考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷1（共279題）

考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷1（共9套）（共279題）考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第1套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、若(x-1)n在x=-1處收斂，則在x=2處是()A、條件收斂B、絕對(duì)收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由(x-1)n在x=-1處收斂，則收斂半徑R≥｜-1-1｜=2．而x=2，即｜2-1｜=1＜R，所以x=2在收斂區(qū)間內(nèi)，即原級(jí)數(shù)在x=2處絕對(duì)收斂，故應(yīng)選(B)．2、已知級(jí)數(shù)條件收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=的斂散性相同，故而由條件收斂可知0＜3-a≤1，即2≤a＜3．若使兩個(gè)結(jié)論都成立，只有＜a＜3，故選(D)．3、設(shè)an=cosnπ.ln(n=1，2，3，…)，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閍n=是滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因此是等價(jià)無窮小，且調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，故選(C)．4、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閣n＜un＜vn，所以0＜un-wn＜vn-wn．又因?yàn)槭諗?，所以收斂．因?yàn)橹挥挟?dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才能比較其和的大小，所以不能選(A)；選項(xiàng)(B)，(C)將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論用到了一般級(jí)數(shù)上，顯然不對(duì)．例如取級(jí)數(shù)可以說明(B)不對(duì)，取級(jí)數(shù)就可以說明(C)不對(duì)，選(D)．5、下列命題中錯(cuò)誤的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)知命題(A)正確．由反證法可知命題(B)正確．若設(shè)，這兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散，但是收斂，可知命題(C)正確，但命題(D)錯(cuò)誤．6、對(duì)于級(jí)數(shù)，其中un＞0(n=1，2，…)，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因｜(-1)n-1un｜=｜un｜=un，由絕對(duì)收斂，命題(B)正確．(A)錯(cuò)誤：如7、下列結(jié)論正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由冪級(jí)數(shù)在收斂域(-R，R)的和函數(shù)性質(zhì)可知，命題(C)正確．(A)錯(cuò)誤：如，收斂域?yàn)?-1，1]，但在x=1處，條件收斂．(B)錯(cuò)誤：因?yàn)榭赡躌=0或R=+∞．(D)錯(cuò)誤：由冪級(jí)數(shù)的定義可知不是冪級(jí)數(shù)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、設(shè)a為正常數(shù)，則級(jí)數(shù)的斂散性為__________標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：方法一當(dāng)n≥1時(shí)，≥0，原級(jí)數(shù)為一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)．9、設(shè)a為常數(shù)，若級(jí)數(shù)=________標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)10、級(jí)數(shù)的和為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，其公比q滿足11、級(jí)數(shù)的收斂域是________標(biāo)準(zhǔn)答案：(-1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)椴蝗表?xiàng)的x的冪級(jí)數(shù)，故R=1．在x=1處，發(fā)散．故的收斂域?yàn)?-1，1]．12、函數(shù)f(x)=展開成的(x-1)的冪級(jí)數(shù)為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：(x-1)n，0＜x＜2知識(shí)點(diǎn)解析：因(-1)n(x-1)n，-1＜x-1＜1即0＜x＜2．13、設(shè)f(x)=πx+x2，-π≤x＜π，且周期為T=2π．當(dāng)f(x)在[-π，π)上的傅里葉級(jí)數(shù)為(ancosnx+bnsinnx)，則b3=______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：將已給級(jí)數(shù)每相鄰二項(xiàng)加括號(hào)得新級(jí)數(shù)因發(fā)散，由于加括號(hào)后級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)必發(fā)散．三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)15、求(a為常數(shù)，0<＜｜a｜＜e)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用級(jí)數(shù)的收斂，求數(shù)列極限或證明數(shù)列收斂．若對(duì)于級(jí)數(shù)，由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(k＞1，a＞1)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)?，所以該?jí)數(shù)收斂．(2)因?yàn)?，所以該?jí)數(shù)收斂．(3)因?yàn)?，所以該?jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：易知當(dāng)n充分大時(shí)，單調(diào)遞減且此數(shù)列收斂于0，由萊布尼茨判別法知，級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：，故原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，(條件)收斂，故原級(jí)數(shù)發(fā)散.知識(shí)點(diǎn)解析：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不易判別｜un｜≥｜un+1｜，因此不能使用萊布尼茨判別法．為了能確定一般項(xiàng)的級(jí)別，需使用泰勒公式．21、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)f(x)=，f(x)單調(diào)減少，因此級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法條件，是條件收斂的．但級(jí)數(shù)發(fā)散．因?yàn)槭諗考?jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，易見：｜un｜→0，但｜un｜≥｜un+1｜不成立，萊布尼茨判別法失效．分母有理化后，可判定．22、證明：級(jí)數(shù)條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不滿足萊布尼茨判別條件，因?yàn)椋黸n｜=發(fā)散．又因?yàn)橛捎谏鲜矫總€(gè)括號(hào)都小于0，所以{S2n}單調(diào)遞減，再由所以，原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{S2n}收斂，從而級(jí)數(shù)收斂，所以原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、已知fn(x)滿足f’n(x)=fn(x)+xn-1ex(n為正整數(shù))，且fn(1)=，求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知，函數(shù)fn(x)滿足一階線性非齊次微分方程f’n(x)fn(x)=xn-1ex，其通解為fn(x)=由條件fn(1)=記S(x)=，容易求出其收斂域?yàn)閇-1，1)，且S(0)=0，當(dāng)x∈(-1，1)時(shí)，求導(dǎo)得于是得S(x)=由S(x)=-ln(1-x)在x=-1點(diǎn)的連續(xù)性知，上述和函數(shù)在x=-1點(diǎn)也成立．于是，當(dāng)-1≤x＜1時(shí)，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：由已知展開式知于是知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：，當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)x=-1時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散．所以，冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-1，1]．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=nπ-t，則再次逐項(xiàng)求導(dǎo)，得整理得S(x)=從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第2套一、選擇題(本題共10題，每題1.0分，共10分。)1、已知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，級(jí)數(shù)條件收斂，則()A、B、C、1＜a＜3D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)，則當(dāng)n→∞時(shí)，的斂散性相同，故而由條件收斂可知0＜3一α≤1，即2≤α＜3．若使兩個(gè)結(jié)論都成立，只有，故選D．2、設(shè)則級(jí)數(shù)()A、都收斂B、都發(fā)散C、發(fā)散D、收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)樗约?jí)數(shù)是滿足萊布尼茨條件的交錯(cuò)級(jí)數(shù)，因此是等價(jià)無窮小，且調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散，故選C．3、下列命題中正確的是()A、若un＜vn(n=1，2，3，…)，則B、若un＜nn(n=1，2，3，…)，且C、若D、若wn＜un＜vn(n=1，2，3，…)，且標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閣n＜vn＜vn，所以0＜un一w＜vn一wn．又因?yàn)槭諗?，所以收斂．因?yàn)橹挥挟?dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)，才能比較其和的大小，所以不能選A；選項(xiàng)B，C將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的結(jié)論用到了一般級(jí)數(shù)上，顯然不對(duì)．例如取級(jí)數(shù)可以說明B不對(duì)，取級(jí)數(shù)就可以說明C不對(duì)，選D．4、下列命題中錯(cuò)誤的是()A、若必定收斂B、若必定發(fā)散C、若不一定發(fā)散D、若必定收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)知命題A正確．由反證法可知命題B正確．若設(shè)，這兩個(gè)級(jí)數(shù)都發(fā)散，但是收斂，可知命題C正確，但命題D錯(cuò)誤．5、對(duì)于級(jí)數(shù)其中un＞0(n=1，2，…)，則下列命題正確的是()A、若收斂，則必為條件收斂B、若為絕對(duì)收斂C、若必發(fā)散D、若必收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因｜(一1)n-1un｜=｜un｜=un，由絕對(duì)收斂，命題B正確．A錯(cuò)誤：如6、下列結(jié)論正確的是A、在收斂域上必絕對(duì)收斂B、的收斂半徑為R，則R一定是正常數(shù)C、若的收斂半徑為R，則其和函數(shù)S(x)在(-R，R)內(nèi)必可微D、都是冪級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由冪級(jí)數(shù)在收斂域(一R，R)的和函數(shù)性質(zhì)可知，命題C正確．A錯(cuò)誤：如，收斂域?yàn)?一1，1]，但在x=1處，條件收斂．B錯(cuò)誤：因?yàn)榭赡躌=0或R=+∞．D錯(cuò)誤：由冪級(jí)數(shù)的定義可知不是冪級(jí)數(shù)．7、設(shè)則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂，故絕對(duì)收斂．從而收斂，故選D．A，C錯(cuò)，如B錯(cuò)，如8、設(shè)a＞0為常數(shù)，則()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因收斂，因此9、展開成(x一3)冪級(jí)數(shù)的時(shí)候，其收斂區(qū)間為()A、(-1，1)B、(-6，0)C、(-3，3)D、(0，6)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因10、設(shè)f(x)=x+1(0≤x≤1)，則它以2為周期的余弦級(jí)數(shù)在x=0處收斂于()A、1B、-1C、0D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：要得到以2為周期的余弦級(jí)數(shù)f(x)需延拓為以2為周期的偶函數(shù)F(x)．因x=0時(shí)，f(x)連續(xù)，由狄利克雷收斂定理，余弦級(jí)數(shù)在x=0處收斂于F(0)=f(0)=1．故選A．二、填空題(本題共9題，每題1.0分，共9分。)11、設(shè)a為正常數(shù)，則級(jí)數(shù)的斂散性為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：絕對(duì)收斂，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。12、設(shè)a為常數(shù)，若級(jí)數(shù)收斂，則=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：a知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)13、級(jí)數(shù)的和為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：14、級(jí)數(shù)的收斂域是_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：15、函數(shù)展開成的(x一1)的冪級(jí)數(shù)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：16、設(shè)f(x)=πx+x2，一π≤x＜π，且周期為T=2π．當(dāng)f(x)在[一π，π)上的傅里葉級(jí)數(shù)為則b3=__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：17、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：將已給級(jí)數(shù)每相鄰二項(xiàng)加括號(hào)得新級(jí)數(shù)發(fā)散，由于加括號(hào)后級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)必發(fā)散．18、冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間(一a，a)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：19、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)20、求(a為常數(shù)，0＜｜a｜＜e)．標(biāo)準(zhǔn)答案：利用級(jí)數(shù)的收斂，求數(shù)列極限或證明數(shù)列收斂．若知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(k＞1，a＞1)：(1)(2)(3)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由泰勒公式，(條件)收斂，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不易判別｜un｜≥｜un+1｜，因此不能使用萊布尼茨判別法．為了能確定一般項(xiàng)的級(jí)別，需使用泰勒公式．26、判別級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨判別法條件，是條件收斂的．但級(jí)數(shù)發(fā)散．因?yàn)槭諗考?jí)數(shù)與發(fā)散級(jí)數(shù)的代數(shù)和是發(fā)散級(jí)數(shù)，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，易見：｜u｜→0，但｜un｜≥｜un-1｜不成立，萊布尼茨判別法失效．分母有理化后，可判定．27、證明：級(jí)數(shù)條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不滿足萊布尼茨判別條件，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、已知fn(x)滿足fn’(x)=fn(x)+xn-1ex(n為正整數(shù))，且求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題設(shè)條件知，函數(shù)fn(x)滿足一階線性非齊次微分方程fn’(x)一fn(x)=xn-1ex，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、將函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、求冪級(jí)數(shù)的收斂域與和函數(shù)，并求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：，當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第3套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)pn=，n=1，2，…，則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：2、下列四個(gè)級(jí)數(shù)中發(fā)散的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：則該級(jí)數(shù)收斂，因此選B．3、設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：4、an和bn符合下列哪一個(gè)條件可由發(fā)散()A、an≤bn．B、｜an｜≤bn．C、an≤｜bn｜．D、｜an｜≤｜bn｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：反證法．如果收斂與題設(shè)矛盾，故選B．5、若級(jí)數(shù)發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由(｜an｜+｜bn｜)必發(fā)散，故選D．6、級(jí)數(shù)的極限值等于()A、0．B、1．C、2．D、e．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：7、如果級(jí)數(shù)()A、都收斂．B、都發(fā)散．C、斂散性不同．D、同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于an=(an+bn)一bn，且必發(fā)散，故選D．8、設(shè)a是常數(shù)，則級(jí)數(shù)()A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂性與a的取值有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于發(fā)散，則發(fā)散．故選C．9、設(shè)(a2n—1+a2n)收斂，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)an＞0時(shí)，級(jí)數(shù)(a2n—1+a2n)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于該級(jí)數(shù)收斂，則其部分和數(shù)列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)有上界，從而可知正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列Sn=a1+a2+…+an有上界，則級(jí)數(shù)必收斂，故選D．10、已知等于()A、3．B、7．C、8．D、9．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：(—1)n—1an=2×5—2=8，故選C．11、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的()A、充要條件．B、充分條件．C、必要條件．D、既非充分條件，又非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)12、已知冪級(jí)數(shù)an(x一1)n的收斂半徑為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：由題干已知冪級(jí)數(shù)anxn在x=1處條件收斂，那么x=1為該冪級(jí)數(shù)收斂區(qū)間的端點(diǎn)，其收斂半徑為1，因此冪級(jí)數(shù)an(x一1)n收斂半徑也為1．13、冪級(jí)數(shù)n(x一1)n的和函數(shù)為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：，x∈(0，2)知識(shí)點(diǎn)解析：14、級(jí)數(shù)的和為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：15、設(shè)x2=ancosnx(一π≤x≤π)，則a2=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：1知識(shí)點(diǎn)解析：已知f(x)=x2(一π≤x≤π)是以2π為周期的偶函數(shù)，利用傅利葉系數(shù)計(jì)算公式，有16、設(shè)a1=1，(an+1一an)的和為_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：2020知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)(an+1一an)的部分和數(shù)列為Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1—an)=an+1一a1=an+1—1．則=2021—1=2020．17、級(jí)數(shù)的和為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(sin1+cos1)知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知，18、級(jí)數(shù)的和為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：19、冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為_________標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：20、f(x)=在x=一1處的泰勒展開式為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一1)n(x+1)n，(一2＜x＜0)知識(shí)點(diǎn)解析：21、將函數(shù)展成x的冪級(jí)數(shù)為_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)已知函數(shù)從0到x求積分，有22、二元函數(shù)f(x，y)=xy在點(diǎn)(e，0)處的二階(即n=2)泰勒展開式為_________．(不要求寫余項(xiàng))標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由已知f(e，0)=1，則f’x(x，y)=yxy—1，f’x(e，0)=0；f’y(x，y)=xylnx，f’y(e，0)=1；f"xx(x，y)=y(y一1)xy—2，f"xx(e，0)=0；f"xy(x，y)=xy—1+yxy—1lnx，f"xy(e，0)=e—1；f"yy(x，y)=x(lnx)2，f"yy(e，0)=1．因此，點(diǎn)(e，0)處二階泰勒展開式為f(x，y)=f(e,0)+f’x(e，0)(x一e)+f’y(e,0)(y一0)+[f"xx(e,0)(x一e)2+2f"xy(e，0)(x一e)(y一0)+f"yy(e，0)(y一0)2]+R3=1+y++R3．23、f(x)=ln(2+x一3x2)在x=0處的泰勒展開式為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)的泰勒展式為f(x)=ln[(1一x)(2+3x)]=ln(1一x)+ln(2+3x)三、解答題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)24、設(shè)冪級(jí)數(shù)anxn在(一∞，+∞)內(nèi)收斂，其和函數(shù)y(x)滿足y"一2xy’一4y=0，y(0)=0，y’(0)=1．(1)證明an+2=，n=1，2…；(2)求y(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、將函數(shù)f(x)=1一x2(0≤x≤π)用余弦級(jí)數(shù)展開，并求的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)作偶周期延拓，則有bn=0，n=1，2，…．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)an為曲線y=xn與y=xn+1(n=1，2，…)所圍成區(qū)域的面積，記S1=a2n—1，求S1與S2的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：由題意，y=xn與y=xn+1在點(diǎn)x=0和x=1處相交，所以知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橛謋(0)=0，所以f(x)=∫0xf’(t)dt+f(0)=arctanx．因此s(x)=xarctanx，x∈[一1，1]．故收斂域x∈[一1，1]，和函數(shù)s(x)=xarctanx．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、求冪級(jí)數(shù)的收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以x∈(一1，1)為函數(shù)的收斂域．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)數(shù)列{an}滿足條件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)．S(x)是冪級(jí)數(shù)anxn的和函數(shù)．(1)證明S“(x)一S(x)=0；(2)求S(x)的表達(dá)式．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)證明：由題意得因?yàn)橛梢阎獥l件得an=(n+1)(n+2)an+2(n=0，1，2，…)，所以S"(x)=S(x)，即S"(x)一S(x)=0．(2)S"(x)一S(x)=0為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其特征方程為λ2一1=0，從而λ=±1，于是S(x)=C1e—x+C2ex，由S(0)=a0=3，S’(0)=a1=1，得解得C1=1，C2=2，所以S(x)=e—x+2ex．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、將F(x)=展開為x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)x≠0時(shí)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又設(shè)是條件收斂，絕對(duì)收斂，還是發(fā)散?標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)存在連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，所以當(dāng)x＞0且x足夠小時(shí)，f’(x)＞0，由拉格朗日中值定理，有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、設(shè)un=∫01x(1一x)sin2nxdx，討論級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x(1一x)sin2nx≥0，所以u(píng)n≥0，為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，又因sin2nx≤x2n，所以有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)是它的部分和(1)證明收斂；(2)判斷級(jí)數(shù)是條件收斂還是絕對(duì)收斂，并給予證明．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、求冪級(jí)數(shù)n(x一1)n的收斂域及其在收斂域內(nèi)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、設(shè)f(x)在x=a具有三階導(dǎo)數(shù)且f’’’(a)≠0，又設(shè)f(x)在x=a處的拉格朗日余項(xiàng)一階泰勒展開式為標(biāo)準(zhǔn)答案：在a處展開為三階泰勒級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則必收斂的級(jí)數(shù)為()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，再由收斂級(jí)數(shù)的和仍收斂可知，級(jí)數(shù)(un+un+1)收斂，故選D．2、如果級(jí)數(shù)都發(fā)散，則()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于(｜an｜+｜bn｜)必發(fā)散，故選D．3、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，則s(一)等于()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)閟(x)是正弦級(jí)數(shù)，所以此傅里葉級(jí)數(shù)是對(duì)f(x)在(一1，0)內(nèi)作奇延拓后展開的，于是和函數(shù)s(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為4、已知級(jí)數(shù)收斂，則下列級(jí)數(shù)中必收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由于去掉了前k項(xiàng)，則其斂散性相同，故(an+an+k)必收斂，應(yīng)選D．5、設(shè)an＞0(n=1，2，…)，且，則級(jí)數(shù)()A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、斂散性與λ有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：利用比較法．因?yàn)?、下列命題成立的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于中至少有一個(gè)發(fā)散，故選C．7、設(shè)0≤an＜(n=1，2，…)，則下列級(jí)數(shù)中肯定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：由0≤an＜收斂及正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，級(jí)數(shù)(一1)nan2絕對(duì)收斂．故選D．8、設(shè)有命題以上四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為()A、1．B、2．C、3．D、4．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：只有④是正確的，事實(shí)上，級(jí)數(shù)(an+1一an)的部分和數(shù)列Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1—an)=an+1一a1，故選A．9、設(shè)un=(一1)nln(1+)，則級(jí)數(shù)()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：10、級(jí)數(shù)(α＞0，β＞0)的斂散性()A、僅與β取值有關(guān)．B、僅與α取值有關(guān)．C、與α和β的取值都有關(guān)．D、與α和β的取值都無關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于，(1)當(dāng)0＜β＜1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散．(2)當(dāng)β＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂．(3)當(dāng)β=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為，當(dāng)α＞1時(shí)收斂，當(dāng)α≤1時(shí)發(fā)散，故選C．11、設(shè)常數(shù)λ＞0，且級(jí)數(shù)()A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、收斂性與A有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：二、填空題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)12、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：首先設(shè)an=時(shí)，該冪級(jí)數(shù)是收斂的．因此，此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是。13、若數(shù)列{an}收斂，則級(jí)數(shù)(an+1一an)_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：收斂知識(shí)點(diǎn)解析：由題干知，級(jí)數(shù)(an+1一an)的部分和數(shù)列為Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1—an)=an+1一a1，因?yàn)閿?shù)列{an}收斂，所以{Sn}收斂．因此級(jí)數(shù)(an+1一an)收斂．14、=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)題意，有15、若級(jí)數(shù)(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)+…發(fā)散，則級(jí)數(shù)an=_________。標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)級(jí)數(shù)性質(zhì)可知，收斂級(jí)數(shù)加括號(hào)后仍然收斂．假設(shè)收斂，則級(jí)數(shù)(a1+a3)+(a3+a4)+…+a2n—1+a2n)+…收斂，與題設(shè)矛盾，故，發(fā)散．16、設(shè)冪級(jí)數(shù)nan(x一1)n+1的收斂區(qū)間為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一2，4)知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)：對(duì)原冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后得，收斂半徑不變，因此有其收斂區(qū)間為｜x一1｜＜3，即(一2，4)．17、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開________。標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1)知識(shí)點(diǎn)解析：因此收斂域?yàn)閇一1，1)．18、無窮級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：19、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)收斂半徑的判斷方法，有20、已知冪級(jí)數(shù)an(x+2)n在x=0處收斂，在x=一4處發(fā)散，則冪級(jí)數(shù)an(x一3)n的收斂域?yàn)開________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，5]知識(shí)點(diǎn)解析：由題意可知，的收斂域包含區(qū)間(一2，2]．所以an(x一3)n的收斂域?yàn)?1，5]．21、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：[4，6)知識(shí)點(diǎn)解析：故冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是[4，6)．22、無窮級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共13題，每題1.0分，共13分。)23、將函數(shù)f(x)=x一1(0≤x≤2)展開成周期為4的余弦函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由傅里葉級(jí)數(shù)展開式，可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)a1=2，an+1=，(n=1，2，…)．證明標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然an＞0(n=1，2…)，由初等不等式：對(duì)任意非負(fù)數(shù)x，y必有知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、求標(biāo)準(zhǔn)答案：由于知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)減少，且是否收斂?并說明理由．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于正項(xiàng)數(shù)列{an}單調(diào)遞減，因此極限存在，將極限記為a，則有an≥a，且a≥0．又因?yàn)?一1)nan是發(fā)散的，根據(jù)萊布尼茨交錯(cuò)級(jí)數(shù)判別法可知a＞0(否則級(jí)數(shù)(一1)nan是收斂的)．已知正項(xiàng)級(jí)數(shù){an}單調(diào)遞減，因此知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性．標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、設(shè)f(x)=的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：直接將arctanx展開不容易，但(arctanx)’易展開，即因?yàn)橛叶思?jí)數(shù)在x=±1時(shí)均收斂，又arctanx在x=±1連續(xù)，所以展開式在收斂區(qū)間端點(diǎn)x=±1成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、(1)驗(yàn)證函數(shù)y(x)=(一∞＜x＜+∞)滿足微分方程y"+y’+y=ex．(2)求冪級(jí)數(shù)y(x)=的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)因?yàn)閮缂?jí)數(shù)(2)與y"+y’+y=ex對(duì)應(yīng)的齊次微分方程為y"+y’+y=0，其特征方程為λ2+λ+1=0，設(shè)非齊次微分方程的特解為y*=Aex，將y*代入方程y"+y’+y=ex可得知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、將函數(shù)f(x)=的和。標(biāo)準(zhǔn)答案：因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)方程xn+nx一1=0，其中n為正整數(shù)．證明此方程存在唯一正實(shí)根xn，并證明當(dāng)α＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：記fn(x)=xn+nx一1．由fn(0)=一1＜0，fn(1)=n＞0，于是由連續(xù)函數(shù)的介值定理知，方程xn+nx一1=0存在正實(shí)數(shù)根xn∈(0，1)．當(dāng)x＞0時(shí)，f’n(x)=nxn—1+n＞0，可見fn(x)在[0，+∞)上單調(diào)增加，故方程xn+nx一1=0存在唯一正實(shí)數(shù)根xn．由xn+nx一1=0與xn＞0知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、求冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù)f(x)．標(biāo)準(zhǔn)答案：所以當(dāng)x2＜1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，當(dāng)x2＞1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)的收斂半徑為1，收斂區(qū)間為(一1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、將函數(shù)f(x)=展開成x的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第5套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、下列各項(xiàng)中正確的是A、若(un+vn)2收斂．B、若都收斂．C、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)D、若級(jí)數(shù)vn也收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：(A)正確．｜2unvn｜≤+2unvn)收斂．2、若級(jí)數(shù)an(x－1)n在x=－1處收斂，則此級(jí)數(shù)在x=2處A、條件收斂．B、絕對(duì)收斂．C、發(fā)散．D、收斂性不能確定．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：antn，t=x一1，在t=－2處收斂R≥2，x=2時(shí)t=1∈(－R，R)antn在t=1即an(x一1)n在x=2處絕對(duì)收斂．選(B)．3、級(jí)數(shù)A、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、斂散性與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：發(fā)散．由萊布尼茲法則知，原級(jí)數(shù)收斂．因此是條件收斂．選(B)．4、設(shè)有級(jí)數(shù)an收斂的A、充分條件．B、必要條件．C、充分必要條件．D、既非充分條件也非必要條件．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：由級(jí)數(shù)收斂性概念知an收斂，即部分和數(shù)列{Sn}收斂．由數(shù)列收斂性與有界性的關(guān)系知。{Sn}收斂{Sn}有界，因此選(B)．5、已知an＞0(n=1，2，…)，且(－1)n－1an條件收斂，記bn=2a2n－1－a2n，則級(jí)數(shù)bnA、絕對(duì)收斂．B、條件收斂．C、發(fā)散．D、收斂或發(fā)散取決于an的具體形式．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由已知條件(－1)n－1an=a1－a2+a3－a4+…+a2n－1－a2n+…=(a2n－1－a2n)(收斂級(jí)數(shù)的結(jié)合律)．(*)由均發(fā)散．(若其中之一收斂，由(*)an收斂，得矛盾．)因?yàn)閇a2n－1+(a2n－1－a2n)]，而bn發(fā)散．選(C)．6、下列命題中正確的是A、若冪級(jí)數(shù)anxn的收斂半徑R≠0，則=R－1．B、若anxn不存在收斂半徑．C、若anxn的收斂域?yàn)閇－R，R]，則nanxn－1的收斂域?yàn)閇－R，R]．D、若anxn的收斂域?yàn)?－R，R)即它的收斂域，則xn+1的收斂域可能是[－R，R]．標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：收斂半徑，或R=+∞，或0＜R＜+∞，或R=0，三種情形必有一種成立．因而(B)不正確，但anxn=，因而(A)也不正確．(C)也是不正確的．如的收斂域?yàn)閇一1，1)．因此只有(D)正確．事實(shí)上，若取(一1)nx2n的收斂區(qū)間即收斂域?yàn)?一1，1)，而x2n+1的收斂域?yàn)閇一1，1]．7、對(duì)于任意x的值，=A、0．B、1．C、．D、∞．標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：考慮級(jí)數(shù)xn的斂散性．由可知冪級(jí)數(shù)xn的收斂半徑R=+∞，因此級(jí)數(shù)對(duì)任意的x值均收斂．由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得知=0，故選(A)．二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、設(shè)級(jí)數(shù)(un+un+1+un+2)=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：因?yàn)镾=收斂，那么由級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)有=S+(S一u1)+(S—u1—u2)=3S一2u1—u2．由于u1=S1=1，u2=S2一u1=，則9、級(jí)數(shù)的和S=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考察部分和10、冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(一2，2)知識(shí)點(diǎn)解析：先求收斂半徑R：R=2，收斂區(qū)間為(一2，2)．11、(n－1)xn的和函數(shù)及定義域是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：12、冪級(jí)數(shù)x+的和函數(shù)及定義域是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：13、設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則P的取值范圍是____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1，+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：確定的階．由于而p＞1，因此p的取值范圍是(1，+∞)．14、設(shè)bnx2n的收斂半徑R=____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：考察三、解答題(本題共15題，每題1.0分，共15分。)15、求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：考慮冪級(jí)數(shù)S(x)=x2n－1，易求它的收斂域?yàn)?－∞，+∞)．現(xiàn)逐項(xiàng)求導(dǎo)得逐項(xiàng)求導(dǎo)后雖未得到S′(x)的和函數(shù)，但得到S(x)滿足的一階方程，又S(0)=0，解初值問題令x=1得原級(jí)數(shù)的和為知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)展成冪級(jí)數(shù)：(Ⅰ)f(x)=arcsinx，在x=0處；(Ⅱ)f(x)=lnx，在x=1及x=2處；(Ⅲ)f(x)=，在x=1處．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)f′(x)=又這里f(x)=arcsinx在x=1(一1)處右(左)連續(xù)．右端級(jí)數(shù)在x=±1均收斂，故展式在x=±1也成立．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、將函數(shù)f(x)=sin(x+a)展開成x的冪級(jí)數(shù)，并求收斂域．標(biāo)準(zhǔn)答案：f(x)存在任意階導(dǎo)數(shù)，且f(n)(x)=sin(x+a+，從而有由于｜Rn(x)｜≤→0．(由比值判別法可得收斂，再由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可得=0．)從而有知識(shí)點(diǎn)解析：將函數(shù)f(x)展開成x的冪級(jí)數(shù)，通常有兩種基本方法：第一種是由泰勒公式直接展開，如本題，解題時(shí)要說明Rn(x)=0，并據(jù)此給出收斂域；第二種是利用常見函數(shù)的麥克勞林展開式間接展開。需要說明的是，在求導(dǎo)或積分過程中，冪級(jí)數(shù)收斂半徑不變，但收斂域可能會(huì)發(fā)生變化．18、將函數(shù)f(x)=在點(diǎn)x0=1處展開成冪級(jí)數(shù)，并求f(n)(1)．標(biāo)準(zhǔn)答案：將f(x)視為(x一1)bn(x一1)n即可．因?yàn)槔霉?11．17)，并以代替其中的x，則有由于f(x)的冪級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：“在點(diǎn)x0=1處展成冪級(jí)數(shù)”即展成x一1的冪級(jí)數(shù)．19、已知anxn半徑R=R0＞0，求證級(jí)數(shù)xn的收斂域?yàn)?－∞，+∞)．標(biāo)準(zhǔn)答案：即證與的關(guān)系并利用比較判別法．注意，由≤M(n=0，1，2，…)，M＞0為某常數(shù)，于是由冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)絕對(duì)收斂收斂．由比較原理收斂．因此，原冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?一∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求xn的收斂域及和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)求收斂域：原冪級(jí)數(shù)記為anxn，則由收斂域?yàn)?一∞，+∞)．(Ⅱ)求和函數(shù)．分解法．為了用ex=，對(duì)原級(jí)數(shù)進(jìn)行分解，記原級(jí)數(shù)的和為S(x)，則因此S(x)=－xe－x－e－x+1+(1－x－e－x)=－e－x(x+1)+(1－e－x)(x≠0)，(S(0)=0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、求的和S．標(biāo)準(zhǔn)答案：先分解S==S1—2S2．由ln(1+x)的展式知，S1=ln(1+1)=ln2．為求S2，引進(jìn)冪級(jí)數(shù)S2(x)=因此，S=S1—2S2=ln2—2S2(1)=ln2—2+知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、設(shè)有級(jí)數(shù)un，(Ⅰ)若(u2n－1+u2n)=(u1+u2)+(u3+u4)+…收斂，求證：un收斂．(Ⅱ)設(shè)u2n－1=(－1)n－1un收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)考察該級(jí)數(shù)的部分和S2n=(S2n一u2n)=S一0=S，因此un收斂和為S．(Ⅱ)顯然，un=0．考察(一1)n－1un=u1一u2+u3一u4+…，兩兩添加括號(hào)后的級(jí)數(shù)，其中收斂．因此原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)(an－an－1)收斂，又bn是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，求證：anbn絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：級(jí)數(shù)(an一an－1)收斂，即其部分和Sm=(an一an－1)=(a1—a0)+(a2一a1)+…+(am—am－1)=am—a0為收斂數(shù)列，從而{an}也是收斂數(shù)列．我們知道數(shù)列收斂則一定有界，設(shè)｜an｜≤M，n=1，2，…，則｜anbn｜≤M｜bn｜=Mbn．再由于bn是收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，這樣，利用比較判別法，即知｜anbn｜收斂，即anbn絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、設(shè)f(x)在[－2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0，F(xiàn)(x)=f(x+t)dt，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)在[一2，2]上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則｜f′(x)｜在[一2，2]上連續(xù)，設(shè)M為｜f′(x)｜在[一2，2]上的最大值，則x∈[一1，1]時(shí)，由此可得｜F(x)｜≤M(2x—u)du=2Mx2，x∈[一1，1]．因此收斂，即絕對(duì)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、設(shè)有級(jí)數(shù)U：vn，求證：(Ⅰ)若U，V均絕對(duì)收斂，則(un+vn)絕對(duì)收斂；(Ⅱ)若U絕對(duì)收斂，V條件收斂，則(un+vn)條件收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由｜un+vn｜≤｜un｜+｜vn｜，又(un+vn)絕對(duì)收斂．(Ⅱ)由假設(shè)條件知，｜un+vn｜發(fā)散．用反證法．若｜un+vn｜收斂｜vn｜=｜un+vn－un｜≤｜un+vn｜+｜un｜，且｜vn｜收斂，與已知條件矛盾．因此(un+vn)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)an=an．標(biāo)準(zhǔn)答案：先求an．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、設(shè)有兩條拋物線y=nx2+，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為an．(Ⅰ)求這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn；(Ⅱ)求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由y=nx2+，又因?yàn)閮蓷l拋物線所圍圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，所以(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)果，從而知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)f(x)是區(qū)間[－π，π]上的偶函數(shù)，且滿足證明：f(x)在[－π，π]上的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中系數(shù)a2n=0，n=1，2，…．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)為偶函數(shù)，所以對(duì)于右端前一個(gè)積分，令x=+t，則根據(jù)假設(shè)f=0，所以a2n=0，n=1，2，…．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)f(x)=(Ⅰ)求f(x)以2π為周期的傅氏級(jí)數(shù)，并指出其和函數(shù)S(x)；(Ⅱ)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)其中因此該傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)其中S(0)=[f(－π+0)+f(π一0)]．(Ⅱ)由S(0)=0知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第6套一、選擇題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)1、級(jí)數(shù)()A、收斂B、發(fā)散C、條件收斂D、絕對(duì)收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：2、當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，級(jí)數(shù)的和函數(shù)是()A、ln(1-x)B、C、ln(x-1)D、--ln(x一1)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：3、函數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)f(x)進(jìn)行()A、周期為2l的延拓B、偶延拓C、周期為l的延拓D、奇延拓標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)f(x)在[-l，l]上為偶函數(shù)，且滿足收斂定理的條件時(shí)，則f(x)可在[一l，l]上的連續(xù)區(qū)間上展開成余弦級(jí)數(shù)，故對(duì)[0，l]上的f(x)要進(jìn)行偶延拓．4、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?)A、(-1，1)B、(-1，0)C、[一1，0]D、[一1，0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：5、設(shè)f(x)=x2(0＜x＜1)，而其中bn=()A、B、C、D、標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：由表達(dá)式可知，bn是將f(x)進(jìn)行奇延拓后的函數(shù)按周期為2展開的傅里葉系數(shù)，S(x)是其相應(yīng)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，將f(x)進(jìn)行周期為2的奇延拓得F(x)，S(x)為F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)．因處F(x)連續(xù)，故由狄利克雷定理可知6、已知級(jí)數(shù)(1)和級(jí)數(shù)(2)則()A、級(jí)數(shù)(1)收斂，級(jí)數(shù)(2)發(fā)散B、級(jí)數(shù)(1)發(fā)散，級(jí)數(shù)(2)收斂C、兩級(jí)數(shù)都收斂D、兩級(jí)數(shù)都發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)則{u2n}為單調(diào)增數(shù)列，故≠0，從而級(jí)數(shù)(1)發(fā)散，由級(jí)數(shù)發(fā)散的定義可知，級(jí)數(shù)(2)一般項(xiàng)極限不為零，故發(fā)散．7、當(dāng)級(jí)數(shù)()A、一定條件收斂B、一定絕對(duì)收斂C、一定發(fā)散D、可能收斂，也可能發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：因級(jí)數(shù)都為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且收斂，又由比較審斂法絕對(duì)收斂．8、級(jí)數(shù)()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)a=0時(shí)，為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，當(dāng)n＞3時(shí)滿足萊布尼茨定理，所以收斂．當(dāng)a=1時(shí)，的一般項(xiàng)不趨于零，發(fā)散，所以，斂散性與a有關(guān)．9、若正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則()A、必收斂B、必發(fā)散C、必收斂D、必發(fā)散標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，an2≤an，由比較審斂法，必收斂．10、設(shè)數(shù)列{an}單調(diào)減少，無界，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?)A、(-1，1]B、[一1，1)C、[0，2)D、(0，2]標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：本題主要考查交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法和冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間、收斂域的概念，是一道綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的考題．因數(shù)列{an}單調(diào)減少，,故根據(jù)萊布尼茨判別法知，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，即冪級(jí)數(shù)在x=0處條件收斂；又在x=2處發(fā)散；綜上，冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0，2)，故答案應(yīng)選C．11、設(shè)un≠0(n=1，2，…)，且()A、發(fā)散B、絕對(duì)收斂C、條件收斂D、斂散性由所給條件無法確定標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由所考查級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不能保證的單調(diào)性，不滿足萊布尼茨定理的條件，于是按定義考查部分和二、填空題(本題共12題，每題1.0分，共12分。)12、若將在[0，2]上展開成正弦級(jí)數(shù)，則該級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)為________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)狄利克雷收斂定理(需進(jìn)行奇延拓)，13、設(shè)的斂散性為_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：14、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列{Sn}____________．標(biāo)準(zhǔn)答案：有界(或有上界)知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)收斂等價(jià)于{Sn}收斂．對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)為單調(diào)遞增數(shù)列．由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則與數(shù)列收斂的必要條件可知，單調(diào)遞增數(shù)列{Sn}收斂等價(jià)于{Sn}有界(或有上界)．15、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：[一1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：16、ex展開成x-3的冪級(jí)數(shù)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：e=e3+(x-3)=e3.e-3，因17、設(shè)則其以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在x=±π處收斂于______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：由狄利克雷收斂定理及f(x)的周期性可知，不管f(x)在x=±π處是連續(xù)還是間斷，其傅里葉級(jí)數(shù)的和S(±π)都可用統(tǒng)一表示．因f(π)-=一5，f(一π+)=｜x=-x=π2故18、級(jí)數(shù)當(dāng)________時(shí)絕對(duì)收斂；當(dāng)________時(shí)條件收斂；當(dāng)________時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：p＞1；0＜p≤1；p≤0知識(shí)點(diǎn)解析：19、若在x=一3處為條件收斂，則其收斂半徑R=________．標(biāo)準(zhǔn)答案：3知識(shí)點(diǎn)解析：因在x=一3收斂，故由阿貝爾定理，｜x｜＜3時(shí)，絕對(duì)收斂．又因在x=一3條件收斂，故｜x｜＞3時(shí)，發(fā)散．如若不然，必存在x1，使｜x1｜＞3且有在x=x1處收斂．由阿貝爾定理便可推出｜x｜＜｜x1｜時(shí)，特別是x=一3時(shí)絕對(duì)收斂．這與題設(shè)在x=一3處條件收斂相矛盾．綜上，由收斂半徑的定義便有R=3．20、冪級(jí)數(shù)在收斂域(一1，1)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為__________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：21、函數(shù)在[-π，π]上展開傅里葉級(jí)數(shù)則an=_________，bn=________，和函數(shù)S(x)=_________．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：f(x)在[一π，π]上滿足狄利克雷收斂定理?xiàng)l件，進(jìn)行周期延拓得F(x)，有F(x)≡f(x)，x∈[-π，π]．由收斂定理可知：22、設(shè)則其以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在點(diǎn)x=π處收斂于_______．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：23、設(shè)f(x)在區(qū)間[一π，π]上連續(xù)且滿足f(x+π)=一f(x)，則f(x)的傅里葉系數(shù)a2n=_________.標(biāo)準(zhǔn)答案：0知識(shí)點(diǎn)解析：三、解答題(本題共20題，每題1.0分，共20分。)24、設(shè)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：令x=nπ一t，則知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、求級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析26、設(shè)函數(shù)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，且f(x)=eax(0≤x＜2π)，其中a≠0，試將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并求數(shù)值級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析27、判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析28、設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)．試證：(1)若收斂；(2)若收斂，且un單調(diào)減少，則收斂；(3)若都收斂；(4)若收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析29、設(shè)證明：級(jí)數(shù)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析30、試判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析31、設(shè)，是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并設(shè)(1)求證：若發(fā)散；(2)當(dāng)b=1時(shí)，試舉出可能收斂也可能發(fā)散的例子．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析32、根據(jù)阿貝爾定理，已知在某點(diǎn)x1(x1≠x0)的斂散性，證明該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可分為以下三種情況：(1)若在x1處收斂，則收斂半徑R≥｜x1一x0｜；(2)若在x1處發(fā)散，則收斂半徑R≤｜x1一x0｜；(3)若在x1處條件收斂，則收斂半徑R=｜x1一x0｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)阿貝爾定理，(1)(2)是顯然的．對(duì)于(3)，因冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1處收斂，則R≥｜x1一x0｜；另一方面，因冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1處條件收斂，則R≤｜x1一x0｜．因若不然，則該點(diǎn)是絕對(duì)收斂，而不是條件收斂，這與題設(shè)矛盾，于是，綜合上述兩方面得該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=｜x1一x0｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析33、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=0處收斂，在x=2b處發(fā)散，求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R與收斂域，并分別求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：由上述兩方面，根據(jù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑的定義即知的收斂半徑R=｜b｜，其收斂域?yàn)橐唬黚｜≤x＜｜b｜．注意到冪級(jí)數(shù)分別經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分所得，根據(jù)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變的性質(zhì)，即知它們的收斂半徑都是R=｜b｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析34、將y=sinx展開為的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析35、將展開為x+1的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果此題這樣做：是行不通的．改用“先積后導(dǎo)”的方法：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析36、設(shè)(1)將f(x)展開為x的冪級(jí)數(shù)；(2)分別判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)把f(x)作初等變換，并利用幾何級(jí)數(shù)得f(x)展開為x的冪級(jí)數(shù)(2)根據(jù)冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性得f(x)在x0=0處的高階導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析37、設(shè)證明：級(jí)數(shù)收斂，并求其和．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析38、(1)證明：(2)求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)解知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析39、求級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析40、(1)求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)e-x+2e-2x+…+ne-nx+…收斂時(shí)x的取值范圍；(2)當(dāng)上述級(jí)數(shù)收斂時(shí)，求其和函數(shù)S(x)，并求標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)該函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)un(x)=ne-nx，un-1(x)=(n+1)e-(n+1)x．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析41、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a2—1，且an+1=an+an-1，n=2，3，…．證明：在時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和函數(shù)與系數(shù)an．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然，{an}是正項(xiàng)嚴(yán)格單調(diào)增加數(shù)列，且有a3=2，a4=a2+a3＜2a=22，假設(shè)an＜an-2，則有an+1=an+an-1＜2an＜2n-1，故由歸納法得an＜2n-2．于是，所考慮的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)有(2)原冪級(jí)數(shù)化為移項(xiàng)后得原冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為(3)將展開為x的冪級(jí)數(shù)，有而的和函數(shù)，則由冪級(jí)數(shù)展開式的唯一性，經(jīng)比較系數(shù)得原冪級(jí)數(shù)的系數(shù)，知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析42、設(shè)(1)求y(0)，y’(0)，并證明：(1一x2)y’’一xy’=4；(2)求的和函數(shù)及級(jí)數(shù)的值．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)(2)下面求解微分方程(1一x2)y’’一xy’=4．首先，應(yīng)該可以想到本題用“二階可降階”的方法，令y’=p，考生可以自練．但是本題更好的做法是如下的分析：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析43、(1)證明：等式(2)求級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)考慮待證明等式右邊的函數(shù)展開為余弦級(jí)數(shù)，因y=｜x｜是偶函數(shù)，故只要將f(x)=｜x｜在區(qū)間[一1，1]上展開為傅里葉級(jí)數(shù)，其中半周期l=1，它的傅里葉系數(shù)bn=0．n=1．2．…，因f(x)=｜x｜在[一1，1]上連續(xù)，故它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式(2)在上述等式中，令x=0，即得數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第7套一、選擇題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)1、設(shè)0≤un≤，則下列級(jí)數(shù)中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因0≤un≤收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法知收斂，故絕對(duì)收斂．從而收斂，故選(D)．(A)，(C)錯(cuò)，如(B)錯(cuò)，如2、設(shè)a＞0為常數(shù)，則()A、絕對(duì)收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與口有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：因0＜1-收斂，因此絕對(duì)收斂．3、設(shè)f(x)=x+1(0≤x≤1)，則它以2為周期的余弦級(jí)數(shù)在x=0處收斂于()A、1B、-1C、0D、[*]標(biāo)準(zhǔn)答案：A知識(shí)點(diǎn)解析：要得到以2為周期的余弦級(jí)數(shù)，f(x)需延拓為以2為周期的偶函數(shù)F(x)．因x=0時(shí)，f(x)連續(xù)，由狄利克雷收斂定理，余弦級(jí)數(shù)在x=0處收斂于F(0)=f(0)=1．故選(A)．4、級(jí)數(shù)()A、收斂B、發(fā)散C、條件收斂D、絕對(duì)收斂標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)un=對(duì)于發(fā)散，故由比較審斂法的極限形式可知發(fā)散．而是單調(diào)遞減數(shù)列，且極限顯然為0．由萊布尼茨定理知，收斂且為條件收斂．5、當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，級(jí)數(shù)的和函數(shù)是()A、ln(1-x)B、C、ln(x-1)D、-ln(x-1)標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：設(shè)S(x)=6、函數(shù)展成余弦級(jí)數(shù)時(shí)，應(yīng)對(duì)f(x)進(jìn)行()A、周期為2l的延拓B、偶延拓C、周期為l的延拓D、奇延拓標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：當(dāng)f(x)在[-l，l]上為偶函數(shù)，且滿足收斂定理的條件時(shí)，則f(x)可在[-l，l]上的連續(xù)區(qū)間上展開成余弦級(jí)數(shù)．故對(duì)[0，l]上的f(x)要進(jìn)行偶延拓．7、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?)A、(-1，1)B、(-1，0)C、[-1，0]D、[-1，0)標(biāo)準(zhǔn)答案：D知識(shí)點(diǎn)解析：因二、填空題(本題共7題，每題1.0分，共7分。)8、冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間(-a，a)內(nèi)的和函數(shù)S(x)為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：記S(x)=9、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_______標(biāo)準(zhǔn)答案：[1，3)知識(shí)點(diǎn)解析：令y=x-2，則可知-1≤x-2<＜1，即1≤x＜3時(shí)原級(jí)數(shù)收斂．10、若將在[0，2]上展開成正弦級(jí)數(shù)，則該級(jí)數(shù)的和函數(shù)S(x)為_______標(biāo)準(zhǔn)答案：S(x)=知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)狄利克雷收斂定理(需進(jìn)行奇延拓)，11、設(shè)的斂散性為__________標(biāo)準(zhǔn)答案：發(fā)散知識(shí)點(diǎn)解析：由發(fā)散．12、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件為其部分和數(shù)列{Sn}________標(biāo)準(zhǔn)答案：有界(或有上界)知識(shí)點(diǎn)解析：級(jí)數(shù)收斂等價(jià)于{Sn}收斂．對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，{Sn}為單調(diào)遞增數(shù)列．由數(shù)列極限存在準(zhǔn)則與數(shù)列收斂的必要條件可知，單調(diào)遞增數(shù)列{Sn}收斂等價(jià)于{Sn}有界(或有上界)．13、冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開______標(biāo)準(zhǔn)答案：[-1，1]知識(shí)點(diǎn)解析：為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，不能通過求R，可用比值審斂法求收斂半徑R．具體為：當(dāng)｜x2｜＜1，即｜x｜＜1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)｜x2｜＞1，即｜x｜＞1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，故R=1．當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)x=-1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，從而收斂區(qū)間為[-1，1]．14、ex展開成x-3的冪級(jí)數(shù)為_________標(biāo)準(zhǔn)答案：(-∞＜x＜+∞)知識(shí)點(diǎn)解析：ex=e3+(x-3)=e3.ex-3，因三、解答題(本題共11題，每題1.0分，共11分。)15、求級(jí)數(shù)的和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：設(shè)又y(0)=1，y’(0)=0．于是得到如下微分方程：特征方程為r2-1=0，r=±1，得通解：y=C1ex+C2e-x．求導(dǎo)，得y’=C1ex-C2e-x．將初值條件代入，解得C1=C2=故知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、設(shè)函數(shù)f(x)是以2π為周期的周期函數(shù)，且f(x)=eax(0≤x＜2π)，其中a≠0，試將f(x)展開成傅里葉級(jí)數(shù)，并求數(shù)值級(jí)數(shù)的和．標(biāo)準(zhǔn)答案：因此，由狄利克雷收斂定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收斂定理知知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析17、判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)顯然，收斂，由比較審斂法得收斂．(2)因收斂．(3)因又因發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)．試證：標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、設(shè)收斂．標(biāo)準(zhǔn)答案：由算術(shù)平均值不小于其幾何平均值得，即數(shù)列{un}有下界1，由此又得un+1-un=，即{un}單調(diào)減少，則根據(jù)單調(diào)有界準(zhǔn)則知極限必存在，由{un}單調(diào)減少知所考慮的級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且有因存在，則由級(jí)數(shù)斂散性的定義知級(jí)數(shù)收斂．于是，由比較審斂法得原正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、試判斷級(jí)數(shù)的斂散性．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于該級(jí)數(shù)的通項(xiàng)，則題給的級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，它可以改寫為因發(fā)散，由比較審斂法知發(fā)散，即題給的級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂．顯然，數(shù)列{｜un｜}滿足，則在x≥2時(shí)，f’(x)=-，故f(x)在[2，+∞)內(nèi)單調(diào)減少，從而數(shù)列{｜un｜}單調(diào)減少，于是，題給的級(jí)數(shù)滿足萊布尼茨定理的條件，故它是收斂的，且是條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、設(shè)(1)求證：若b＞1，則發(fā)散；(2)當(dāng)b=1時(shí)，試舉出可能收斂也可能發(fā)散的例子．標(biāo)準(zhǔn)答案：(1)設(shè)b＞1，任取ε＞0，使得b-ε＞1．因?yàn)橐騜-e＞1，所以收斂．又假設(shè)b＜1，任取ε0，使得b+ε＜1，因?yàn)橹R(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、根據(jù)阿貝爾定理，已知在某點(diǎn)x1(x1≠x0)的斂散性，證明該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑可分為以下三種情況：(1)若在x1處收斂，則收斂半徑R≥｜x1-x0｜；(2)若在x1處發(fā)散，則收斂半徑R≤｜x1-x0｜；(3)若在1處條件收斂，則收斂半徑R=｜x1-x0｜．標(biāo)準(zhǔn)答案：根據(jù)阿貝爾定理，(1)(2)是顯然的．對(duì)于(3)，因冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1處收斂，則R≥｜x-x0｜；另一方面，因冪級(jí)數(shù)在點(diǎn)x1處條件收斂，則R≤｜x1-x0｜．因若不然，則該點(diǎn)是絕對(duì)收斂，而不是條件收斂，這與題設(shè)矛盾，于是，綜合上述兩方面得該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=｜x1-x0｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析23、設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=0處收斂，在x=2b處發(fā)散，求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R與收斂域，并分別求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．標(biāo)準(zhǔn)答案：令t=x-b，收斂中心x0=b的冪級(jí)數(shù)(x-b)n化為收斂中心t0=0的冪級(jí)數(shù)根據(jù)阿貝爾定理可以得到如下結(jié)論：因?yàn)樵趖=-b處收斂，從而當(dāng)｜t｜＜｜-b｜=｜b｜時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．由于t=b處發(fā)散，進(jìn)而當(dāng)｜t｜＞b時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散．由上述兩方面，根據(jù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑的定義即知的收斂半徑R=｜b｜，其收斂域?yàn)?｜b｜≤x＜｜b｜．注意到冪級(jí)數(shù)分別經(jīng)逐項(xiàng)求導(dǎo)和逐項(xiàng)積分所得，根據(jù)冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分所得冪級(jí)數(shù)的收斂半徑不變的性質(zhì)，即知它們的收斂半徑都是R=｜b｜．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析24、將y=sinx展開為的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析25、將f(x)=展開為x+1的冪級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：如果此題這樣做：是行不通的．改用“先積后導(dǎo)”的方法：知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析考研數(shù)學(xué)一（無窮級(jí)數(shù)）模擬試卷第8套一、選擇題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)1、設(shè)常數(shù)α＞2，則級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、斂散性與α有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：C知識(shí)點(diǎn)解析：由于設(shè)常數(shù)p滿足1＜p＜α－1，則有由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法的極限形式知級(jí)數(shù)收斂，進(jìn)而知當(dāng)α＞2時(shí)絕對(duì)收斂，即(C)正確．2、設(shè)a＞0為常數(shù)，則級(jí)數(shù)A、發(fā)散．B、條件收斂．C、絕對(duì)收斂．D、斂散性與a有關(guān)．標(biāo)準(zhǔn)答案：B知識(shí)點(diǎn)解析：用分解法．分解級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)因條件收斂，因此(un+wn)條件收斂．選(B)．二、填空題(本題共2題，每題1.0分，共2分。)3、設(shè)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(－1，1]上定義為則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于___________；標(biāo)準(zhǔn)答案：3／2知識(shí)點(diǎn)解析：根據(jù)收斂定理，f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在x=1處收斂于[f(1－0)+f(－1+0)]=3／2．4、設(shè)函數(shù)f(x)=x2，0≤x＜1，而S(x)=bnsin(nπx)，－∞＜x＜+∞，其中bn=2f(x)sin(nπx)dx，n=1，2，3，…，則S=___________．標(biāo)準(zhǔn)答案：一1／4知識(shí)點(diǎn)解析：由S(x)的形式可知：S(x)是奇函數(shù)．又f(x)在x=連續(xù)，所以三、解答題(本題共26題，每題1.0分，共26分。)5、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)因而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．(Ⅱ)因，而級(jí)數(shù)發(fā)散，故原級(jí)數(shù)發(fā)散．(Ⅲ)使用比值判別法．因＜1，故原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析6、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性，當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí)判定是條件收斂還是絕對(duì)收斂：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于，而級(jí)數(shù)收斂，利用比較判別法即知收斂，所以此級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．(Ⅱ)由于當(dāng)n充分大時(shí)，0＜＞0．所以此級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，這說明原級(jí)數(shù)(n→∞)，所以，級(jí)數(shù)條件收斂．(Ⅲ)注意到因?yàn)閺亩?jí)數(shù)絕對(duì)收斂，但級(jí)數(shù)是條件收斂的，故原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析7、求下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)注意=1，對(duì)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)取絕對(duì)值，并應(yīng)用根值判別法，則當(dāng)＜1．即x＞0時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)＞1．即x＜0時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散(x=－1除外)，因?yàn)橐话沩?xiàng)不是無窮小量；當(dāng)x=0時(shí)，原級(jí)數(shù)為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)．因此，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇0，+∞)．(Ⅱ)使用比值判別法，則有這就說明：當(dāng)｜x｜＞1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，而且絕對(duì)收斂；然而，當(dāng)｜x｜≤1(x≠－1)時(shí)，比值判別法失效．但是，當(dāng)｜x｜＜1時(shí)，=1；當(dāng)x=1時(shí)，un(x)=(n=1，2，…)，都不滿足級(jí)數(shù)收斂的必要條件．所以，級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋黿｜＞1．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析8、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)=3，故收斂半徑R=1／3．當(dāng)x=1／3時(shí)，原冪級(jí)數(shù)為，是一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)；當(dāng)x=－1／3時(shí)，原冪級(jí)數(shù)為的收斂域?yàn)?－1／3，1／3]．(Ⅱ)使用根值法．由于故原級(jí)數(shù)的收斂半徑R=+∞，即收斂區(qū)間也是收斂域?yàn)?－∞，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析9、求冪級(jí)數(shù)的收斂域及其和函數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：容易求得其收斂域?yàn)?－1，1)．為求其和函數(shù)S(x)，在它的收斂區(qū)間(－1，1)內(nèi)先進(jìn)行逐項(xiàng)求導(dǎo)，即得又因?yàn)镾(0)=0，因此注意原級(jí)數(shù)在x=－1處收斂，又ln(1－x)在x=－1處連續(xù)，所以S(x)=－ln(1－x)，x∈[－1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析10、設(shè)f(x)=sinax，－π≤x≤π，a＞0，將其展開為以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)答案：由于f(x)為奇函數(shù)，所以其展開式應(yīng)為正弦級(jí)數(shù)．如果a不是自然數(shù)，則故f(x)=sinax=sinnx．－π＜x＜π，在x=±π時(shí)，右端為0，即其傅里葉級(jí)數(shù)收斂于[sinaπ+sin(－aπ)]=0．當(dāng)a為自然數(shù)時(shí)，根據(jù)三角函數(shù)系的正交性有f(x)=sinax=sinnx，n=a，－π≤x≤π．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析11、判定下列級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)本題可采用比值判別法．由于=所以，當(dāng)p＜e時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)p＞e時(shí)，該級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)p=e時(shí)，比值判別法失效．注意到數(shù)列是單調(diào)遞增趨于e的，所以當(dāng)p=e時(shí)，＞1，即{un}單調(diào)遞增不是無窮小量，所以該級(jí)數(shù)也是發(fā)散的．總之，級(jí)數(shù)當(dāng)p＜e時(shí)收斂，p≥e時(shí)發(fā)散．(Ⅱ)本題適宜采用根值判別法．由于=0，所以原級(jí)數(shù)收斂．這里用到=0．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析12、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)利用比較判別法的極限形式．由于級(jí)數(shù)發(fā)散，而且當(dāng)n→∞時(shí)所以原級(jí)數(shù)也發(fā)散．(Ⅱ)仍利用比較判別法的極限形式．先改寫用泰勒公式確定的階．由于所以收斂．(Ⅲ)注意到0≤收斂，所以原級(jí)數(shù)也收斂．(Ⅳ)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=單調(diào)遞減，所以再采用極限形式的比較判別法，即將=0，所以，級(jí)數(shù)收斂．再由上面導(dǎo)出的不等式0＜un≤，所以原級(jí)數(shù)也收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析13、考察級(jí)數(shù)2，其中an=，p為常數(shù)．(Ⅰ)證明：(n=2，3，4，…)；(Ⅱ)證明：級(jí)數(shù)當(dāng)P＞2時(shí)收斂，當(dāng)P≤2時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)將改寫成(Ⅱ)容易驗(yàn)證比值判別法對(duì)級(jí)數(shù)失效，因此需要用適當(dāng)放大縮小法與比較原理來討論它的斂散性．題(Ⅰ)已給出了{(lán)an}上下界的估計(jì)．由注意當(dāng)p＞2即當(dāng)p＞2時(shí)收斂，當(dāng)p≤2時(shí)發(fā)散．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析14、判別級(jí)數(shù)的斂散性，其中{xn}是單調(diào)遞增而且有界的正數(shù)數(shù)列．標(biāo)準(zhǔn)答案：首先因?yàn)閧xn}是單調(diào)遞增的有界正數(shù)數(shù)列，所以0≤1－現(xiàn)考察原級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列{Sn}，由于又{xn}有界，即｜xn｜≤M(M＞0為常數(shù))，故所以{Sn}也是有界的．由正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件知原級(jí)數(shù)收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析15、判別下列級(jí)數(shù)的斂散性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂)：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于，而且級(jí)數(shù)發(fā)散，所以原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．原級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，易知=0×1=0．為考察的單調(diào)性，令f(x)＞0(當(dāng)x充分大時(shí))這說明級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，所以該級(jí)數(shù)收斂，并且是條件收斂的．(Ⅱ)由于sin(nπ+所以此級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)．又由于=1．而且發(fā)散，這說明原級(jí)數(shù)不是絕對(duì)收斂的．由于sinx在第一象限是單調(diào)遞增函數(shù)，而是單調(diào)減少的，所以，sin隨著n的增加而單調(diào)遞減．又顯然=0，這說明原級(jí)數(shù)滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，從而它是收斂的．結(jié)合前面的討論，知其為條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析16、判別級(jí)數(shù)(p＞0)的收斂性(包括絕對(duì)收斂或條件收斂)．標(biāo)準(zhǔn)答案：為判斷其是否絕對(duì)收斂，采用極限形式的比較判別法，由于所以，當(dāng)p＞1時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；而當(dāng)p≤1時(shí)，該級(jí)數(shù)不絕對(duì)收斂．下面介紹幾種方法討論0＜p≤l時(shí)，是否條件收斂．方法1°考察部分和Sn的極限是否存在．先考慮部分和數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)，即亦即S2n＞，這就說明{S2n}是單調(diào)遞減有下界的，所以其極限存在，設(shè)S2n=S．又由于=S，亦即級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列收斂，所以該級(jí)數(shù)收斂．特別，這說明0n是單調(diào)下降趨于零的．于是，由萊布尼茲判別法知，新級(jí)數(shù)收斂．因?yàn)椤?(n→∞)，所以原級(jí)數(shù)收斂．方法4°用泰勒公式((1+x)α=1+αx+o(x)，x→0)將一般項(xiàng)分解．于是當(dāng)0＜p≤1時(shí)正項(xiàng)級(jí)數(shù)cn收斂(絕對(duì)收斂)．因此原級(jí)數(shù)條件收斂．知識(shí)點(diǎn)解析：對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù)先要討論其是否絕對(duì)收斂．這里un≥un+1不總是成立的，也就是說萊布尼茲判別法的條件不滿足．這樣，當(dāng)其不是絕對(duì)收斂時(shí)，萊布尼茲判別法也不能使用，可考慮直接用定義討論其收斂性或利用收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)．17、判斷如下命題是否正確：設(shè)無窮小un～vn(n→∞)，若級(jí)數(shù)un收斂，則vn也收斂．證明你的判斷．標(biāo)準(zhǔn)答案：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，比較判別法的極限形式就是：un與vn同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散．本題未限定vn一定收斂．比如，取則即un～vn(n→∞)．級(jí)數(shù)un是收斂的，然而級(jí)數(shù)vn是不收斂的．這個(gè)例子說明：對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法的極限形式不能用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的條件收斂性．要注意變號(hào)級(jí)數(shù)與正項(xiàng)級(jí)數(shù)的區(qū)別．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析18、確定下列函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域：標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)使用比較判別法．當(dāng)x≤1時(shí)，由于發(fā)散，而當(dāng)n≥2時(shí)，也發(fā)散．當(dāng)x＞1時(shí)，取p∈(1，x)，由于所以的收斂域?yàn)?1，+∞)．(Ⅱ)當(dāng)x＞0時(shí)，由于滿足萊布尼茲判別法的兩個(gè)條件，因此是收斂的．而當(dāng)x≤0時(shí)，因該級(jí)數(shù)通項(xiàng)不趨于零，所以是發(fā)散的．故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0，+∞)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析19、求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域或收斂區(qū)間：(Ⅰ)xn－1；(Ⅱ)x2n；(Ⅲ)anxn的收斂半徑R=3；(只求收斂區(qū)間)(Ⅳ)an(x－3)n，其中x=0時(shí)收斂，x=6時(shí)發(fā)散．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)xn有相同的收斂半徑，可以用求收斂半徑公式即(11．3)式計(jì)算收斂半徑．首先計(jì)算(Ⅱ)這是缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)即冪級(jí)數(shù)的系數(shù)有無限多個(gè)為0(a2n－1=0，n=1，2，…)，所以不能直接用求收斂半徑公式，求收斂半徑R．一般有兩種方法：方法1°它是函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可直接用根值判別法．由于因此R=方法2°作變量替換t=x2，原級(jí)數(shù)變成tn，對(duì)此級(jí)數(shù)用求收斂半徑R的公式：因此，此級(jí)數(shù)發(fā)散．所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?Ⅲ)，由冪級(jí)數(shù)收斂性的特點(diǎn)知，nan(x－1)n+1與an(x－1)n有相同的收斂半徑R=3．因而其收斂區(qū)間為(－2，4)．(Ⅳ)考察antn，由題設(shè)t=－3時(shí)它收斂收斂半徑R≥3，又t=3時(shí)其發(fā)散R≤3．因此R=3，antn的收斂域是[－3，3)，原級(jí)數(shù)的收斂域是[0，6)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析20、求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)并指出收斂域：(Ⅰ)xn；(Ⅱ)n(n+1)xn．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)為求其和函數(shù)，先進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，使其能夠通過逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)積分等手段變成幾何級(jí)數(shù)求和．設(shè)并令S1(x)=xn，則=－4ln(1－x)，(－1≤x＜1)，(利用ln(1+t)的展開式)所以S(x)=S1(x)－S2(x)+S3(x)=ln(1－x)=ln(1－x)，x∈(－1，1)，x≠0．當(dāng)x=0時(shí)，上面的運(yùn)算不能進(jìn)行，然而從原級(jí)數(shù)看S(0)=a0=1，同時(shí)，也容易看出S(x)==1．這就說明S(x)在x=0處還是連續(xù)的，這一點(diǎn)也正是冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)必須具備的性質(zhì)．(Ⅱ)令S(x)=n(n+1)xn－1=xφ(x)，而于是S(x)=xφ(x)=，x∈(－1，1)．知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析21、將下列函數(shù)展成麥克勞林級(jí)數(shù)并指出展開式成立的區(qū)間：(Ⅰ)ln(1+x+x2)；(Ⅱ)arctan標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)由于ln(1+x+x2)=ln=ln(1－x3)－ln(1－x)，利用公式(11．14)，并分別以(－x3)與(－x)代替其中的x，就有l(wèi)n(1－x3)=，(－1＜－x3≤1即－1≤x＜1)；ln(1－x)=，(－1＜－x≤1即－1≤x＜1)，于是(Ⅱ)由于，利用公式(11．16)，并以x2代替其中的x，就有(－1)nx2n，－1＜x2＜1即－1＜x＜1．上式兩端再進(jìn)行積分，注意到arctanf′(t)dt即得注意函數(shù)arctan在點(diǎn)x=－1處也收斂，從而上式在端點(diǎn)x=－1處也成立．即知識(shí)點(diǎn)解析：暫無解析22、將下列函數(shù)在指定點(diǎn)處展開為泰勒級(jí)數(shù)：(Ⅰ)，在x=1處；(Ⅱ)ln(2x2+x－3)，在x=3處．標(biāo)準(zhǔn)答案：(Ⅰ)f(x)=其中＜1即－1＜x＜3