新教材蘇教版必修第二冊93平面向量

第9章平面向量

9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示

9.3.1平面向量基本定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一基底的理解與判定

L下列說法中正確的是（）

①一個平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;

②一個平面內(nèi)有無數(shù)對不共線向量可作為表示該平面內(nèi)所有向量的基底;

③零向量不可以作為基底中的向量.

A.①②B.②③C,①③D.①②③

2.（2021江蘇沛縣中學(xué)高一月考）若仍,已是平面內(nèi)的一組基底,則下列四組向量能作

為平面向量的基底的是（）

A.會，會一eB.

C.2。2-381,661-4&D.

3.如圖，點(diǎn)。為正六邊形4?6嬌的中心，其中可作為基底的一對向量是（）

I)

A.O4.BCB.OAXDC.AB^CFD.AB^DE

4.已知向量a,a不共線,a=e+2&后2?+兒包，要使向量a力能作為平面內(nèi)的一組基

底，則實(shí)數(shù)A的取值范圍為.

題組二用基底表示向量

5.（2021江蘇響水中學(xué)高一月考）如圖所示，在矩形/四中，若近=5份,反=34,則反

等于（）

11

A.-(5e,+36>2)B.-(5e-3e2)

C*(2&+5ei)D.；(5&+3a)

6.

c

（2020江蘇常州高一期末）如圖，在△/回中，而胃彳瓦點(diǎn)￡為切的中點(diǎn).設(shè)

C\4=a,CB=6,貝Ui4E=（用a,b表?。?

7.如圖，已知￡/分別是矩形ABCD的邊BCCD的中點(diǎn)、,EF與〃'交于點(diǎn)G,若

布=a,而=6,用基底a,b表示

題組三平面向量基本定理的應(yīng)用

8.（2021山東淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段測試）如圖,已知點(diǎn)。為△的6邊45上一點(diǎn)，且

4小2%,若存在實(shí)數(shù)以典使得灰=痂+痂，則療〃的值為（）

H

A.-之1B.OC：1D.：2

333

9.（2021江蘇省海州高級中學(xué)高一月考）如圖，在四邊形ABCD中，蕊=2比/為線段

上的一點(diǎn)，若屁=4荏V而,則實(shí)數(shù)力的值等于（）

122

氏C

----

A.5-5D.5

10.如圖，設(shè)。是△48C內(nèi)部一點(diǎn)，且。A+OC=2OB,則如與的面積之比

為

B

0

11.設(shè)a/是平面內(nèi)的一組基底荏=a+56,左=-2步86,而=3(a-6),求證：46〃三點(diǎn)共

線.

能力提升練

題組一用基底表示向量

1.(2021廣東茂名一中高一期中*)已知點(diǎn)G為△月回的重心，若存=a,J?=8,則就:

212

6

-武---

33B.D3

2士12

A

----

3333

2.(*)已知在中，點(diǎn)也在玄邊所在的直線上且滿足【而|=31麗|,設(shè)

荏寸，前=6,以｛荏，前｝作為基底，則宿=.

3.(*)在平面四邊形池力中荏|=3,|配|=7,|訝|=11,|5?|=9,則

AC?BD

題組二平面向量基本定理的應(yīng)用

4.(#?)在中/是歐邊的中點(diǎn)，角/、B、C的對邊分別是a、b、c,若

c方+a刀+麗=0,貝lJ△力8。為(

A.直角三角形B.鈍角三角形

C.等邊三角形D.等腰三角形

5.（2020江蘇省前黃高級中學(xué)高一期末,水。如圖，已知△[a'與卻有一個公共頂

點(diǎn)4且MN與歐的交點(diǎn)〃平分宛若布=麗，前=麗皿〃￡工則田的最小值為

B.—C.-+V2

22

6.（多選）（2021江蘇如皋中學(xué)高一月考,*:）設(shè)點(diǎn)"是△/式所在平面內(nèi)一點(diǎn),則下列

說法正確的是（）

A.若宿帶而+；而，則點(diǎn)也是邊歐的中點(diǎn)

B.若宿=2萬-前，則點(diǎn)"在邊回的延長線上

C.若魂一麗-麗，則點(diǎn)"是△/a'的重心

D.若魂=函+屈，且x+片則的面積是面積的g

7.（2021山東壽光一中高一期中#）如圖，在△/歐中,〃尸分別為邊名。,4?上的

點(diǎn)，且C片BC,E吟AC,A*AB.設(shè)P為四邊形力&附內(nèi)一點(diǎn)（點(diǎn)〃不在邊界上）.若加=-

:沆+疝瓦則實(shí)數(shù)x的取值范圍為.

8.（2021江蘇南通啟東中學(xué)高一月考,"）如圖,在菱形4?⑦中,屁三就，不=2萬.

⑴若喬=耘訃屈，求3x+2y的值；

⑵若|前1=6,/陰廬60°,求前?前；

⑶若菱形4用刀的邊長為6,求荏?麗的取值范圍.

DC

9.(2020福建泉州一中高一期中,")如圖所示，在△腦中祝三證而=g函/〃與

8C相交于點(diǎn)M.設(shè)昴a語b.

(1)試用向量a,6表示麗；

⑵在線段〃上取一點(diǎn)后在線段劭上取一點(diǎn)尸，使"過點(diǎn)必設(shè)

OE=AOA^OF=pOB,A,u且均不為0,求證：*=7.

A〃

Ji

3/

答案全解全析

第9章平面向量

9.3向量基本定理及坐標(biāo)表示

9.3.1平面向量基本定理

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B一個平面內(nèi)只要是一對不共線的向量就可以作為該平面內(nèi)所有向量的基底,

故①錯誤;②③顯然正確.故選B.

2.D對于A,因?yàn)槠c-金=-(金-3),所以兩向量共線,不能作為基底，故A不符合題意;

對于B,因?yàn)?e「包=2但多2),所以兩向量共線,不能作為基底，故B不符合題意；

對于C,因?yàn)?金-3ei=?6e「4⑸，所以兩向量共線,不能作為基底，故C不符合題意；

對于D,因?yàn)閍+位與0-02.不共線，所以兩向量可作為基底，故D符合題意，故選D.

3.B由基底的概念可知，作為基底的兩個向量不能共線.由題圖可知，記與就共

線，亂與方共線，荏與族共線，均不能作為基底向量，褊與3不共線，可作為基底向量，

故選B.

4.答案(-8,4)u(4,+8)

解析若a,6能作為平面內(nèi)的一組基底，則a與6不共線，設(shè)aW例MR),又

a=ei+2色，上尸2芻+八金，二4W4,.,.實(shí)數(shù)A的取值范圍為(-8,4)U(4,+8).

5.AOC=1^C=|(BC-B4)=1(BC+AB)~(5e,+3e>).

故選A.

6.答案

解析因?yàn)辄c(diǎn)￡為⑦的中點(diǎn)，

所以前=*公+而)，又盍=|荏，且弱=而一刀，

所以戰(zhàn)力國+g(CB-CA')],

化簡，得版Wo而-5,)，

又~CB-b^CA-&所以版W6金.

7.解析易知不苗而，無=：而，

設(shè)記=4函4WR),

則由向量加法的平行四邊形法則可得笈=X(滯+3)=2ACE+2ACF.

由于￡G/三點(diǎn)共線，貝J24+24=1,

即1

A

8.AOC=OB+BC=OB+i~BA=OB+^BO+^OA=^OA+^OB,PIT^叫，石，所以爐爐一與故選A.

9.A由4￡C三點(diǎn)共線，可設(shè)航=PAC,

則放=或+版=P'AC-'AD-n(AD+'DC)-'AD=〃(而+；而)-前=(〃T)而〃同，

又旗=X正!而，

rl_,_2

所以/‘3解得"=：’故選A.

產(chǎn)1=-匚(A=-.

10.答案1：2

解析如圖，設(shè)〃是AC的中點(diǎn)，連接〃1狽J加+了=2而，

Xa4+OC=-2OB,/.OM=-OB,fiP。是"的中點(diǎn),.色即S&AOB:S△加=1:2.

11.證明因?yàn)椴?濯+或+/=a+5Z7+(-2a+88)+3(a-6)=2a+10Z>=2(a+56)=2福所以而與

同共線.

又因?yàn)榉脚c方有公共點(diǎn)4

所以4瓦〃三點(diǎn)共線.

能力提升練

1.B設(shè)〃是4。的中點(diǎn)，則說帶廊+硝，又G為△加。的重

心,/.BG=|BD=|X1（B4+BC）=|（B4+BC）=i（-^B+^C-^B）=-|^B+i^C=-1（a+iZ?.

故選B.

2.答案部他或匆裁

解析由【而I=3|笳|,得而=3而或加=-3而，故點(diǎn)"在邊8。上或在。的延長線上.

當(dāng)點(diǎn)"在邊BCi^,'BC=AC-AB=b-a.因?yàn)橥?=3流,所以前三玩=；/7~扣,

pfrJ^AM=AB+BM=a+Qb-）。=加出

當(dāng)點(diǎn)V在"的延長線上時，不?=-3靛=3而，故前帶函

所以病=屈+前=渦+；方=屈+會同一元月荏-gJ?=|a-gZ?.

綜上，而號了他或筋號a-弱

3.答案0

解析如圖,

AC?'BD=AC?（AD-AB）

=AC?AD-AC?AB

=（AD+'DC）.AD-（AB+Jc）.AB

>2>>>2一一->>

=AD+DC?AD-AB-BC,AB

=前2+*方+反）號（前2+反2）一同2

-^AB+Bcf+^AB+BC）

=AD2AD2'DC2-AB2+^AB2+^BC2=1（^D2+SC2一前一褶）=0.

4.C?./是a'邊的中點(diǎn),

，'AC=PC-'PA=-'PB-'PA.

...CAC+aPA+l）PB=O,

c（一陪刀）+a刀+6而=0,

即（a-cyPA+（b-C）PB=O.

?.?以與而不共線，

，且b~c=O,aptrc,

...△45C是等邊三角形.

5.C因?yàn)?。為?的中點(diǎn)，所以正帶頌+就），又病=/麗兀=〃褊，所以而杉而叫前.又

現(xiàn)0,川三點(diǎn)共線,所以甥=1,即陽廳2,易知力>0,〃>0,所以線=?+：）?得+

弓+企,當(dāng)且僅當(dāng)檢=3即,=2卑，時取等號.

2Im+n=2,（n=4-2V2

故耳2的最小值為尹&故選C.

mn2

6.ACDA中方帶通+次/祈酒*即

即前=流,.,.點(diǎn)"是邊8。的中點(diǎn)，故A正確；

B,AM=2AB-AC,AM-AB=AB-AC,：.BM=CB,...點(diǎn)"在邊。的延長線上，故B錯誤；

C中，設(shè)8。的中點(diǎn)為。，布=-麗-奇子存+標(biāo)=2說，，點(diǎn)"是△力歐的重心，故C正確；

D中，病=才布+屈，且^+y=l=>2AM=2XAB+2yAC,2x+2y^l.

設(shè)前=2前,，AD=2xAB+2yAC,2x+2y=1,可知用乙〃三點(diǎn)共線,，/\MBC的面積是XABC

面積的也故D正確.

故選ACD.

a

7.答案（工）

解析在BD上取一點(diǎn)G,且DG^DC.

設(shè)〃仁3a,則〃白&從而叱5a,8俏a,貝ijG為宜的中點(diǎn).

過點(diǎn)G作67/〃龍分別交加于點(diǎn)A；〃并以的,必為鄰邊作平行四邊形環(huán)'〃G,以

〃G,67/為鄰邊作平行四邊形//II'DG,如圖.

Ran

由題意及平行四邊形法則,易知點(diǎn)尸必定在線段A7/上(不含端點(diǎn))，則有

15F*|<|XDE|<|D/TI,|KG|<|XDEI<|HG|,

即KG<xDE<HG.

GH//gHB=EC=AgEC、gDE.

連接勿因?yàn)榱銕?差=

nCLrri"BC/'卜’J

所以券彩=K唉lgK喂H*DE,

所以K*DE〈xDEgD4HG.

所以xe&J

8.解析(1)VBE=iBC,CF=2FD,

/.ET=FC+CF=16C-1DC=1AD-^AB,XE7=X45+yAD,.\尸一|,片，

.,.3^+2j^3X(-|)+2Xl=-l.

(2y.,AC=AB+AD,

.?.就?IF=(AB+AD).C而一河戶而2-河2一池.超

四邊形48⑶為菱形,二|前1=1詞=6,

：.AC?FF=-i|12-1112cosABAD--\X36-1X36Xl=-9,

6666L

即X??￡T=-9.

(3)'."AE=AB+^AD^E