廣東省揭陽市產(chǎn)業(yè)園區(qū)2022年高三下學(xué)期第五次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知四棱錐，底面ABCD是邊長為1的正方形，，平面平面ABCD，當(dāng)點(diǎn)C到平面ABE的距離最大時，該四棱錐的體積為（）A． B． C． D．12．設(shè)a,b∈(0,1)∪(1,+∞)，則"a=b"是"logA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．設(shè)集合（為實數(shù)集），，，則（）A． B． C． D．4．已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．45．若實數(shù)滿足的約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知直線過圓的圓心，則的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．47．設(shè)，，則“”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知等比數(shù)列的前項和為，若，且公比為2，則與的關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．10．設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在(0,+∞)單調(diào)遞減，則（）A． B．C． D．11．若，則“”的一個充分不必要條件是A． B．C．且 D．或12．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，則實數(shù)λ的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知三棱錐中，，，則該三棱錐的外接球的表面積是________.14．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．15．已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則______．16．曲線在處的切線方程是_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)是，，在橢圓上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.18．（12分）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足.（1）求B；（2）若，AD為BC邊上的中線，當(dāng)?shù)拿娣e取得最大值時，求AD的長.19．（12分）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且向量與向量共線.（1）求B；（2）若，，且，求BD的長度.20．（12分）已知等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是1．(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)若,是數(shù)列的前項和,求使成立的正整數(shù)的值．21．（12分）已知不等式對于任意的恒成立.（1）求實數(shù)m的取值范圍；（2）若m的最大值為M，且正實數(shù)a，b，c滿足.求證.22．（10分）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性并指出相應(yīng)單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，若，且恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面ABE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.設(shè)，將表示成關(guān)于的函數(shù)，再求函數(shù)的最值，即可得答案.【詳解】過點(diǎn)E作，垂足為H，過H作，垂足為F，連接EF.因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形，，所以.因為平面ABE，所以點(diǎn)C到平面ABE的距離等于點(diǎn)H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE，所以點(diǎn)H到平面ABE的距離，即為H到EF的距離.不妨設(shè)，則，.因為，所以，所以，當(dāng)時，等號成立.此時EH與ED重合，所以，.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)到面的距離的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.2．A【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗證a=2,b=1【詳解】a,b∈0,1∪1,+∞，當(dāng)"a=b當(dāng)logab=log故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件，意在考查學(xué)生的計算能力和推斷能力.3．A【解析】

根據(jù)集合交集與補(bǔ)集運(yùn)算,即可求得.【詳解】集合,,所以所以故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了集合交集與補(bǔ)集的混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.4．B【解析】

因為圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請在此輸入詳解！5．B【解析】

根據(jù)所給不等式組，畫出不等式表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程，平移后即可確定取值范圍.【詳解】實數(shù)滿足的約束條件，畫出可行域如下圖所示：將線性目標(biāo)函數(shù)化為，則將平移，平移后結(jié)合圖像可知，當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時截距最小，；當(dāng)經(jīng)過時，截距最大值，，所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，屬于基礎(chǔ)題.6．D【解析】

圓心坐標(biāo)為，代入直線方程，再由乘1法和基本不等式，展開計算即可得到所求最小值．【詳解】圓的圓心為，由題意可得，即，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)且即時取等號，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查最值的求法，注意運(yùn)用乘1法和基本不等式，注意滿足的條件：一正二定三等，同時考查直線與圓的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．7．A【解析】

根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算分別從充分性和必要性去證明即可.【詳解】若，，則，可得；若，可得，無法得到，所以“”是“”的充分而不必要條件.所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查充要條件的定義，判斷充要條件的方法是：①若為真命題且為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若為假命題且為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若為真命題且為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若為假命題且為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系.8．B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因為正四棱錐底邊邊長為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.9．C【解析】

在等比數(shù)列中，由即可表示之間的關(guān)系.【詳解】由題可知，等比數(shù)列中，且公比為2，故故選：C【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10．D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡，結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性，比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù)，，而，因為在上遞減，，即．故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故“且”是“”的充分不必要條件.選C．12．D【解析】

利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出λ，由d∈[1，2]，能求出實數(shù)λ取最大值．【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16＝15，∴1+3d+λ（1+9d）+1+15d＝15，解得λ，∵d∈[1，2]，λ2是減函數(shù)，∴d＝1時，實數(shù)λ取最大值為λ．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

將三棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，求得的值，然后利用球體表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】將三棱錐補(bǔ)成長方體，設(shè)，，，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，由勾股定理可得，上述三個等式全部相加得，，因此，三棱錐的外接球面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積的計算，根據(jù)三棱錐對棱長相等將三棱錐補(bǔ)成長方體是解答的關(guān)鍵，考查推理能力，屬于中等題.14．【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設(shè)為球心，連接，則平面，取的中點(diǎn)，連接，，過做于點(diǎn)，易知四邊形為矩形，連接，，設(shè)，.連接，則，，三點(diǎn)共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.15．【解析】

先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，得f′（0）＝﹣4，由此可求a的值.【詳解】由函數(shù)得，∵函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0））處切線的斜率為﹣4，，.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題．16．【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求出導(dǎo)函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導(dǎo)得，所以，所以切線方程為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標(biāo)，表示出，根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【詳解】（1）因為，由橢圓的定義得，，點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設(shè)，，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理及可得，從而得到；（2）在中，利用余弦定可得，，而，故當(dāng)時，的面積取得最大值，此時，，在中，再利用余弦定理即可解決.【詳解】（1）由正弦定理及已知得，結(jié)合，得，因為，所以，由，得.（2）在中，由余弦定得，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，的面積取得最大值，此時.在中，由余弦定理得.即.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理解三角形，涉及到基本不等式求最值，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.19．（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)共線得到，利用正弦定理化簡得到答案.（2）根據(jù)余弦定理得到，，再利用余弦定理計算得到答案.【詳解】（1）∵與共線，∴.即，∴即，∵，∴，∵，∴.（2），，，在中，由余弦定理得：，∴.則或（舍去）.∴，∵∴.在中，由余弦定理得：，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線，正弦定理，余弦定理，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.20．(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)由等差數(shù)列中項性質(zhì)和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得首項和公比，可得所求通項公式；(Ⅱ)，由數(shù)列的錯位相減法求和可得，解方程可得所求值．【詳解】(Ⅰ)等比數(shù)列,其公比,且滿足,和的等差中項是即有，解得：(Ⅱ)由(Ⅰ)知：則相減可得：化簡可得：，即為解得：【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯位相減法求和，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（1）（2）證明見解析【解析】

（1）法一：，，得，則，由此可得答案；法二：由題意，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式即可證明結(jié)論．【詳解】解：（1）法一：（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），又（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），所以（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），由題意得，則，解得，故的取值范圍是；法二：因為對于任意恒有成立，即，令，易知是偶函數(shù)，且時為增函數(shù)，所以，即，則，解得，故的取值范圍是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【點(diǎn)睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．22．（1）答案見解析（2）【解析】

（1）先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)得，對分成和兩種情況討論，從而得到相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間；（2）對函數(shù)求導(dǎo)得，從而有，，，