構造同構式解題專題-高三數(shù)學一輪復習

構造同構式解題一道恒成立問題已知不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍放縮秒殺法：原不等式等價于：經分析可得：下面構造函數(shù)，令．利用經典不等式進行放縮．事實上有：故可得的取值范圍為：．解題心得：本題作為導數(shù)經典題型之恒成立問題，如果按照求導的模式進行求解的最小值，可能會遇到很大的計算麻煩．放縮法的好處在于避免繁瑣的計算與討論成立或恒成立命題中，很有一部分題是命題者利用函數(shù)單調性構造出來的，如果我們能找到這個函數(shù)模型（即不等式兩邊對應的同一函數(shù)），無疑大大加快解決問題的速度．找到這個函數(shù)模型的方法，我們就稱為同構法．如，若能等價變形為，然后利用的單調性，如遞增，再轉化為，這種方法我們就可以稱為同構不等式（等號成立時，稱為同構方程），簡稱同構法．當然，用同構法解題，除了要有同構法的思想意識外，對觀察能力、對代數(shù)式的變形能力的要求也是比較高的．正所謂，同構解題，觀察第一！同構出馬，誰與爭鋒！同構思想放光芒，轉化之后天地寬！1.地位同等要同構，主要針對雙變量：方程組上下同構，合二為一泰山移．（1）為增函數(shù)．（2）為減函數(shù)．含有地位同等的兩個變量，，或，等不等式，進行“塵歸塵，土歸土”式的整理，是一種常見變形，如果整理（即同構）后不等式兩邊具有結構的一致性，往往暗示單調性（需要預先設定兩個變量的大小）．2.指對跨階想同構，同左同右取對數(shù)．同構基本模式：（1）積型：如：，后面的轉化同（1）．說明：在對“積型”進行同構時，取對數(shù)是最快捷的，同構出的函數(shù)，其單調性一看便知．（2）商型：（3）和差型：如：．3.無中生有去同構，湊好形式是關鍵，湊常數(shù)或湊參數(shù)，如有必要湊變量．（1），后面的轉化同2.（1）（2）（3），后面的轉化同2.（1）．說明：由于兩邊互為反函數(shù)，所以還可以這樣轉化.對于某些不等式，兩邊互為反函數(shù)是比較隱蔽的，若能發(fā)現(xiàn)，則難者亦易矣．如：，左右兩邊互為反函數(shù)，所以只需，即，可得.4．同構放縮需有方，切放同構一起上．這個是對同構思想方法的一個靈活運用．【放縮也是一種能力】利用切線放縮，往往需要局部同構．【利用切線放縮如同用均值不等式，只要取等號的條件成立即可】掌握常見放縮：（注意取等號的條件，以及常見變形）（1）【變形：】（2）【變形：】說明：等，這些變形新寵是近年來因為交流的頻繁而流傳開來的．對解決指對混合不等式問題，如恒成立求參數(shù)取值范圍，或證明不等式，都帶來極大的便利．當然，在具體使用中，往往要結合切線放縮，或換元法。可以說掌握了這些變形新寵及常見切線型不等式，就大大降低了這類問題的難度．（會推廣到關于與或的各種組合的變形）．例1.對下列不等式或方程進行同構變形，并寫出相應的同構函數(shù)．（1）；解析：（2）；解析：（3）；解析：（4）解析：（5）解析：.（6）解析：（7）解析：（8）解析：例2.已知不等式，對恒成立，則的取值范圍是______．解析：（三種模式，只需寫一種）由（3）得，，即，由導數(shù)法可得，從而．例3.若對任意，恒有，則實數(shù)的最小值為______．解析：，【積型同構】令，則，易知在上遞減，在上遞增，所以，所以在單調遞增．則，由導數(shù)法易證，所以．故答案為答案：知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：B．解析：，【和差型同構】令，顯然為增函數(shù)．則原命題又等價于．由于，所以，即得．例5.對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為______．解析：【積型同構】．由于為增函數(shù)，所以由，得，即恒成立．令，則，易得，所以實數(shù)的最小值為．知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.解析：，【同構】令，由，且，知在為減函數(shù)，所以．故選C．知函數(shù)，證明：當時，．證明：當時，，所以只需證明．由于，【同構】令，由知為增函數(shù)，又易證，所以，即成立．故當時，．知是函數(shù)的零點，則______．答案：2．解析：.所以，即，或.則.例9.已知函數(shù)，，其中．求證：.證明：，令，則，易知，故．知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的最小值是______．解析：（利用了）等號成立的條件是，即有解．令，則，易得．故的最小值為.知函數(shù)，若，求的取值范圍．解析：.由于，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以．?2.已知，，當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解析：.當，不等式恒成立；當時，，由于，【利用】當且僅當?shù)忍柍闪?，所以．故．知函?shù)，若關于的不等式在上能取等，則實數(shù)的取值集合是______．答案：．解析：恒成立，又等價于，即恒成立，根據(jù)恒成立，可知．知函數(shù)．求證：時，．證明：，令，則，易知，又時，．所以時，．明：.證明：因為.所以知，函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.答案：C．解析：，當且僅當，即時等號成立，所以。成下列各問（1）已知，則函數(shù)的最大值為______；（2）函數(shù)的最小值是______；（3）函數(shù)的最大值是______；（4）函數(shù)的最小值是______.答案：（1）2；（2）1；（3）0；（4）1解析：（1），由于，當且僅當時等號成立，所以．（2），當且僅當時等號成立．（3），當且僅當時等號成立．（4），當且僅當時等號成立．成下列各問（1）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______；（2）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______；（3）已知函數(shù)，若恒成立，則正數(shù)的取值范圍是______；（4）已知不等式對任意正數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.（5）已知函數(shù)，其中，若恒成立，則實數(shù)與的大小關系是______；（6）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______；（7）已知函數(shù)，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______；（8）已知不等式，對恒成立，則的最大值為______；（9）若不等式能取等，則實數(shù)的取值范圍是______；答案：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）.解析：（1），.【或通過數(shù)形結合，得．】（2），當時，原不等式恒成立；當時，，由于，當且僅當?shù)忍柍闪ⅲ裕剩?），當時，原不等式恒成立；當時，，由于，當且僅當?shù)忍柍闪?，所?故.（