函數的概念第一課時教學設計 高一上學期數學人教A版（2019）必修第一冊

第一章函數的概念與性質3.1函數的概念及其表示（第1課時）【教學內容】函數的概念?！窘虒W目標】1、學生能通過觀察、辨析具體實例的共同屬性，抽象出用集合的語言刻畫的函數的概念；2、函數的概念及函數的三要素；3、學生能求出一些簡單函數的定義域及具體的函數值；4、通過從實例中抽象概括函數概念的過程，提高抽象概括能力。教學重點：體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型。教學難點：用集合語言與對應關系建立函數概念?！窘虒W過程】（1）引入問題我們在初中已經學習了函數，學習了哪些函數？追問1：回顧初中學習的函數的概念，是怎樣定義的？初中學習的函數的概念是在運動變化過程中給出來的，函數是刻畫變量之間對應關系的數學模型。追問2：函數的表示方法有哪些？（解析法，圖像法，表格法）設計意圖：通過回顧，激活學生的原有知識，了解學生在初中對函數概念的認知程度，讓學生感受函數概念。利用所學的知識，思考以下四個實例中的對應關系是函數嗎？表示方法分別是什么？實例一：某高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內，列車行進的路程S(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關系；實例二：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天如果公司確定的工資標準是每人每天350元，一個工人每周的工資w和他工作天數d的關系；實例三:北京市2016年11月23日的空氣質量指數簡稱AQD變化圖.這一天內任一時刻t的空氣質量指數(AQI)的值I的關系；

實例四：國際上常用恩格爾系數（）反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。表格中恩格爾系數和時間（年）的關系。時間（年）2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數（％）36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57【師生活動】教師拋出問題，請同學來判斷是否是函數關系,學生的判斷過程也是體會運用初中定義的過程。設計意圖：通過具體實例，帶學生復習函數的概念以及函數的的表示方法，為研究函數概念做好鋪墊。（2）創(chuàng)設情境，形成概念提出問題：實例一：某高速列車加速到350km/h后保持勻速運行半小時.這段時間內，列車行進的路程S(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關系為s=350t;問題1：如果有人說:“根據對應關系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km.”你認為這個說法正確嗎?問題2：你認為如何表述S與t的對應關系才能更精確?

【師生活動】教師提出問題讓學生意識到自變量是有范圍的，接著追問“某一范圍”可以用什么來更為準確的描述；“變化過程”是通過什么來展現(xiàn)的。讓學生體會怎么樣用集合語言來描述函數關系。設計意圖：問題(1)是要激發(fā)認知沖突，發(fā)現(xiàn)其中的不嚴謹:讓學生關注到t的變化范圍，通過問題（2）帶領學生一起用集合語言精確表述。本例題具有承上啟下的作用：既是對初中已學的函數概念的進一步深入，又是為下一步用集合的語言刻畫函數概念的本質做好伏筆。實例二：某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，問題3：你能仿照問題1中對S與t的對應關系的精確表示，你能將自變量w與函數值d的對應關系精確表示嗎？追問:實例一和二中函數的對應關系相同，你認為它們是同一個函數嗎?為什么?（不同，解析式一致，但自變量的變化范圍不同，所以是兩個不同函數）總結：對于函數而言，解析式和自變量的變化范圍都是確定函數的要素。

【師生活動】學生閱讀題目后，自主回答，教師總結描述的順序：首先要找到自變量的集合，再找到函數值的集合，最后找到兩個集合對應關系的表示方法.再帶領學生共同表述。

設計意圖:問題3是讓學生模仿問題1的方法給出描述，既讓他們熟悉表述方法，又訓練抽象概括能力.通過追問，使學生進一步關注到定義域、值域問題.實例三:圖1是北京市2016年11月23日的空氣質量指數(AirQualityIndex,簡稱AQI變化圖.問題4：如何根據圖像確定這一天內任一時刻t的空氣質量指數(AQI)的值I?你能找到中午12時的AQI的值嗎?問題5：仿照實例一二，請用集合的語言精確表示自變量t和函數值I的對應關系。追問：對于數集={t|10≤t≤24}中的任意一個值t，你會用什么方法尋找此時對應的I值?【師生活動】給學生適當時間閱讀思考.請學生回答上述問題4，發(fā)現(xiàn)圖像上只能得到I的估計值，從而在問題5中描述空氣質量指數I的集合時，根據圖像不能確定一個準確范圍，產生認知沖突，設置懸念，激起學生的好奇心。在追問的基礎上，教師閘釋:因為對于數集={t|10≤t≤24}中的任意一個值t，都有唯一確定的AQI的值與之對應，還可以斷定I的取值范圍也是確定的，不過從圖中我們不能確定這個范圍.如果我們設I的取值范圍為C，那么從圖中可以確定，C={I|0<I<150).這樣，我們可以把I與t的對應關系描述為:對于數集A3中的任一時刻t，按照圖1中曲線所給定對應關系，在數集中都有唯一確定的AQI的值I與之對應，因此I是t的函數.總結：當函數值的取值范圍不能完全確定時，可以引入一個較大范圍的集合，使函數值落入其中，所以函數值的集合C是的子集。

設計意圖:問題(1)讓學生會看圖，并且發(fā)現(xiàn)每一個空氣質量指數I的準確值不能確定。根據圖象描述對應關系有困難，通過引入一個較大范圍的集合，使函數值“落入其中”，這是學生經驗中不具備的。通過教師講解，給出對應關系的描述方法，從而化解難點，只要學生能夠理解了是t的函數，并能夠接受這種描述方式就可以了。實例四：國際上常用恩格爾系數（）反映一個國家人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高。下表給出我國城鎮(zhèn)居民恩格爾系數變化情況。時間（年）2006200720082009201020112012201320142015恩格爾系數（％）36.6936.8138.1735.6935.1533.5333.8729.8929.3528.57問題6：請用集合的語言描述時間t和恩格爾系數r的取值情況。追問1：我們該如何記錄這個對應關系呢？追問2：將寫成你認為有可以嗎？為什么？【師生活動】經過學生思考、提出意見后統(tǒng)一認識：用表格記錄這個對應關系。加強前面問題3中函數值的集合C是的子集的認識。設計意圖：本例題從生活中的經濟問題出發(fā)，通過學生思考、探索，進一步認識到對應關系也可以用表格來記錄。問題7：分析這三個實例，它們有哪些共同特征？由此概況出函數的本質特征。共同特征：①都有兩個非空數集A，B；②兩個數集之間都有一種確定的對應關系；③對于數集A中的每一個x，按照某種對應關系f在數集B中都有唯一確定的y值和它對應.【師生活動】讓學生分組討論，歸納總計，提煉函數的共同特征，對函數的概念達成共識。設計意圖：從特殊到一般，歸納得出三個案例的共同屬性：對集合的每一個數，在集合中都有唯一確定的一個數與它對應，即集合到集合有一種對應。比較三個案例，體會用解析式、圖像、表格刻畫變量之間的對應關系，讓學生感受從本質上本節(jié)課學習的函數概念和初中函數的概念是一致的，但初中是用兩個變量間的依賴關系描述函數，而高中是用兩個集合元素之間的對應關系來描述函數概念，讓學生體驗數學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程。這樣做，不僅符合學生的認知規(guī)律，而且符合“先過程后對象”的認知順序?！艚⒑瘮蹈拍睿涸O是非空的數集，如果按照某種確定的對應關系，使對于集合中的任意一個數，在集合中都有唯一確定的數和它對應，那么就稱為從集合到集合的一個函數，記作其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數的定義域；與的值相對應的值叫做函數值，函數值的集合叫做函數的值域。設計意圖：數學中的概念通常是用符號來表示的。學生總結三個實例的共同屬性，能夠認識到函數的本質，這時及時地引進數學符號，不僅可以引導學生把符號和它所代表的實質內容聯(lián)系起來，使學生在看到符號時就能夠聯(lián)想起符號所代表的本質特征，從而可以提高學生的抽象能力、概括能力。質疑解惑，剖析概念問題8：那么我們這節(jié)課學習的函數的概念是一個整體中，由哪些部分組成？總結：函數構成三要素：定義域、對應關系、值域設計意圖：由學生指出概念中的關鍵詞，說出三個案例的具體函數值，從抽象到具體，從一般到特殊，挖掘背后的思維過程，暴露學生對函數概念的本質的理解情況。我們用集合語言和對應關系刻畫了函數，請用函數的定義重新認識一次函數、二次函數與反比例函數.【師生活動】讓學生完成填表，并用集合和對應的的語言描述反比例函數。設計意圖：讓學生填表，引導學生用新定義重新認識已學的函數，加深對函數概念的理解。問題9：課本P63練習1：一枚炮彈發(fā)射后，經過26s落到地面擊中目標，炮彈的射高為845米，且炮彈距地面的高度隨時間變化的規(guī)律是：求該函數的定義域和值域，并用函數的定義描述這個函數?！編熒顒印坑蓪W生獨立完成，加深對函數概念的理解。設計意圖：讓學生完成，既加深對函數概念的理解又檢驗了本節(jié)課的上課效果。（4）總結反思，提高認識今天，我們在初中函數定義的基礎上，運用集合與對應的語言重新刻畫了函數，回顧一下本節(jié)課我們共同學習了哪些知識？課堂小結：（1）什么是函數？其三要素是什么？（2）対于對應關系f你有哪些認識？（3）與初中學習過的函數概念相比，你對函數又有什么新的認識？設計意圖：由學生完成總結和提升，鞏固函數概念，加深學生對概念的理解。（5）作業(yè)設計：教材63頁練習第1題，64頁第2,3題。【目標檢測題】對于函數y=f①對于每一個自變量x，都存在唯一確定的y與之對應；②對于不同的x，y的值也不同；③f(a)表示當④fA.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】解：①、由函數的定義知，故①正確；

②、不一定成立，如常函數y=f(x)=0，故②不正確；

③、由函數值的定義知，f(a)表示當x=a時函數f(x)的值，是一個確定的值，故③正確；已知A={x|0≤x≤2}，B={y|1≤A. B.

C. D.【答案】B

【解析】解：A是函數圖象，其值域為[0,2]，故不符合題意；

B是函數的圖象，定義域為[0,2]，值域為[1,2]，故符合題意；

C是函數圖象，值域為{1,2}，故不符合題意；

D是函數圖象，值域為{1,2}，故不符合題意．

故選B．函數y=(x-2)【答案】{x|-2≤【解析】【解答】解：要使函數y=(x-2)0解得-2≤x<2且x≠±1，

故函數y=(若已知函數fx=x2+ax+1的定義域為R，則實數【答案】[-2,2]【解析】解：由題意得：x2+ax+1≥0恒成立，故△=a2-4≤0，已知二次函數f(x)滿足f(x+1)-f(x)=2x且f(0)=1．

(Ⅰ)求f【答案】解：(Ⅰ)設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

∵f(0)=1，∴c=1，∴f(x)=ax2+bx+1；

又∵f(x+1)-f(x)=[a(x+1)2+已知函數f((1)求f(2)與f12，f(2)由(1)中求得的結果，你能發(fā)現(xiàn)f(x)【答案】解：(1)由f(所以f2=1-122+1=45，(2)由(1)中發(fā)現(xiàn)f(證明：f(答疑一、教學重難點：1、教學重點：體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型。2、教學難點：用集合語言與對應關系建立函數概念?！纠}1】2020年11月2日8時至次日8時（次日的時間前加0表示）北京的溫度走勢如圖所示.（1）求對應關系為圖中曲線的函數的定義域與值域；（2）根據圖象，求這一天12時所對應的溫度.【答案】（1）定義域為，值域為；（2）.【分析】（1）由圖可知，定義域為時間，值域為溫度；（2）根據圖象，12時位于11時至14時對應的直線段上，由此計算12時所對應的溫度.【詳解】（1）由圖可知，設從今日8點起24小時內，經過時間t的溫度為，則定義域為，值域為.（2）由圖知，11時的溫度為，14時的溫度為，12時的溫度約為.【點睛】本題考查函數圖象與性質，通過函數圖象確定函數定義域、值域、特殊點函數值，屬于基礎題.【例題2】函數的解析式是舍棄問題的實際背景而抽象出來的，它所反映的兩個量之間的對應關系，可以廣泛地用于刻畫一類事物中的變量關系和規(guī)律.例如，正比例函數可以用來刻畫勻速運動中路程與時間的關系、一定密度的物體的質量與體積的關系、圓的周長與半徑的關系等.試構建一個問題情境，使其中的變量關系可以用解析式來描述.【答案】見解析.【解析】把看成二次函數，確定它的定義域、值域，如果對x的取值范圍作出限制，例如，那么可以構建如下情境:長方形的周長為20，設一邊長為x，面積為y，那么，從而對應關系把每一個長方形的邊長x，對應到唯一確定的面積【詳解】把看成二次函數，那么它的定義域是R，值域是.對應關系把R中的任意一個數x，對應到B中唯一確定的數.如果對x的取值范圍作出限制，例如，那么可以構建如下情境:長方形的周長為20，設一邊長為x，面積為y，那么.其中，x的取值范圍是，y的取值范圍是.對應關系把每一個長方形的邊長x，對應到唯一確定的面積.【點睛】本題考查兩個變量函數關系表達式的實際應用，利用解析式，確定變量關系和規(guī)律，聯(lián)系實際背景找出實際問題即可，熟練掌握函數的定義是關鍵，拓展思維、聯(lián)系實際是考查應用能力，屬于基礎題.二、思想方法：函數在高中數學中占有很重要的比重，因而作為函數的第一節(jié)內容，主要從三個實例出發(fā)，引出函數的概念.從而就函數概念的分析判斷函數，求定義域和函數值，再結合三要素判斷函數相等.本節(jié)內容充分體現(xiàn)了函數思想的運用。另外，在研究函數時，要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，注重數形結合思想的滲透與培養(yǎng)。【例題3】下列選項中(橫軸表示x軸,縱軸表示y軸),表示y是x的函數的是()【答案】D解題技巧：（判斷是否為函數）1.（圖形判斷）y是x的函數,則函數圖象與垂直于x軸的直線至多有一個交點.若有兩個或兩個以上的交點,則不符合函數的定義,所對應圖象不是函數圖象.2.（對應關系判斷）對應關系是“一對一”或“多對一”的是函數關系；“一對多”的不是函數關系.【例題4】判斷下列各組中的函數是否為同一個函數，并說明理由：（1）表示炮彈飛行高度h與時間t關系的函數和二次函數；（2）和.【答案】（1）不相等，理由見解析；（2）不相等，理由見解析.【分析】分別判斷函數定義域和對應法則是否相同，相同則為同一函數，不同則不是同一函數.【詳解】（1）不相等，前者的定義域為，而后者的定義域為R.（2）不相等，前者的定義域為R，而后者的定義域為.【點睛】本題考查判斷兩個函數是否為同一函數，兩個函數當且僅當定義域和對應法則相同時，是相同函數，如果定義域、值域、對應法則有一個不同，函數就不同，注意中，屬于基礎題.三、核心素養(yǎng)：在函數概念的第一課時中，通過教材中四個實例總結函數定義，體現(xiàn)的是數學抽象過程；相等函數的判斷是邏輯推理過程；求函數定義域和求函數值