新高考數(shù)學一輪復習精講精練7.3 空間角（提升版）（解析版）

7.3空間角（精講）（提升版）思維導圖思維導圖考點呈現(xiàn)考點呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點一線線角【例1-1】（2022·全國·高三專題練習）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，則異面直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】解法一：設(shè)E為BC的中點，連接FE，如圖，∵E是BC的中點，∴SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0;在SKIPIF1<0中，由余弦定理可知SKIPIF1<0∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為SKIPIF1<0，解法二：以A為坐標原點，AC，AM所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標系如圖所示，易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴異面直線BE與AF所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D【一隅三反】1．（2022·新疆·三模（理））在正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線為l，則l與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】延長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0交直線于點M，延長SKIPIF1<0交于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0即為交線SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0即為l與SKIPIF1<0所成的角，設(shè)正方體棱長為1，因為E為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，點SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即l與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0.故選：D.2．（2022·四川內(nèi)江·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0為直棱柱，各側(cè)面四邊形為矩形，易知：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0夾角，即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角SKIPIF1<0或補角，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0.故選：C3．（2022·全國·高三專題練習）在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】以點P為坐標原點，以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)異面直線PN和BM所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：B.考點二線面角【例2-1】（2022·黑龍江）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直線PB與平面ADP所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.得證.(2)如圖，以SKIPIF1<0為坐標原點，分別以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在的直線為坐標軸正方向建立空間直角坐標系，則點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0可得平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，設(shè)直線PB與平面ADP所成角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.直線PB與平面ADP所成角的正弦值為SKIPIF1<0.【例2-2】（2022·云南）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為1，點P在線段SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，則AP與平面ABCD所成角的正切值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0在平面ABCD上的投影為SKIPIF1<0，故作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則AP與平面ABCD所成角為SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以AP與平面ABCD所成角的正切值為SKIPIF1<0故選：D【例2-3】．（2022·河南安陽）如圖，在圓錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為圓錐的底面直徑，SKIPIF1<0為等腰直角三角形，B為底面圓周上一點，且SKIPIF1<0，M為SKIPIF1<0上一動點，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0越小，SKIPIF1<0越大，SKIPIF1<0越大，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，此時SKIPIF1<0最大，∵SKIPIF1<0為等腰直角三角形，又SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，故選：C.【一隅三反】1．（2022·河南安陽）如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為BD的中點，F(xiàn)為AC上一點.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面BDF；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求直線BF與平面ACD所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0．【解析】(1)在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，E為BD的中點，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)依題意不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由（1）得，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)點B到平面ACD的距離為h，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以點B到平面ACD的距離為SKIPIF1<0.設(shè)直線BF與平面ACD所成角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最短，此時SKIPIF1<0，正弦值最大為SKIPIF1<0．2．（2022·北京）如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面是梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E為線段SKIPIF1<0中點．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0.【解析】(1)取SKIPIF1<0中點F，連接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點O，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，且梯形SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故平行四邊形SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為菱形，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，故SKIPIF1<0.又因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．(2)解析1：幾何法在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故B到面SKIPIF1<0距離等于SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．解析2：向量法在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為x軸，SKIPIF1<0為y軸，SKIPIF1<0為z軸建立空間直角坐標系，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0．考點三二面角【例3-1】（2022·云南師大附中）如圖，SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0的中點，G是SKIPIF1<0的重心，將SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，使點A到達點P的位置，點P在平面SKIPIF1<0的射影為點G．(1)證明：SKIPIF1<0；(2)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值．【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，又點SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0的射影為點SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別交于點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線.由SKIPIF1<0是等邊三角形，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的重心，知點SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0分別是線段SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的平面角.由等邊三角形SKIPIF1<0的邊長為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.【例3-2】（2022·青海·海東市第一中學）如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是棱上一點，且SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0平面MBD；(2)求二面角M－BD－C的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】(1)連接AC，記AC與BD的交點為H，連接MH.由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面MBD，SKIPIF1<0平面MBD，∴SKIPIF1<0平面MBD.(2)記O為CD的中點，連接PO，BO.∵SKIPIF1<0為等邊三角形，∴SKIPIF1<0，∵平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面ABCD＝CD，∴SKIPIF1<0平面ABCD.以O(shè)為原點，OB為x軸，OC為y軸，OP為x軸，建立空間直角坐標系，如下圖，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面BDM的法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取x＝1得SKIPIF1<0，平面BCD的一個法向量SKIPIF1<0.設(shè)二面角M－BD－C的平面角為θ，則SKIPIF1<0.∴二面角M－BD－C的余弦值為SKIPIF1<0.【一隅三反】1．（2022·天津·高考真題）直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0的中點，E為SKIPIF1<0的中點，F(xiàn)為SKIPIF1<0的中點．(1)求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值；(3)求平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0以點SKIPIF1<0為坐標原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，易知平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因此，直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的正弦值為SKIPIF1<0.（3）解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因此，平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0夾角的余弦值為SKIPIF1<0.2．（2022·江西）如圖，在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，D為SKIPIF1<0上靠近A的三等分點．(1)若SKIPIF1<0，求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，求二面角SKIPIF1<0的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）證明：因為SKIPIF1<0是邊長為2的正三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為D為SKIPIF1<0上靠近A的三等分點，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．解：由題意當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，有平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．取SKIPIF1<0的中點O，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0；以O(shè)點為原點，以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0從而SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，由圖可知二面角SKIPIF1<0為銳角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．3．（2022·廣西玉林·模擬預測（理））如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，D，E別是棱SKIPIF1<0、SKIPIF1<0上的點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求證：平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)若直線SKIPIF1<0與平面ABC所成的角為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的大?。敬鸢浮?1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【解析】（1）取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，AB中點O，連SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于F，連SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是平行四邊形，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．由（1）知，OC、OB、SKIPIF1<0兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0上一點M，使SKIPIF1<0，連AM，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0與平面ABC所成角為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．設(shè)平面SKIPIF1<0的一個法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個法向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴二面角SKIPIF1<0的平面角的正弦值為SKIPIF1<0．考點四空間角的綜合運用【例4】（2022·重慶南開中學）（多選）已知正四棱錐SKIPIF1<0的側(cè)面是邊長為6的正三角形，點M在棱PD上，且SKIPIF1<0，點Q在底面SKIPIF1<0及其邊界上運動，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則下列說法正確的是（

）A．點Q的軌跡為線段B．SKIPIF1<0與CD所成角的范圍為SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0D．二面角SKIPIF1<0的正切值為SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】對于A，取點SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，如圖，由線段成比例可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故當點SKIPIF1<0時，總有SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以點Q的軌跡為線段，故A正確；對于B，由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0與CD所成角即為SKIPIF1<0與NE所成角，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0運動到SKIPIF1<0點時，異面直線所成的角小于SKIPIF1<0，故B錯誤；對于C，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最小，此時SKIPIF1<0，故C正確；對于D，二面角SKIPIF1<0即平面SKIPIF1<0與底面SKIPIF1<0所成的銳角，連接SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，取點H，使得SKIPIF1<0，連接MH，過H作SKIPIF1<0于G，連接SKIPIF1<0，如圖，由正四棱錐可知，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即為二面角的平面角，SKIPIF1<0，故D正確.故選：ACD【一隅三反】1．（2022·湖南·長郡中學模擬預測）（多選）已知正方體SKIPIF1<0的邊長為2，M為SKIPIF1<0的中點，P為側(cè)面SKIPIF1<0上的動點，且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的余弦值為SKIPIF1<0 D．動點P的軌跡長為SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】如圖建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為2，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡可得：SKIPIF1<0，所以動點P在直線SKIPIF1<0上，對于選項A：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0不垂直，所以A選項錯誤；對于選項B：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，B選項正確；對于選項C：SKIPIF1<0，C選項正確；對于選項D：動點P在直線SKIPIF1<0上，且P為側(cè)面SKIPIF1<0上的動點，則P在線段SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D選項正確；故選：BCD.2．（2022·福建·三明一中模擬預測）已知正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，點E為平面SKIPIF1<0內(nèi)的動點，設(shè)直線SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則點E的軌跡所圍成的面積為___________．【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，連接SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成的角，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.在四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0,

SKIPIF1<0,所以四面體SKIPIF1<0為正三棱錐，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的重心，如圖所示：所以解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0內(nèi)的軌跡是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓，所以SKIPIF1<0.故答案為:SKIPIF1<0.7.3空間角（精練）（提升版）題組一題組一線線角1．（2023·全國·高三專題練習）已知直三棱柱SKIPIF1<0的所有棱長都相等，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的正弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】取線段SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，設(shè)直三棱柱SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，以點SKIPIF1<0為原點，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.故選：C.2．（2023·全國·高三專題練習（理））已知正四面體ABCD，M為BC中點，N為AD中點，則直線BN與直線DM所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)該正面體的棱長為SKIPIF1<0，因為M為BC中點，N為AD中點，所以SKIPIF1<0，因為M為BC中點，N為AD中點，所以有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，根據(jù)異面直線所成角的定義可知直線BN與直線DM所成角的余弦值為SKIPIF1<0，故選：B3．（2022·河南省杞縣高中模擬預測（理））如圖，四邊形SKIPIF1<0為圓臺SKIPIF1<0的軸截面（通過圓臺上、下底面兩個圓心的截面，其形狀為等腰梯形），SKIPIF1<0，C、D分別為OB，SKIPIF1<0的中點，點E為底面圓弧AB的中點，則CD與SKIPIF1<0所成角的余弦值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】不妨設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為平行四邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成的角（或其補角）．作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，連接OE，HE，AE，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在等腰SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．故選：A．4．（2022·浙江嘉興·模擬預測）如圖，在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，E，F(xiàn)，G，H分別為邊SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0分別沿直線SKIPIF1<0翻折形成四棱錐SKIPIF1<0，下列說法正確的是（

）A．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0 B．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0C．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0 D．異面直線SKIPIF1<0所成角的取值范圍是SKIPIF1<0【答案】C【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，由題意得，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0中的投影分別在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上（如下圖所示），因為S