考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷1（共158題）

考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷1（共6套）（共158題）考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A為三階矩陣，將A的第二列加到第一列得矩陣B，再交換B的第二行與第三行得到單位矩陣，記P1=，P2=，則A=()A、P1P2。B、P1-1P2。C、P2P1。D、P2P1-1。標準答案：D知識點解析：由題意B=AP1，P2B=E。從而由P2AP1=E可得A=P2-1P1-1=P2P1-1。故(D)選項正確。2、設(shè)A是任一n(n≥3)階方陣，A*是其伴隨矩陣，又k為常數(shù)，且k≠0，±1，則必有(kA)*=()A、kA*。B、kn-1A*。C、knA*。D、k-1A*。標準答案：B知識點解析：對任何n階矩陣都成立時，對某些特殊的n階矩陣也成立，那么當A可逆時，由A*=｜A｜A-1有(kA)*=｜kA｜(kA)-1=kn｜A｜．A-1=kn-1A*．故應(yīng)選(B)。3、設(shè)A是三階矩陣，A*是A的伴隨矩陣，已知A的每行元素之和為k，A*的每行元素之間和為m，則｜A｜=()A、km。B、(-1)nkm。C、D、(-1)n標準答案：A知識點解析：將A的其余各列加到第1列，且利用A的每行元素之和為k，得顯然｜A｜和｜B｜的第1列元素的代數(shù)余子式是相同的，將｜B｜按第一列展開，得｜A｜=k(B11+B21+…+Bn1)=k(A11+A21+…+An1)。因A11，A21，…，An1也是A*的第一行元素，故A11+A21+…+An2=m。故｜A｜=km。4、已知A=，A*是A的伴隨矩陣，若R(A*)=1。則a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。標準答案：D知識點解析：A是4階矩陣，那么由伴隨矩陣秩的公式可知R(A)=3R(A*)=1。反之，若R(A*)=1，則有Aij≠0，得R(A)≥3，但R(A)≠4(若R(A)=4，則R(A*)=4，這與R(A*)=1矛盾)，故R(A)=3，從而有R(A)=3(A*)=1。對矩陣A作初等變換，有若a=3，則A→，秩R(A)=3；若a=2，則A→，秩R(A)=4；若a=1，則A→，秩R(A)=3。所以，a=1或a=3時均有R(A)=3，R(A*)=1。應(yīng)選(D)。5、設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，若A3=0，則()A、E-A不可逆，E+A不可逆。B、E-A不可逆，E+A可逆。C、E-A可逆，E+A可逆。D、E-A可逆，E+A不可逆。標準答案：C知識點解析：A3=OA3+E=E(A+E)(A2-A+E)=E，所以A+E可逆，A3=OA3-E=-E(E-A)(A2+A+E)=E，所以E-A可逆。故選(C)。6、設(shè)A=，則A-1=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：由分塊矩陣運算法則再根據(jù)A-1=A*，及二階矩陣的伴隨矩陣，且利用以上公式及性質(zhì)，應(yīng)選(B)。二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)7、A2-B3=(A+B)(A-B)的充分必要條件是________。標準答案：AB=BA知識點解析：A2-B2=(A+B)(A-B)=A2+BA-AB-B2的充分必要條件是AB=BA。8、若A=，則An=_______。標準答案：知識點解析：將矩陣A分解為兩個矩陣的和，即由于Bn=O(n≥3)，所以An=(E+B)n=En+nEn-1B+En-2B2上式當n=1和2時，仍成立。9、P1=，P2=，則P12009P2-1=_________。標準答案：知識點解析：P1==E23，因為Eij-1=Eij，所以Eij2=E，于是P12009P2-1=P1P2-1=10、設(shè)A=，則(A-2E)-1=_____。標準答案：知識點解析：A-2E=，而則(A-2E)-1=11、已知A=，則(A-1)*=_______。標準答案：知識點解析：若A可逆，由A*=｜A｜A-1有(A-1)*=｜A-1｜(A-1)-1=而故(A-1)*=12、設(shè)A=，則A*+A*+A*=_______。標準答案：知識點解析：令A(yù)=(α1，α2，α3)，因為｜A｜=2，所以A*A=｜A｜AE=2E，而A*A=(A*α1，A*α2，A*α3)，所以A*α1=，A*α2=，A*α3=，于是13、設(shè)A=，B為三階非零矩陣，且AB=0，則R(A)=________。標準答案：2知識點解析：已知AB=0，因此根據(jù)乘積矩陣秩的性質(zhì)，有R(A)+R(B)≤3，又因為B≠0，所以R(B)≥1，從而有R(A)≤2。顯然A有兩行不成比例，故R(A)≥2，于是R(A)=2。14、設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣，｜A｜為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，則｜A｜=______。標準答案：-1知識點解析：由aij+Aij=0，得Aij=-aij。A*=(Aij)T=(-aij)T=-AT，因此AA*=-AAT=｜A｜E，等式兩端取行列式得-｜A｜2=｜A｜3，從而得｜A｜=0或｜A｜=-1，假設(shè)｜A｜=0，則-AAT=0，于是A=0，與條件矛盾，所以｜A｜=-1。15、設(shè)矩陣A=，則A3的秩為_________。標準答案：1知識點解析：因為A2=A3=所以，A3的秩為1。三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)16、設(shè)(2E-C-1B)AT=C-1，其中層是4階單位矩陣，AT是4階矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，且求矩陣A。標準答案：題設(shè)矩陣等式兩邊左乘矩陣C，得C(2E-C-1B)AT=CC-1，即(2C-B)AT=E。因2C-B=，｜2C-B｜=1≠0，故矩陣2C-B可逆，于是A=[(2C-B)-1]T=[(2C-B)T]-1=知識點解析：暫無解析17、設(shè)n階矩陣A和B滿足等式AB=aA+bB，其中a和b為非零實數(shù)。證明：(Ⅰ)A-bE和B-aE都可逆；(Ⅱ)A可逆的充分必要條件是B可逆；(Ⅲ)AB=BA。標準答案：(Ⅰ)由AB=aA+bB得到(A-bE)(B-aE)=AB-aA-bB+abE=abE。由于a和b都非0，abE可逆，從而A-bE和B-aE都可逆。(Ⅱ)由AB=aA+bB得，A(B-aE)=bB。由于B-aE可逆，b不為0，那么A可逆(B-aE)可逆bB可逆b可逆。(Ⅲ)由(A-bE)(B-aE)=abE，得，根據(jù)逆矩陣的定義，從而有即(B-aE)(A-bE)=abE=(A-bE)(B-aE)，等式兩端展開并化簡，結(jié)合已知條件AB=aA+bB，得AB=BA。知識點解析：暫無解析18、設(shè)A，B均為n階矩陣，且E-AB可逆，證明E-BA也可逆。標準答案：對恒等式A-ABA=A-ABA變形，得(E-AB)A=A(E-BA)，又由E-AB可逆，可得A=(E-AB)-1A(E-BA)。再由E=E-BA9BA=E-BA+B(E-AB)-1A(E-BA)=[E+B(E-AB)-1A](E-BA)，故E-BA可逆，且(E-BA)-1=E+B(E-AB)-1A。知識點解析：暫無解析19、設(shè)A，B為n階可逆陣，證明：(AB)*=B*A*。標準答案：因A、B均為可逆矩陣，則由伴隨矩陣及逆矩陣相關(guān)公式，有(AB)*=｜AB｜(AB)-1=｜A｜｜B｜B-1A-1=｜B｜B-1.｜A｜A=B*A*。知識點解析：暫無解析20、已知A，B為3階矩陣，其中A可逆，滿足2A-1B=B-4E。(Ⅰ)證明A-2E可逆；(Ⅱ)如果B=，求矩陣A。標準答案：(Ⅰ)由2A-1B=B-4E，得2B=AB-4,4，從而(A-2E)B=4A。等式兩端取行列式有｜A-2E｜｜B｜=｜4A｜≠0，故｜A-2E｜≠0，因此A-2E可逆。(Ⅱ)由2A-1B=B-4E，得A(B-4E)=2B。因此有(BT-4E)AT=2BT，用初等變換法求解此矩陣方程(BT-4E:2BT)于是AT=那么，A=知識點解析：暫無解析21、已知A=，矩陣X滿足A*X=A-1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，求矩陣X。標準答案：方程兩邊同時左乘矩陣A，且由公式AA*=｜A｜E，得｜A｜X=E+2AX，即(｜A｜E-2A)X=E，因此X=(｜A｜E-2A)-1。又｜A｜==4，｜A｜E-2A=故知識點解析：暫無解析22、設(shè)A，B都是可逆矩陣，證明可逆，并求它的逆矩陣。標準答案：因為=｜A｜｜B｜≠0，所以可逆。設(shè)，則從而BD21=0，由B可逆，得D21=0。由BD22=E，可得D22=B-1。由AD11+CD21=AD1=E，可得D11=A-1。由AD12+CD22=AD12+CB-1=0，可得D12=-A-1CB-1。故知識點解析：暫無解析23、設(shè)A是n階非零矩陣，且A*=AT，證明：A可逆。標準答案：設(shè)A=，不妨設(shè)a11≠0，｜A｜=a11A11+a12A12+…+anA1n，因為A*==AT，所以aij=Aij,于是｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2＞0，故A為可逆矩陣。知識點解析：暫無解析24、設(shè)A是n階矩陣(n≥2)，證明：(Ⅰ)當n=2時，(A*)*=A；(Ⅱ)當n≥3時，(A*)*=｜A｜n-1A。標準答案：(Ⅰ)當n=2時，設(shè)A=，從而A*=因此(A*)*==A。(Ⅱ)當n≥3時，若｜A｜≠0，根據(jù)A*=A-1｜A｜，則｜A*｜=｜｜A｜A-1｜=｜A｜n-1，由A*(A*)*=｜A*｜E，可得(A*)*=｜A*｜(A*)-1=｜A｜n-1=｜A｜n-2A，當｜A｜=0時，R(A*)≤1＜n-1，因此(A*)*=0。命題仍成立。因此n≥3時，(A*)*=｜A｜n-2A。知識點解析：暫無解析25、設(shè)n階矩陣A和B滿足A+2B=AB。(Ⅰ)證明：A-2E為可逆矩陣，其中E為n階單位矩陣；(Ⅱ)證明：AB=BA；(Ⅲ)已知B=，求矩陣A。標準答案：(Ⅰ)由A+2B=AB，有AB-2B-A+2E=2E，即(A-2E).(B-E)=E，根據(jù)矩陣可逆的定義，所以矩陣A-2E可逆。(Ⅱ)由(Ⅰ)知(A-2E)-1=(B-E)。那么(A-2E).(B-E)=(B-E)(A-2E)，即有AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E，故AB=BA。(Ⅲ)由(A-2E).(B-E)=E知A-2E=[(B-E)]-1，得A=2(B-E)-1+2E。因為(B-E)-1=所以知識點解析：暫無解析26、設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：(Ⅰ)若｜A｜=0，則｜A*｜=0；(Ⅱ)｜A*｜=｜A｜n-1。標準答案：(Ⅰ)(反證法)假設(shè)｜A*｜≠0，由矩陣可逆的充分必要條件可知A*是可逆矩陣，則有A*(A*)-=E，因為由A-1=A*，可知A*=A-1｜A｜，由此得A=AE=AA*(A*)-1=｜A｜E(A*)-1=0，所以A*=0。這與｜A*｜≠0矛盾，故當｜A｜=0時，有｜A*｜=0。(Ⅱ)由于從AA*=｜A｜E，兩端同時取行列式得｜A｜A*｜=｜A｜n。當｜A｜≠0時，｜A*｜=｜A｜n-1；當｜A｜=0時，｜A*｜=0。綜上，均有｜A*｜=｜A｜n-1成立。知識點解析：暫無解析27、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣。構(gòu)造(m+n)階矩陣(Ⅰ)計算HG和GH；(Ⅱ)證明｜H｜=｜Em-AB｜=｜En-BA｜。標準答案：(Ⅰ)利用分塊矩陣的乘法原則，可得(Ⅱ)由(Ⅰ)中結(jié)論，｜HG｜=｜Em｜.｜En-BA｜=｜En-BA｜，｜GH｜=｜Em-AB｜.｜En｜=｜Em-AB｜。又因為｜HG｜=｜H｜｜G｜=｜H｜=｜G｜｜H｜=｜GH｜，所以｜H｜=｜En-BA｜=｜Em-AB｜。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)1、設(shè)A=E=E—2ξξT，其中ξ=(x1，x2，…，xn)T且有ξTξ=1。則①是對稱矩陣；②A2是單位矩陣；③A是正交矩陣；④A是可逆矩陣。上述結(jié)論中，正確的個數(shù)是()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：AT=(E—2ξξT)T=ET—(2ξξT)T=E—2ξξT=A，①成立。A2=(E—2ξξT)(E—2ξξT)=E—4ξξT+4ξξTξξT=E—4ξξT+4ξ(ξTξ)ξT=E，②成立。由①、②，得A2=AAT=E，故A是正交矩陣，③成立。由③知正交矩陣是可逆矩陣，且A—1=AT，④成立。故選D。2、設(shè)A，B均為n階矩陣，且AB=A+B，則①若A可逆，則B可逆；②若B可逆，則A+B可逆；③若A+B可逆，則AB可逆；④A—E恒可逆。上述命題中，正確的個數(shù)為()A、1。B、2。C、3。D、4。標準答案：D知識點解析：由AB=A+B，有(A—E)B=A。若A可逆，則｜(A—E)B｜=｜A—E｜×｜B｜=｜A｜≠0，所以｜B｜≠0，即矩陣B可逆，從而命題①正確。同命題①類似，由B可逆可得出A可逆，從而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命題②正確。因為AB=A+B，若A+B可逆，則有AB可逆，即命題③正確。對于命題④，用分組因式分解，即AB—A—B+E=E，則有(A—E)(B—E)=E，所以得A—E恒可逆，命題④正確。綜上所述，故選D。3、設(shè)A，B均為n階可逆矩陣，且(A+B)2=E，則(E+BA—1)—1=()A、(A+B)B。B、E+AB—1。C、A(A+B)。D、(A+B)A。標準答案：C知識點解析：因為(E+BA—1)—1=(AA—1+BA—1)—1=[(A+B)A—1]—1=(A—1)—1(A+B)—1=A(A+B)，故選C。注意，由(A+B)2=E，即(A+B)(A+B)=E，按可逆矩陣的定義知(A+B)—1=(A+B)。4、設(shè)A為正交矩陣，則下列矩陣中不屬于正交矩陣的是()A、ATB、A2C、A*D、2A標準答案：D知識點解析：因A為正交矩陣，所以AAT=ATA=E，且｜A｜2=1。而(2A)(2A)T=4AAT=4E，可見2A不為正交矩陣，故選D。事實上，由AT(AT)T=ATA=E，(AT)TAT=AAT=E，可知AT為正交矩陣。由A2(A2)T=A(AAT)AT=AAT=E，(A2)TA2=AT(ATA)A=ATA=E，可知A2為正交矩陣。由A*=｜A｜A—1=｜A｜AT，可得A*(A*)T=｜A｜AT(｜A｜A)=｜A｜2ATA=｜A｜2E=E，(A*)TA*=(｜A｜A)｜A｜AT=｜A｜2AAT=｜A｜2E=E，故A*為正交矩陣。5、設(shè)。則必有()A、AP1P2=B。B、AP2P1=B。C、P1P2A=B。D、P2P1A=B。標準答案：C知識點解析：由于對矩陣Am×n施行一次初等行變換相當于在A的左邊乘以相應(yīng)的m階初等矩陣；對Am×n作一次初等列變換，相當于在A的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣，而經(jīng)過觀察A，B的關(guān)系可以看出，矩陣B是矩陣A先把第一行加到第三行上，再把所得的矩陣的第一、二兩行互換得到的，這兩次初等變換所對應(yīng)的初等矩陣分別為題中條件的P2與P1，故選C。6、已知A=，A*是A的伴隨矩陣，若r(A*)=1，則a=()A、3。B、2。C、1。D、1或3。標準答案：D知識點解析：伴隨矩陣秩的公式為r(A*)=可見r(A*)=1r(A)=3。對矩陣A作初等變換，有所以a=1或3時，均有r(A*)=1，故選D。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)7、設(shè)α，β均為三維列向量，βT是β的轉(zhuǎn)置矩陣，如果αβT=，則αTβ=________。標準答案：5知識點解析：設(shè)α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，則而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出αTβ就是矩陣αβT的主對角線元素的和，所以αTβ=1+6+(—2)=5。8、已知2CA—2AB=C—B，其中，則C3=________。標準答案：知識點解析：由2CA—2AB=C—B，得2CA—C=2AB—B，因此有C(2A—E)=(2A—E)B。因為2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)—1，于是C3=(2A—E)B3(2A—E)—19、設(shè)A=，B=(E+A)—1(E—A)，則(E+B)—1=________。標準答案：知識點解析：由B+E=(E+A)—1(E—A)+E=(E+A)—1(E—A)+(E+A)—1(E+A)=(E+A)—1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)—1，可得(E+B)—1=。已知A=，因此10、設(shè)A=，A*為A的伴隨矩陣，則(A*)—1=________。標準答案：知識點解析：由A*=｜A｜A—1可得(A*)—1=。11、已知A=，矩陣X滿足A*X=A—1+2X，其中A*是A的伴隨矩陣，則X=________。標準答案：知識點解析：左乘矩陣A，并把等式AA*=｜A｜E代入已知矩陣方程，得｜A｜X=E+2AX，移項可得(｜A｜E—2A)X=E，因此X=(｜A｜E—2A)—1。已知｜A｜=4，所以12、設(shè)矩陣A=，則A3的秩為________。標準答案：1知識點解析：依矩陣乘法直接計算得A3=，故r(A3)=1。13、已知，則秩r(AB+2A)=________。標準答案：2知識點解析：因為AB+2A=A(B+2E)，且是可逆矩陣，所以r(AB+2A)=r(A)。對A作初等行變換，則因此可得r(AB+2A)=2。14、設(shè)A=，B是三階非零矩陣，且AB=0，則a=________。標準答案：知識點解析：因為AB=0，則有r(A)+r(B)≤3，又已知矩陣B≠0，因此r(B)≥1，那么r(A)＜3，則行列式｜A｜=0。而所以a=。三、解答題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)15、設(shè)A=，求An。標準答案：把矩陣A作如下拆分：知識點解析：暫無解析已知三階矩陣A和三維向量x，使得x，Ax，A2x線性無關(guān)，且滿足A3X=3Ax—2A2X。16、記P=(x，Ax，A2x)。求三階矩陣B，使A=PBP—1。標準答案：令等式A=PBP—1兩邊同時右乘矩陣P，得AP=PB，即A(x，Ax，A2x)=(Ax，A2x，A3x)=(Ax，A2x，3Ax—2A2x)=(x，Ax，A2x)，所以B=。知識點解析：暫無解析17、計算行列式｜A+E｜。標準答案：知A～B，那么A+E～B+E，從而知識點解析：暫無解析18、已知矩陣A的伴隨矩陣A*=diag(1，1，1，8)，且ABA—1=BA—1+3E，求B。標準答案：在A*=｜A｜A—1兩端取行列式可得｜A*｜=｜A｜4｜A—1｜=｜A｜3，因為A*=diag(1，1，1，8)，所以｜A*｜=8，即｜A｜=2。由ABA—1=BA—1+3E移項并提取公因式得，(A—E)BA—1=3E，右乘A得(A—E)B=3A，左乘A—1得(E—A—1)B=3E。由已求結(jié)果｜A｜=2，知得(E—A—1)—1=，因此B=3(E—A—1)—1=diag(6，6，6，—1)。知識點解析：暫無解析19、設(shè)A為n階可逆矩陣，A*為A的伴隨矩陣，證明：(A*)T=(AT)*。標準答案：因為A可逆，所以｜A｜=｜AT｜，且AA—1=E。在AA—1=E兩邊同時取轉(zhuǎn)置可得(A—1)TAT=E，即(AT)—1=(A—1)T，所以(A*)T=(｜A｜A—1)T=｜A｜(A—1)T=｜AT｜(AT)—1=(AT)*。知識點解析：暫無解析設(shè)A=，問k為何值，可使：20、r(A)=1。標準答案：對A作初等變換，即當k=1時，r(A)=1。知識點解析：暫無解析21、r(A)=2。標準答案：當k=—2時，r(A)=2。知識點解析：暫無解析22、r(A)=3。標準答案：當k≠1且k≠—2時，r(A)=3。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共3題，每題1.0分，共3分。)1、設(shè)A，b均為2階矩陣，A*，B*分別為A，B的伴隨矩陣，若｜A｜=2，｜B｜=3，則分塊矩陣的伴隨矩陣為()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：根據(jù)公式AA*=｜A｜E，有因此(A)不正確。由于而=｜A｜｜B｜，滿足公式AA*=｜A｜E，所以選(B)。經(jīng)驗證，(C)和(D)均不正確。2、設(shè)A是三階方陣，將A的第1列和第2列交換得B，再把B的第2列加到第3列得C，則滿足AQ=C的可逆矩陣Q為()A、

B、

C、

D、

標準答案：D知識點解析：根據(jù)初等矩陣的性質(zhì)，，所以因此本題選(D)。3、設(shè)A為三階矩陣，將A的第2行加到第1行得B，再將B的第1列的-1倍加到第2列得C，記P=，則()A、C=P-1AP。B、C=PAP-1。C、C=PTAP。D、C=PAPT。標準答案：B知識點解析：由題意得由于P-1=，所以(*)式可以表示為C=PAP-1。因此本題選(B)。二、填空題(本題共5題，每題1.0分，共5分。)4、設(shè)A=，則An=_______。標準答案：知識點解析：把A寫成兩個矩陣和的形式，即A==B+5E，其中B2=于是由二項式定理得An=(B+5E)n=(5E)n+n(5E)n-1B+(5E)n-2B2=5nE+n5n-1B+5n-2B25、已知A=，則An=________。標準答案：(-8)n-1A知識點解析：因為A=(1，2，-3)，故A2=(1，2，-3)(1，2，-3)=(1，2，-3)，即A2=-8A，由遞推歸納法得An=(-8)n-1A。6、設(shè)A，B均為3階矩陣，E是3階單位矩陣，已知AB=2A+3B，A=，則(B-2E)-1=_____。標準答案：知識點解析：對AB=2A+3B添加項構(gòu)造出B-2E，即AB-2A-3B+6E=6E，分解因式，有(A-3E)(B-2E)=6E。從而(B-2E)-1=(A-3E)=7、已知A=，則A-1=__________。標準答案：知識點解析：因為，所以那么A-1=8、設(shè)A=，(A-1)*是A-1的伴隨矩陣，則(A-1)*=_____。標準答案：知識點解析：因為A-1.(A-1)*=A-1.A.｜A-1｜=｜A-1｜E，所以有(A-1)*=｜A-1｜A=A。已知｜A｜=6，故(A-1)*=三、解答題(本題共18題，每題1.0分，共18分。)9、設(shè)A、B均為n階方陣，滿足A2=A，B2=B，(A-B)2=A+B，證明：AB=BA=0。標準答案：因為(A-B)2=A2-AB-BA+B2=A+B-(AB+BA)，所以AB+BA=0，(*)用A左乘(*)式得A2B+ABA=0，即有AB=-ABA，用A右乘(*)式得ABA+BA2=0，則有BA=-ABA。故有AB=BA=0。知識點解析：暫無解析10、已知A是n階對稱矩陣，B是n階反對稱矩陣，證明A-B2是對稱矩陣。標準答案：因為A-B2=A-BB=A+BTB，則有(A-B2)T=(A+BTB)T=AT+(BTB)T=A+BTB=A-B2，所以A-B2是對稱矩陣。知識點解析：暫無解析11、某企業(yè)對其職工進行分批脫產(chǎn)技術(shù)培訓(xùn)，每年從在崗人員中抽調(diào)30％的人參加培訓(xùn)，而參加培訓(xùn)的職工中有60％的人結(jié)業(yè)回崗，假設(shè)現(xiàn)有在崗職工800人，參加培訓(xùn)人員是200人，試問兩年后在崗與脫產(chǎn)培訓(xùn)職工各有多少人(假設(shè)職工人數(shù)不變)?標準答案：用xi，yi分別表示i年后在崗與脫產(chǎn)職工的人數(shù)，x0，y0為目前在崗與脫產(chǎn)的人數(shù)，則用矩陣表示，有。因此所以，兩年后在崗職工668人，培訓(xùn)人員332人。知識點解析：暫無解析12、設(shè)計算A2011。標準答案：先求A的低階冪。由A2=，A3==2A可得A2.A=2A，依次類推，A2n+1=2nA，從而有A2011=21005A=知識點解析：暫無解析13、假設(shè)A，B均為n階方陣，且滿足AB=A+B，試證明A，B可交換。標準答案：等式AB=A+B等價于AB-A-B+E=E，則有(A-E)(B-E)=E。由此可知，A-E與B-E互為逆矩陣，由逆矩陣的定義可知(A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)=E，將以上等式展開可得AB-A-B+E=BA-A-B+E，故AB=BA，即A，B可交換。知識點解析：暫無解析14、設(shè)A=，求A-1。標準答案：因AT=A，故(A-1)T=(AT)-1=A-1，即A-1也是對稱矩陣，而A11==3，A12==-1，A13==-1，A22==3，A23==-1，A33==4。故有A-1=知識點解析：暫無解析15、設(shè)A是n階反對稱矩陣。(Ⅰ)證明：A可逆的必要條件是兒為偶數(shù)；當n為奇數(shù)時，A*是對稱矩陣；(Ⅱ)試舉一個4階不可逆的反對稱矩陣的例子。標準答案：(Ⅰ)根據(jù)反對稱矩陣的定義：AT=-A，則｜A｜=｜AT｜=｜-A｜=(-1)n｜A｜，即[1-(-1)n]｜A｜=0。若n=2k+1，必有｜A｜=0，此時A不可逆。所以A可逆的必要條件是n為偶數(shù)。因為AT=-A，則由(A*)T=(AT)*有(A*)t=(At)*=(-A)*。又因(lA)*=ln-1A*，故當n=2k+1時，有(A*)T=(-1)2KA*=A*，即A*是對稱矩陣。(Ⅱ)例如，A=是4階反對稱矩陣，且不可逆。知識點解析：暫無解析16、設(shè)A為n階可逆矩陣，證明：(A*)*=｜A｜n-2A。標準答案：根據(jù)公式AA*=｜A｜E，得A*(A*)*=｜A*｜E，由于｜A*｜=｜｜A｜A-1｜=｜A｜n-1，由A可逆知A*可逆，又A*=A-1｜A｜，有(A*)-1=，于是得到(A*)*=｜A*｜(A*)-1=｜A｜n-1.=｜A｜n-2A。知識點解析：暫無解析17、已知A=，且有AXB=AX+A2B-A2+B，求X。標準答案：由A可逆，方程兩邊左乘A-1，得XB=X+AB-A+A-1B．X(B-E)=A(B-E)+A-1B。由于B-E也可逆，且有A-1=，(B-E)-1=所以有X=A+A-1B(B-E)-1知識點解析：暫無解析18、設(shè)A=，矩陣X滿足AXA-ABA=XA-AB，求X3。標準答案：由已知條件有(A-E)XA=AB(A-E)，而顯然A，A-E可逆，所以X=(A-E)-1AB(A-E)A-1，而A-E=，A-1=，(A-E)-1=則X=(1，1，1)，所以知識點解析：暫無解析19、求A=的秩。標準答案：將矩陣A用初等變換化為行階梯形矩陣。(1)當a=b=0時，R(B)=0R(A)=0；(2)當a與b至少有一個不為零時①a+3b≠0且a-b≠0時，R(B)=4R(A)=4；②a+3b=0，但a-b≠0時，R(B)=3R(A)=3；③a+3b≠0，但a-b=0時，R(B)=1R(A)=1。知識點解析：暫無解析20、設(shè)A=，判斷A是否可逆，若A可逆，求A-1。標準答案：矩陣A的行列式｜A｜==-3≠0，故A可逆。于是A-1=知識點解析：暫無解析21、設(shè)A=，且A2-AB=E，求B。標準答案：由A2-AB=E，得AB=A2-E，因為A可逆，所以B=A-1(A2-E)=A-A-1，而所以A-1=，于是B=A-A-1=知識點解析：暫無解析22、設(shè)a是n維單位列向量，A=E-ααT，證明：R標準答案：因為A2=(E-ααT)(E-ααT)=E-2ααT+ααTααT=E-ααT=A，所以A(E-A)=0，于是R(A)+R(E-A)≤n。又因為R(A)+R(E-A)≥R(E)=n，所以R(A)+R(E-A)=n。由A=E-ααT得E-A=ααT，于是R(E-A)=R(ααT)=R(α)=1，故R(A)=n-1。知識點解析：暫無解析23、設(shè)A是n階矩陣(n≥2)，證明：R(A*)=標準答案：當R(A)=n時，｜A｜≠0，因為｜A*｜=｜A｜n-1≠0，所以R(A*)=n。當R(A)=n-1時，｜A｜=0，于是A*A=｜A｜E=0，所以R(A*)+R(A)≤n。再由R(A)=n-1，故R(A*)≤1。又因為R(A)=n-1，由矩陣秩的定義，A的最高階非零子式為n-1階，即存在Mij≠0，所以Aij=(-1)i+jMij≠0，從而A*≠0，于是R(A*)≥1，故R(A*)=1。當R(A)＜n-1時，因為A的所有n一1階子式都為零，即所有的Mij=0，所以A*=0，于是R(A*)=0。知識點解析：暫無解析24、設(shè)C=，其中A，B為n階矩陣，A，B的伴隨矩陣為A*，B*，求C的伴隨矩陣。標準答案：因為CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，其中E為2n階單位矩陣，而=｜A｜｜B｜E，其中E1是n階單位矩陣。故C*=知識點解析：暫無解析25、設(shè)A，B分別為m和n階可逆矩陣，C為m×n矩陣，求標準答案：令得AX11+CX21=Em，AX12+CX22=0，BX21=0，BX2=En，于是X11=A-1，X22=0，X22=B-1，X12=-A-1CB-1，故AY11=Em，AY12=0，CY11+BY21=0，CY12+BY22=En，于是有Y11=A-1，Y12=0，Y21=-B-1CA-1，Y22=B-1，故知識點解析：暫無解析26、設(shè)A，B，C，D都是n階矩陣，其中A可逆，構(gòu)造兩個2n階矩陣：(Ⅰ)求HG；(Ⅱ)證明｜H｜=｜A｜｜B-DA-1C｜。標準答案：(Ⅰ)由分塊矩陣的乘法運算法則可得(Ⅱ)｜H｜｜G｜==｜A｜｜B-DA-1C｜。又因為｜G｜=｜E｜2=1，所以｜H｜=｜A｜｜B-DA-1C｜。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、兩個4階矩陣滿足A2＝B2，則A、A＝B．B、A＝－B．C、A＝B或A＝－B．D、｜A｜＝｜B｜或｜A｜＝－｜B｜．標準答案：D知識點解析：暫無解析2、設(shè)A是3階矩陣，將A的第2行加到第1行上得B，將B的第1列的－1倍加到第2列上得C．P＝則C＝()．A、P-1AP．B、PAP-1．C、PTAP．D、PAPT．標準答案：B知識點解析：根據(jù)初等矩陣的有關(guān)性質(zhì)，則B＝PA，C＝BP-1，得C＝PAP-1．3、設(shè)A為3階矩陣，P＝(α1，α2，α3)為3階可逆矩陣，Q＝(α1＋α2，α2，α3)．已知PTAP＝，則QTAQ＝()．A、B、C、D、標準答案：A知識點解析：顯然關(guān)鍵是Q和P，的關(guān)系．由矩陣分解，有4、設(shè)A是3階可逆矩陣，交換A的1，2行得B，則A、交換A*的1，2行得到B*．B、交換A*的1，2列得到B*．C、交換A*的1，2行得到－B*．D、交換A*的1，2列得到－B*．標準答案：D知識點解析：B＝因為A是可逆矩陣，所以B也可逆，則B*＝｜B｜B-1．于是B*＝－A*得結(jié)論：交換A*的1，2列得到－B*．5、設(shè)矩陣A＝(aij)3×3滿足A*＝AT，a11，a12，a13為3個相等的正數(shù)，則它們?yōu)锳、／3．B、3．C、1／3．D、．標準答案：A知識點解析：暫無解析6、設(shè)A，B，C都是n階矩陣，滿足B＝E＋AB，C＝A＋CA，則B－C為A、E．B、－E．C、A．D、－A．標準答案：A知識點解析：由B＝E＋AB得(E－A)B＝E，由C＝A＋CA得C(E－A)＝A，則C(E－A)B＝AB，得C＝ABB－C＝E＋AB－AB＝E．7、A和B都是n階矩陣．給出下列條件①A是數(shù)量矩陣．②A和B都可逆．③(A＋B)2＝A2＋2AB＋B2．④AB＝cE．⑤(AB)2＝A2B2．則其中可推出AB＝BA的有()A、①②③④⑤．B、①③⑤．C、①③④．D、①③．標準答案：D知識點解析：①和③的成立是明顯的．②是不對的，如④AB＝cE，在c≠0時可推出AB＝BA，但是c＝0時則推不出AB＝BA．⑤(AB)2＝A2B2推不出AB＝BA．對于④中的A和B，(AB)2和A2B2都是零矩陣，但是AB≠BA．二、解答題(本題共33題，每題1.0分，共33分。)8、(1)證明兩個上三角矩陣A和B的乘積AB還是上三角矩陣；并且AB對角線元素就是A和B對應(yīng)對角線元素的乘積．(2)證明上三角矩陣A的方冪Ak與多項式f(A)也都是上三角矩陣；并且Ak的對角線元素為a11k，a22k，…，annk；f(A)的對角線元素為f(a11)，f(a22)，…，f(ann)．標準答案：(1)設(shè)A和B都是n階上三角矩陣，C＝AB，要說明C的對角線下的元素都為0，即i＞j時，cij＝0．cij＝A的第i個行向量和B的第j個列向量對應(yīng)分量乘積之和．由于A和B都是n階上三角矩陣，A的第i個行向量的前面i－1個分量都是0，B的第j個列向量的后面n－j個分量都是0，而i－1＋n－j＝n＋(i－j－1)≥n，因此cij＝0．cii＝ai1b1i＋…＋aii-1bi-1i＋aiibii＋aii+1bi+1i＋…＋ainbni＝aiibii(ai1…＝aii-1＝0，bi+1i＝…＝bni＝0)．(2)設(shè)A是上三角矩陣．由(1)，直接可得Ak是上三角矩陣，并且對角線元素為a11k，a22k，annk．設(shè)f(A)＝amAm＋am-1Am-1＋…＋1A＋a0E.aiAi都是上三角矩陣，作為它們的和，f(A)也是上三角矩陣．f(A)的對角線元素作為它們的對角線元素的和，是f(a11)，f(a22)，f(ann)．知識點解析：暫無解析9、n維向量α＝(a，0，…，0，a)T，a＜0，A＝E－ααT，A-1＝E＋a-1ααT，求α．標準答案：(E－ααT)(E＋α-1ααT)＝EE＋a-1ααT－ααT－a-1ααTααT＝Ea-1ααT－ααT－a-1ααTααT＝0，(αTα＝2a2)(a-1－1－2α)ααT＝0．a(chǎn)-1－1－2a＝0，(因為ααT不是零矩陣．)1－a－2a2＝0，a＝－1．知識點解析：暫無解析10、A＝E－αβT，其中α，β都是n維非零列向量，已知A2＝3E－2A，求αTβ．標準答案：A2＝3E－2A，A2＋2A－3E＝0，(A＋3E)(A－E)＝0，(4E－αβT)(－αβT)＝0，4αβT－αβTαβT＝0，(4－βTα)αβT＝0，4－βTα＝0，βTα＝4，從而αTβ＝βTα＝4。知識點解析：暫無解析11、設(shè)A＝αβT，其中α和β都是n維列向量，證明對正整數(shù)k，Ak＝(βTα)k-1A＝(tr(A))k-1A．(tr(A)是A的對角線上元素之和，稱為A的跡數(shù)．)標準答案：Ak＝(αβT)k＝αβTαβT…αβTαβT＝α(βTα)(βTα)…(βTα)βT＝(βTα)k-1A．βTα＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，而a1b1，a2b2，…，anbn正好是A＝αβT的對角線上各元素，于是βTα＝tr(A)，Ak＝(tr(A))k-1A．知識點解析：暫無解析12、設(shè)A＝，求An．標準答案：先求A2．A2＝＝2A．A2＝2A即AA＝2A，A在乘A上的作用相當于2乘A，于是An＝An-1A＝2n-1A．知識點解析：暫無解析13、求標準答案：記此矩陣為A．即A2A＝－2A．則A2017(A2)1008A＝(－2)1008A＝21008A．知識點解析：暫無解析14、設(shè)A＝，(1)證明當n＞1時An＝An-2＋A2－E．(2)求An．標準答案：(1)An＝An-1＋A2－E即An－An-2＝A2－E．An-2(A2－E)＝A2－E．只要證明A(A2－E)＝A2－．此式可以直接檢驗：(2)把An＝An-2＋A2－E作為遞推公式求An．n是偶數(shù)2k時：A2k＝A2k-2＋A2－E＝A2k-4＋2(A2－E)＝……＝k(A2－E)＋E．n是奇數(shù)2k＋1時：A2k+1＝AA2k＝A[k(A2－E)＋E]＝k(A2－E)＋A．知識點解析：暫無解析15、求標準答案：記此矩陣為A，記B＝，則A＝B＋E．因為B和E乘積可交換，對A10＝(B＋E)10可用二項展開式：(B＋E)10＝C10iB10-i．注意矩陣B滿足：B2＝，而當n＞2時Bn是零矩陣．于是A10＝C108B2＋C109B＋E＝45B2＋10B＋E＝知識點解析：暫無解析16、3階矩陣A，B滿足ABA*＝2BA*＋E，其中A＝，求｜B｜．標準答案：用A從右側(cè)乘ABA*＝2BA*＋E的兩邊，得｜A｜AB＝2｜A｜B＋A，｜A｜(A－2E)B＝A，兩邊取行列式｜A｜3｜A－2E｜｜B｜＝｜A｜，｜B｜＝知識點解析：暫無解析17、設(shè)A為3階矩陣，α1，α2，α3是線性無關(guān)的3維列向量組，滿足Aα1＝α1＋α2＋α3，Aα2＝2α2＋α3，Aα3＝2α2＋3α3．求作矩陣B，使得A(α1，α2，α3)＝(α1，α2，α3)B．標準答案：由于α1，α2，α3，線性無關(guān)，矩陣P＝(α1，α2，α3)可逆，并且E＝P-1(α1，α2，α3)＝(P-1α1，P-1α2，P-1α3)，則P-1α1(1，0，0)T，P-1α2＝(0，1，0)T，P-1α3＝(0，0，1)T，于是B＝P-1AP＝P-1A(α1，α2，α3)＝P-1(α1＋α2＋α3，2α2＋α3，2α2＋3α3)＝知識點解析：暫無解析18、A是3階矩陣，α是3維列向量，使得P＝(α，Aα，A2α)可逆，并且A3α＝3Aα－2A2α．(1)求B，使得A＝PBP-1．(2)求｜A＋E｜．標準答案：(1)A＝PBP-1即AP＝PB或A(α，Aα，A2α)＝(α，Aα，A2α)B．A(α，Aα，A2α)＝(Aα，A2α，A3α)＝(Aα，A2α，3Aα－2A2α)＝(α，Aα，A2α)B＝(2)A＋E＝P(B＋E)P-1．則｜A＋E｜＝｜P｜｜B＋E｜｜P-1｜＝｜B＋E｜＝＝－4．知識點解析：暫無解析19、設(shè)3階矩陣A＝(α1，α2，α3)，｜A｜＝1，B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3)，求｜B｜．標準答案：B＝(α1＋α2＋α3，α1＋2α2＋3α3，α1＋4α2＋9α3)＝(α1，α2，α3)｜B｜＝｜α1，α2，α3｜＝2．知識點解析：暫無解析20、已知＝3，求標準答案：記α＝(a1，a2，a3)T，β＝(b1，b2，b3)T，γ＝(c1，c2，c3)T，所求行列式相應(yīng)的矩陣為：(λα＋μβ，λβ＋μγ，λγ＋μα)．將它對(α，β，γ)做矩陣分解，得(λα＋μβ，λβ＋μγ，λγ＋μα)＝(α，β，γ)兩邊求行列式，得所求行列式的值：｜λα＋μβ，λβ＋μγ，λγ＋μα｜＝3(λ3＋μ3)．知識點解析：暫無解析21、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的逆矩陣．標準答案：因為A，B都可逆，所以這幾個矩陣都可逆．(1)的逆矩陣可用初等變換法計算：(2)的逆矩陣也可用初等變換法計算：(3)的逆矩陣用“待定系數(shù)法”計算：即設(shè)它的逆矩陣為，求Dij．由則BD21＝0，得D21＝0(因為B可逆)．BD21＝0，得D22＝B-1．AD11＋CD21E，即AD11＝E，得D11＝A-1．AD12＋CD22＝0．得D12＝－A-1CB-1．(4)用(3)的方法，得知識點解析：暫無解析22、設(shè)3階矩陣A＝，A-1XA＝XA＋2A，求X．標準答案：A-1XA＝XA＋2AA-1X＝X＋2EX＝AX＋24(E－A)X＝2A，用初等變換法解此基本矩陣方程：知識點解析：暫無解析23、矩陣A＝，求解矩陣方程2A＝XA－4X．標準答案：化2A＝XA－4X得X(A－4E)＝2A．用初等變換法解此矩陣方程：知識點解析：暫無解析24、4階矩陣A，B滿足ABA-1＝BA-13E，已知A*，求B．標準答案：用A右乘ABA-1＝BA-1＋3E的兩邊，得AB＝B＋3A；再用A*從左乘兩邊，得｜A｜B＝A*B＋3｜A｜E，由｜A*｜＝8，得｜A｜＝2，代入上式：(2E－A*)B＝6E，用初等變換法求得知識點解析：暫無解析25、已知A＝，B＝，XA＋2B＝AB＋2X，求X2017．標準答案：由XA＋2B＝AB＋2X化得：X(A－2E)＝(A－2E)B，即X＝(A－2E)B(A－2E)-1，則X2017＝(A－2E)B2017(A－2E)-1＝(A－2E)B(A－2E)-1＝X，再從關(guān)于X的矩陣方程X(A－2E)＝(A－2E)B用初等變換法解得X＝知識點解析：暫無解析26、設(shè)3階矩陣A的各行元素之和都為2，向量α1＝(－1，1，1)T，α2＝(2，－1，1)T都是齊次線性方程組AX＝0的解．求A．標準答案：令α3＝(1，1，1)T，則Aα3＝(2，2，2)T，建立矩陣方程：A(α1，α2，α3)＝(0，0，2α3)，用初等變換法解得知識點解析：暫無解析27、設(shè)A是3階矩陣，交換A的1，2列得B，再把B的第2列加到第3列上，得C．求Q．使得C＝AQ．標準答案：利用矩陣初等變換與初等矩陣的關(guān)系，得知識點解析：暫無解析28、設(shè)A，B和C都是n階矩陣，其中A，B可逆，求下列2n階矩陣的伴隨矩陣．標準答案：因為A，B都可逆，所以這幾個矩陣都可逆．于是可利用公式A*＝｜A｜A-1來求伴隨矩陣．知識點解析：暫無解析29、設(shè)A是n階非零實矩陣，滿足A*＝AT．證明｜A｜＞0．標準答案：把條件A*＝AT寫出，則aij＝Aij，i，j．于是｜A｜＝由于A是實矩陣，其元素的平方≥0，又A有非0元素，得｜A｜＞0．知識點解析：暫無解析30、設(shè)A＝(α1，α2，α3)，B＝(β1，β2，β3)都是3階矩陣．規(guī)定3階矩陣證明C可逆的充分必要條件是A，B都可逆．標準答案：由矩陣乘法的定義可看出C＝(β1，β2，β3)＝ATB．于是｜C｜＝｜AT｜｜B｜＝｜A｜｜B｜．則｜C｜≠0｜A｜≠0并且｜B｜≠0即C可逆A，B都可逆．知識點解析：暫無解析31、設(shè)A是n階實反對稱矩陣，證明E＋A可逆．標準答案：設(shè)n是一個n維實向量，滿足(E＋A)η＝0，要證明η＝0．用ηT左乘上式，得ηT(E＋A)η＝0，即ηTη＝－ηTAη由于A是反對稱矩陣，ηTAη是一個數(shù)，ηTAη＝(ηTAη)T＝－ηTAη，因此ηTAη＝0于是ηTη＝0η是實向量，(η，η)＝ηTη＝0，從而η＝0．知識點解析：暫無解析32、設(shè)A，B都是n階矩陣，E－AB可逆．證明E－BA也可逆，并且(E－BA)-1＝E＋B(E－AB)-1A．標準答案：由題意得，實際上只要證明等式(E－BA)[E＋B(E－AB)-1A]＝E成立，兩個結(jié)論就都得到了!(E－BA)[E＋B(E－AB)-1A]＝(E－BA)＋(E－BA)B(E－AB)-1A＝(E－BA)＋(B－BAB)(E－AB)-1A＝(E－BA)＋B(E－AB)(E－AB)-1A＝E－BA＋BA＝E．知識點解析：暫無解析33、設(shè)AB是3階矩陣，A可逆，它們滿足2A-1B＝B－4E．證明A－2E可逆．標準答案：用A左乘2A-1B＝B－4E兩側(cè)得2B＝AB－4A．即(A－2E)B＝4A．由A可逆，得A－2E可逆．知識點解析：暫無解析34、設(shè)n階矩陣A，B滿足AB＝aA＋bB．其中ab≠0，證明(1)A－bE和B－aE都可逆．(2)AB＝BA．標準答案：(1)由A－bE和B－aE都可逆(A－bE)(B－aE)可逆．直接計算(A－bE)(B－aE)．(A－bE)(B－aE)＝AB－aA－bB＋abe＝abE．因為ab≠0，得(A－bE)(B－aE)可逆．(2)利用等式(A－bE)(B－aE)＝abE，兩邊除以ab，得再兩邊乘ab，得(B－aE)(A－bE)＝abE，即BA－aA－bB＋abE＝abE．BA＝aA＋bB＝AB．知識點解析：暫無解析35、A，B都是n階矩陣，并且B和E＋AB都可逆，證明：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1A．標準答案：對此等式進行恒等變形：B(E＋AB)-1B-1＝E－B(E＋AB)-1AB(E＋AB)-1＝B－B(E＋AB)-1AB(用B右乘等式兩邊)B(E＋AB)-1＋B(E＋AB)-1AB＝BB(E＋AB)-1(E＋AB)＝B．最后的等式顯然成立．知識點解析：暫無解析36、設(shè)A，B都是對稱矩陣，并且E＋AB可逆，證明(E＋AB)-1A是對稱矩陣．標準答案：(E＋AB)-1A對稱，就是[(E＋AB)-1A]T＝(E＋AB)-1A．[(E＋AB)-1A]T＝A[(E＋AB)-1]T＝A[(E＋AB)T]-1＝A(E＋BA)-1．于是要證明的是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1．對此式作恒等變形：(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1A＝(E＋AB)A(E＋BA)-1(用E＋AB左乘等式兩邊)A(E＋BA)＝(E＋AB)A(用E＋BA右乘等式兩邊)．等式A(E＋BA)＝(E＋AB)A．顯然成立，于是(E＋AB)-1A＝A(E＋BA)-1成立．知識點解析：暫無解析37、設(shè)A，B都是n階矩陣，使得A＋B可逆，證明B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．標準答案：兩邊都加A(A＋B)-1A后，都等于A：B(A＋B)-1A＋A(A＋B)-1A＝(B＋A)(A＋B)-1A＝A．A(A＋B)-1B＋A(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1(B＋A)＝A．因此B(A＋B)-1A＝A(A＋B)-1B．知識點解析：暫無解析38、設(shè)A，B都是n階矩陣，并且A是可逆矩陣．證明：矩陣方程AX＝B和XA＝B的解相同AB＝BA．標準答案：AX＝B的解為A-1B，XA＝B的解為BA-1．AX＝B和XA＝B的解相同即A-1B＝BA-1．作恒等變形：A-1B＝BA-1B＝ABA-1BA＝AB．知識點解析：暫無解析39、設(shè)A＝，求與A乘積可交換的所有矩陣．標準答案：與A乘積可交換的矩陣一定是2階矩陣．設(shè)X＝則AX＝AX＝XA即：aχ1＋χ3＝aχ1＋χ2，aχ2＋χ4＝χ1，χ1＝aχ3＋χ4，χ2＝χ3，整理得χ1，χ2，χ3，χ4的齊次線性方程組解得通解為c1(a，1，1，0)T＋c2(1，0，0，1)T，c1，c2任意．則與A乘積可交換的矩陣的一般形式為c1A＋c2E，c1，c2任意．知識點解析：暫無解析40、(1)設(shè)A是對角矩陣，并且對角線上元素兩兩不相等．證明和A乘積可交換的一定是對角矩陣．(2)n階矩陣C如果和任何n階矩陣乘積可交換，則C必是數(shù)量矩陣．標準答案：(1)設(shè)B和A乘積可交換，要證明B是對角矩陣，即要說明B的對角線外的元素bij(i≠j)都為0．設(shè)A的對角線元素為λ1，λ1，…，λn．則AB的(i，j)位元素為λibij，而BA的(i，j)位元素為λjbij因為AB＝BA，得λibij＝λjbij因為λi≠λj，所以bij＝0．(2)先說明C一定是對角矩陣．由于C與對角線上元素兩兩不相等的n階對角矩陣乘積可交換，由(1)的結(jié)論得出C是對角矩陣．再說明C的對角線元素c11，c22，…，cnn都相等．構(gòu)造n階矩陣A，使得其(i，j)位元素為1，i≠j，則CA的(i，j)位元素為ciiAC的(i，j)位元素為cjj．于是cii＝cjj．這里的i，j是任意的，從而c11＝c22…cnn．知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A和B都是n階矩陣，則必有()A、｜A+B｜=｜A｜+｜B｜。B、AB=BA。C、｜AB｜=｜BA｜。D、(A+B)—1=A—1+B—1。標準答案：C知識點解析：因為｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜B｜｜A｜=｜BA｜，所以C項正確。取B=—A，則｜A+B｜=0，而｜A｜+｜B｜不一定為零，故A項錯誤。由矩陣乘法不滿足交換律知，B項不正確。因(A+B)(A—1+B—1)≠E，故D項也不正確。故選C。2、下列命題中①如果矩陣AB=E，則A可逆且A—1=B；②如果n階矩陣A，B滿足(AB)2=E，則(BA)2=E；③如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則A+B必不可逆；④如果矩陣A，B均為n階不可逆矩陣，則AB必不可逆。正確的是()A、①②。B、①④。C、②③。D、②④。標準答案：D知識點解析：如果A，B均為n階矩陣，命題①當然正確，但是題中沒有n階矩陣這一條件，故①不正確。例如顯然A不可逆。若A，B為n階矩陣，(AB)2=E，即(AB)(AB)=E，則可知A、B均可逆，于是ABA=B—1，從而BABA=E，即(BA)2=E。因此②正確。若設(shè)顯然A，B都不可逆，但A+B=可逆，可知③不正確。由于A，B為均n階不可逆矩陣，知｜A｜=｜B｜=0，且結(jié)合行列式乘法公式，有｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故AB必不可逆，因此④正確。綜上分析可知，故選D。3、設(shè)n階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E是n階單位陣，則必有()A、ACB=E。B、CBA=E。C、BAC=E。D、BCA=E。標準答案：D知識點解析：由題設(shè)ABC=E，可知A(BC)=E或(AB)C=E，即A與BC以及AB與C均互為逆矩陣，從而有(BC)A=BCA=E或C(AB)=CAB=E，比較四個選項，故選D。4、設(shè)A是三階矩陣，其中a11≠0，Aij=aij(i=1，2，3，j=1，2，3)，則｜2AT｜=()A、0。B、2。C、4。D、8。標準答案：D知識點解析：｜2AT｜=23｜AT｜=8｜A｜，且由已知故A*=AT。又由AA*=AAT=｜A｜E，兩邊取行列式，得｜AAT｜=｜A｜2=｜A｜｜A｜｜E｜=｜A｜3，即｜A｜2(｜A｜—1)=0，又a11≠0，則｜A｜=a11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a132＞0，故｜A｜=1，從而｜2AT｜=8，故選D。5、設(shè)A=，那么(P—1)2010A(Q2011)—1=()A、

B、

C、

D、

標準答案：B知識點解析：P，Q均為初等矩陣，因為P—1=P，且P左乘A相當于互換矩陣A的第一、三兩行，所以P2010A表示把A的第一、三行互換2010次，從而(P—1)2010A=P2010A=A。又(Q2011)—1=(Q—1)2011，且Q—1=，而Q—1右乘A相當于把矩陣A的第二列上各元素加到第一列相應(yīng)元素上去，所以A(Q—1)2011表示把矩陣A第二列的各元素2011倍加到第一列相應(yīng)元素上去，故選B。6、設(shè)A是m×n矩陣，B是n×m矩陣，則()A、當m＞n，必有行列式｜AB｜≠0。B、當m＞n，必有行列式｜AB｜=0。C、當n＞m，必有行列式｜AB｜≠0。D、當n＞m，必有行列式｜AB｜=0。標準答案：B知識點解析：因為AB是m階方陣，且r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤min{m，n}，所以當m＞n時，必有r(AB)＜m，從而｜AB｜=0，故選B。7、設(shè)A為m×n矩陣，B為n×m矩陣，若AB=E，則()A、r(A)=m，r(B)=mB、r(A)=m，r(B)=nC、r(A)=n，r(B)=mD、r(A)=n，r(B)=n標準答案：A知識點解析：因為AB=E，所以r(AB)=m。又r(AB)=m≤min{r(A)，r(B)}，即r(A)≥m，r(B)≥m，而r(A)≤m，r(B)≤m，所以r(A)=m，r(B)=m，故選A。二、填空題(本題共8題，每題1.0分，共8分。)8、設(shè)α=(1，2，3)T，β=，A=αβT，則A3=________。標準答案：知識點解析：，且矩陣的乘法滿足結(jié)合律，所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βTα)βT=4αβT=4A=。9、設(shè)方陣A滿足A2—A—2E=0，并且A及A+2E都是可逆矩陣，則(A+2E)—1=________。標準答案：知識點解析：由A2—A—2E=0，可得(A+2E)(A—3E)=—4E，于是有(A+2E)—1(A+2E)(A—3E)=—4(A+2E)—1，因此(A+2E)—1=。10、設(shè)，且A，B，X滿足(E—B—1A)TBTX=E，則X—1=________。標準答案：知識點解析：由(E—B—1A)TBTX=E，得[B(E—B—1A)TX=E，即(B—A)TX=E，因此11、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，則A=________。標準答案：知識點解析：由AA*=｜A｜E可得A=｜A｜(A*)—1，對等式兩端取行列式并結(jié)合已知條件，可得｜A*｜=—8=｜A｜3，因此｜A｜=—2，又12、設(shè)三階方陣A，B滿足關(guān)系式A—1BA=6A+BA，且A=，則B=________。標準答案：知識點解析：在等式A—1BA=6A+BA兩端右乘A—1，可得A—1B=6E+B，在該等式兩端左乘A，可得B=6A+AB，則有(E—A)B=6A，即B=6(E—A)—A，且13、設(shè)A是4×3矩陣，且A的秩r(A)=2，而B=，則r(AB)=________。標準答案：2知識點解析：因為所以矩陣B可逆，因此r(AB)=r(A)=2。14、已知，且AXA*=B，r(X)=2，則a=________。標準答案：0知識點解析：根據(jù)A可逆可知，其伴隨矩陣A*也是可逆的，因此r(AXA*)=r(X)=2=r(B)，因此可得｜B｜=0，則15、設(shè)A是一個n階矩陣，且A2—2A—8E=0，則r(4E—A)+r(2E+A)=________。標準答案：n知識點解析：已知A2—2A—8E=0，可得(4E—A)(2E+A)=0，根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)可知r(4E—A)+r(2E+A)≤n，同時r(4E—A)+r(2E+A)≥r[(4E—A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E—A)+r(2E+A)=n。三、解答題(本題共6題，每題1.0分，共6分。)16、已知，且AX+X+B+BA=0，求X2006。標準答案：由AX+X+B+BA=0可得(A+E)x=—B(E+A)，而A+E可逆的，所以X=—(A+E)—1B(E+A)，故X2006=(A+E)—1B2006(E+A)=(A+E)—1(E+A)=E。知識點解析：暫無解析17、設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，且ABA—1=BA—1+3E，其中E為四階單位矩陣，求矩陣B。標準答案：由AA*=A*A=｜A｜E，知｜A*｜=｜A｜n—1，因此有8=｜A*｜=｜A｜3，于是｜A｜=2。在等式ABA—1=BA—1+3E兩邊先右乘A，再左乘A*，得2B=A*B+3A*A，即(2E—A*)B=6E。于是知識點解析：暫無解析設(shè)n階矩陣A的伴隨矩陣為A*，證明：18、若｜A｜=0，則｜A*｜=0。標準答案：(反證法)假設(shè)｜A*｜≠0，則有A*(A*)—1=E。又因為AA*=｜A｜E，且｜A｜=0，故A=AE=AA*(A*)—1=｜A｜E(A*)—1=O，所以A*=O。這與｜A*｜≠0矛盾，故當｜A｜=0時，有｜A*｜=0。知識點解析：暫無解析19、｜A*｜=｜A｜n—1。標準答案：由于AA*=｜A｜E，兩端同時取行列式得｜A｜｜A*｜=｜A｜n。當｜A｜≠0時，｜A*｜=｜A｜n—1；當｜A｜=0時，｜A*｜=0。綜上，有｜A*｜=｜A｜n—1成立。知識點解析：暫無解析20、設(shè)A=(α1，α2，α3)為三階矩陣，且｜A｜=1。已知B=(α2，α1，2α3)，求B*A。標準答案：根據(jù)題意可知B=(α1，α2，α3)=AP其中P=，則｜P｜=—2且P—1=，所以｜B｜=｜A｜.｜P｜=—2。于是B*A=｜B｜.B—1A=—2P—1.(A—1A)=—2P—1=知識點解析：暫無解析21、設(shè)A為n階矩陣(n≥2)，A*為A的伴隨矩陣，證明標準答案：(1)當r(A)=n時，｜A｜≠0，則有｜A*｜=｜A｜n—1≠0，從而A*可逆，即r(A*)=n。(2)當r(A)=n—1時，由矩陣秩的定義知，A中至少有一個n—1階子式不為零，即A*中至少有一個元素不為零，故r(A*)≥1。又因r(A)=n—1時，有｜A｜=0，且由AA*=｜A｜E知AA*=0。根據(jù)矩陣秩的性質(zhì)得r(A)+r(A*)≤n，把r(A)=n—1代入上式，得r(A*)≤1。綜上所述，有r(A*)=1。(3)當r(A)≤n—2時，A的所有n—1階子式都為零，也就是A*的任一元素均為零，即A*=O，從而r(A*)=0。知識點解析：暫無解析考研數(shù)學一（矩陣）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)A，B是n階矩陣，則下列結(jié)論正確的是()A、AB=0A=0且B=0。B、A=D｜A｜=0。C、｜AB｜=0｜A｜=0或｜B｜=0。D、｜A｜=1A=E。標準答案：C知識點解析：取，則AB=O，但A≠O，B≠O，A項不成立。取，B項不成立。取，D項不成立。｜AB｜=｜A｜｜B｜=0，故有｜A｜=0或｜B｜=0，反之亦成立，故選C。2、設(shè)A，B均為n階對稱矩陣，則不正確的是()A、A+B是對稱矩陣。B、AB是對稱矩陣。C、A*+B*是對稱矩陣。D、A—2B是對稱矩陣。標準答案：B知識點解析：由題設(shè)條件，則(A+B)T=AT+BT=A+B，(kB)T=kBT=kB，所以有(A—2B)T=AT—(2BT)=A—2B，從而A、D兩項是正確的。首先來證明(A*)T=(AT)*，即只需證明等式兩邊(i，j)位置元素相等。(A*)T在位置(i，j)的元素等于A*在(j，i)位置的元素，且為元素aij的代數(shù)余子式Aij。而矩陣(AT)*在(i，j)位置的元素等于AT的(j，i)位置的元素的代數(shù)余子式，因A為對稱矩陣，即aji=aij，則該元素仍為元素aij的代數(shù)余子式Aij。從而(A*)T=(AT)*=A*，故A*為對稱矩陣，同理，B*也為對稱矩陣。結(jié)合選項A可知C項是正確的。因為(AB)T=BTAT=BA，從而B項不正確，故選B。注意：當A，B