浙江省溫州市溫州中學2024-2025學年高一新生暑期綜合素質測數(shù)學試卷（解析版）

2024級新生暑期綜合素質測試卷（數(shù)學）試卷說明：1.試卷分值：100分；建議時長：90分鐘；2.請將答案正確填寫到相應的答題區(qū)域.一、單選題：本題共8小題，共32分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，那么集合等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集運算的定義求解即可.【詳解】因為集合A和集合B沒有公共元素，故.故選：D2.下圖中可表示函數(shù)的圖象是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義即可得解.【詳解】根據(jù)函數(shù)定義可知一個只能對應一個值，故答案為B.故選：B.3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在上單調遞減的函數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】AC選項為偶函數(shù)，B選項滿足要求，D選項不滿足單調性.【詳解】A選項，的定義域為，故，故為偶函數(shù)，A錯誤；B選項，畫出的圖象，滿足既是奇函數(shù)又在0,+∞上單調遞減，B正確；C選項，的定義域為R，且，故為偶函數(shù)，C錯誤；D選項，在0,+∞上單調遞增，D錯誤.故選：B4.“黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”是我國唐代著名詩人王昌齡的《從軍行》中的兩句詩，描寫了當時戰(zhàn)事的艱苦以及戍邊將士的豪情壯志，從邏輯學的角度看，最后一句中，“破樓蘭”是“終還”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可；【詳解】解：“破樓蘭”不一定“終還”，但“終還”一定是“破樓蘭”，由充分條件和必要條件的定義判斷可得“攻破樓蘭”是“返回家鄉(xiāng)”必要不充分條件，故選：．5.已知不等式的解集為，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的對應關系可求得，且，代入解不等式即可求出結果.【詳解】根據(jù)題意可知和1是方程的兩實數(shù)根，且由韋達定理可知，解得；所以不等式可化為，即；解得，所以不等式的解集為故選：C6.關于的一元二次方程的兩實數(shù)根、，滿足，則的值是（）A. B. C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】利用韋達定理結合判別式求出實數(shù)的值，再結合韋達定理可求得的值.【詳解】由題意可知，可得，由韋達定理可得，因為，則，原方程為，所以，，故，因此，.故選：B.7.如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點P是BD上的一個動點，過點P作EFAC，分別交正方形的兩條邊于點E，F(xiàn)，連接OE，OF，設BP=x，OEF的面積為y，則能大致反映y與x之間的函數(shù)關系的圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】分點在上和點在上兩種情況討論，由面積公式可求與的函數(shù)關系，即可求解．【詳解】解：當點在上時，四邊形是正方形，邊長為2，，，，，，，，，，，，，，，，當點在上時，同理可得：，，故選：B8.若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分離變量將問題轉化為對于任意實數(shù)恒成立，進而求出的最大值，設及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設，則，再設，則，當且僅當時取得“=”.所以，即實數(shù)a的最小值為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，共16分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得4分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若．且，則下列不等式恒成立是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】結合基本不等式對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】，當且僅當時等號成立，則或，則，即AB錯誤，D正確.對于C選項，，C選項正確.故選：CD10.對于實數(shù)，下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，，則【答案】BD【解析】【分析】A特殊值法判斷；B由結合不等式性質判斷；C作差法判斷；D由或時的大小情況判斷.【詳解】A：當時，不成立，錯誤；B：由，有，則，正確；C：由，則，錯誤；D：若或，有，與題設矛盾，故，正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則下列結論正確的是（）A.關于x的不等式的解集可以是B.關于x的不等式的解集可以是C.函數(shù)上可以有兩個零點D.“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】【分析】解含參的一元二次不等式判斷A,B,根據(jù)含參的一元二次不等式解集得出參數(shù)范圍判斷C,D.【詳解】對A，若不等式的解集是，則且，得，而當，時，不等式，即，得，與矛盾，故A錯誤；對B，取，，此時不等式的解集為，故B正確；對C，取，，則由，得或3，故C正確；對D，若關于x的方程有一個正根和一個負根，則，得，若，則，故關于x的方程有兩個不等的實根，，且，關于x的方程有一個正根和一個負根.因此“關于x的方程有一個正根和一個負根”的充要條件是“”，故D正確.故選：BCD.12.已知二次函數(shù)（為常數(shù)），當時，的最大值是，則的值是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】分、、三種情況討論，分析二次函數(shù)在時的增減性，結合的最大值是可求得實數(shù)的值.【詳解】二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線.①當時，即當時，當時，隨著的增大而減小，當時，取得最大值，即，解得，合乎題意；②當時，即當時，當時，取得最大值，即，即，解得或（舍）；③當時，即當時，當時，隨著的增大而增大，當時，取得最大值，即，解得（舍）.綜上所述，或.故選：AC.三、填空題：本題共4小題，共16分13.用列舉法表示集合為：___________.【答案】【解析】【分析】對、的符號進行分類討論，求出的值，即可得出所求集合.【詳解】分以下幾種情況討論：①當，時，；②當，時，；③當，時，；④當，時，.綜上所述，.故答案為：.14.分解因式__________．【答案】【解析】【分析】通過拆項，結合分組分解法，提公因式法，完全平方公式分解因式即可.【詳解】故答案為：.15.若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍是_____________.【答案】【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域為,轉化為恒成立,然后通過分類討論和兩種情況分別求得a的取值范圍，可得解.【詳解】的定義域為，是使在實數(shù)集上恒成立.若時,要使恒成立,則有且,即,解得.若時，化為，恒成立，所以滿足題意，所以故答案為：.16.設函數(shù)，當時，恒有成立，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】將化為，和比較系數(shù)，求得x的值，結合恒成立，即可求得答案.【詳解】由題意得，令，解得或，當時，，即，當時，，則，驗證：時，，，即時，取到最小值，故答案為：四、解答題：本題共3小題，共36分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.集合，．（1）若，求；（2）若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化簡，根據(jù)補集和交集的概念可求出結果；（2）分類討論，根據(jù)子集關系列式可求出結果.【小問1詳解】若，則，由得，得，則，所以或.【小問2詳解】因為，所以，當時，，得，此時滿足；當時，，解得，綜上所述：a的取值范圍為.18.某視頻設備生產(chǎn)廠商計劃引進一款新型器材用于產(chǎn)品生產(chǎn)，以提高整體效益.通過市場分析，每月需投入固定成本5000元，每月生產(chǎn)臺該設備另需投入成本元，且，若每臺設備售價1000元，且當月生產(chǎn)的視頻設備該月內能全部售完.（1）求廠商由該設備所獲的月利潤關于月產(chǎn)量臺的函數(shù)關系式；（利潤＝銷售額－成本）（2）當月產(chǎn)量為多少臺時，制造商由該設備所獲得的月利潤最大？并求出最大月利潤.【答案】（1）（2）當時，獲得增加的利潤最大，且增加的最大利潤為4000元【解析】【分析】（1）分和時兩種情況，利用利潤＝銷售額－成本列式即可；（2）利用二次函數(shù)求時最大值，利用基本不等式求時的最大值，取最大即可.【小問1詳解】當時，；當時，．【小問2詳解】當時，，當時，．當時，，當且僅當，即時，．當時，獲得增加的利潤最大，且增加的最大利潤為4000元19.已知函數(shù)，，.（1）若為偶函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）對任意的，都存在使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用偶函數(shù)的性即可求得參數(shù)的值；（2）根據(jù)題意得到，先利用絕對值不等式得到，再構造，通過一系列的分類討論與整合，結合二次函數(shù)的性質求得，從而求得的取值范圍.【小問1詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即，因為，所以，所以，因為，所以，解得，當時，得，由于不恒為，故不滿足題意；當時，得；經(jīng)檢驗，當時，，所以，易知的定義域為，關于原點對稱，又易得，所以為偶函數(shù)，綜上：.【小問2詳解】因為對任意的，都存在使得，所以，因為，所以，則，令，則，，當時，，則開口向上，對稱軸，當，即時，在上單調遞增，則；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，則；當時，，則開口向上，對稱軸為，當，即時，在上單調遞減，則；當，即時，在上單調遞減，在上單調遞增，則；綜上：當時，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞增，故；當時，在上單調遞減，在上單調遞減，在上