全國新高考數學沖刺復習 導數及其應用

2021屆全國新高考數學沖刺復習

導數及其應用

-1一

課前篇自主梳理

知識網絡要點梳理思考辨析

I變化率問題

變化率與導數4導數的①

導數的②

—

幾個常用函數的導數

導數的計算基本初等函數的導數公式及導數的

運算法則

（函數的③與導數

導數在研究N將rVi小上曰知

函數的④____與導數

（函數的⑤與導數

生活中的優(yōu)化問題舉例

答案：①概念；②幾何意義；③單調性；④極值；⑤最大（?。┲?/p>

課前篇自主梳理

知識網絡思考辨析

1.導數的運算

導數的運算法

則：[f(x)±g(x)]‘才(X)土g'(x),[f(x)?g(x)]'寸(x)g(x)+f(x)g'(x),

r/(x)1，=/U)g(辦(fx)g'(x)

L(x)Jq2W

2.導數的幾何意義

⑴函數y=f(x)在x=x()處的導數，就是曲線y=f(x)在點(xof(x0))處的切

線的斜率；

⑵曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點.

課前篇自主梳理

知識網絡思考辨析

3.利用導數研究函數單調性

⑴利用導數求函數單調區(qū)間的步驟：

①確定函數的定義域；②求導數f(x);③在定義域內，解不等式f(x)〉O

得到函數的遞增區(qū)間；解不等式f(x)〈O得到函數的遞減區(qū)間.

⑵根據單調性求參數取值范圍：

函數f(x)在區(qū)間I上單調遞增(遞減),等價于不等式f(x)(f(x)<0)在

區(qū)間I上恒成立.

課前篇自主建

知識網絡思考辨析

4.利用導數研究函數的極值與最值

⑴應用導數求函數極值的一般步驟：

①確定函數f(x)的定義域；

②解方程f(x)二0的根；

③檢驗f(x)=0的根的兩側f(x)的符號.

若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；

若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值；

否則，此根不是f(x)的極值點.

⑵求函數f(x)在閉區(qū)間［a,b］上的最大值、最小值的方法與步驟：

①求f(x)在(a,b)內的極值；

②將①求得的極值與端點值f(a),f(b)相比較，其中最大的一個值為最

大值，最小的一個值為最小值.

課前篇自主梳理

知識網絡1點梳理思考辨析

5.利用導數研究函數、方程、不等式的綜合問題

利用導數研究下列問題：（1）函數的零點個數問題；（2）方程的根的問

題；⑶不等式恒成立問題；⑷證明不等式問題；⑸解不等式問題；⑹

比較大小問題.

課前篇自

知識網絡要點梳理思考

判斷下列說法是否正確，正確的在后面的括號內打“J”，錯誤的打

“X”.

⑴經過點A(xoy。)作曲線尸f(x)的切線，則切線斜率等于f(x。).()

⑵若函數f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減，則在區(qū)間(a,b)上必有f(x)<0.

()

⑶可導函數在極值點處的導數必為0.()

(4)函數f(x)=x3+ax2+bx+c的圖象與x軸最多有3個交點.()

⑸若不等式a〉f(x)恒成立，則a〉［f(xXminx)

答案：(1)X⑵X(3)V(4)V⑸X

課堂篇探究學習

專題歸自高考體驗

專題一導數的運算

例1已知f(x)m+f⑵(InX-X)，則=

分析先對函數求導數，然后求出f⑵的值，最后1

解析：因為f(x)m+f⑵(Inx-x),

所以人%)=2廣叭2)(；1)?

于是八2)=4tf(2)G-l),

解得八2)考即八*g-1)

故心)=2、升如)岑

答案片

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專題歸納高考體驗

反思感悟本題關鍵是求導后先令x=2,建立關于f(2)的方程求得f(2)的

值，再計算

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專題歸自高考體驗

變式訓練1設函數心)=/，+〃((go),若f(3)=3f(xo)，則xo=()

A.±lB.±<3

C.±42D.2

解析；f(x)=ax2+b,依題意有9a+3b=3(ax6+b),

因止fep±J3

答案：B

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專題歸納高考體驗

專題二導數的幾何意義

例2(1)曲4y=5葉3布0(0,-2)處的切線方程

為__________________

⑵已知曲線y=x+lnx在點(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相

切,則a二

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專題歸納高考體驗

解析：(Dy=-5e,則k=y'x=0=-5Xe0=-5,

所以所求切線方程為y-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0.

⑵?.?)三1+；,??.k=yix=l=2,

???切線方程為y=2x-1.

由y=2x-1-^y=ax2+(a+2)x+1聯(lián)立，^#ax2+ax+2=0,再由相切知△=a2-

8a=0,解得a=0或a=8.

?.,當a=0時，y=ax2+(a+2)x+1并非曲線而是直線，

**.a=0舍去，故a=8.

答案：⑴5x+y+2=0(2)8

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專題歸納高考體驗

反思感悟利用導數研究曲線的切線問題，務必要注意所給點是否在

曲線上，若點在曲線上，則函數在該點處的導數值就是曲線在該點

切線的斜率，如果所給點不在已知曲線上，則應先設出切點坐標，再

結合兩點連線的斜率公式建立聯(lián)系求解.

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?題歸自高考體驗

變式訓練2若曲線廣式-Inx在點(1,a)處的切線平行于x軸，則

C=__________

解析：?.?點(1,a)在曲線y=ax2-Lnx上，

???切線與曲線在點(l,a)處相切.

又Vf(x)=y-2ar-^,?'*f(l)=2a-1.

???切線的斜率為2a-1.

又由切線與x軸平行，

A2a-1=0.

繇

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專題歸高考體驗

專題三利用導數研究函數單調性

例3已知函數f(x)=x2-4x+(2-a)Inx,a￡R.

(1)當午8時，求Kx)的單調區(qū)間；

⑵若Kx)在［2,制內單調遞增，求a的取值范圍；

(3)若月x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍.

分析(1)將a的值代入，確定定義域，求導數，然后解不等式即得；⑵轉

化為gx閆)在(2,+o)恒成立求解；⑶轉化為不等式f(x)<0在定義域

上有解進行處理.

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專題歸納高考體驗

解：⑴當a=8時，^x)=x2-4x-6tax,

f(x)=2x-4-；=空產

令f(x)>0,得x〉3;令f(x)<0,得0<x<3,

所以f(x)的單調遞增區(qū)間是(3,+o),單調遞減區(qū)間是(0,3).

⑵由題意知八x)=2x-4+午NO在［2,+o］上恒成立，即aW2x2-4x+2.

^g(x)=2x2-4x+2=2(x-1)2,

則g(x)在［2,+o］內的最小值為g(2)=2.

所以W2.

⑶依題意/V)=2x4+竽<0在(0,+o)上有解，即2x2-4x+2-a<0在

(0,+o)內有解，

因此必有^=16-8(2-a)>0,即a>0.

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專題歸自高考體驗

變式訓練3已知函數/㈤=奴3+/(°￡R)在產處取得極值.

⑴確定a的值；

⑵若g(x)=f(x)篦討論g(x)的單調性.

解：(1)對f(x)求導得f(x)=3ax2+2x,

因為f(x)在上二g處取得極值，所以‘-3=0,

即3〃?￡+2X(-1)=等_g=o,,解得

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專題歸納高考體驗

⑵由⑴徼(工)二(；爐+%2卜1

故gU)=(江2+x3+x2)er

=Qx3+|x2+2%)廿二)(工+1)(工+4片.

令g(x)=O,解得x=O,x=-1或x=-4.

當x<4時，g(x)O,故g(x)單調遞減；

當4<x<-1時,g(x)>0,故g(x)單調遞增；

當-l<x4O時,g(x)<0,故g(x)單調遞減；

當x>0時，g(x)>0,故g(x)單調遞增

綜上知g(x)在(6<)和(-1,0)內單調遞減，在(4-1)和(0,長)內單調遞增.

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專題歸納高考體驗

專題四利用導數研究函數的極值與最值

例4已知函數f(x)=x3-3ax2+2bx在x=l處有極小值T.

⑴求函數f(x)的單調區(qū)間；

⑵求函數f(x)在閉區(qū)間［-2,2］上的最大值和最小值.

分析⑴根據條件可得f(l)=Of⑴=1,求出a,b的值得到函數解析式，然

后再利用導數解不等式得到單調區(qū)間；(2)按照求最值的步驟求

解即可.

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專題歸納高考體驗

解：(1)f(x)=3x2-6ax+2b,

\?f(x)在點x=l處有極小值-1,???［］：)=?

4(1)=?1,

即［3?6Q+26=0,解得卜二q

(1?3Q+2b=?1,U=

f(x)=x3-x2-x,f(x)=3x2-2x-1.

令f(x)〉0,得x〉l或x<-g;

令f(x)<0,得*x<L

???函數f(x)的單調遞增區(qū)間是(-8,q)和(i,+。),單調遞減區(qū)間是

Cr1)

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專題歸納一I高考體驗

⑵由⑴，當X變化時f(x),f(x)的變化情況如下表所示:

(-2,W)1(W'l)

-z(1,2)

XR2

f(X)+0_0+

T

f(x)102

27

由表中數據知，函數f(x)在x=2處取得最大值2,在X=-2處取得最小值-

10,

???函數f(x)在閉區(qū)間［-2,2］上的最大值為2,最小值為-10.

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專題歸自高考體驗

變式訓練4已知函數｛

⑴若函數"x讓x=2處取得極小值，求a的值；

⑵若a20,求f(x)在［0,1］上的最大值.

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專題歸名高考體驗

解：⑴fi^x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)

=(x-a)[x-(a+l)].

當X變化時f(x),f(x)的變化情況如下表:

X(-0,a)a(a,a+1)a+1(a+1,+oo)

f(x)+00十

單調遞單調遞單調遞

f(x)極大值極小值

增7減、增7

/.a+l=2,/.a=l.

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專題歸名高考體驗

⑵由⑴知，

①當目時，僅盾［0,1］上單調遞增，

?V/Wmaxy1)二〃*；

n

②當好o時Kx)在［0,1］上單調遞減，

f(x)max=f(0)=0;

③當0<豕1時，(x)在Qa］上單調遞增，在⑶1］上單調遞減,

:?Hx)max=?/(〃)=53+；〃2

卜2.Q>1,

綜上0,a=0,

(那+),0vQVI.

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專題歸納

專題五利用導數研究函數、方程、不等式的綜合問題

例5設函數x^a,v-2hx.

⑴當m時，求函數f（x）的最大值；

⑵當。二0力=3盟＞1時，方程f（x）二mx有唯一實數解，求m的值.

分析⑴將a,b的值代入，然后研究函數的極值，并結合單調性求出最

值；⑵方程有唯一實數解，亦即相應函數圖象與x軸只有一個交點，可

先研究函數的極值情況，并結合圖象分析，得到m的值.

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專題歸自高考體驗

解：(1%衣題意，f(X)的定義域為(0,+o),當

a=3,b=10t./(x)=lnx-|x2-2x.

ii

f(.r)=-3x-2=-?

XX

由f(x)〉0,得3x2+2x-l<0,解得/q；

由f(x)〈0,得3x2+2x-i>o,解得<，或x<-l.

因為x>0,所以f(x)在(01)內單調遞增，在0，+8)內單調遞減.

所以f(x)的極大值為噌)=.1!13年此即為最大值.

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專題歸納高考體驗

⑵因為方程f(x)『IX有唯一實數解，所以Inx+XFX=O有唯一實數解,

設g(x)=lnx+x(l-m),貝!|gr(x)=—

因為所以由g(x)>0,得六二-,

m-1

由g(x)<。,得

m-l

所以g6網O,*)內單調遞增，蠣)在(*,+8)內單調遞

減,g(X)nwc=g(高)?

若Inx+x-mx=O有唯一實數解，

則必有+如上0,化簡得1二e,解得，〃二14A

\yn-l/m-lm-lp

所以當〃時，方程f(x)FX有唯一實數解.

P

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專題歸自高考體驗

變式訓練5已知函數./U)=Inx+：2.

⑴若嶇)在⑵5］上單調遞減，求實數a的取值范圍;

⑵若f(x)NO對任意x〉0恒成立，求實數a的最小值.

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專題歸納高考體驗

解：(第內

所以由題意知f(x)WO在［2勺上恒成立，

艮中1一與《)恒成立，

因止匕xWa恒成立.因為x￡［2,5］,所以實數a的取值范圍是aN5.

(2)由題知］nx—.2X)對任意x〉0恒成立，即a三2x-xlnx,

X

令g(x)=2x-xlnx,因止匕g'(x)=2-(Inx+1)=1-Inx,

顯然當0<x<e時，g(x)>0,即得g(x)在(O,e)內單調遞增；

當xee時，g(x)<0,即得g(x)在［e,+o］內單調遞減.所以g(x)nwFg(e)=e.

故aNe,即a的最小值為e.

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專題歸納I高考體驗

考點一：導數的運算

1.(2016天津高考)已知函數Kx)=(2x+l￡Kx)為Kx)的導函數，貝依O)的值

為_____

角慚：*/f(x)=(2x+3)et,

：.i(0)=3.

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專題歸納導)考體驗

考點二：導數的幾何意義

2.(2017全國I高考)曲線在點(1,2)處的切線方程

為?

解析：設y=f(x),則(x)=2rW

所以f(l)=2-l=l.所以曲線v,三F+1在點(L2)處的切線方程為

y-2=lx(x-1),即y=x+l.

答案：y=x+l

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專題歸納高考體驗

3.(2017天津高考)已知a￡此設函數WBax-Inx的圖象在點(l,f⑴)

處的切線為1,貝隊在y軸上的截距為___________

解析：?.?KxAax-l仃,??./。)=41/(1)=4-1<1)=4則切線1方程為丫-

a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1,則1在y軸上的截距為1.

答案：1

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專題歸納演］考體驗

4.(2016全國丙高考)已知*x)為偶函數，當爛0時，f(x)=e-l-x,則曲線

y二f(x)在點(1,2)處的切線方程是

解析：當x>0時，-x<0并xR-1+x.

因為f(x)為偶函數，

所以氏x)=f(-x)=et-l+x.

因為f(x)=et-1+l,所以f(l)=2,

所求切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.

答案：y=2x

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專題歸納高考體驗

考點三：利用導數研究函數的單調性

5.(2017浙江高考)函數kf(x)的導函數尸f(x)的圖象如圖所示，則函

數kf(x)的圖象可能是()

CD

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專題歸納圖考體驗

解析：設導函數y=f(x)的三個零點分別為治后工,且X1<O<X2<X3

所以在區(qū)間(-。兇)和(X2,X3)內，f(x)<O,f(x)單調遞減，

在區(qū)間(X17X2)和(X3,+00)內f(x)>o,f(x)單調遞增，

所以函數y=f(x)的圖象可能為D,故選D.

答案：D

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專題歸納IWJ考體驗

6.(2017全國I高考)已知函數f(x)=e】(e=a)-a?x.

⑴討論f(x)的單調性；

⑵若f(x)20,求a的取值范圍.

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專題歸納高考體驗

解：⑴函數f(x)的定義域為R,f(x)=2e2t-ae1-a2=(2e!+a)(e1-a).

①若a=0,貝I」f(x)=e2,在R內單調遞增.

②若a>0,則由f(x)=O得x=lna.

當x￡(-0,Ina)時f(x)<0;當x￡(Ina,+o)時,f(x)>0.

故f(x)在區(qū)間(-o,lna)內單調遞減，在區(qū)間(In&+oo)內單調遞增.

③若a〈0,則由f(x)=0得戶1《號?

當.無￡(?1)>時￡&)<0;

當y(ln(-*+8)時/(x)x).

故f(x)在區(qū)間(.8Jn(?9)內單調遞減，在區(qū)間但(馬，+00)內單調

遞增.

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專題歸納

(2)@若a=0,則f(x)=e2r,所以f(x)20.

②若a>0,則由⑴得，當x=lna時，f(x)取得最小值，最小值為f(In

a)=-a2lna.

從而當且僅當“Ina》0,即時，f(x)20.

③若水0,則由(1得為=山(微)時f(x)取得最小值，最小值為

人(一勃=°喟?ln(?分].從而當且僅當咻?ln(.j)]>0,即aA2如

f(x)>0.

3

綠匕a的取值范圍是

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專題歸納I高考體驗

考點四：利用導數研究函數的極值與最值

7.(2017北京高考)已知函數f(x)=e'cosx-x.

(1)求曲線尸f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

⑵求函數f(x)在區(qū)間|o,外工上的?W直值伸稠囁網?

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專題歸納高考體驗

解：⑴因為f(x)*cosX-X,

所以f(x)=e(cosx-sinx)-1,f(0)=0.

又因為f(0)=1,所以曲線kf(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=l.

(2)設h(x)E(cosx-sinx)T,則h(x)E(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2esinx.

*40,加K(x)(0,

所以h(x)在區(qū)間［0,外上單調遞減.

所以對任意.二￡(0國有h(x)<h(0)=0,

即f(x)<0.

所以函數f(x)在區(qū)間(0,外上單調遞減.

因此fx)在區(qū)間［0,外上的最大值為f(0)=1,最小值為詹)=T

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專題歸納高考體驗

8.(2017山東高考)已知函數/㈤二#+加同七艮

⑴當a=2時，求曲線月(x)在點(3，出3))處的切線方程；

⑵設函數g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,討論g(x)的單調性并判斷有無

極值，有極值時求出極值.

解：⑴由題意f(x)=x2_ax,

所以當a=2時，(3>0,f(x)f2-2x,

所以f⑶二3,因此曲線尸f(x)在點(3,f⑶)處的切線方程是k3(x-3),即

3x-y-9=0.

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專題歸納圖考體驗

(2)因為g(xMx)+(x-a)cosx-sinx,

所以g(xEx)+cosx-(x-a)sinx-cosx

=x(x-a)-(x-a)sinx=(x-a)(x-sinx).

令h(x)=x-sinx,則H(X>=1"€OSXK),

所以h(x)在R上單調遞增.

因為h(O>Q所以當xX)時，h(x)X);當x<0時，h(x)<0.

①當a<0時，^(x>(x-aXx-sinx),

當x￡(-o,a)時，x-a〈0,g(x)>0,g(x)單調遞增；

當xQ(40)時,x-a>0￡(x)<0,g(x)單調遞減；

當x￡(0,+)時，x-a>0,g(x)>0,g(x)單調遞增.

所以當x=a時g(x)取到極大值，極大值；是g(q)=1aLsin”,

當x=0時g(x)取到極小值，極小值是g(0)=-a.

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專題歸納

②當a=0時，g(x>x(x-sinx),當xE(~oo,+o)時，g(x",g(x)單調遞增；所以

g(x)在(~oo,+o)上單調遞增，g(x)無極大值也無極小值.

③當時，g!(xXx-a)(x-sinx)

當xe(~o,0)時，x-a<O,g(x)>O,g(x)單調遞增；

當xQ(O0時，x-a<0虱x)<O,g(x彈調遞減；

當x￡(4+)時,x-a>O,g(x)>O,g(x)單調遞增.

所以當x=0時g(x)取到極大值，極大值是g(O)=a;

當x=a時g(x)取到極小值，極小值是〃-sina,

b

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專題歸納高考體驗

綜上所述：當a<0時，函數g(x)在區(qū)間(-o,a)和(0,+)內單調遞增，在區(qū)

間(a,0)內單調遞減，函數既有極大值，又有極小值，極大值是g(a)=

1/■sin極小值是g(0)=-a;

當a=0時，函數g(x)在區(qū)間(-o,+o)內單調遞增，無極值；

當aX)時，函數g(x)在區(qū)間(-0,0)和(4+OO)內單調遞增，在(0,a)內單調

遞減，函數既有極大值，又有極小值，極大值是g(0)=a極小值是

g(a)-la3-sina.

A

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專題歸納

考點五：利用導數解決實際問題

9.（2015江蘇高考）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的y

直線型公路，為進一步改善山區(qū)的交通現狀，計劃A

修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公

路.記兩條相互垂直的公路為1,2,山區(qū)邊界曲線

為C,計劃修建的公路為1.如圖所示，M,N為C的兩

個端點，測得點M至肛,2的距離分別為5千米和40

千米，點N到L12的距離分別為20千米和2.5千米.°

以2,I所在的直線分別為x,y軸，建立平面直角坐標系xOy.假設曲線C

符合函數尸』（其中a,b為常數）模型.

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專題歸納高考體驗

⑴求a,b的值；

⑵設公路與曲線C相切于P點，P的橫坐標為t.

①請寫出公路長度的函數解析式f(t),并寫出其定義域；

②當t為何值時，公路的長度最短?求出最短長度.

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專題歸納

解：⑴由題意知，點MN的坐標分別為(5,40),(2025).

羔=40,

將其分別代入v=氤得

品;=25

解得｛；:100°，

⑵①由⑴矢口y=1^2(5M20),

則點p的坐標為.寫￡),

設在點P處的切線1交x,y軸分別于A,B總產當

則珀昉程為y歲入書x"),

由此得A管,0)上(0,譽)

故刖=隔屋由=:乒曾fG[5,2。].

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專題歸納高考體驗

②設g⑺=F+寫

則g⑺二2〃竺警

令g'()=0,解得t=10<2.

當t￡(5,l(W2)時，⑴單調遞減；

當t￡(104220)時，g(t)>O,g(l)單調遞增.

從而，當t=10J2時，函數g⑴有極小值，也是最4、值，所以g⑴血"300,

止匕時f(t)min=15由.

答：當時，公路1的長度最短，最短長度為15由千米.

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專題歸納局考體驗

考點六：利用導數研究函數、方程、不等式的綜合問題

10.(2017全國II高考)設函數f(x)=(l-x2)et.

⑴討論f(x)的單調性；

⑵當x三0時f(x)<ax+l,求a的取值范圍.

解：(1)f(x)=(1-2x-x2)e^.

令f(x)=0得x=-l-V2,x=T+V2.

當xw(-o,-1-12)時f(x)<0;

當xe(-1心1+物時gx)>0;

當x￡(-l+d2,+o)時f(x)<0.

所以嶇)在(-,-1-42),(-1+e+)內單調遞減，在(1位,-1+物內單

調遞增.

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專題歸納I高考體驗

(2)f(x)=(l+x)(l-x)et.

當aNl時，設函|fch(x)=(1-x)et,h(x)=-xe,<0(x>0),

因此h(x)在［0,+o］內單調遞減，

而h(O)=l,故(hx歸，

所以f(x)=(x+l)h(x)<x+1<ax+1.

當0<a<l時，設函數g(x尸e］-x-l,g'(x)=er-l>0(x>0),

所以g(x)在［0,+o］內單調遞增，而g(0)=0,

故e2x+l.

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專題歸納

當0<x<1時,f(x)>(l-x)(l+x)2,(l-x)(l+x)2-ax-l=x(l-a-x-x?),取

ls-4a-l

沏=2'

則xo￡(0,1),(1-xo)(l+xo)2~axo^l=0,

故f(xo)