；γ1，γ2，γ3)=r(η1，η2，η3)，這說明η1，η2，η3和γ1，γ2，γ3等價(jià)，從而η1，η2，η3也都是AX=0的解；又r(η1，η2，η3)=3，即η1，η2，η3線性無關(guān)，因此是AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析21、n元非齊次線性方程組AX=β如果有解，則解集合的秩為=n-r(A)+1．標(biāo)準(zhǔn)答案：記s=n-r(A)，則本題要說明兩點(diǎn)．(1)存在AX=β的s+1個(gè)線性無關(guān)的解．(2)AX=β的s+2個(gè)解一定線性相關(guān)．(1)設(shè)ξ為(Ⅰ)的一個(gè)解，η1，η2，…，ηs為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，則ξ不能用η1，η2，…，ηs線性表示，因此ξ，η1，η2，…，ηs線性無關(guān)．ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs是(Ⅰ)的s+1個(gè)解，并且它們等價(jià)于ξ，η1，η2，…，ηs于是r(ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs)=r(ξ，η1，η2，…，ηs)=s+1，因此ξ，ξ+η1，ξ+η2，…，ξ+ηs是(I)的s+1個(gè)線性無關(guān)的解．(2)AX=β的任何s+2個(gè)解都可用ξ，η1，η2，…，ηs這s+1向量線性表示，因此一定線性相關(guān)．知識點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，-3a)T，α3=(-1，-b-2．a(chǎn)+2b)T．β=(1，3，-3)T．試討論當(dāng)a，b為何值時(shí)，(1)β不能用α1，α2，α3線性表示；(2)β能用α1，α2，α3唯一地線性表示，求表示式；(3)β能用α1，α2，α3線性表示，且表示式不唯一，求表示式的一般形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：記A=(α1，α2，α3)，則問題化歸線性方程組AX=β解的情形的討論及求解問題了．(1)a=0(b任意)時(shí)方程組AX=β無解，β不能用α1，α2，α3線性表示．(2)當(dāng)a≠0，a≠b時(shí)，r(A｜β)=r(A)=3，方程組AX=β唯一解，即β可用α1，α2，α3唯一表示．AX=β的解為(3)當(dāng)a=b≠0時(shí)r(A｜β)=r(A)=2，AX=β有無窮多解，即β可用α1，α2，α3線性表示，且表示式不唯一．AX=β有特解，而(0，1，1)T構(gòu)成AX=0的基礎(chǔ)解系，AX=β的通解為+c(0，1，1)T，c任意，即β=α2+cα3，c任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知平面上三條直線的方程為l1：ax+2by+3c=0，l2：bx+2cy+3a=0．l3：cx+2ay+3b=0．試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為a+b+c=0．標(biāo)準(zhǔn)答案：l1，l2，l3交于一點(diǎn)即方程組有唯一解，即系數(shù)矩陣的秩=增廣矩陣的秩=2．記則方程組系數(shù)矩陣的秩=r(A)，增廣矩陣的秩=r(B)，于是l1，l2，l3交于一點(diǎn)r(A)=r(B)=2．必要性由于r(B)=2，則｜B｜=0．計(jì)算出｜B｜=-(a+b+c)(a2+b2+c2-ac-ac-bc)=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2]．a(chǎn)，b，c不會(huì)都相等(否則r(A)=1)，即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0．得a+b+c=0．充分性當(dāng)a+b+c=0時(shí)，｜B｜=0，于是r(A)≤r(B)≤2．只用再證r(A)=2，就可得到r(A)=r(B)=2．用反證法．若r(A)＜2，則A的兩個(gè)列向量線性相關(guān)．不妨設(shè)第2列是第1列的λ倍，則b=λa，c=λb，a=λc．于是λ3a=a，λ3b=b，λ3c=c，由于a，b，c不能都為0，得λ3=1，即λ=1，于是a=b=c．再由a+b+c=0，得a=b=c=0，這與直線方程中未知數(shù)的系數(shù)不全為0矛盾．知識點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)A=①a，b取什么值時(shí)存在矩陣X，滿足AX-AX=B?②求滿足AX-AX=B的矩陣X的一般形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：X一定是2階矩陣．設(shè)X=①AX=，XA=AX-XA=B即x1，x2，x3，x4是線性方程組：的解．得a=-3，b=-2．②把a(bǔ)=-3，b=-2代入右邊的矩陣，并繼續(xù)作行變換化得簡單階梯形矩陣解得通解為(-3，-2，0，0)T+c1(1，1，1，0)T+c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．則滿足AX-CX=B的矩陣X的一般形式為知識點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)A=(1)求方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系．(2)a，b，c為什么數(shù)時(shí)AX=B有解?(3)此時(shí)求滿足AX=B的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對AX=B的增廣矩陣(A｜B)作初等行變換化階梯形矩陣：得到AX=0的同解方程組：求得基礎(chǔ)解系：(-2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T．(2)AX=B有解r(A｜B)=r(A)=2，得a=6，b=-3，c=3．(3)建立3個(gè)線性方程組，它們的系數(shù)矩陣都是A，常數(shù)列依次為B的各列．則X的各列依次是它們的解．它們的導(dǎo)出組都是AX=0，已經(jīng)有了基礎(chǔ)解系(-2，1，1，0)T，(1，0，0，1)T，只用再各求一個(gè)特解就可得到通解．可以一起用矩陣消元法求它們的特解：于是(3／2，3／2，0，0)T，(-3／2，3／2，0，0)T，(0，1，0，0)T依次是這3個(gè)方程組的特解．AX=B的通解為：其中c1，c2，c3，c4，c5，c6任意．或者表示為：其中H為任意2×3矩陣．知識點(diǎn)解析：暫無解析26、求齊次方程組的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：對系數(shù)矩陣作初等變換，有當(dāng)a≠1時(shí)，r(A)=3，取自由變量x4得x4=1，x3=0，x2=-6，x1=5．基礎(chǔ)解系是(5，-6，0，1)T．當(dāng)a=1時(shí)，r(A)=2．取自由變量x3，x4，則由x3=1，x4=0得x2=-2，x1=1，x3=0，x4=1得x2=-6，x1=5，知基礎(chǔ)解系是(1，-2，1，0)T，(5，-6，0，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析27、求線性方程組的通解，并求滿足條件x12=x22的所有解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有方程組的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2．即α=(2，1，0，0)T．導(dǎo)出組的解：令x3=1，x4=0得x2=3，x1=1．即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1得x2=0，x1=1．即η2=(-1，0，0，1)T．因此方程組的通解是：(2，1，0，0)v+k1(1，3，1，0)T+k2(-1，0，0，1)T．而其中滿足x12=x22的解，即(2+k1-k2)2=(1+3k1)2．那么2+k1-k2=1+3k1或2+k1-k2=-(1+3k1)，即k2=1-2k1或k2=3+4k1．所以(1，1，0，1)T+k(3，3，1，-2)T和(-1，1，0，3)T+k(-3，3，1，4)T為滿足x12=x22的所有解．知識點(diǎn)解析：暫無解析28、當(dāng)a，b取何值時(shí)，方程組有唯一解，無解，有無窮多解?當(dāng)方程組有解時(shí)，求其解．標(biāo)準(zhǔn)答案：對增廣矩陣作初等行變換，有(Ⅰ)當(dāng)a≠0，且b≠3時(shí)，方程組有唯一解(Ⅱ)當(dāng)a=0時(shí)，方程組均無解．(Ⅲ)當(dāng)n≠0，b=3時(shí)，方程組有無窮多解+k(0，-3，2)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析29、已知a，b，c不全為零，證明方程組只有零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橄禂?shù)行列式=-(a2+bv+c2)≠0，所以齊次方程組只有零解．知識點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)A是n階矩陣，證明方程組Ax=b對任何b都有解的充分必要條件是｜A｜≠0．標(biāo)準(zhǔn)答案：必要性．對矩陣A按列分塊A=(α1，α2，…，αn)，則，Ax=b有解α1，α2，…，αn可表示任何n維向量bα1，α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(0，0，0，…，1)Tr(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=nr(A)=n．所以｜A｜≠0．充分性．由克萊姆法則，行列式｜A｜≠0時(shí)方程組必有唯一解，故，Ax=b總有解．知識點(diǎn)解析：暫無解析31、證明：與基礎(chǔ)解系等價(jià)的線性無關(guān)的向量組也是基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)Ax=0的基礎(chǔ)解系是α1，α2，…，αt．若β1，β2，…，βs線性無關(guān)，β1，β2，…，βs與α1，α2，…，αt等價(jià)．由于βj(j=1，2，…，s)可以由α1，α2，…，αt線性表示，而αi(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以βj(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因?yàn)棣?，α2，…，αt線性無關(guān)，秩r(α1，α2，…，αt)=t，又α1，α2，…，αt與β1，β2，…，βs等價(jià)，所以r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αt)=t．又因β1，β2，…，βs線性無關(guān)，故s=t．因此β1，β2，…，βt是Ax=0的基礎(chǔ)解系．知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)1、設(shè)A為m×n矩陣，齊次線性方程組Ax=0僅有零解的充要條件是()A、A的列向量線性無關(guān)。B、A的列向量線性相關(guān)。C、A的行向量線性無關(guān)。D、A的行向量線性相關(guān)。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：Ax=0僅有零解<=>r(A)=n<=>A的列向量線性無關(guān)。故選A。2、非齊次線性方程組Ax=b中未知量的個(gè)數(shù)為n，方程個(gè)數(shù)為m，系數(shù)矩陣的秩為r，則()A、r=m時(shí)，方程組Ax=b有解。B、r=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。C、m=n時(shí)，方程組Ax=b有唯一解。D、r＜n時(shí)，方程組有無窮多個(gè)解。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：對于選項(xiàng)A，r(A)=r=m。由于r(A，b)≥m=r，且r(A，b)≤min{m，n+1}=min{r，n+1}=r，因此必有r(A，b)=r，從而r(A)=r(A，b)，此時(shí)方程組有解。由B、C、D選項(xiàng)的條件均不能推得“兩秩”相等。故選A。3、已知α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)不同的解，那么向量α1一α2，α1+2α2—2α3，(α2一α1)，α1—3α2+2α3，中，對應(yīng)齊次線性方程組Ax=0解向量的共有()A、4。B、3。C、2。D、1。標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由Aαi=b(i=1，2，3)有A(α1—α2)=Aα1—Aα2=b—b=0，A(α1+α1—2α3)=Aα1+Aα2—2Aα3=b+b一2b=0，A(α1一3α2+2α3)—Aα1—3Aα2+2Aα3=b一3b+2b=0，即α1一α2，α1+α2—2α3，(α2一α1)，α1一3α2+2α3均是齊次方程組Ax=0的解。故選A。4、某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換化為，則自由變量可取為①x4，x5；②x3，x5；③x1，x5；④x2，x3。那么正確的共有()A、1個(gè)。B、2個(gè)。C、3個(gè)。D、4個(gè)。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：因?yàn)橄禂?shù)矩陣的秩r(A)=3，則n—r(A)=5—3=2，故應(yīng)當(dāng)有兩個(gè)自由變量。由于去掉x4，x5兩列之后，所剩三階矩陣為，因?yàn)槠渲扰cr(A)不相等，故x4，x5不是自由變量。同理，x3，x5不能是自由變量。而x1，x5與x2，x3均可為自由變量，因?yàn)樾辛惺脚c都不為0。故選B。5、設(shè)η1，η2，η3，η4是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系，則Ax=0的基礎(chǔ)解系還可以是()A、η1一η2，η2+η3，η3一η4，η4+η1。B、η1+η2，η2+η3+η4，η1一η2+η3。C、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1。D、η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：方法一：由已知條件知AX=0的基礎(chǔ)解系由四個(gè)線性無關(guān)的解向量所構(gòu)成。選項(xiàng)B中僅三個(gè)解向量，個(gè)數(shù)不合要求，故排除B項(xiàng)。選項(xiàng)A和C中，都有四個(gè)解向量，但因?yàn)?η1一η2)+(η2+η3)一(η3一η4)一(η4+η1)=0，(η1+η2)一(η2+η3)+(η3+η4)一(η4+η1)=0，說明選項(xiàng)A、C中的解向量組均線性相關(guān)，因而排除A項(xiàng)和C項(xiàng)。故選D。方法二：由(η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1)=(η1，η2，η3，η4)因?yàn)橹?+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1線性無關(guān)，又因η1+η2，η2一η3，η3+η4，η4+η1均是Ax=0的解，且解向量個(gè)數(shù)為4。故選D。6、已知四階方陣A=(α1，α2，α3，α4)，α1，α2，α3，α4均為四維列向量，其中α1，α2線性無關(guān)，若α1+2α2一α3=β，α1+α2+α3+α4=β，2α1+3α2+α3+2α4=β，k1，k2為任意常數(shù)，那么Ax=β的通解為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由α1+2α2一α3=β知即γ1=(1，2，一1，0)AT是Ax=β的解。同理γ2=(1，1，1，1)AT，γ3=(2，3，1，2)AT均是Ax=β的解，則η1=γ1一γ2=(0，1，一2，一1)T，η2=γ3一γ1=(1，2，0，1)T是導(dǎo)出組Ax=0的解，并且它們線性無關(guān)。于是Ax=0至少有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量，則n—r(A)≥2，即r(A)≤2，又因?yàn)棣?，α2線性無關(guān)，故r(A)=r(α1，α2，α3，α4)≥2。所以必有r(A)=2，從而n—r(A)=2，因此η1，η2就是Ax=0的基礎(chǔ)解系。故選B。7、η1，η2是n元齊次方程組Ax=0的兩個(gè)不同的解，若r(A)=n一1，則Ax=0的通解為()A、kη1。B、kη2。C、k(η1+η2)。D、k(η1一η2)。標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識點(diǎn)解析：因?yàn)閞(A)=n—l，所以Ax=0的基礎(chǔ)解系只含有一個(gè)解向量，η1一η2為Ax=0的非零解，所以Ax=0的通解為k(η1一η2)。故選D。8、設(shè)有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0，其中A，B均為m×n矩陣，現(xiàn)有四個(gè)命題：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，則r(A)≥r(B)；②若r(A)≥r(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0與Bx=0同解，則r(A)=r(B)；④若r(A)=r(B)，則Ax=0與Bx=0同解。以上命題中正確的有()A、①②。B、①③。C、②④。D、③④。標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：由于線性方程組Ax=0和Bx=0之間可以無任何關(guān)系，此時(shí)其系數(shù)矩陣的秩之間的任何關(guān)系都不會(huì)影響它們各自解的情況，所以②④顯然不正確，利用排除法，可得正確選項(xiàng)為B。下面證明①③正確。對于①，由Ax=0的解均是Bx=0的解可知，方程組Bx=0含于Ax=0之中。從而Ax=0的有效方程的個(gè)數(shù)(即r(A))必不少于Bx=0的有效方程的個(gè)數(shù)(即r(B))，故r(A)≥r(B)。對于③，由于A，B為同型矩陣，若Ax=0與Bx=0同解，則其基礎(chǔ)解系包含的解向量的個(gè)數(shù)相同，即n—r(A)=n一r(B)，從而r(A)=r(B)。故選B。二、填空題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)9、已知方程組無解，則a=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一1知識點(diǎn)解析：對線性方程組的增廣矩陣作初等行變換得因?yàn)榫€性方程組無解，所以系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩，所以a=一1。10、已知齊次方程組有非零解，則λ=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：一3或一1知識點(diǎn)解析：系數(shù)矩陣的行列式｜A｜==一(λ+3)(λ+1)，所以當(dāng)λ=一3或一1時(shí)，方程組有非零解。11、設(shè)A是一個(gè)五階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，若η1，η2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則r(A*)=______。標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識點(diǎn)解析：η1，η2是齊次線性方程組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解。由方程組的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣秩的關(guān)系，可得n一r(A)≥2，即r(A)≤3。又因?yàn)锳是五階矩陣，所以｜A｜的四階子式一定全部為零，則代數(shù)余子式Aij恒為零，即A*=O，所以r(A*)=0。12、設(shè)，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：因?yàn)榫仃嘇的秩是2，所以｜A｜=0，且r(A*)=1。再由A*A=｜A｜E=O可知，A的列向量為A*x=0的解，因此A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T，k1，k2為任意常數(shù)。13、設(shè)n階矩陣A的秩為n一2，α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則Ax=b的通解為______。標(biāo)準(zhǔn)答案：α1+k1(α1一α2)+k2(α3一α2)，k1，k2為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：α1，α2，α3是非齊次線性方程組Ax=b的三個(gè)線性無關(guān)的解，則α2一α1，α3一α1是Ax=0的兩個(gè)非零解，且它們線性無關(guān)。又n—r(A)=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基礎(chǔ)解系，所以Ax=b的通解為α1+k1(α2一α1)+k2(α3一α1)，k1，k2為任意常數(shù)。14、已知方程組與方程(2)x1+5x2=0，則(1)與(2)的公共解是______。標(biāo)準(zhǔn)答案：k(一5，3，1)T，k為任意常數(shù)知識點(diǎn)解析：將方程組(1)和方程(2)聯(lián)立，得到方程組(3)的解就是兩者的公共解。對(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換可得由于A的秩為2，所以自由變量有一個(gè)，令自由變量x3=1，代入可得x2=3，x1=一5，所以(3)的基礎(chǔ)解系為η=(一5，3，1)T。因此(1)和(2)的公共解為k(一5，3，1)T，k為任意常數(shù)。三、解答題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)15、已知4×5矩陣A=(α1，α2，α3，α4，α5)，其中α1，α2，α3，α4，α5均為四維列向量，α1，α2，α4線性無關(guān)，又設(shè)α3=α1一α4，α5=2α1+α2+α4，β=2α1+α2一α3+α4+α5，求Ax=β的通解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由于α1，α2，α3線性無關(guān)，α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，所以r(A)=3。由已知β=2α1+α2一α3+α4+α5，從而線性方程組Ax=β有特解η=(2，1，一1，1，1)T。由α3=α1一α4，α5=α1+α2+α4，可知導(dǎo)出組Ax=0的兩個(gè)線性無關(guān)的解為ξ1=(1，0，一1，一1，0)T，ξ2=(1，1，0，1，一1)T。由r(A)=3，可知齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)的解構(gòu)成，故ξ1，ξ2為Ax=0的基礎(chǔ)解系，方程組Ax=β的通解為x=η+k1ξ1+k2ξ2，其中k1，k2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)四元齊次線性方程組求：16、方程組(1)與(2)的基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換分別取和，其基礎(chǔ)解系可取為對方程組(2)的系數(shù)矩陣作初等行變換分別取和，其基礎(chǔ)解系可取為undefined知識點(diǎn)解析：暫無解析17、方程組(1)與(2)的公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)x=(x1，x2，x3，x4)T為(1)與(2)的公共解，用兩種方法求x的一般表達(dá)式。方法一：x是(1)與(2)的公共解，因此x是方程組(3)的解，方程組(3)為(1)與(2)合并的方程組，即其系數(shù)矩陣取其基礎(chǔ)解系為(一1，1，2，1)T，于是(1)與(2)的公共解為x=k(一l，1，2，1)T，k∈R。方法二：將(1)的通解x=(c1，一c1，c2，一c2)T代入(2)得c2=一2c1，這表明(1)的解中所有形如(c1，一c1，一2c2，一c2)T的解也是(2)的解，從而是(1)與(2)的公共解。因此(1)與(2)的公共解為x=k(一1，1，2，1)T，k∈R。知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)方程組與方程(2)x1+2x2+x3=a一l有公共解，求a的值及所有公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：把方程組(1)與(2)聯(lián)立，得方程組則方程組(3)的解就是方程組(1)與(2)的公共解。對方程組(3)的增廣矩陣作初等行變換，有因方程組(3)有解，所以(a—1)(a—2)=0。當(dāng)a=1時(shí)，，此時(shí)方程組(3)的通解為k(一1，0，1)T(k為任意常數(shù))，即為方程組(1)與(2)的公共解。當(dāng)a=2時(shí)，，此時(shí)方程組(3)有唯一解(0，1，一1)T，這也是方程組(1)與(2)的公共解。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)四元齊次線性方程組(1)為而已知另一四元齊次線性方程組(2)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(2，一1，a+2，1)T，α2=(一1，2，4，A+8)T。19、求方程組(1)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；標(biāo)準(zhǔn)答案：對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則n—r(A)=4—2=2，基礎(chǔ)解系由兩個(gè)線性無關(guān)的解向量構(gòu)成。取x3，x4為自由變量，得β1=(5，一3，1，0)T，β2=(一3，2，0，1)T是方程組(1)的基礎(chǔ)解系。知識點(diǎn)解析：暫無解析20、當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)與(2)有非零公共解?并求出所有非零公共解。標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)η是方程組(1)與(2)的非零公共解，則η=k1β1+k2β2=l1α1+l2α2，其中k1，k2與l1，l2均是不全為0的常數(shù)。由k1β1+k2β2一l1α1一l2α2=0，得齊次方程組對方程組(3)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有當(dāng)a≠一1時(shí)，方程組(3)的系數(shù)矩陣變?yōu)??？芍匠探M(3)只有零解，即k1=k2=l1=l2=0，于是η=0，不合題意。當(dāng)a=一1時(shí)，方程組(3)系數(shù)矩陣變?yōu)?，解得k1=l1+4l2，k2=l1+7l2。于是η=(l1+4l2)β1+(l1+7l2)β2=l1α1+l2α2。所以當(dāng)a=一1時(shí)，方程組(1)與(2)有非零公共解，且公共解是l1(2，一1，1，1)T+l2(一1，2，4，7)T，其中l(wèi)1，l2為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析設(shè)線性方程組(1)Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為α1=(1，1，1，0，2)T，α2=(1，1，0，1，1)T，α3=(1，0，1，1，2)T。線性方程組(2)Bx=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為β1=(1，1，一1，一1，1)T，β2=(1，一1，1，一1，2)T，β3=(1，一1，一1，1，1)T。求：21、線性方程組(3)的通解；標(biāo)準(zhǔn)答案：線性方程組(1)Ax=0的通解為x=k1α1+k2α2+k3α3；線性方程組(2)Bx=0的通解為x=l1β1+l2β2+l3β3；線性方程組(3)的解是方程組(1)和(2)的公共解，故考慮線性方程組(4)k1α1+k2α2+k3α3=l1β1+l2β2+l3β3，將其系數(shù)矩陣作初等行變換，即則方程組(4)的一個(gè)基礎(chǔ)解系是(一2，0，2，一1，0，1)T。將其代入(4)得到方程組(3)的一個(gè)基礎(chǔ)解系ξ=一2α1+2α2=一β1+β2=(0，一2，0，2，0)T。所以方程組(3)的通解為x=k(0，一1，0，1，0)T，其中k為任意常數(shù)。知識點(diǎn)解析：暫無解析22、矩陣C=(AT，BT)的秩。標(biāo)準(zhǔn)答案：線性方程組(3)與線性方程組xT(AT，BT)=0等價(jià)，而方程組(3)的基礎(chǔ)解系只含一個(gè)向量，故矩陣C=(AT，BT)的秩r(C)=5—1=4。知識點(diǎn)解析：暫無解析23、已知齊次線性方程組和同解，求a，b，c的值。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)榉匠探M(2)中“方程個(gè)數(shù)＜未知數(shù)個(gè)數(shù)”，所以方程組(2)必有非零解。于是方程組(1)必有非零解，則(1)的系數(shù)行列式為0，即所以a=2。對方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換，有則方程組(1)的通解是k(一l，一1，1)T。因?yàn)?一1，一1，1)T是方程組(2)的解，所以故b=1，c=2或b=0，c=1。當(dāng)b=1，c=2時(shí)，方程組(2)為其通解是k(一1，一1，1)T，所以方程組(1)與(2)同解。當(dāng)b=0，c=1時(shí)，方程組(2)為由于方程組(2)的系數(shù)矩陣的秩為1，而方程組(1)的系數(shù)矩陣的秩為2，故方程組(1)與(2)不同解，則b=0，c=1應(yīng)舍去。綜上，當(dāng)a=2，b=1，c=2時(shí)，方程組(1)與(2)同解。知識點(diǎn)解析：暫無解析24、已知齊次線性方程組的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0的解。試證明線性方程組有解。標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知齊次線性方程組的所有解都是方程b1x1+b2x2+…+bnxn=0(2)的解，可知方程組(1)與方程組有相同的解。故(1)的系數(shù)矩陣與(3)的系數(shù)矩陣的秩相同，即r(A)=r(B)。又方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為由r(A)=r(AT)，r(B)=r(BT)，所以r(AT)=r(BT)，即方程組的系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩，故線性方程組有解。知識點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)二（線性方程組）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A是m×n矩陣，r(A)=r．則方程組AX=βA、在r=m時(shí)有解．B、在m=n時(shí)有唯一解．C、在r＜n時(shí)有無窮多解．D、在r=n時(shí)有唯一解．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：此題的考點(diǎn)是解的情況的判別法則以及矩陣的秩的性質(zhì)．在判別法則中雖然沒有出現(xiàn)方程個(gè)數(shù)m，但是m是r(A)和r(A｜β)的上限．因此，當(dāng)r(A)=m時(shí)，必有r(A｜β)=r(A)，從而方程組有解，A正確．C和D的條件下不能確定方程組有解．B的條件下對解的情況不能作任何判斷．2、A=，r(A)=2，則()是A*X=0的基礎(chǔ)解系．A、(1，－1，0)T，(0，0，1)T．B、(1，－1，0)T．C、(1，－1，0)T，(2，－2，a)T．D、(2，－2，a)T，(3，－3，b)T．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識點(diǎn)解析：由A是3階矩陣，因此未知數(shù)個(gè)數(shù)n為3．r(A)=2，則r(A*)=1．A*X=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含n－1=2個(gè)解，A滿足．(1，－1，0)T，(0，0，1)T顯然線性無關(guān)，只要再說明它們都是A*X=0的解．A*A=｜A｜E=0，于是A的3個(gè)列向量(1，－1，0)T，(2，－2，a)T，(3，－3，b)T都是A*X=0的解．由于r(A)=2，a和b不會(huì)都是0，不妨設(shè)a≠0，則(0，0，a)T=(2，－2，a)T=2(1，－1，0)T也是A*X=0的解．于是(0，0，1)T=(0，0，a)T／a也是解．3、設(shè)ξ1，ξ2是非齊次方程組AX=β的兩個(gè)不同的解，η1，η2為它的導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則它的通解為()A、k1η1+k2η2+(ξ1－ξ2)／2．B、k1η1+k2(η1－η2)+(ξ1+ξ2)／2．C、k1η1+k2(ξ1－ξ2)+(ξ1－ξ2)／2．D、k1η1+k2(ξ1－ξ2)+(ξ1+ξ2)／2．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：用排除法．先看特解．(ξ1－ξ2)／2是AX=0的解，不是AX=β的解，從而A，C都不對．(ξ1+ξ2)／2是AX=β的解．在看導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系．在B中，η1，η1－η2是AX=0的兩個(gè)解，并且由η1，η2線性無關(guān)容易得出它們也無關(guān)，從而可作出AX=0的基礎(chǔ)解系，B正確．在D中，雖然η1，ξ1－ξ2都是AX=0的解，但不知道它們是否無關(guān)，因此D作為一般性結(jié)論是不對的．4、設(shè)線性方程組AX=β有3個(gè)不同的解γ1，γ2，γ3，r(A)=n－2，n是未知數(shù)個(gè)數(shù)，則()正確．A、對任何數(shù)c1，c2，c3，c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解；B、2γ1－3γ2+γ3是導(dǎo)出組AX=0的解；C、γ1，γ2，γ3線性相關(guān)；D、γ1－γ2，γ2－γ3是AX=0的基礎(chǔ)解系．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：Aγi=β，因此A(2γ1－3γ2+γ3)=2β－3β+β=0，即2γ1－3γ2+γ3是AX=0的解，B正確．c1γ1+c2γ2+c3γ3都是AX=β的解<=>c1+c2+c3=1，A缺少此條件．當(dāng)r(A)=n－2時(shí)，AX=0的基礎(chǔ)解系包含兩個(gè)解，此時(shí)AX=β存在3個(gè)線性無關(guān)的解，因此不能斷定γ1，γ2，γ3線性相關(guān)．C不成立．γ1－γ2，γ2－γ3都是AX=0的解，但從條件得不出它們線性無關(guān)，因此D不成立．5、設(shè)A是m×n矩陣，則下列命題正確的是A、如m＜n，則AX=b有無窮多解．B、如Ax=0只有零解，則Ax=b有唯一解．C、如A有n階子式不為零，則Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要條件是r(A)=n．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識點(diǎn)解析：如m＜n，齊次方程組Ax=0有無窮多解，而線性方程組可以無解，兩者不要混淆，請舉簡單反例．如Ax=0只有零解，則r(A)=n，但由r(A)=n推斷不出r(a｜b)=n，因此Ax=b可以無解．例如前者只有零解，而后者無解．故B不正確．關(guān)于D，Ax=b有唯一解<=>r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=nr(A｜b)=n，例子同上．可見D只是必要條件，并不充分．C為何正確?除用排除法外，你如何證明．6、設(shè)A是5×4矩陣，A=(η1，η2，η3，η4)，若η1=(1，1，－2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是AX=0的基礎(chǔ)解系，則A的列向量組的極大線性無關(guān)組可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識點(diǎn)解析：由Aη1=0，知α1+α2－2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因?yàn)閚－r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除D．由②知，α2，α4線性相關(guān)．故應(yīng)排除B．把②代入①得α1－2α3=0，即α1，α3線性相關(guān)，排除A．如果α2，α3線性相關(guān)，則r(α1，α2，α3，α4)=r(－2α3，α2，α3，－α2)=r(α2，α3)=1與r(A)=2相矛盾．所以選C．二、填空題(本題共4題，每題1.0分，共4分。)7、已知方程組總有解，則λ應(yīng)滿足_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：λ≠1且λ≠知識點(diǎn)解析：對任意b1，b2，b3，方程組有解錚r(A)=3<=>｜A｜≠0．而由可知λ≠1且λ≠8、四元方程組Ax=b的三個(gè)解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，則方程組Ax=b的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知識點(diǎn)解析：由(α2+α3)－2α1=(α2－α1)+(α3－α1)=(2，3，4，5)T－2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n－r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．9、設(shè)A=，A*是A的伴隨矩陣，則A*x=0的通解是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知識點(diǎn)解析：因?yàn)橹萺(A)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．10、已知方程組的通解是(1，2，－1，0)T+k(－1，2，－1，1)T，則a=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識點(diǎn)解析：因(1，2，－1，0)T是Ax=b的解，則將其代入第2個(gè)方程可求出b=1．因(－1，2，－1，1)T是Ax=0的解，則將其代入第1個(gè)方程可求出a=3．三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)11、已知(1，a，2)T，(－1，4，b)T構(gòu)成齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，求a，b，s，t．標(biāo)準(zhǔn)答案：此齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系包含2個(gè)解，未知數(shù)有3個(gè)，則系數(shù)矩陣的秩為1，立刻得到s=2，t=－1．于是方程組為把(1，a，2)T，(－1，4，b)T代入，得a=2，b=1．知識點(diǎn)解析：暫無解析12、討論p，t為何值時(shí)，方程組無解?有解?有解時(shí)寫出全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：①用初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣于是，當(dāng)t≠－2時(shí)，有r(A｜β)＞r(A)，此時(shí)方程組無解．當(dāng)t=－2時(shí)(p任意)，r(A｜β)=r(A)≤3＜4，此時(shí)有無窮多解．②當(dāng)t=－2，p=－8時(shí)，得同解方程組令x3=x4=0，得一特解(－1，1，0，0)T．導(dǎo)出組有同解方程組對x3，x4賦值得基礎(chǔ)解系(4，－2，1，0)T，(－1，－2，0，1)T．此時(shí)全部解為(－1，1，0，0)T+c1(4，－2，1，0)T+c2(－1，－2，0，1)T，其中c1，c2可取任何數(shù)。③當(dāng)t=－2，p≠－8時(shí)，得同解方程組令x4=0，得一特解(－1，1，0，0)T．導(dǎo)出組有同解方程組令x4=1，得基礎(chǔ)解系(－1，－2，0，1)T．此時(shí)全部解為(－1，1，0，0)T+c(－1，－2，0，1)T，其中c可取任何數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析13、設(shè)①計(jì)算行列式｜A｜．②實(shí)數(shù)a為什么值時(shí)方程組AX=β有無窮多解?在此時(shí)求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果順題目要求，先做①，算得｜A｜=1－a4，再做②時(shí)，由無窮多解=>｜A｜=0，a=1或－1．然后分別就這兩種情況用矩陣消元法進(jìn)行討論和求解．這個(gè)過程工作量大．下面的解法要簡單些．解兩個(gè)小題可以一起進(jìn)行：把增廣矩陣用第3類初等行變換化為階梯形①｜A｜=｜B｜=1－a4．②AX=β有無窮多解的條件是1－a4=－a－a2=0，即a=－1．此時(shí)求出通解(0，－1，0，0)T+c(1，1，1，1)T，c為任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析14、已知線性方程組有解(1，－1，1，－1)T．(1)用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解；(2)寫出x2=x3的全部解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，－1，1，－1)1代入方程組，可得到λ=μ，但是不能求得它們的值．(1)此方程組已有了特解(1，－1，1，－1)T，只用再求出導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系就可寫出通解．對系數(shù)矩陣作初等行變換：①如果2λ－1=0，則(1，－3，1，0)T和(－1／2，－1，0，1)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，通解為(1，－1，1，－1)T+c1(1，－3，1，0)T+c2(－1／2，－1，0，1)T，c1，c2任意．②如果2λ－1≠0，則用2λ－1除B的第三行：(－1，1／2，－1／2，1)T為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，通解為(1，－1，1，－1)T+c(－1，1／2，－1／2，1)T，c任意．(2)當(dāng)2λ－1=0時(shí)，通解的x2=－1－3c1－c2，x3=1+c1，由于x2=x3，則有－1－3c1－c2=1+c1，從而c2=－2－4c1，因此滿足x2=x3的通解為(2，1，1，－3)T+c1(3，1，1，－4)T．當(dāng)2λ－1≠0時(shí)，－1+c／2=1－e／2，得c=2，此時(shí)解為(－1，0，0，1)T．知識點(diǎn)解析：暫無解析15、已知ξ=(0，1，0)T是方程組的解，求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：把ξ=(0，1，0)T代入方程組可求得b=1，d=3，但是a和c不能確定．于是要對它們的取值對解的影響進(jìn)行討論．記系數(shù)矩陣為A．看r(A)，一定有r(A)≥2(因?yàn)?，2兩行無關(guān))．則當(dāng)n+c≠3時(shí)r(A)=3，則方程組唯一解ξ．則當(dāng)a+c=3時(shí)r(A)=2，有方程組有無窮多解，并且它的導(dǎo)出組有同解方程組求得(1，－1，1)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系．方程組的通解為：(0，1，0)T+c(1，－1，1)T，c任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)非齊次方程組AX=β有解ξ1，ξ2，ξ3，其中ξ1=(1，2，3，4)T，ξ2+ξ3=(0，1，2，3)T，r(A)=3．求通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：ξ1是AX=β的一個(gè)特解，只用再找AX=0的基礎(chǔ)解系．從解是4維向量知，AX=β的未知數(shù)個(gè)數(shù)n=4．r(A)=3，于是，它的AX=0的基礎(chǔ)解系由1個(gè)非零解構(gòu)成．由解的性質(zhì)，2ξ1－(ξ2+ξ3)：(2，3，4，5)T是AX=0的解．于是，AX=β的通解為(1，2，3，4)T+c(2，3，4，5)T，c可取任何常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析17、已知3階矩陣A的第一行為(a，b，c)，a，b，c不全為0，矩陣B=，并且AB=0，求齊次線性方程組AX=0的通解．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于AB=0，r(A)+r(B)≤3，并且B的3個(gè)列向量都是AX=0的解．(1)若k≠9，則r(B)=2，r(A)=1，AX=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含兩個(gè)解．(1，2，3)T和(3，6，k)T都是解，并且它們線性無關(guān)，從而構(gòu)成基礎(chǔ)解系，通解為：c1(1，2，3)T+c2(3，6，k)T，其中c1，c2任意．(2)如果k=9，則r(B)=1，r(A)=1或2．①r(A)=2，則AX=0的基礎(chǔ)解系應(yīng)該包含一個(gè)解，(1，2，3)T構(gòu)成基礎(chǔ)解系，通解為：c(1，2，3)T，其中c任意．②r(A)=1，則AX=0的基礎(chǔ)解系包含兩個(gè)解，而此時(shí)B的3個(gè)列向量兩兩相關(guān)，不能用其中的兩個(gè)構(gòu)成基礎(chǔ)解系．由r(A)=1，A的行向量組的秩為1，第一個(gè)行向量(a，b，c)(≠0！)構(gòu)成最大無關(guān)組，因此第二，三個(gè)行向量都是(a，b，c)的倍數(shù)，從而AX=0和方ax1+bx2+cx3=0同解．由于(1，2，3)T是解，有a+2b+3c=0，則a，b不都為0(否則a，b，c都為0)，于是(b，－a，0)T也是ax1+bx2+cx3=0的一個(gè)非零解，它和(1，2，3)T線性無關(guān)，一起構(gòu)成基礎(chǔ)解系，通解為：c1(1，2，3)T+c2(b，－a，0)T，其中c1，c2任意．知識點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)都是4元齊次線性方程組，已知ξ1=(1，0，1，1)T，ξ2=(－1，0，1，0)T，ξ3=(0，1，1，0)T是(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系，η1=(0，1，0，1)T，η2=(1，1，－1，0)T是(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系．求(Ⅰ)和(Ⅱ)公共解．標(biāo)準(zhǔn)答案：用例4．24的第二種思路解．現(xiàn)在(Ⅰ)也沒有給出方程組，因此不能用例4．24的代入的方法來決定c1，c2應(yīng)該滿足的條件了．但是(Ⅰ)有一個(gè)基礎(chǔ)解系ξ1，ξ2，ξ3，c1η1+c2η2滿足(Ⅰ)的充分必要條件為c1η1+c2η2能用ξ1，ξ2，ξ3線性表示，即r(ξ1，ξ2，ξ3，c1η1+c2η2)=r(ξ1，ξ2，ξ3)．于是可以通過計(jì)算秩來決定c1，c2應(yīng)該滿足的條件：于是當(dāng)3c1+c2=0時(shí)c1η1+c2η2也是(Ⅰ)的解．從而(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解為：c(η1－3η2)，其中c可取任意常數(shù)．知識點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)(Ⅰ)和(Ⅱ)是兩個(gè)四元齊次線性方程組，(Ⅰ)的系數(shù)矩陣為(Ⅱ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系為η1=(2，－1，a+2，1)T，η2=(－1，2，4，a+8)T．(1)求(Ⅰ)的一個(gè)基礎(chǔ)解系；(2)a為什么值時(shí)(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解?此時(shí)求出全部公共非零解．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)把(Ⅰ)的系數(shù)矩陣用初等行變換化為簡單階梯形矩陣得到(Ⅰ)的同解方程組對自由未知量x3，x4賦值，得(Ⅰ)的基礎(chǔ)解系γ1=(5，－3，1，0)T，γ3=(－3，2，0，1)T．(2)(Ⅱ)的通解為c1η1+c2η2=(2c1－c2，－c1+2c2，(a+2)c1+4c2，c1+(a+8)c2)T．將它代入(Ⅰ)，求出為使c1η1+c2η2也是(Ⅰ)的解(從而是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解)，c1，c2應(yīng)滿足的條件(過程略)為：于是當(dāng)a+1≠0時(shí)，必須c1=c2=0，即此時(shí)公共解只有零解．當(dāng)a+1=0時(shí)，對任何c1，c2，c1η1+c2η2都是公共解．從而(Ⅰ)，(Ⅱ)有公共非零解．此時(shí)它們的公共非零解也就是(Ⅱ)的非零解：c1η1+c2η2，c1，c2不全為0．知識點(diǎn)解析：暫無解析20、已知兩個(gè)線性方程組同解，求m，n，t．標(biāo)準(zhǔn)答案：m，n，t分別在方程組(Ⅰ)的各方程中，(Ⅱ)的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)中無參數(shù)，可先求出