2024-2025學(xué)年河北邢臺市內(nèi)丘中學(xué)高三畢業(yè)班3月份摸底調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2024-2025學(xué)年河北邢臺市內(nèi)丘中學(xué)高三畢業(yè)班3月份摸底調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)（且）的圖象可能為（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．3．設(shè)全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．4．過拋物線的焦點作直線交拋物線于兩點，若線段中點的橫坐標為3，且，則拋物線的方程是()A． B． C． D．5．雙曲線的右焦點為，過點且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點，與雙曲線的其中一個交點為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．6．過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)P為拋物線上的一動點，，若，則的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．47．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．8．已知集合，，則集合子集的個數(shù)為（）A． B． C． D．9．已知拋物線上一點到焦點的距離為，分別為拋物線與圓上的動點，則的最小值為（）A． B． C． D．10．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．11．已知拋物線,過拋物線上兩點分別作拋物線的兩條切線為兩切線的交點為坐標原點若,則直線與的斜率之積為（）A． B． C． D．12．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設(shè)點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的最大值為______.14．?dāng)?shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足，，且.若任意，成立，則實數(shù)的取值范圍為__________.15．已知雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____16．展開式中項的系數(shù)是__________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間．（2）設(shè)直線是曲線的切線，若的斜率存在最小值-2，求的值，并求取得最小斜率時切線的方程．（3）已知分別在，處取得極值，求證：．18．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點，且，點的坐標為，求的面積.19．（12分）在平面直角坐標系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）和曲線（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）在極坐標系中，已知點是射線與直線的公共點，點是與曲線的公共點，求的最大值．20．（12分）已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，且.（1）證明：；（2）若的面積，，求角.21．（12分）設(shè)，函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）設(shè)函數(shù).①若，試判斷函數(shù)與的圖像在區(qū)間上是否有交點；②求證：對任意的，直線都不是的切線；（2）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)是否存在極小值，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.22．（10分）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E為AB的中點，底面四邊形ABCD滿足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝1．（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；（Ⅱ）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角D﹣PE﹣B的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】因為，故函數(shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.2．B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.3．A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．4．B【解析】

利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點的橫坐標為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點為F,設(shè)點，由拋物線的定義可知，線段AB中點的橫坐標為3，又，，可得，所以拋物線方程為.故選：B.本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.5．D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點，再利用，求出點，因為點在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因為，即可得到，故選：D．本題主要考查的是雙曲線的簡單幾何性質(zhì)和向量的坐標運算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．6．C【解析】

設(shè)直線AB的方程為，代入得：，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，從而得到，同理可得，再利用求得的值，當(dāng)Q，P，M三點共線時，即可得答案.【詳解】根據(jù)題意，可知拋物線的焦點為，則直線AB的斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為，代入得：.由根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以.又直線CD的方程為，同理，所以，所以.故.過點P作PM垂直于準線，M為垂足，則由拋物線的定義可得.所以，當(dāng)Q，P，M三點共線時，等號成立.故選：C.本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意取最值的條件.7．A【解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，，所以，故可排除B，C；當(dāng)時，，故可排除D．故選：A．本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．8．B【解析】

首先求出，再根據(jù)含有個元素的集合有個子集，計算可得.【詳解】解：，，，子集的個數(shù)為.故選：.考查列舉法、描述法的定義，以及交集的運算，集合子集個數(shù)的計算公式，屬于基礎(chǔ)題．9．D【解析】

利用拋物線的定義，求得p的值，由利用兩點間距離公式求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，由取得最小值為，求得結(jié)果.【詳解】由拋物線焦點在軸上，準線方程，則點到焦點的距離為，則，所以拋物線方程：，設(shè)，圓，圓心為，半徑為1，則，當(dāng)時，取得最小值，最小值為，故選D.該題考查的是有關(guān)距離的最小值問題，涉及到的知識點有拋物線的定義，點到圓上的點的距離的最小值為其到圓心的距離減半徑，二次函數(shù)的最小值，屬于中檔題目.10．D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結(jié)果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.本題考查余弦定理邊角互化的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

設(shè)出A，B的坐標，利用導(dǎo)數(shù)求出過A，B的切線的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫出OA，OB所在直線的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線有關(guān)，所以一般先設(shè)切點，先設(shè)A,B,,再求切線PA,PB方程，求點P坐標，再根據(jù)得到最后求直線與的斜率之積.如果先設(shè)點P的坐標，計算量就大一些.12．C【解析】

根據(jù)拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設(shè)，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

由三角函數(shù)圖象相位變換后表達函數(shù)解析式，再利用三角恒等變換與輔助角公式整理的表達式，進而由三角函數(shù)值域求得最大值.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象，則所以，當(dāng)函數(shù)最大，最大值為故答案為：本題考查表示三角函數(shù)圖象平移后圖象的解析式，還考查了利用三角恒等變換化簡函數(shù)式并求最值，屬于簡單題.14．【解析】

當(dāng)時，，可得到，再用累乘法求出，再求出，根據(jù)定義求出，再借助單調(diào)性求解．【詳解】解：當(dāng)時，，則，，當(dāng)時，，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），，故答案為：．本題主要考查已知求，累乘法，主要考查計算能力，屬于中檔題．15．【解析】

雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別關(guān)于兩條漸近線的對稱點重合，一條漸近線的斜率為1，即，，，故答案為：．本題考查雙曲線的離心率，考查學(xué)生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．16．-20【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式，再分情況考慮即可求解．【詳解】解：展開式中項的系數(shù)：二項式由通項公式當(dāng)時，項的系數(shù)是，當(dāng)時，項的系數(shù)是，故的系數(shù)為；故答案為：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，注意分情況考慮，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），；（3）證明見解析．【解析】

（1）由的正負可確定的單調(diào)區(qū)間；（2）利用基本不等式可求得時，取得最小值，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，從而求得，求得切點坐標后，可得到切線方程；（3）由極值點的定義可知是的兩個不等正根，由判別式大于零得到的取值范圍，同時得到韋達定理的形式；化簡為，結(jié)合的范圍可證得結(jié)論.【詳解】（1）由題意得：的定義域為，當(dāng)時，，，當(dāng)和時，；當(dāng)時，，的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），切線的斜率存在最小值，，解得：，，即切點為，從而切線方程，即：．（3），分別在，處取得極值，，是方程，即的兩個不等正根．則，解得：，且，．，，，即不等式成立．本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等知識；本題中證明不等式的關(guān)鍵是能夠通過極值點的定義將問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐辉畏匠谈姆植紗栴}.18．（1）的極坐標方程為，的直角坐標方程為（2）【解析】

（1）先把曲線的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用求得極坐標方程.將，化為，再利用求得曲線的普通方程.（2）設(shè)直線的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【詳解】（1）依題意，曲線，即，故，即.因為，故，即，即.（2）將代入，得，將代入，得，由，得，得，解得，則.又，故，故的面積.本題考查極坐標方程與直角坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標的幾何意義，還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.19．（1），；（2）【解析】

（1）先將直線l和圓C的參數(shù)方程化成普通方程，再分別求出極坐標方程；（2）寫出點M和點N的極坐標，根據(jù)極徑的定義分別表示出和，利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值.【詳解】解：（1），，即極坐標方程為，，極坐標方程．（2）由題可知，，當(dāng)時，.本題考查了參數(shù)方程、普通方程和極坐標方程的互化問題，極徑的定義，以及三角函數(shù)的恒等變換，屬于中檔題.20．（1）見解析；（2）【解析】

（1）利用余弦定理化簡已知條件，由此證得（2）利用正弦定理化簡（1）的結(jié)論，得到，利用三角形的面積公式列方程，由此求得，進而求得的值，從而求得角.【詳解】（1）由已知得，由余弦定理得，∴.（2）由（1）及正弦定理得，即，∴，∴，∴.，∴，，.本小題主要考查余弦定理、正弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.21．（1）①函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明見解析；（2）且；【解析】

（1）①令，結(jié)合函數(shù)零點的判定定理判斷即可；②設(shè)切點橫坐標為，求出切線方程，得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可；（2）求出的解析式，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，確定的范圍即可．【詳解】解：（1）①當(dāng)時，函數(shù)，令，，則，，故，又函數(shù)在區(qū)間上的圖象是不間斷曲線，故函數(shù)在區(qū)間上有零點，故函數(shù)與的圖象在區(qū)間上有交點；②證明：假設(shè)存在，使得直線是曲線的切線，切點橫坐標為，且，則切線在點切線方程為，即，從而，且，消去，得，故滿足等式，令，所以，故函數(shù)在和上單調(diào)遞增，又函數(shù)在時，故方程有唯一解，又，故不存在，即證；（2）由得，，，令，則，，當(dāng)時，遞減，故當(dāng)時，，遞增，