新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第5章　§5.5　復(fù)　數(shù)（原卷版）

§5.5復(fù)數(shù)考試要求1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義．知識(shí)梳理1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中a是復(fù)數(shù)z的實(shí)部，b是復(fù)數(shù)z的虛部，i為虛數(shù)單位．(2)復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0，,虛數(shù)b≠0當(dāng)a＝0時(shí)為純虛數(shù).))(3)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di互為共軛復(fù)數(shù)?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復(fù)數(shù)的模：向量eq\o(OZ,\s\up6(→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的?；蚪^對(duì)值，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)(a，b∈R)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)),\s\do5())復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)．(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)eq\o(,\s\up7(一一對(duì)應(yīng)),\s\do5())平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→)).3．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)幾何意義：復(fù)數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行．如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝eq\o(OZ2,\s\up6(→))－eq\o(OZ1,\s\up6(→)).常用結(jié)論1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)．3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．5．復(fù)數(shù)z的方程在復(fù)平面上表示的圖形(1)a≤|z|≤b表示以原點(diǎn)O為圓心，以a和b為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；(2)|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)為圓心，r為半徑的圓．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)復(fù)數(shù)z＝a－bi(a，b∈R)中，虛部為b.()(2)復(fù)數(shù)可以比較大?。?)(3)已知z＝a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模．()教材改編題1．已知復(fù)數(shù)z滿足z(1＋i)＝2＋3i，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．若z＝(m2＋m－6)＋(m－2)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為________．3．已知復(fù)數(shù)z滿足(3＋4i)·z＝5(1－i)，則z的虛部是________．題型一復(fù)數(shù)的概念例1(1)(多選)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝|z－1|＝1，且復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則下列結(jié)論正確的是()A．復(fù)數(shù)z的虛部為eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,z)＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)iC．z2＝z＋1D．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i(2)若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則|z|等于()A．1B．5C．7D．25(3)已知復(fù)數(shù)z滿足eq\f(z＋i,z)＝i，則eq\x\to(z)＝________.思維升華解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問(wèn)題，只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式，列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實(shí)部和虛部．跟蹤訓(xùn)練1(1)若復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋i,a＋i)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－3B．－1C．1D．3(2)若z＝1＋i，則|iz＋3eq\x\to(z)|等于()A．4eq\r(5)B．4eq\r(2)C．2eq\r(5)D．2eq\r(2)(3)若i(1－z)＝1，則z＋eq\x\to(z)等于()A．－2B．－1C．1D．2題型二復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算例2(1)若z＝－1＋eq\r(3)i，則eq\f(z,z\x\to(z)－1)等于()A．－1＋eq\r(3)i B．－1－eq\r(3)iC．－eq\f(1,3)＋eq\f(\r(3),3)i D．－eq\f(1,3)－eq\f(\r(3),3)i(2)(多選)設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2，z3滿足z3≠0，且|z1|＝|z2|，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A．z1＝±z2 B．zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)C．z1·z3＝z2·z3 D．|z1·z3|＝|z2·z3|思維升華(1)復(fù)數(shù)的乘法：復(fù)數(shù)乘法類似于多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算．(2)復(fù)數(shù)的除法：除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2(1)(2＋2i)(1－2i)等于()A．－2＋4i B．－2－4iC．6＋2i D．6－2i(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z·i3＝1－2i，則eq\x\to(z)的虛部為()A．1B．－1C．2D．－2題型三復(fù)數(shù)的幾何意義例3(1)棣莫弗公式(cosx＋isinx)n＝cosnx＋isinnx(其中i為虛數(shù)單位)是由法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗(1667－1754年)發(fā)現(xiàn)的，根據(jù)棣莫弗公式可知，復(fù)數(shù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos

\f(π,6)＋isin

\f(π,6)))7在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)z1＝i(－4＋3i)，z2＝7＋i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，則∠Z1OZ2的大小為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(5π,6)(3)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，i為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是()A．若|z|＝1，則z＝±1或z＝±iB．若|z＋1|＝1，則點(diǎn)Z的集合為以(1,0)為圓心，1為半徑的圓C．若1≤|z|≤eq\r(2)，則點(diǎn)Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為πD．若|z－1|＝|z＋i|，則點(diǎn)Z的集合中有且只有兩個(gè)元素思維升華由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀．跟蹤訓(xùn)練3(1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1－i)z＝2i，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z－1|＝2，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則()A．(x－1)2＋y2＝4B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4D．x2＋(y＋1)2＝4(3)已知復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＝|z－i|，則|z＋1＋2i|的最小值為()A．1B．2C.eq\r(3)D.eq\r(5)課時(shí)精練1．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i為虛數(shù)單位)，則()A．a(chǎn)＝1，b＝－3 B．a(chǎn)＝－1，b＝3C．a(chǎn)＝－1，b＝－3 D．a(chǎn)＝1，b＝32．復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,i＋1)(i為虛數(shù)單位)的虛部是()A．－1B．1C．－iD．i3．若復(fù)數(shù)z滿足(1＋2i)z＝4＋3i，則eq\x\to(z)等于()A．－2＋i B．－2－iC．2＋i D．2－i4．復(fù)數(shù)z＝eq\f(－i,2＋i)－i5在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．已知復(fù)數(shù)z滿足(1－i)2z＝2－4i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)eq\x\to(z)的虛部為()A．1B．－1C．iD．－i6．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(2＋6i,1－i)，i為虛數(shù)單位，則|z|等于()A．2eq\r(2)B．2eq\r(3)C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)7．非零復(fù)數(shù)z滿足eq\x\to(z)＝－zi，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．實(shí)軸 B．虛軸C．第一或第三象限 D．第二或第四象限8．已知復(fù)數(shù)z＝eq\f(a＋2i,i)(a∈R，i是虛數(shù)單位)的虛部是－3，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限9．i是虛數(shù)單位，設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則xy＝________，|x＋yi|＝________.10．若復(fù)數(shù)z滿足z·i＝2－i，則|z|＝________.11．歐拉公式eiθ＝cosθ＋isinθ(其中e＝2.718…，i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉創(chuàng)立，該公式建立了三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論中占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”．根據(jù)歐拉公式，下列結(jié)論中正確的是()A．eiπ的實(shí)部為0B．e2i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限C．|eiθ|＝1D．eiπ的共軛復(fù)數(shù)為112．(多選)已知復(fù)數(shù)z1＝－2＋i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2滿足|z2－1＋2i|＝2，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M(x，y)，則下列說(shuō)法正確的是()A．復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限B.eq\f(1,z1)＝－eq\f(2,5)－eq\f(1,5)iC．(x＋1)2＋(y－2)2＝4D．|z2－z1|的最大值為3eq\r(2)＋213．若復(fù)數(shù)(x－3)＋yi(x，y∈R)的模為2，則eq\f(y,x)的最大值為()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(\r(5),2)C.eq\f(\r(5),3)D.eq\f(2,3)14．在數(shù)學(xué)中，記表達(dá)式ad－bc為由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))所確定的二階行列式．若在復(fù)數(shù)