江蘇省蘇州市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題含解析

PAGE18-江蘇省蘇州市第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題（含解析）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分）1.復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位）的虛部是()A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：干脆利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡后得到答案.詳解：因?yàn)?，所以其虛部為，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的虛部的概念，肯定要留意復(fù)數(shù)的虛部是的系數(shù).2.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和求導(dǎo)法則推斷．【詳解】，，,，只有B正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．3.設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，則|x＋yi|＝（）A.1 B.C. D.2【答案】B【解析】【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)相等的條件可得x＝y(tǒng)＝1，再由復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，x，y是實(shí)數(shù)，所以x＝y(tǒng)＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)相等的條件及復(fù)數(shù)模的求解，考查了運(yùn)算求解實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.五名學(xué)生和五名老師站成一排照相，五名老師不能相鄰的排法有（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】5名學(xué)生先排好隊(duì)，然后5名老師插入6個(gè)空檔即可得．【詳解】由題意五名老師不能相鄰用插空法，排法數(shù)為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查排列的應(yīng)用，考查相鄰與不相鄰問題的排列方法：相鄰元素用捆綁法，不相鄰元素用插空法．5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由原函數(shù)圖象可知在上先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；可確定出導(dǎo)函數(shù)在每個(gè)區(qū)間是大于零，還是小于零，分析各個(gè)選項(xiàng)中的圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由的圖象可知：在先單調(diào)遞增，后單調(diào)遞減，再單調(diào)遞增，而在上單調(diào)遞減，故在區(qū)間上先大于0，后小于0，再大于0，在上恒小于0.分析選項(xiàng)中各個(gè)圖象，只有選項(xiàng)符合，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查原函數(shù)圖象與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.原函數(shù)在區(qū)間上遞增，則導(dǎo)函數(shù)圖象在軸上方，原函數(shù)在區(qū)間上遞減，則導(dǎo)函數(shù)圖象在下方.6.正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與平面所成角的正切值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以平面，所以是與平面所成的角，設(shè)正方體的棱長為，則，所以與平面所成的角的正切值為.故選：D.考點(diǎn)：直線與平面所成的角.7.一臺(tái)型號(hào)自動(dòng)機(jī)床在一小時(shí)內(nèi)不須要工人照看的概率為0.8，有4臺(tái)這種型號(hào)的自動(dòng)機(jī)床各自獨(dú)立工作，則在一小時(shí)內(nèi)至多2臺(tái)機(jī)床須要工人照看的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)在一個(gè)小時(shí)內(nèi)有ξ臺(tái)機(jī)床須要工人照看，則ξ～B(4,0.2)，所以P(ξ≤2)＝(0.8)4＋(0.8)3×0.2＋(0.8)2×(0.2)2＝0.9728.故選D8.函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)定義域，求出導(dǎo)函數(shù)，由在定義域內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合一元二次方程根的分布學(xué)問可得．【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，∵函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴在上有兩個(gè)不等的實(shí)根，∴，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的極值點(diǎn)問題，解題關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程在函數(shù)定義域內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分）（每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得3分，不選或有選錯(cuò)的得0分）9.在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門．學(xué)生依據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長愛好，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學(xué)、生物4門科目中選擇2門，考試成果計(jì)入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄用的依據(jù)．某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（）A.若隨意選科，選法總數(shù)為B.若化學(xué)必選，選法總數(shù)為C.若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為D.若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為【答案】BD【解析】【分析】依據(jù)排列組合學(xué)問對各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行推斷．【詳解】若隨意選科，選法總數(shù)為，A錯(cuò)；若化學(xué)必選，選法總數(shù)為，B正確；若政治和地理至少選一門，選法總數(shù)為，C錯(cuò)；若物理必選，化學(xué)、生物至少選一門，選法總數(shù)為，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是確定完成選科這個(gè)事務(wù)的方法，是分類完成還是分步完成．10.下列說法中，正確的命題是（）A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于B.，C.已知隨機(jī)變聽從正態(tài)分布，，則D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回來方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則、的值分別是和【答案】AD【解析】【分析】利用相關(guān)系數(shù)與線性相關(guān)程度的關(guān)系可推斷A選項(xiàng)的正誤；利用期望和方差的性質(zhì)可推斷B選項(xiàng)的正誤；利用正態(tài)分布的性質(zhì)可推斷C選項(xiàng)的正誤；利用對數(shù)的運(yùn)算可推斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】對于A選項(xiàng)，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的肯定值越接近于，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，由期望和方差的性質(zhì)可得，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，已知隨機(jī)變聽從正態(tài)分布，，則，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，在等式兩邊取對數(shù)得，即，，解得，D選項(xiàng)正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)相關(guān)命題正誤的推斷，考查了相關(guān)系數(shù)、期望和方差的性質(zhì)、正態(tài)分布以及非線性回來，考查推理實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.11.已知不等式對隨意的恒成立，則滿足條件的整數(shù)的可能值為（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】令，則.，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，.因此，滿足條件的整數(shù)的可能值為、.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求解參數(shù)的可能取值，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.12.已知（其中）的綻開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列．則下列結(jié)論正確的是（）A.n的值為14 B.綻開式中常數(shù)項(xiàng)為第8項(xiàng)C.綻開式中有理項(xiàng)有3項(xiàng) D.二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第7項(xiàng)【答案】AC【解析】【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列求出，再依據(jù)二項(xiàng)式定理推斷．【詳解】由題意，化簡得，∵，∴．A正確；綻開式通項(xiàng)為，明顯其中無常數(shù)項(xiàng)，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，為整數(shù)，因此綻開式中有3項(xiàng)為有理項(xiàng)，C正確；綻開式有15項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng)，D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，駕馭二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分）13.計(jì)算的值為__________．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】利用組合數(shù)的基本性質(zhì)和排列數(shù)的定義計(jì)算可得出結(jié)果.【詳解】由組合數(shù)基本性質(zhì)可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)與組合數(shù)的混合運(yùn)算，考查組合數(shù)的基本性質(zhì)以及排列數(shù)定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的誕生年份對應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種．現(xiàn)有十二生肖的祥瑞物各一個(gè)，三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜愛牛和馬，乙同學(xué)喜愛牛、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)祥瑞物都喜愛．假如讓三位同學(xué)選取的禮物都滿足，則選法有________種．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】本題首先可以依據(jù)題意按甲同學(xué)選擇的兩種不同的狀況進(jìn)行探討，然后確定乙、丙的選法數(shù)目，最終確定每一種狀況下的選法數(shù)目并相加即可得出結(jié)果.【詳解】若甲同學(xué)選擇牛，則乙有種選法，丙有種選法，選法有種；若甲同學(xué)選擇馬，則乙有種選法，丙有種選法，選法有種，故共有種選法，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合，依據(jù)題意分狀況進(jìn)行探討是解決本題的關(guān)鍵，考查分類加法計(jì)數(shù)原理，考查計(jì)算實(shí)力與推理實(shí)力，是簡潔題.15.寒假里名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購票，每人一座，恰在同一排、、、、五個(gè)座位（一排共五個(gè)座位），上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，共有_______種不同的坐法，其中恰有一人坐對與自己車票相符座位的概率為___________．（用數(shù)字作答）【答案】(1).(2).【解析】【分析】依據(jù)排列數(shù)的定義可得出上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐的坐法種數(shù)，然后假設(shè)坐對與自己車票相符的座位，列舉出其他同學(xué)沒有坐對與自己車票相符座位的基本領(lǐng)件，進(jìn)而可計(jì)算出事務(wù)“恰有一人坐對與自己車票相符座位”的概率.【詳解】由題意可知，上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，坐法種數(shù)為種.假設(shè)坐對自己的位置，其他四人沒有坐對與自己車票相符座位所包含的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、，共種，因此，恰有一人坐對與自己車票相符座位的概率為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查排列數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)也考查了古典概型概率的計(jì)算，考查計(jì)算實(shí)力，屬于中等題.16.直線與直線和曲線分別相交于兩點(diǎn)，則的最小值_____．【答案】2【解析】分析】通過圖像可以推斷出，與的交點(diǎn)在與的交點(diǎn)的左邊，求出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后做差，得到關(guān)于的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，【詳解】如圖，設(shè)直線與交點(diǎn)為,直線與的交點(diǎn)為,則在的左側(cè)，則，所以設(shè)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得微小值，也是最小值，故的最小值為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像與解析式的結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，將線段長度表示為函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，綜合性比較強(qiáng)，屬于難題.四、解答題（本大題共6小題，共計(jì)70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知復(fù)數(shù)，且為實(shí)數(shù)．（1）求x的值；（2）若是純虛數(shù)，且，求復(fù)數(shù)．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）計(jì)算，再由復(fù)數(shù)的分類求解；（2）設(shè)代入計(jì)算．【詳解】（1）由已知，它是實(shí)數(shù)，則，；（2）設(shè)，則，它是純虛數(shù)，則，∴，，即，∴是實(shí)數(shù)，∴，解得或或（舍去），∴或．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的分類，涉及到復(fù)數(shù)分類問題時(shí)可設(shè)，代入計(jì)算，再由復(fù)數(shù)分類得出結(jié)論．18.已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求的值；（2）求在上的最大值．【答案】（1），；（2）13【解析】【分析】(1)依題意，由，得到，再由，得到，聯(lián)立方程組，即可求解；(2)由(1)，求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求得函數(shù)的最大值，得到答案．【詳解】(1)依題意可知點(diǎn)為切點(diǎn)，代入切線方程可得，，所以，即，又由，則，而由切線的斜率可知，∴，即，由，解得，∴，．(2)由(1)知，則，令，得或，當(dāng)改變時(shí)，，的改變狀況如下表：－3－21＋0－0＋8↗極大值↘微小值↗4∴的極大值為，微小值為，又，，所以函數(shù)在上的最大值為13．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解參數(shù)問題，以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值問題，其中解答中熟記導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值）之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算實(shí)力．19.甲、乙兩個(gè)班進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，依據(jù)考試成果大于等于分為優(yōu)秀，分以下為非優(yōu)秀進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表．已知甲、乙兩個(gè)班共有人從中隨機(jī)抽取人，其考試成果為優(yōu)秀的概率為.優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班乙班總計(jì)（1）請完成表格；（2）依據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分析能否有的把握認(rèn)為成果與班級(jí)有關(guān)系；（3）按下面的方法從甲班考試成果優(yōu)秀的學(xué)生中抽取人：把甲班考試成果優(yōu)秀的名學(xué)生從到進(jìn)行編號(hào)，先后兩次拋擲一枚勻稱的骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取人的序號(hào)，且規(guī)定點(diǎn)數(shù)之和為時(shí)抽取人序號(hào)為．試求抽到或號(hào)的概率．公式與臨界值表：.【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）計(jì)算出兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀人數(shù)，即可完善列聯(lián)表；（2）計(jì)算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論；（3）計(jì)算出全部基本領(lǐng)件數(shù)，并列舉出事務(wù)“抽到或號(hào)”所包含的基本領(lǐng)件，理由古典概型的概率公式可求得所求事務(wù)的概率.【詳解】（1）由題意可知，兩個(gè)班級(jí)的優(yōu)秀人數(shù)為，列聯(lián)表如下表所示：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)甲班乙班總計(jì)，因此，有的把握認(rèn)為成果與班級(jí)有關(guān)系；（3）全部的基本領(lǐng)件數(shù)為，事務(wù)“抽到或號(hào)”所包含的基本領(lǐng)件有：、、、、、、、、，共個(gè)，因此，所求概率為.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用，同時(shí)也考查了利用古典概型的概率公式計(jì)算事務(wù)的概率，考查數(shù)據(jù)分析實(shí)力與計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.20.已知，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）若n為偶數(shù)，求的值．【答案】（1）二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)為，系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)為；（2）．【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)求解，由二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式得各項(xiàng)系數(shù)，由第項(xiàng)系數(shù)不小于前后兩項(xiàng)系數(shù)可得系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）先求出，在綻開式中令和后可得奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和然后可得結(jié)論．【詳解】（1）中時(shí)，綻開式中有7項(xiàng)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，此項(xiàng)為，又，設(shè)第項(xiàng)系數(shù)最大，則，解得，∴，即第5項(xiàng)系數(shù)最大，第5項(xiàng)為；二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)為，系數(shù)最大的項(xiàng)是第5項(xiàng)為；（2）首先，記，則，，所以，所以．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，駕馭二項(xiàng)式定理是解題關(guān)鍵．賦值法是求二項(xiàng)綻開式中某些項(xiàng)系數(shù)和常用方法．21.盒內(nèi)有大小相同的9個(gè)球，其中2個(gè)紅色球，3個(gè)白色球，4個(gè)黑色球.規(guī)定取出1個(gè)紅色球得1分，取出1個(gè)白色球得0分，取出1個(gè)黑色球得－1分.現(xiàn)從盒內(nèi)任取3個(gè)球（Ⅰ）求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率；（Ⅱ）求取出的3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）設(shè)為取出的3個(gè)球中白色球的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)；(Ⅲ)答案見解析.【解析】本領(lǐng)主要是考查了概率的性質(zhì)和分布列的期望值的求解的綜合運(yùn)用．（Ⅰ）可以求其反面，一個(gè)紅球都沒有，求出其概率，然后求取出的3個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率，從而求解；（Ⅱ）可以記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事務(wù)B，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事務(wù)C，求出事務(wù)B和C的概率，從而求出3個(gè)球得分之和恰為1分的概率；（Ⅲ）ξ可能的取值為0，1，2，3，分別求出其概率，然后再依據(jù)期望的公式進(jìn)行求解；（Ⅰ）…………..3分（Ⅱ）記“取出1個(gè)紅色球，2個(gè)白色球”為事務(wù)，“取出2個(gè)紅色球，1個(gè)黑色球”為事務(wù)，則.…………..6分（Ⅲ）可能的