人教版34 二次函數(shù)與冪函數(shù)【2024年高考數(shù)學一輪復習題型突破】及試題解析

專題3.4二次函數(shù)與募函數(shù)

【題型目錄】

題型一二次函數(shù)的圖象

題型二二次函數(shù)的單調(diào)性

題型三二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題

題型四二次函數(shù)恒成立問題

題型五幕函數(shù)的定義

題型六判斷嘉函數(shù)的圖象

題型七根據(jù)事函數(shù)的單調(diào)性比較大小

題型八根據(jù)基函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

題型九根據(jù)察函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【典型例題】

題型一二次函數(shù)的圖象

例1.（2023春?河南南陽?高二?？茧A段練習）已知小b,c成等比數(shù)列，則二次

函數(shù)而的圖像與X軸的交點個數(shù)是.

例2.（2021秋.上海徐匯.高三上海市第二中學?？茧A段練習）二次函數(shù)

y=?2+以+。3/0）的圖像如圖所示，則下列結論中正確的個數(shù)是.

（1）。口異號；（2）當x=l和x=3時，函數(shù)值相等；（3）4a+b=0；（4）當y=4

時，x的取值只能為（）.

舉一反三

練習1.（2022秋?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習）若二次函數(shù)、=^^+云+中勺圖像如

圖所示，則一元二次不等式小+"+。>。的解集為（）

C.1用D.(1,2)

練習2.（2022秋?四川遂寧?高三遂寧中學?？计谥校┤艉瘮?shù)a）=/+皿+10恒滿

足f（r+2）=/（x）對稱，則實數(shù)m的取值為

練習3.（2022秋?江蘇宿遷?高三?？茧A段練習）（多選）二次函數(shù)），=/一2改+1的

圖像恒在x軸上方的一個必要條件是（）

A.——<a<—B.—1C.a—~D.a>—\

222

練習4.（2020秋?浙江溫州?高三校考階段練習）已知y=Yv-a）（x-力）+2,且外夕

是方程產(chǎn)。的兩根，則。也見P大小關系可能是（）

A.a<a<b<PB.a<a<fl<b

C.a<a<P<bD.a<a<b<fl

練習5.（2022秋?安徽合肥?高三中國科技大學附屬中學校考階段練習）已知函數(shù)

〃加出身的部分圖象如圖所示,則（）

A.—6B.6C.-3D.3

題型二二次函數(shù)的單調(diào)性

例3.（2021秋.江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期中）己知函數(shù)/（工）="+2工+加在（-上

單調(diào)遞增，則實數(shù)〃，的取值范圍是（）

A.（0,1]B.[0,1]C.D.（-00,1]

例4.（2022秋.江西宜春.高一?？茧A段練習）設“可是定義在上偶函數(shù),

則〃力=0?+加-2在區(qū)間[0,2]上是（）

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減函數(shù)D.與〃，b有關,

不能確定

舉一反三

練習6.（2022?全國?高三專題練習）若函數(shù)/。）=/+（2"1）%+1在區(qū)間（-00,2]單

調(diào)遞減，則實數(shù)。的取值范圍為

練習7.（2022秋?海南?高三嘉積中學?？计谥校┮阎?）=｛（"—在R上

為減函數(shù)，則實數(shù)々的取值范圍是（）

A.（1,3）B.[1,3）C.（-oo,3）D.（3,+oo）

練習8.（2023秋?吉林?高三吉林市田家炳高級中學?？计谀┮阎瘮?shù)

/（力二丁+區(qū)7在區(qū)間口,2]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)Z的取值范圍是（）

A.1收）B.[T-2]

C.（-OO,-4]U[-2,-KO）D.[-2,-1]

練習9.（2022秋?江蘇連云港?高三統(tǒng)考期中）（多選）己知函數(shù)/（x+l）=/—4,

則（）

A.7（x）是R上的偶函數(shù)B.y=f（x）+2x是R上的偶函數(shù)

C./（X）在區(qū)間（YOJ上單調(diào)遞減D.當xw[-l,2]時，J=lf（x）l的最大值是

4

練習10.（2023春?廣西南寧?高三?？奸_學考試）函數(shù)尸&+43-5的單調(diào)減區(qū)

間為：

題型三二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題

例5.（2022?高三單元測試）已知函數(shù)/（*）=-/+2"a+皿m￡1＜）.當時，設/⑴

的最大值為M，則M的最小值為（）

A.—B.0C.~~D.—1

44

例6.（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)/?（力=-丁+41-1在區(qū)間W+l]（reR）上的

最大值為g（0.求g（f）的解析式;

舉一反三

練習11.（2023秋?河北承德?高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）=-f+云-C的最大值

為0，關于x的不等式-X?的解集為（，-1J+2）,則。2-4c=，/〃的

值為.

練習12.（2022秋.河北滄州.高三統(tǒng)考期中）（多選）己知函數(shù)

—x—X,-1Kx<0,

A./（X）為偶函數(shù)B.八”在區(qū)間上單調(diào)遞減

C.f（x）的最大值為:D.〃力的最小值為-2

練習13.（2021秋廣東云浮?高三統(tǒng)考期末）（多選）若函數(shù)/（力=/+6+。滿足

/（1）=0,/（-1）=8,則（）

A.b+c=-lB./（3）=0

C./（X）圖像的對稱軸是直線x=4D.“X）的最小值為T

練習14.（2023秋?江蘇淮安?高三淮陰中學?？计谀┮阎瘮?shù)=Y的值域

為[0,4],則函數(shù)/（力定義域可能為（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.{-1,1}

練習15.（2023?全國?高三專題練習）設二次函數(shù)f（x）=（a-2*+3@+2在R上有最

大值，最大值為根（。），當M"）取最小值時，（）

A.0B.1c"D.41

題型四二次函數(shù)恒成立問題

例7.（2019秋?湖南長沙?高三長郡中學?？茧A段練習）若命題”,可1,2],

V-2分+1>0”是真命題，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.18,?）B.仔C.（v，l）D.（U+°o）

例8.（2022秋?廣東廣州?高三廣東實驗中學越秀學校校考期中）已知命題“VxwR,

公2+4x-l〈0”是假命題，則實數(shù)"的取值范圍是（）

A.（F-4）B.（f,4）C.D.[4,-H?）

舉一反三

練習16.（2023?全國?高三專題練習）p：VxeH，2],爐-〃“為真命題的一個充

分不必要條件是（）

A.a<-2B.a<0C.?<4D.a<\（）

練習17.（2020秋?黑龍江哈米濱?高三哈爾濱三中?？茧A段練習）“以《-1,2],

是真命題，則。的取值范圍是（）

A.（4,-K?）B.[4,-H?）

C.（L+00）D.[1,+co）

練習18.（2023秋?湖南衡陽?高三統(tǒng)考期末）命題p：areR,ar2_x_aW0的否

定為；使命題〃成立的一個X的值為.

練習19.（2023春?湖南長沙?高三湖南師大附中?？茧A段練習）若命題

+為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（y,4]B.（f4）C.（—,-4）D.[-4,+oo）

練習20.（2023?全國?高三專題練習）若“切eR,穿丁+2萬“-320”是假命題,

則實數(shù)〃?的取值范圍是.

題型五寨函數(shù)的定義

例9.（2021秋?高三課時練習）下列函數(shù)為幕函數(shù)的是（）

2

A.y-2x2B.y-2^-\C.j=-D.y=A-2

x

例10.（2023春?遼寧本溪?高三?？茧A段練習）若累函數(shù)2m

在區(qū)間（0,+。）上單調(diào)遞增，貝”?=（）

A.-1B.3C.-1或3D.1或-3

舉一反三

練習21.（2022秋?高三單元測試）（多選）已知函數(shù)/（刈=（加+3加-3卜砂為轅函

數(shù)，則實數(shù)小的可能性取值為（）

A.1B.-2C.3D.-4

練習22.（2023春?湖北宜昌?高三校聯(lián)考期中）已知點（。2）在累函數(shù)

〃x）=（a-1）/的圖象上，則（）

A.〃了）=/B.f（x）=2^

C./（刈=丁D.y（x）=J

練習23.（2023春?安徽?高一合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）己知嘉函數(shù)/（人）的

圖象過點2,,且〃力-1）＜/（2-與，則匕的取值范圍是

練習24.（2023春?上海楊浦?高三復旦附中校考階段練習）已知幕函數(shù)＞=八幻的

圖像過點（9,3）,則/（2）的值為

練習25.（2022秋?黑龍江大慶?高三大慶中學?？计谥校┖瘮?shù)/*）=（＞-m-1）/時3

是幕函數(shù)，且在（。，內(nèi)）上單調(diào)遞增，則”2）=（）

A.1B.211

C.g或2"D.2或2T

題型六判斷募函數(shù)的圖象

例11.（2023?山東臨沂?高三?？计谀┫旅娼o出4個金函數(shù)的圖像，則圖像與

函數(shù)大致對應的是（）

A.①y=d,②),=/,③/=，，@y=x~l

B.①y=②》=%，③y=%，@y=x~]

C.①y=V,②y=%3,③y=%,?y=x_,

D.①y=j,?y=X^③y="2,④),="

例12.（2023秋?湖北?高三校聯(lián)考期末）（多選）下列關于事函數(shù)說法不正確的是

A.一定是單調(diào)函數(shù)B.可能是非奇非偶函數(shù)

C.圖像必過點（1』）D.圖像不會位于第三象限

舉一反三

練習26.（2019?全國?高三專題練習）對于函數(shù)y=/2,》=總有下列說法：①兩

個函數(shù)都是嘉函數(shù)；②兩個函數(shù)在第一象限內(nèi)都單調(diào)遞增；③它們的圖像關于直

線y=x對稱；④兩個函數(shù)都是偶函數(shù)；⑤兩個函數(shù)都經(jīng)過點（0,0）、（1,1）;⑥兩

個函數(shù)的圖像都是拋物線型.

其中正確的有.

練習27.（2023秋?上海徐匯?高三統(tǒng)考期末）當aeR時，函數(shù)尸丁-2的圖象恒

過定點4則點A的坐標為.

練習28.（2021秋?青海?高二統(tǒng)考學業(yè)考試）如圖，①②③④為選項中的四個基

函數(shù)的圖象，其中①對應的鼎函數(shù)可能是（）

A.y=x3B.y=Jx

C.y=xD.y=x

練習29.（2022春?浙江?高二統(tǒng)考學業(yè)考試）（多選）圖象經(jīng)過第三象限的函數(shù)是

（）

A.y=x2B.y=x3C.）,=/D.y=x~{

練習30.（2021秋?新疆巴音享［楞?高三校考階段練習）（多選）下列說法正確的是

（）

A.若幕函數(shù)的圖像經(jīng)過點七，2），則解析式為y=

B.所有幕函數(shù)的圖象均過點（0,0）

C.事函數(shù)一定具有奇偶性

D.任何基函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限

題型七根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

例13.（2021春.陜西延安.高二?？计谀┮阎铝胁坏仁揭欢ǔ闪⒌氖?/p>

（）

A.十號B.\n（a-b）>0C.a2>b2D.a3>b3

例14.（2023?浙江?高三專題練習）已知。=1.產(chǎn),b=123,c=1.3",則（）

A.c<b<aB.a<b<c

C.c<a<bD.a<c<b

舉一反三

練習31.（2021秋?上海黃浦?高三上海市大同中學校考期中）若〃<b<0,則下列

不等關系中，不能成立的是（）

A.B.a3>b3C.〃建廟D.a2>b2

ab“

練習32.（2021秋?河南新鄉(xiāng)?高三校考階段練習）若〃<力<0,則下列不等式①

a+b<ab，②爐>凡③?<,<°，④同714中，正確的有（）.

ba

A.1個B.2個C.3個D.4個

練習33.（2022秋?廣東佛山?高三佛山市榮山中學校考期中M多選）若。

則（）

A.a3>b3B.a+b>b+cC.->1D.ac2>be2

c

練習34.（2022秋?福建龍巖?高三上杭一中校考期末）設々=0.4%h=0.6°\

c=0.804,則（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>a>c

練習35.（2022秋?重慶沙坪壩?高一重慶南開中學?？茧A段練習）已知函數(shù)

xx

f（x）=2-2'f則a=/（0.4。）力"（0.6。6）1=/（0.4。4）的大小關系為（）

A.b<a<cB.a<b<c

C.c<a<hD.a<c<h

題型八根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

例5（2022秋?廣東河源?高三?？茧A段練習）募函數(shù)/"）=（病+2,〃一2*在區(qū)

間（0,+“）上單調(diào)遞增，則實數(shù)m的值為.

例16.（2023秋?遼寧鞍山?高三統(tǒng)考期末）函數(shù)/（力=（>-〃是幕函數(shù),

對任意X，為￡（0，?°）,且西工只，滿足"*）>0,若。,力淀，且。+〃〉0,出?<0,

則〃〃）+/9）的值（）

A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.無法判斷

舉一反三

練習36.（2023春?湖北孝感?高三統(tǒng)考開學考試）已知引-2,-1,-器,1,2,3卜若

幕函數(shù)/（切=產(chǎn)為奇函數(shù)，且在（0,+司上是嚴格減函數(shù)，則。取值的集合是

練習37.（2022秋?上海長寧?高三上海市延安中學?？计谀┠缓瘮?shù)

丁=（加-加-1）--2吁3在區(qū)間（_。0）上為嚴格減函數(shù)，則

練習38.（2023秋?河南許昌?高三?？计谀┮阎瘮?shù)/（力=（川+6-1）/是嘉函

數(shù)，且在（0,y）上是增函數(shù)，則實數(shù)機的值為.

練習39.（2023秋?四川內(nèi)江?高三統(tǒng)考期末）已知?。?卜（">1〃在區(qū)間

[-X-ax-5,x<\

（y,E）上是單調(diào)增函數(shù)，則。的取值范圍為.

練習40.（2023秋廣東深圳?高三校考期末）“a>1”是“函數(shù)/。）=/在（0,?）上

單調(diào)遞增''的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

題型九根據(jù)事函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例17.己知幕函數(shù)/（力="-5〃?+7卜皿（meR）為奇函數(shù).

⑴求嗎）的值；

⑵若〃2〃+1）＞〃々），求實數(shù)。的取值范圍.

例18.（2023春?上海?高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)〃力=%,則關于，的表達

式/-2,）+/（2產(chǎn)-1）＜0的解集為.

舉一反三

練習41.（2015?吉林?高一吉林毓文中學校考期中）對于函數(shù)〃力=/定義域內(nèi)的

任意大，%且工產(chǎn)修，給出下列結論：

⑴/（5+電）=/（6（電）

（2）/（.）=/&）/（4）

（3）

%一9

（4）/（詈）＞?。?；/⑸

其中正確結論為：

練習42.（2020秋?北京豐臺?高三統(tǒng)考期中）已知轅函數(shù)的圖象經(jīng)過點&專）,

那么/（A）的解析式為；不等式/（W）?2的解集為.

練習43.（2022秋?湖南郴州?高三安仁縣第一中學校考階段練習）若

（相+1）：＜（3-2山））則的取值范圍是.

練習44.（2023春?湖南衡陽?高三衡陽市八中?？奸_學考試）已知事函數(shù)/（“經(jīng)

過點（9,3）,則不等式/（x21）＜1的解集為.

練習45,（2022?全國?高三專題練習）已知哥函數(shù)y=（/V）的圖象關于）,

mm

軸對稱，且在似+巧上單調(diào)遞減，則滿足（〃+1戶＜（3—2。戶的a的取值范圍為

參考答案與試題解析

專題3.4二次函數(shù)與幕函數(shù)

【題型目錄】

題型一二次函數(shù)的圖象

題型二二次函數(shù)的單調(diào)性

題型三二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題

題型四二次函數(shù)恒成立問題

題型五暴函數(shù)的定義

題型六判斷某函數(shù)的圖象

題型七根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性比較大小

題型八根據(jù)幕函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)

題型九根據(jù)事函數(shù)的單調(diào)性解不等式

【典型例題】

題型一二次函數(shù)的圖象

例1.（2023春?河南南陽?高二校考階段練習）已知mb,c成等比數(shù)列，則二次

函數(shù)），=ar?+?x+c的圖像與A軸的交點個數(shù)是.

【答案】1

【分析】根據(jù)題意有〃=叱，再借助二次函數(shù)的判別式判斷交點個數(shù)

【詳解】小b,。成等比數(shù)歹U廁/=ac,

A=（2Z＞）2-4ac=4?c-4flc=0,

則二次函數(shù)的圖像與X軸有1個交點，

故答案為：1.

例2.（2021秋?上海徐匯?高三上海市第二中學?？茧A段練習）二次函數(shù)

曠=0^+樂+以〃/0）的圖像如圖所示，則下列結論中正確的個數(shù)是.

（1）異號；（2）當x=l和x=3時，函數(shù)值相等；（3）4a”=0；（4）當y=4

時，、的取值只能為0.

【答案】3

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象得到對稱軸即可結合二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

【詳解】根據(jù)圖象可知：（-2,0）,（6,0）是二次函數(shù)與x的兩個交點，所以可得對稱

軸方程為

x=2,故對稱軸為1=-3=2,故異號且4a+Z?=0,（1）（3）正確；

2a

因為對稱軸為1=-，=2,故當x=l和x=3時，函數(shù)值相等，

當y=4時，X的取值為0和4,故（2）正確，（4）錯誤；故正確的個數(shù)是3.

故答案為：3.

舉一反三

練習1.（2022秋?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習）若二次函數(shù)），=如2+區(qū)+0的圖像如

圖所示，則一元二次不等式q+m+a＞。的解集為（）

y

2x

A.(?1,2)D.(h2)

【答案】C

【分析】根據(jù)圖像求得。也。，進而求得一元二次不等式l+bx+a>。的解集.

【詳解】由圖像可得當％=0時，y=c=-2,所以二次函數(shù)>=-+隊-2,

由于二次函數(shù)），=〃2+瓜,-2圖像過點（-1,0）,（2,0）,

所以]

所以一元二次不等式-2尤2一%+[>（）,

即2/+X

故選：C

練習2.（2022秋?四川遂寧?高三遂寧中學?？计谥校┤艉瘮?shù)/（幻=/+如+10恒滿

足/（T+2）=/（X）對稱，則實數(shù)機的取值為

【答案】-2

【詳解】根據(jù)f（r+2）=/0）確定函數(shù)圖象的對稱軸，結合二次函數(shù)對稱軸方程

即可求得答案.

函數(shù)/（X）=f+WX+10恒滿足/（-X+2）=/（X）對稱,

則/。）=%2+3:+10圖象關于直線工=1對稱，則-￡=1,.?.〃?=-2,

故答案為：-2

練習3.（2022秋?江蘇宿遷?高三?？茧A段練習）（多選）二次函數(shù),，=丁_2以+1的

圖像恒在x軸上方的一個必要條件是（）

A.——<a<—B.—1<1C.a—~D.a>—1

22

【答案】BD

【分析】先由二次函數(shù)圖象性質(zhì)得出圖像恒在X軸上方的充要條件，再根據(jù)必要

條件定義即可求.

【詳解】二次函數(shù)尸/_2以+1的圖像恒在”軸上方的充要條件為

△=(-2a)"-4<0=>￡?G(-1,1),

又(-(-l,l)u(-l,+oc),所以必要條件為—IWaKl、a>-\.

故選：BD

練習4.(2020秋?浙江溫州?高三?？茧A段練習)已知y=-U-")(x-勿+2,且a]

是方程尸。的兩根，則。也。,廣大小關系可能是()

A.a<a<b<PB.a<a<p<b

C.a<a<p<bD.a<a<b<p

【答案】D

【分析】根據(jù)題意畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可得答案.

【詳解】f(x)=-(x-a)(x-b)+2t由題意得，/(G=/S)=2>0,而/3)=/(4)=0,

借助圖象可知，

。,"劣尸的大小關系可能是。<。<6<萬，

故選：D.

練習5.(2022秋?安徽合肥?高三中國科技大學附屬中學?？茧A段練習)已知函數(shù)

/(x)=T一的部分圖象如圖所示，則力+c=()

ax+bx+c

A.-6B.6C.-3D.3

【答案】C

【分析】由圖可得方程"2+云+c=o的兩根為2和4,利用根與系數(shù)的關系結合

/(3)=1列式求得“Ge的值，則答案可求.

【詳解】由直線尤=2,x=4,知公2+區(qū)+。=。(1_2)(尢-4),又由二次函數(shù)

y=ax2+bx+c的對稱性和圖象知頂點為(3,1),

所以"(3-2)(3—4)=0,解得〃=—1,由—V+反+°=()得6=6,c=—8,則a+b+c=—3.

故選：C.

題型二二次函數(shù)的單調(diào)性

例3.(2021秋?江蘇蘇州?高三統(tǒng)考期中)己知函數(shù)/(6=/+2]+機在(-l,+oo)上

單調(diào)遞增，則實數(shù)〃，的取值范圍是()

A.(0,1]B.[0,1]C.D.(-oo,l]

【答案】B

【分析】分加二0、加/0兩種情況討論，在帆=0時，直接驗證即可；在加工0時，

利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得出關于實數(shù)n的不等式組，綜合可得出實數(shù)〃的取值

范圍.

【詳解】當相=0時，函數(shù)/(H=2x在上單調(diào)遞增，合乎題意；

當機工0時，則二次函數(shù)/(“=加+M+加圖象的對稱軸方程為x=-L

tn

m>0

若函數(shù)/(司=加+標+6在(-1,m)上單調(diào)遞增，則｛1,解得Oc/nWl.

----s-1

〃7

綜上所述，實數(shù)加的取值范圍是［0』.

故選：B.

例4.(2022秋.江西宜春.高一?？茧A段練習)設“力是定義在［1+w2］上偶函數(shù),

則〃力=加+瓜-2在區(qū)間［0,2］上是()

A.增函數(shù)B.減函數(shù)C.先增后減函數(shù)D.與明方有關，

不能確定

【答案】B

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的特點解出〃的，然后根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)進行判斷

即可.

【詳解】/")是定義在U+。，2］上偶函數(shù)，，定義域關于原點對稱，即l+a+2=0,

:.a=—3f

則f(x)=ax2+bx-2=-3x2+bx-2,由f(-x)=f(x),

即一3--法一2=-3f+Z?x-2,解得力=0,/.f(x)=-3x2-2,

函數(shù)圖像拋物線開口向下，走稱軸為x=0,

則函數(shù)在區(qū)間@2］上是減函數(shù).

故選：B.

舉一反三

練習6.(2022?全國?高三專題練習)若函數(shù)f(x)=/+(2"l)x+l在區(qū)間(YO,2］單調(diào)

遞減，則實數(shù)〃的取值范圍為

【答案】［3，-1

【分析】根據(jù)一元二次函數(shù)單調(diào)性，結合條件，可知24-號，然后求出〃的

取值范圍即可.

【詳解】易知二次函數(shù)/（幻=/+（2。_1口+1的單調(diào)遞減區(qū)間為卜0,一寫,

又因為函數(shù)/（工）72+（2〃-1）1+1在區(qū)間（-00,2]單調(diào)遞減，

所以（-00,2仁卜00,一松」,

即2M-竽，解得〃工一|.

故答案為：（-嗎-,?

練習7.（2022秋?海南?高三嘉積中學?？计谥校┮阎?（加??：：；；“在R上

為減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.。,3）B.[1,3）C.（F,3）D.（3,-KX））

【答案】B

【分析】由一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)及分段函數(shù)的單調(diào)性列不等式組求參數(shù)范

圍.

【詳解】由'=在[1,e）上遞減，要使/⑶在R上遞減,

所以*可得$<3.

[2?-3>-1

故選：B

練習8.（2023秋?吉林?高三吉林市田家炳高級中學?？计谀┮阎瘮?shù)

/（力=]2+6_1在區(qū)間口,2]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)2的取值范圍是（）

A.（-00,-2][-1,-KX））B.H-2]

C.S，-4]U[-2,”）D.[-2,-1]

【答案】C

kL

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得-；之2或-解出即可得出實數(shù)攵的取值

范圍.

【詳解】函數(shù)〃%）=/+奴-1的對稱軸為戶-*

若函數(shù)/（"=/+"-1在區(qū)間12]上單調(diào)遞減，貝|J應有一?N2,所以心T；

若函數(shù)/(力=/+日-1在區(qū)間12］上單調(diào)遞增，則應有一］?1,所以入-2.

綜上所述，實數(shù)2的取值范圍是AWT或AN-2.

故選：C.

練習9.(2022秋?江蘇連云港?高三統(tǒng)考期中)(多選)已知函數(shù)/。+1)=/-4,

則()

A./(力是R上的偶函數(shù)B.y=f(x)+2x是R上的偶函數(shù)

C.f(x)在區(qū)間(—J上單調(diào)遞減D.當x?T2］時，)冒/(必的最大值是

4

【答案】BCD

【分析】由條件求出函數(shù)〃”)的解析式，根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷A,根據(jù)二次函

數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)“力的單調(diào)性，判斷C,求函數(shù)/(另在上的值域，判

斷D,根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)y=/(x)+2x的奇偶性.

【詳解】因為/*+1)=丁—4,將x變換為x-1可得〃X)=(A1)2-4,

因為/⑴=0-4=-4,/(—1)=4—4=0,所以函數(shù)/(力不是R上的偶

函數(shù)，A錯誤；

因為/(幻=(%-1)2-4,由二次函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)/(可在區(qū)間(e,l］上單調(diào)遞減，C

正確；

由-342,可得-2WK1,所以0W(x-l)2",所以當x?-L2］時，-4</(x)<0,

所以函數(shù)y=l/(%)l在上的最大值是4,D正確，

設g(x)=/(x)+2x,則g(x)=d-3,LUg(-x)=(-x)2-3=x2-3=(x),所以函數(shù)

y=/(幻+2”是R上的偶函數(shù)，B正確；

故選：BCD.

練習10.(2023春?廣西南寧?高三?？奸_學考試)函數(shù)戶&+4x-5的單調(diào)減區(qū)

間為;

【答案】(F-5］

【分析】先求解原函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性分析求解即可.

【詳解】解：令〃=爐+4工一5,則y=6+4x7可以看作是由y=4與+=爐+41_5

復合而成的函數(shù).

2

u=x+4x-5＞0f得或

易知〃=X2+4%-5在-5］上是減函數(shù)，在［l,+°o）上是增函數(shù)，而丁=4在［。,田）

上是增函數(shù)，

所以y=Jx2+4工-5的單調(diào)遞減區(qū)間為（Y°，-5］.

故答案為：（-00,-5］.

題型三二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問題

例5.（2022?高三單元測試）己知函數(shù)/㈤=4+2儂+〃j（,〃eR）.當xe［-1,1］時，設/（幻

的最大值為則M的最小值為（）

A.—B.0C.—~D.—1

44

【答案】C

【分析】由題設在（F，㈤上遞增，在（見用）上遞減，討論團與區(qū)間［T」］的位

置關系求/⑶的最大值，進而判斷最大值M的最小值.

【詳解】由/a）=V-川）2+）?+/,故f（?在（-oo,m）上遞增,在洋田）上遞減,

當機4-1,則xe［Tl］上遞減，故最大值M==

當一1＜用＜1,則最大值M=f（m）=m+m2=（m+g］-!e［-：,2）,

244

當mN/,則xeJLl］上遞增，故最大值M=/⑴=3加-122,

綜上，M的最小值為

故選：C

例6.（2023?全國?高一專題練習）函數(shù)/（司=々+叔-1在區(qū)間園+l］”cR）上的

最大值為g（，）.求大，）的解析式;

T?+21+2,/KL

【答案】g")=3,1</<2,

一戶+4，-1"22,

【分析】首先求函數(shù)的對稱軸，再討論對稱軸和定義域端點的關系，再結合函數(shù)

的單調(diào)性求函數(shù)的最大值，即可求解.

【詳解】/(X)=-X2+4X-1=-(^-2)2+3

當M2,即Y1時,〃力在區(qū)間h+1］上為增函數(shù),

當+即l<f<2時，g(z)=/(2)=3；

當d2時，當%)在區(qū)間［"+1］上為減函數(shù),

.6(，)=/(/)=_r+4/_1

—產(chǎn)+21+2,141,

綜上所述，g1)=.

-t2+4/-1,/>2,

舉一反三

練習11.(2023秋?河北承德?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(工)=--+瓜-c的最大值

為0,關于x的不等式+加一cm的解集為(-1J+2),則從-4c=，巾的

值為.

O

【答案】0-

4

【分析】由題知，根據(jù)二次函數(shù)在對稱軸處取得最大值即可化簡求出〃-牝=0;

根據(jù)不等式-丁+加-―，〃的解集為(—U+2),可得d一次+c+m<0的解集為

"1"+2),然后利用韋達定理表示出(斗+士)2-4演占=9,再利用從-4c=0即可出

結果.

【詳解】因為函數(shù)/(力=-^+云-。的最大值為0,

所以當V時，函數(shù)有最大值，即一出+“2=0,

化簡得出從-4c?=().

不等式-2+取1>6的解集為+2）,

艮（l/./jx+c+mvO的解集為?—1,，+2）,

設方程f-6x+c+m=0的兩根為西,與，

則卜-xj=3,所以（芍fy=9,

即（N+%）2_4&工2=9,

即吩—4（c+w）=9,Z?2—4c—4m=9,

g

所以加=-”

4

故答案為：0；-2.

4

練習12.（2022秋.河北滄州.高三統(tǒng)考期中）（多選）已知函數(shù)

?。?［寸筲？"：則（）

一1-x,-1Wxv0,

A./（力為偶函數(shù)B.八”在區(qū)間上單調(diào)遞減

C./（"的最大值為:D.〃x）的最小值為-2

【答案】BCD

【分析】作出了（X）在區(qū)間［-1，2］上的圖象逐項判斷.

【詳解】解：作出“力在區(qū)間［T，2］上的大致圖象如圖所示：

/（力的定義域不關于原點對稱，不是偶函數(shù)，故A錯誤;

由圖象可知，人月在區(qū)間［%］］上單調(diào)遞減，故B正確；

當]=-；或3時，人口皿=；，當x=2時，/（x）min=-2,故CD正確.

故選：BCD

練習13.（2021秋?廣東云浮?高三統(tǒng)考期末）（多選）若函數(shù)f（x）=f+加+c滿足

/（1）=0,/（-1）=8,則（）

A.-B./（3）=0

C./（”圖像的對稱軸是直線x=4D.的最小值為-I

【答案】ABD

【分析】根據(jù)已知求出〃x）=V-4x+3,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)判斷得解.

【詳解】由題得[僅；\,即已:+/,解得["=：，

/（-1）=8[l-/?+c=8[c=3

所以/（x）=f—4x+3.

對于A項，因為匕+c=-4+3=T,故A正確；

對于B項，因為“3）=32-4x3+3=0,故B正確；

對于C項，因為/（力=/-4+3的對稱軸為x=2,故C項錯誤；

對于D項，因為/（力=/_4%+3="-2『-1,所以/（力的最小值為-1,故D項正

確.

故選：ABD.

練習14.（2023秋?江蘇淮安?高三淮陰中學?？计谀┮阎瘮?shù)/a）=Y的值域

為[0,4],則函數(shù)“力定義域可能為（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-2,0]D.{-1,1}

【答案】ABC

【分析】利用函數(shù)y=的奇偶性，以及單調(diào)性，分別判斷每個選項，可得

答案.

【詳解】由于y=為偶函數(shù)，其圖象如圖示：

故當4?-2,2]時，/（0）=0,/（-2）=/（2）=4,則〃X）￡[0,4]；

當x?0,2]時，“力此時遞增，則/（x）e[0,4]；

當時,/（另此時遞減，/（x）e[0,4],

當xe{T,l}時,/（x）e{l},

故函數(shù)〃力=/的值域為[。，4],則函數(shù)定義域可能為卜22],[0,2]卜2,0],

故選：ABC

練習15.（2023?全國?高三專題練習）設二次函數(shù)〃幻=（。-2*+3"+2在R上有最

大值，最大值為根（。），當加（。）取最小值時，。=（）

A.0B.1C.\D.V2

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出加（。），然后利用基本不等式即得.

【詳解】/（幻=（。-2）/+皿+2在R上有最大值〃?（〃）,

?"2<。且當釬-春時，所）的最大值為普鏟，

即2-a>0且5（。）=2^=京2-"）+工-7*2欄產(chǎn)毛-7=2，

當且僅當空沿=當時，即。=0時，加⑷有最小值2,

故選：A.

題型四二次函數(shù)恒成立問題

例7.（2019秋?湖南長沙?高三長郡中學?？茧A段練習）若命題

Y一2o￥+l>0"是真命題，則實數(shù)4的取值范圍為（）

A.100制B.皆收)c.(5)D.(l,+oo)

【答案】C

【分析】分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為=+3恒成立，結合基

本不等式求解最值即可得解.

【詳解】若命題“Vx?l,2],犬-2妙+1>0”是真命題，

貝x2+l>2ar,即。<單=1(%+3恒成立，

,；SE=i,當且僅當工=1時等號成立,

：.a<lt即實數(shù)。的取值范圍是(F,D.

故選：C.

【點睛】此題考查根據(jù)全稱命題的真假求參數(shù)的取值范圍，利用分離參數(shù)，將問

題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值求解范圍，需要注意等價變形.

例8.(2022秋?廣東廣州.高三廣東實驗中學越秀學校?？计谥?已知命題“VxeR,

如2+4%一1<0”是假命題，則實數(shù)々的取值范圍是()

A.(f-4)B.(f4)C.[-4,+oo)D.[4,+oo)

【答案】C

【解析】由題意可知，命題“HrwR,a?+4x-lNO”是真命題，分x=0和xwO兩種

情況討論，結合參變量分離法可求得實數(shù)。的取值范圍.

【詳解】由題意可知，命題“3xeR,ar?+4.1-120”是真命題.

當工=0時，則有-1之。，不合乎題意；

1-4r14

當工工0時，由0?+4”120,可得a?Nl-4x,則有一—=-—一，

XXX

v±-i=fl-2V-4>^,當且僅當x時，等號成立，

xxVx)2

所以，ciN-4.

綜上所述，實數(shù)。的取值范圍是

故選：C.

【點睛】結論點睛：利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒(能)成立，可根據(jù)以

下原則進行求解：

(1)VxeD,

(2)VxeD,m>f(x)<^m>f(x)nm-

(3)*w。，mK/(x)o加Kf(x)1nliJ

(4)HreD,m>f(x)n,n,

舉一反三

練習16.(2023?全國高三專題練習)p：Vxe[-4,2],x2為真命題的一個充

分不必要條件是()

A.〃<—2R.<0C.〃<4D.a<16

【答案】A

【分析】根據(jù)題設命題為真，結合不等式恒成立求參數(shù)。的范圍，再由充分、必

要性的定義確定充分不必要條件.

【詳解】由題設命題為真，即寸之。在xe[-4,2]上恒成立，

所以。4(/)*=0,故A為充分不必要條件，B為充要條件，CD必要不充分條件.

故選：A

練習17.(2020秋?黑龍江哈欠濱?高三哈爾濱三中?？茧A段練習)“Wxe[-L2],

是真命題，則。的取值范圍是()

A.(4,-K?)B.[4,-K3O)

C.(IM)D.[1,-KO)

【答案】A

【分析】由題意確定Vw[0,4],根據(jù)全稱命題的真假，可得。>(爐)2,即可求得

答案.

【詳解】由題意知以4T2],x2e[0,4],

2

故"Vre[-l,2],x<a”是真命題，則。，)max,則a>4,

故選：A

練習18.（2023秋?湖南衡陽?高三統(tǒng)考期末）命題p：.7一aWO的否

定為;使命題p成立的一個x的值為.

【答案】VxeR,ax2-￥x-a>01

【分析】由特稱命題的否定為全稱命題得第一空的答案；驗證x=l時，命題p成

立，即得第二空答案.

【詳解】解：因為命題p：HXGR,ax2-x-a^0?

所以命題p：-'P:VxeR,or2-x-a>0;

當x=l時，ax2-x-a=a-i-a=-\<Of&yLf

所以命題〃成立的一個x的值為1.

故答案為：VxeR,ax2+x-a>0,1.

練習19.（2023春.湖南長沙.高三湖南師大附中?？茧A段練習）若命題

“,€&丁_敘+。工0”為假命題，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.（T,4]B.（9,4）C.（e，-4）D.[-4,-K?）

【答案】A

【分析】由題意，寫出全稱命題的否定，根據(jù)其真假性以及一元二次方程的性質(zhì)，

可得答案.

【詳解】命題“DxeR,x2_4x+"0”為假命題，，“^6凡片-4%+〃=0”是真命題,

「?方程f—4x+a=0有實數(shù)根，貝ljA=（—4-—4。之0,解得〃44,

故選：A.

練習20.（2023?全國?高三專題練習）若“叫wR,而說+2傷咻-3對”是假命題,

則實數(shù)，〃的取值范圍是.

【答案】（TO]

【分析】求出給定命題的否定，再由所得命題為真命題，求解作答.

【詳解】命題“WeR,2謁+2萬叫,-320”的否定是：VxcR,2后+2萬n?3<0,

依題意，命題“VxwR,2蛆2+2&〃ir-3<0”為真命題，

當帆=0時，一3<0成立，則m=0,

當加工0時，不等式2儂2+2在〃猶-3<0恒成立，則（A_8TM2+24/M<0，解得一3<，”。，

綜上得：-3<加V0,

所以實數(shù)機的取值范圍是（-3⑼.

故答案為：（-3,0]

題型五幕函數(shù)的定義

例9.（2021秋?高三課時練習）下列函數(shù)為基函數(shù)的是（）

2

A.y=2x2B.y=2r-1C.y=-D.y=x2

x

【答案】D

【分析】根據(jù)鬲困數(shù)的定義即口J求解.

【詳解】由事函數(shù)的定義可知：尸小是事函數(shù)，y=2V,y=2f_]和y=±2的系

X

數(shù)不為1,故不是幕函數(shù)，

故選：D

例10.（2023春?遼寧本溪?高三?？茧A段練習）若基函數(shù)2m-2）/mi

在區(qū)間（0,+⑹上單調(diào)遞增，則〃?=（）

A.-1B.3C.T或3D.1或-3

【答案】A

【分析】根據(jù)嘉函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結果.

【詳解】因為函數(shù)/（"=（病-2加-2）/田川為鼎函數(shù)，且在區(qū)間（0,+8）上單調(diào)遞

增，

所以m2-2m-2=1且"-4m+1>0,

由加一26一3=0,得m=T或切=3,

當帆=-1時，tn2-4/n+1>0,滿足題意;

當加=3時，足>一4/〃+1<0,不符合題意.

綜上〃?=-1.

故選：A.

舉一反三

練習21.（2022秋?高三單元測試）（多選）已知函數(shù)/（"=（1+33）式1為募函

數(shù)，則實數(shù)小的可能性取值為（）

A.1B.-2C.3D.-4

【答案】AD

【分析】根據(jù)累函數(shù)定義得到方程，求出實數(shù)〃J檢驗后得到答案.

【詳解】由題意得病+3力—3=1,解得m或1,

當旭=~4時,/（x）=x-3,當刑=1時,/（x）=x2,均滿足要求.

故選：AD

練習22.（2023春?湖北宜昌?高三校聯(lián)考期中）已知點（。2）在幕函數(shù)

〃x）=（a-l）d的圖象上，則（）

A.=RB.

C./W=A?D./（力=）

【答案】D

【分析】根據(jù)事函數(shù)的定義求出。，將已知點的坐標代入解析式即可求解.

【詳解】??函數(shù)/（切=（。-1）/是嘉函數(shù),

.“-1=1,即。=2,.??點（8,2）在零函數(shù)〃%）=/的圖象上,

「.8"=2,即6=；,故〃力=小

故選：D.

練習23.（2023春?安徽?高一合肥市第八中學校聯(lián)考開學考試）已知事函數(shù)/（X）的

圖象過點且〃處-則6的取值范圍是.

【答案】（L2）

【分析】設幕函數(shù)/（x）=x"，將點［2,節(jié)J代入求出〃的值，再利用事函數(shù)的單調(diào)

性求解即可.

【詳解】設暴函數(shù)，（力=￡