【青松雪】【高中數(shù)學(xué)】【沖刺985拔高系列講義】【專題08】排列組合與概率統(tǒng)計

第第頁沖刺“985”優(yōu)等生拔高講義——專治學(xué)霸各種不服【專題08】排列組合與概率統(tǒng)計專題目錄【問題一】復(fù)雜的排列組合問題【問題二】與二項式定理有關(guān)的交匯問題【問題三】與幾何概型相結(jié)合的問題【問題四】與離散型隨機(jī)變量的交匯題（理）高考對這部分的要求還是比較高的．考查兩個計數(shù)原理、排列、組合在解決實(shí)際問題上的應(yīng)用．值得提醒地是：計數(shù)模型不一定是排列或組合，“畫一畫、數(shù)一數(shù)、算一算”是基本的計數(shù)方法，不可廢棄．解決排列組合綜合性問題的一般過程如下：①認(rèn)真審題弄清要做什么事；②怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進(jìn)行，確定分多少步及多少類；③確定每一步或每一類是排列問題（有序）還是組合（無序）問題，元素總數(shù)是多少及取出多少個元素．解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略．解排列（或）組合問題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，分類標(biāo)準(zhǔn)明確，不重不漏；按事情的發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到分步層次清楚．【例1】已知甲、乙、丙、丁四名同學(xué)排成一排，分別計算滿足下列條件的排法種數(shù)：（1）甲不在排頭、乙不在排尾；（2）甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；（3）甲一定在乙的右端（可以不相鄰）．對于相鄰問題，可以先將要求相鄰的元素作為一個元素與其他元素進(jìn)行排列，同時要考慮相鄰元素的內(nèi)部是否需要排列，這種方法稱為“捆綁法”；對于不相鄰的元素，可先排其他元素，然后將這些要求不相鄰的元素插入空當(dāng)，這種方法稱為“插空法”；對于“在”或者“不在”的排列問題的計算方法主要有：位置優(yōu)先法、元素優(yōu)先法、間接計算法．【練習(xí)1】某學(xué)校組織演講比賽，準(zhǔn)備從甲、乙等8名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙兩名同學(xué)至少有一人參加，且若甲、乙同時參加時，他們的演講順序不能相鄰，那么不同的演講順序的種數(shù)為（）A．1860B．1320C．1140D．1020【例2】現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張．從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張，不同取法的種數(shù)為（）A．232B．256C．472D．484【練習(xí)2】如圖，用4種不同的顏色對圖中5個區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色種數(shù)有________．【例3】有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成每組都是2本的三組；（2）分給甲、乙、丙三人，每人2本．【練習(xí)3】某公司招聘來8名員工，平均分配給下屬的甲、乙兩個部門，其中兩名英語翻譯人員不能分在同一個部門，另外三名電腦編程人員也不能全分在同一個部門，則不同的分配方案共有（）A．24種B．36種C．38種D．108種【例4】在某種信息傳輸過程中，用四個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示以一個信息，不提排列表示不同信息．若所有數(shù)字只有0、1，則與信息0110之多由四個相對應(yīng)位置上數(shù)字相同的信息個數(shù)為（）A．9B．10C．11D．12【練習(xí)4】用數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有（）A．144個B．120個C．96個D．72個【例5】將四個相同的紅球和四個相同的黑球排成一排，然后從左至右依次給它們賦以編號1、2、、8，則紅球的編號之和小于黑球編號之和的排法有_____________種．【練習(xí)5】四個不同的小球放入編號為1、2、3的三個盒子中，則恰有一個空盒的放法共有_____________種（用數(shù)字作答）．【例6】某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊，其中：（1）甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？（2）隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？【練習(xí)6】某校高三理科實(shí)驗班有5名同學(xué)報名參加甲、乙、丙三所高校的自主招生考試，每人限報一所高校．若這三所高校中每個學(xué)校都至少有1名同學(xué)報考，那么這5名同學(xué)不同的報考方法種數(shù)共有（）A．144種B．150種C．196種D．256種【例7】回文數(shù)是指從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22、121、3443、94249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11、22、33、、99，3位回文數(shù)有90個：101、111、121、、191、202、、999．則：（1）4位回文數(shù)有_____________個；（2）（）位回文數(shù)有_____________個．【練習(xí)7】將正整數(shù)表示成個正整數(shù)的和（不計較各數(shù)的次序），稱為將正整數(shù)分成個部分的一個劃分，一個劃分中的各加數(shù)與另一個劃分的各加數(shù)不全相同，則稱為不同的劃分，將正整數(shù)劃分成個部分的不同劃分的個數(shù)記為，則的值為（）A．12B．10C．8D．61、用紅、黃、藍(lán)三種顏色給如圖所示的六個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個圓，且相鄰兩個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是（）A．12B．24C．30D．362、八人分乘三輛小車，每輛小車至少載1人最多載4人，不同坐法共有（）A．770種B．1260種C．4620種D．2940種3、將甲、乙等5名學(xué)生分配到三個不同學(xué)校實(shí)習(xí)，每個學(xué)校至少一人，且甲、乙在同一學(xué)校的分配方案共有（）A．18種B．24種C．36種D．72種4、某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個年級各兩名，分乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)（乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置），其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一年級的乘坐方式共有（）A．24種B．18種C．48種D．36種5、張、王兩家夫婦各帶1個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園．為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這6人的入園順序排法種數(shù)共有（）A．12種B．24種C．36種D．48種6、已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，則確定的不同點(diǎn)的個數(shù)為（）A．33B．34C．35D．367、將一個四棱錐的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個端點(diǎn)異色，若只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有（）A．240種B．300種C．360種D．420種8、若數(shù)列滿足規(guī)律：，則稱數(shù)列為余弦數(shù)列，現(xiàn)將1、2、3、4、5排列成一個余弦數(shù)列的排法種數(shù)為（）A．12B．14C．16D．189、如圖所示是某個區(qū)域的街道示意圖（每個小矩形的邊表示街道），那么從到的最短線路有（）條．A．100B．400C．200D．25010、某鐵路貨運(yùn)站對6列貨運(yùn)列車進(jìn)行編組調(diào)度，決定將這6列列車編成兩組，每組3列，且甲與乙兩列列車不在同一小組，如果甲所在小組3列列車先開出，那么這6列列車先后不同的發(fā)車順序共有___________種．11、如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有___________種．12、某班班會準(zhǔn)備從含甲、乙的7名學(xué)生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時參加，則他們發(fā)言時順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有___________．二項式定理是高考高頻考點(diǎn)，基本上每年必考，難度中等或中等以下，二項式定理作為一個工具，也常與其他知識交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與定積分交匯等．因此在一些題目中不僅僅考查二項式定理，還要考查其他知識，其解題的關(guān)鍵點(diǎn)是它們的交匯點(diǎn)，注意它們的聯(lián)系．【例1】設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，表達(dá)式的展開式中常數(shù)項為（）A．B．20C．D．15【練習(xí)1】若將函數(shù)表示為，其中、、、、為實(shí)數(shù)，則______________．【例2】將（）的展開式中的系數(shù)記為，則______________．【練習(xí)2】設(shè)二項式（）展開式的二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和分別為、，則（）A．B．C．D．1【例3】若按的降冪排列的展開式中，第二項不大于第三項，且，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【練習(xí)3】求證：（，）．【例4】設(shè)的展開式的常數(shù)項為，則直線與曲線圍成圖形的面積為___________．【練習(xí)4】已知，則二項式的展開式中的系數(shù)為___________．【例5】若，則___________．【練習(xí)5】求證：．【例6】已知是一個給定的正整數(shù)，如果兩個整數(shù)、除以所得的余數(shù)相同，則稱與對模同余，記作，例如：．若，則可能等于（）A．2013B．2014C．2015D．2016【練習(xí)6】用代表紅球，代表藍(lán)球，代表黑球．由加法原理及乘法原理，從1個紅球和1個藍(lán)球中取出若干個球的所有取法可由的展開式表示出來，如：“1”表示一個球都不取、“”表示取出一個紅球、而“”則表示把紅球和藍(lán)球都取出來．依此類推，下列各式中，其展開式可用來表示從5個無區(qū)別的紅球、5個無區(qū)別的藍(lán)球、5個有區(qū)別的黑球中取出若干個球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是（）A．B．C．D．1、已知的最小值為，則二項式展開式中項的系數(shù)為（）A．15B．C．30D．2、二項式的展開式的第二項的系數(shù)為，則的值為（）A．B．3C．3或D．3或3、設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A．B．C．D．4、若二項式的展開式中的常數(shù)項為，則=（）A．B．C．D．5、已知，則從集合（0、1、2、、8；0、1、2、、8）到集合的映射個數(shù)是（）A．6561B．316C．2187D．2106、已知，則展開式中項的系數(shù)為（）A．B．C．D．7、在的展開式中，的系數(shù)可以表示從個不同物體中選出個的方法總數(shù)．下列各式的展開式中的系數(shù)恰能表示從重量分別為1、2、3、4、、10克的砝碼（每種砝碼各一個）中選出若干個，使其總重量恰為8克的方法總數(shù)的選項是（）A．B．C．D．8、設(shè)是展開式的中間項，若在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．9、設(shè)，是大于1的自然數(shù)，的展開式為．若點(diǎn)（0、1、2）的位置如圖所示，則______________．10、已知，那么展開式中含項的系數(shù)為______________．11、已知的展開式中的常數(shù)項為，是以為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________．12、設(shè)，則的展開式中常數(shù)項是______________．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)知識交匯問題，試題比較新穎，具有一定的綜合性，因此在近幾年的高考中，是出題的熱點(diǎn)，而幾何概型與其他知識的交匯問題，以其新穎性、綜合性，而漸成為命題的一個重要的著眼點(diǎn)，體現(xiàn)高考中考查學(xué)生探究能力和創(chuàng)新能力的立意，及在知識交匯處命題的原則，所以這類題應(yīng)引起學(xué)生的注意．【例1】已知、都是區(qū)間內(nèi)任取的一個數(shù)，那么函數(shù)在上是增函數(shù)的概率是______________．【練習(xí)1】不等式組表示的點(diǎn)集記為，不等式組表示的點(diǎn)集記為，在中任取一點(diǎn)，則的概率為（）A．B．C．D．【例2】已知直線與曲線恰有兩個不同的交點(diǎn)，記的所有可能取值構(gòu)成集合，點(diǎn)是橢圓上一動點(diǎn)，與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，記的所有可能取值構(gòu)成集合，若隨機(jī)的從集合、中分別抽出一個元素、，則的概率是______________．【練習(xí)2】已知圓，直線，圓上任意一點(diǎn)到直線的距離小于2的概率為（）A．B．C．D．【例3】已知三點(diǎn)、、，動點(diǎn)滿足，且，則動點(diǎn)到點(diǎn)的距離小于的概率為（）A．B．C．D．【練習(xí)3】已知是所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是（）A．B．C．D．解幾何概型題注意：1、區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數(shù)是有限個還是無限多個．2、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用：對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標(biāo)系將試驗結(jié)果和點(diǎn)對應(yīng)，然后利用幾何概型概率公式．（1）一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型，只需把這個變量放在坐標(biāo)軸上即可；（2）若一個隨機(jī)事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型；（3）若一個隨機(jī)事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件，利用空間直角坐標(biāo)系建立與體積有關(guān)的幾何概型．3、失誤與防范：準(zhǔn)確把握幾何概型的“測度”是解題關(guān)鍵；在幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果．1、在區(qū)間內(nèi)任取兩個數(shù)、，則滿足概率是（）A．B．C．D．2、記集合和集合表示的平面區(qū)域分別為、．若在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在區(qū)域中的概率為（）A．B．C．D．3、已知函數(shù)，在區(qū)間上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)，若事件“”發(fā)生的概率為，則的值為（）A．2B．C．3D．4、在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)、，則滿足的概率是（）A．B．C．D．5、如圖，設(shè)區(qū)域，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，且投入到區(qū)域內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，則點(diǎn)落到陰影區(qū)域內(nèi)的概率是（）A．B．C．D．6、定義，在區(qū)域任意取一點(diǎn)，則、滿足的概率為（）A．B．C．D．7、設(shè)點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的概率為（）A．B．C．D．8、在區(qū)間上任取一個數(shù)，則函數(shù)有零點(diǎn)的概率為（）A．B．C．D．9、已知實(shí)數(shù)，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值不小于55的概率為（）A．B．C．D．10、已知、都是定義在上的函數(shù)，，，，，則關(guān)于的方程（）有兩個不同實(shí)根的概率為______________．11、設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為，不等式組表示的平面區(qū)域為，在內(nèi)隨機(jī)取一個點(diǎn)，這個點(diǎn)在內(nèi)的概率的最大值是______________．高考對隨機(jī)變量的考查以分布列和期望為主，涉及到填空題、選擇題、解答題三種形式，且常在解答題中考查，涉及到的數(shù)學(xué)思想方法主要有分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，其應(yīng)用的綜合性較強(qiáng)．在高考解答題中，常常是與等可能事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件等多種事件交匯在一起進(jìn)行考查，另外在近幾年的高考試題中也出現(xiàn)了與函數(shù)、不等式等知識的交匯創(chuàng)新題．此類問題把多個知識點(diǎn)相互交織在一起，難度較大，因此在解答此類題時，在透徹理解各類事件的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確把題中所涉及的事件進(jìn)行分解，明確所求問題所包含的所屬的事件類型．特別是要注意挖掘題目中的隱含條件．考查觀察問題、分析問題和解決問題的實(shí)際綜合應(yīng)用能力以及考生收集處理信息的能力．【例1】某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎促銷，凡在該超市購物滿400元的顧客，將獲得一次摸獎機(jī)會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球．顧客不放回的每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就繼續(xù)摸球．規(guī)定摸到紅球獎勵20元，摸到白球或黃球獎勵10元，摸到黑球不獎勵．（1）求1名顧客摸球2次停止摸獎的概率；（2）記為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機(jī)變量的分布律和數(shù)學(xué)期望．【練習(xí)1】經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類會引起汞中毒，其中羅非魚體內(nèi)汞含量比其它魚偏高．現(xiàn)從一批數(shù)量很大的羅非魚中隨機(jī)地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點(diǎn)前的數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后一位數(shù)字為葉）如下：羅非魚的汞含量（）《中華人民共和國環(huán)境保護(hù)法》規(guī)定食品的汞含量不得超過．（1）檢查人員從這15條魚中，隨機(jī)抽出3條，求3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率；（2）若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚，記表示抽到的汞含量超標(biāo)的魚的條數(shù)．以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計這批數(shù)量很大的魚的總體數(shù)據(jù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．【例2】在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：（1）設(shè)表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求的分布列；（2）若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2000元的概率．【練習(xí)2】某校社團(tuán)聯(lián)即將舉行一屆象棋比賽，規(guī)則如下：兩名選手比賽時，每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時結(jié)束．假設(shè)選手甲與選手乙比賽時，甲每局獲勝的概率皆為，且各局比賽勝負(fù)互不影響．（1）求比賽進(jìn)行4局結(jié)束，且乙比甲多得2分的概率；（2）設(shè)表示比賽停止時已比賽的局?jǐn)?shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．【例3】某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者．把符合條件的1000名志愿者按年齡分組：第1組、第2組、第3組、第4組、第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示：（1）若從第3、4、5組中用分層抽樣的方法抽取12名志愿者參加廣場的宣傳活動，應(yīng)從第3、4、5組各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的條件下，該市決定在這12名志愿者中隨機(jī)抽取3名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗，求第4組至少有一名志愿者被抽中的概率；（3）在（2）的條件下，若表示抽出的3名志愿者中第3組的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【練習(xí)3】某校高三（1）班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞，如下所示：試根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）求全班的學(xué)生人數(shù)及分?jǐn)?shù)在之間的頻數(shù)；（2）為快速了解學(xué)生的答題情況，老師按分層抽樣的方法從位于、和分?jǐn)?shù)段的試卷中抽取8份進(jìn)行分析，再從中任選3人進(jìn)行交流，求交流的學(xué)生中，成績位于分?jǐn)?shù)段的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【例4】經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進(jìn)了130該農(nóng)產(chǎn)品．以（單位：，）表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，（單位：元）表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤．（1）將表示為的函數(shù)；（2）根據(jù)直方圖估計利潤不少于57000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個值，需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率（例如：若需求量，則取，且的概率等于需求量落入的頻率）．求的數(shù)學(xué)期望．【練習(xí)4】據(jù)（國際電工委員會）調(diào)查顯示，小型風(fēng)力發(fā)電項目投資較少，且開發(fā)前景廣闊，但受風(fēng)力自然資源影響，項目投資存在一定風(fēng)險．根據(jù)測算，風(fēng)能風(fēng)區(qū)分類標(biāo)準(zhǔn)如下：假設(shè)投資項目的資金為（）萬元，投資項目的資金為（）萬元，調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一類風(fēng)區(qū)的項目獲利30%的可能性為，虧損20%的可能性為；位于二類風(fēng)區(qū)的項目獲利35%的可能性為，虧損10%的可能性是，不賠不賺的可能性是．（1）記投資、項目的利潤分別為和，試寫出隨機(jī)變量與的分布列和期望、；（2）某公司計劃用不超過100萬元的資金投資于、項目，且公司要求對項目的投資不得低于項目，根據(jù)（1）的條件和市場調(diào)研，試估計一年后兩個項目的平均利潤之和的最大值．【例5】小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團(tuán)還是參加學(xué)校排球隊．游戲規(guī)則為：以為起點(diǎn)，再從、、、、、、、（如圖）這8個點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為．若就參加學(xué)校合唱團(tuán)，否則就參加學(xué)校排球隊．（1）求小波參加學(xué)校合唱團(tuán)的概率；（2）求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【練習(xí)5】每年的三月十二日，是中國的植樹節(jié)．林管部門為保證樹苗的質(zhì)量，都會在植樹前對樹苗進(jìn)行檢測．現(xiàn)從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度，規(guī)定高于128厘米的樹苗為“良種樹苗”，測得高度如下（單位：厘米）：甲：137121131120129119132123125133乙：110130147127146114126110144146（1）根據(jù)抽測結(jié)果，畫出甲、乙兩種樹苗高度的莖葉圖，并根據(jù)你畫出的莖葉圖，對甲、乙兩種樹苗的高度作比較，寫出對兩種樹苗高度的統(tǒng)計結(jié)論；（2）設(shè)抽測的10株甲種樹苗高度平均值為，將這10株樹苗的高度依次輸入，按程序框圖進(jìn)行運(yùn)算（如圖），問輸出的大小為多少？并說明的統(tǒng)計學(xué)意義；（3）若小王在甲種樹苗中隨機(jī)領(lǐng)取了5株進(jìn)行種植，用樣本的頻率分布估計總體分布，求小王領(lǐng)取到的“良種樹苗”的株數(shù)的分布列．【例6】設(shè)為隨機(jī)變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，．（1）求概率；（2）求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望．【練習(xí)6】如圖，將一個各面都涂了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后，從中抽取一個小正方體，記它的涂漆面數(shù)為，則的均值（）A．B．C．D．1、體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止，設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為（），發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍是（）A．B．C．D．2、隨機(jī)變量的分布列為：若，則當(dāng)取最小值時，方差___________．3、一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為、、、，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如下圖）：（1）求的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中隨機(jī)抽取3個小球，其中重量在內(nèi)的小球個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（以直方圖中的頻率作為概率）．4、某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了位校友（且），其中女校友6位，組委會對這位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機(jī)從中選出2位校友代表，若選出的2位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”．（1）若隨機(jī)選出的2位校友代表為“最佳組合”的概率不小于，求的最大值；（2）當(dāng)時，設(shè)選出的2位校友代表中女校友人數(shù)為，求的分布列．5、現(xiàn)有甲、乙、丙三人參加某電視臺的應(yīng)聘節(jié)目《非你莫屬》，若甲應(yīng)聘成功的概率為，乙、丙應(yīng)聘成功的概率均為（），且三個人是否應(yīng)聘成功是相互獨(dú)立的．（1）若乙、丙有且只有一個人應(yīng)聘成功的概率等于甲應(yīng)聘成功的概率，求的值；（2）記應(yīng)聘成功的人數(shù)為，若當(dāng)且僅當(dāng)為2時概率最大，求的取值范圍．6、某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖的頻率分布直方圖：（1）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在以下的人數(shù)；（2）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在150名和9511000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到右表中數(shù)據(jù)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？（3）在（2）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在150的學(xué)生人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：7、株洲市某中學(xué)利用周末組織教職員工進(jìn)行了一次秋季登石峰山健身的活動，有人參加，現(xiàn)將所有參