自考線性代數(shù)歷年真題

2009年7月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)?命題考試

線性代數(shù)試題

課程代碼：02198

試卷說明：在本卷中，/T表示矩陣/的轉(zhuǎn)置矩陣；/表示/的伴隨矩陣；RU）表示矩陣

N的秩；⑷表示N的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括

號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)4B,C為同階方陣，下面矩陣的運(yùn)算中不感辛的是（）

A.(.A+B)T=AT+BTB.\AB\=\A\\B\

C.A(B+C)=BA+CAD.(AB)T=BTAT

2.已知=()

A.B.

C.-6D.12

3.若矩陣力可逆，則下列等式成立的是（)

A=-^—A*

A.B.⑷=0

Ml

C.U2)d=(T)2D.(3Z)/=34]

41

31-202-1

4.若力=，B=-23，則下列矩陣運(yùn)算的結(jié)果為3X2的矩

1523

21-12

陣的是（)

A.ABCB.ACTBT

C.CBAD.CTBTAT

5.設(shè)有向量組/：其中。1，a2,G3線性無關(guān)，則（)

A.ai,a3線性無關(guān)B.a1,a2，a3,a4線性無關(guān)

C.Qi，a2,a3,a4線性相關(guān)D.a2，Q3，Q4線性無關(guān)

6.若四階方陣的秩為3,則（)

A.A為可逆陣B.齊次方程組有非零解

C.齊次方程組Zx=0只有零解D.非齊次方程組ZA力必有解

O)O

-22

0-0

7.已知方陣Z與對(duì)角陣5=OO)相似，則/=（)

-2

A.-64￡B.-E

C.4ED.64￡

8.下列矩陣是正交矩陣的是（）

-

lo

oOrion

oB

A..-七110

<01U

。

fV2]_

3一

26百

V6

cos。-sin。D.03

-sin0cos06

石

V2Vw

3

2—

9.二次型戶為實(shí)對(duì)稱陣）正定的充要條件是（）

A.A可逆B.⑷>0

C.A的特征值之和大于0D.4的特征值全部大于0

k00

10.設(shè)矩陣N=0k-2正定，則（）

0-24

A.*>0B.g0

C.k>lD.后1

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.設(shè)4=（I,3,-1）,B=（2,1）,則/%=.

210

12.若131=0,則A=.

k21

13.若ad￥bc,A=二’,貝lJ/=.

14.已知1-248E=0,則（N+E）”=.

15.向量組心=（1,1,0,2）,（1，0,1,0）,%=<0,1,-1,2）的秩為

16.兩個(gè)向量。=（a,1,-1）和￡=（4-2,2）線性相關(guān)的充要條件是.

17.方程組儼+々=,的基礎(chǔ)解系為________.

[x2+x3=0

18.向量。=（3,2,1,1）正交，則片__________.

19.若矩陣4=[）與矩陣3相似，則尸.

20.二次型於1/2'3）=國2+2年-+再巧-3司巧對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣是.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

11

24

21.計(jì)算三階行列式4

16

233O712O

22.已知A=1O2c=l12O-O1，矩陣X滿足方程

AX+BX=D-C,求X.

23.設(shè)向量組為。尸(2,0,-1,3)

a2=(3,-2,1f-1)

a3=(-5,6,-5,9)

。4=(4,-4,3,-5)

求向量組的秩，并給出一個(gè)最大線性無關(guān)組.

24.求人取何值時(shí)，齊次方程組

(2+4)再+3X2=0

<4X1+x3=0

—5%|+一巧=0

有非零解？并在有非零解時(shí)求出方程組的結(jié)構(gòu)式通解.

-1-6一3一

25.設(shè)矩陣4=0-5-3,求矩陣力的全部特征值和特征向量.

064

26.用正交變換化二次型加1用內(nèi)尸4#+3x1+34-2X2X3為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的正交矩陣P.

四、證明題（本大題共1小題，6分）

27.若〃階方陣Z的各列元素之和均為2,證明〃維向量…⑴，為/的特征向量，并且相應(yīng)的特征

值為2.

絕密★啟用的/編號(hào)218

2009年7月高等教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試

線觸數(shù)試題答案及評(píng)分箜考X"

（課程代碼02198）

一、單項(xiàng)選腎公（本大題共小題，每小時(shí)分,其分）

螃丁f10l潸220；

D

D

二、埴空題（本大題共io,每小題2分，共20分）

]

11.

"ad-be

19.220.j20

三、計(jì)其題（本大題共6小題，每小題「分，共5f分）

,解:行1列式I是1三階范笠德蒙行列”式

124=（2-1）（4-1）（4-2）.................

1416

69分

22.褥：EA*+bX=D-C,得

(A+8)X=D-C?…

U5IA+BI-

<A+B)=

"C-1]5分

23.解：設(shè)矩陣

0000

房鴻

a00

J小

故向色組的秩為2,最大無關(guān)組為q?/(或?qū)?力.a,iq?

....................................................

.解：齊次方程組的系數(shù)行列式為,

A+430A+4

401=401=-[A(A+4)+3]=-Q+1)(A+3)...........2分

線性代數(shù)試題答案及評(píng)分參考第2頁（共?:頁）

區(qū)”?*?

得特征值A(chǔ)1=A:=1,Aj=-24分

線性代數(shù)試題答案及評(píng)分參考第3頁（共4頁）

（1）當(dāng)尢=2時(shí)，特征方程為

久國爵，，

般城屜無關(guān)的特征向量0=J］，單位化,傅n.

.........6年

（2）當(dāng)小=簡=4時(shí)，特征方程為工?十4=0

得正交的淅小特征向￡&=

c°

C/.息位化，得小

0.

ro0-

令ag，2，?jJ=70-T8分

/2修

2幼o(hù)鼠型為標(biāo)準(zhǔn)形.

P即為所求正交矩陣，令x

/=2yi+4yi+4yJ…9分

四、證明密（本大題共1小題，6分）

27：,證；因，的各列元皇之和為2

?⑵.................2分

￡沁歲3

EPATx=2x.........................4分

故x為的特征》次，相應(yīng)的特征值為2.6分

線性代數(shù)試題答案及評(píng)分參考第4頁（共4頁）

全國2010年10月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)（經(jīng)管類）試題

課程代碼：04184

說明:在本卷中,A'表示矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,A*表示矩陣A的伴隨矩陣,E是單位矩陣,IAI表示

方陣A的行列式,r(A)表示矩A的秩.

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)

內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)A為3階矩陣,|A|=1,則卜2A+()

A.-8B.-2C.2D.8

(1、

2.設(shè)矩陣A=,B=(1,1),則AB=()

A.O

3.設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣,B為n階反對(duì)稱矩陣，則下列矩陣中為反對(duì)稱矩陣的是()

A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA

2

4.設(shè)矩陣A的伴隨矩陣A*=，則A/=()

'4-3-22242

ABC.D

-4-21-4.3234,-431

5.下列矩陣中不懸初等矩陣的是()

’1or“001、’100、’100、

010B.010C.030010

、000,10、°0、20

6.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則必有()

A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆

7.設(shè)向量組ai=(l,2),a2=(0,2),p=(4,2)4lJ()

A.aba2,P線性無關(guān)B.p不能由aba?線性表示

C.B可由aba2線性表示，但表示法不惟一D邛可由％,a2線性表示,且表示法惟一

8.設(shè)A為3階實(shí)對(duì)稱矩陣,A的全部特征值為0,1,1,則齊次線性方程組(E-A)x=0的基礎(chǔ)解系所含解

向量的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

2X]-x2+x3=0

9.設(shè)齊次線性方程組，X|-X2-X3=0有非零解，則大為()

A.X,+x2+x3=0

A.-1B.0D.2

10.設(shè)二次型RX)=XTAX正定，則下列結(jié)論中正確的是()

A.對(duì)任意n維歹!J向量X,XTAX都大于零B.f的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)都大于或等于零

C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.行列式01的值為

12

12.已知A=(；則|A|中第一行第二列元素的代數(shù)余子式為.

13.設(shè)矩陣A=(；lb］；)，則AP'=.

14.設(shè)A,B都是3階矩陣，且|A|=2,B=-2E,則|A」B|=.

15.已知向量組a1,=(1,2,3),(12=(3,?1,2),(13=(2,3,k)線性相關(guān)，則數(shù)k=.

16.已知Ax=t^4元線性方程組,r(A尸3,ai,ct2,a.：為該方程組的3個(gè)解，且a1=,a,+a3=1

、JI

則該線性方程組的通解是.

口、

17.已知P是3階正交矩，向量a=3,B=30,則內(nèi)積(Pa,PP)=_________

18.設(shè)2是矩陣A的一個(gè)特征值，則矩陣3A必有一個(gè)特征值為.

19.與矩陣A=相似的對(duì)角矩陣為

20.設(shè)矩陣A=，若二次型IMJAX1E定,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_________.

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分,共54分)

020

1012

21.求行列式D=的值.

2101

0210

僅°〕r-1-20,

22.設(shè)矩陣A=100=2-10,求滿足矩陣方程XA-B=2E的矩陣X.

10

017\000

r1(2)2、

=

23.若向量組a1--1=6,=0的秩為2,求k的值.

3)、-號(hào)「2k,

'223)(2]

24.設(shè)矩陣人=1-10,b=1

2JM

、一1

⑴求A-1;

(2)求解線性方程組Ax=b，并將b用A的列向量組線性表出.

25.已知3階矩陣A的特征值為-1,1,2,設(shè)B=A?+2A-E,求

(1)矩陣A的行列式及A的秩.

(2)矩陣B的特征值及與B相似的對(duì)角矩陣.

X|=2y1+2y2+y3

26.求二次型f(xl,x2,x3)=-4x的+2X1X3+2X2X3經(jīng)可逆線性變換，x2=2y1-2y2+y3所得的標(biāo)準(zhǔn)

x3=2y3

形.

四、證明題(本題6分)

27.設(shè)n階矩陣A滿足A2=E，證明A的特征值只能是±1.

全國2010年7月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

課程代碼：04184

試卷說明：在本卷中，4,表示矩陣4的轉(zhuǎn)置矩陣；/表示4的伴隨矩陣；兒4)表示矩陣4的秩;

141表示N的行列式；E表示單位矩陣。

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共1()小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫在題后的括號(hào)

內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)3階方陣4=(%,a2>?3)>其中a：(i=l,2,3)為X的列向量，若|8|=|(如+2a2，a2,a3)|=6,

則⑷=()

A.-12B.-6C.6D.12

30-20

21050

2.計(jì)算仃列式八八-八=()

00-20

-23-23

A.-180B.-120C.120D.180

3.若Z為3階方陣且|才|=2,則1241=(

A.-B.2C.4D.8

2

4.設(shè)a”a2,a3,@都是3維向量，則必有()

A.?1,?2??3?“4線性無關(guān)B.aP“2,%，。4線性相關(guān)

Ca1可由”2,?3，線性表示D.G］不可由“2，。4線性表示

5.若N為6階方陣，齊次線性方程組4r=0的基礎(chǔ)解系中解向量的個(gè)數(shù)為2,則｛7)=()

A.2B.3C.4D.5

6.設(shè)B為同階方陣，且“力尸尸(⑶，則()

A.4與B相似B.|川=網(wǎng)C.A與B等價(jià)D.A與8合同

7.設(shè)X為3階方陣，其特征值分別為2,1,0則|X+2E|=()

A.OB.2C.3D.24

8.若4、8相似，則下列說法曾送的是()

A.4與5等價(jià)BX與5合同C.|A\=\B\D.Z與5有相同特征

值

9.若向量《=(1,-2,1)與夕=(2,3,。正交，則尸()

A.-2B.OC.2D.4

10.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣”的特征值分別為2,1,0,貝女)

A.A正定BX半正定C.A負(fù)定D.4半負(fù)定

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。

錯(cuò)填、不填均無分。

(3-2\

r21-1

11.設(shè)4=01,B=,則Z5=

o-io----------

(2L

12.設(shè)N為3階方陣，且|川=3,貝”3才|=.

13.三元方程X|+X2+X3=l的通解是.

14.設(shè)a=(-l,2,2),則與a反方向的單位向量是.

15.設(shè)X為5階方陣，旦中)=3,則線性空間》｛x|4r=0｝的維數(shù)是.

16.設(shè)4為3階方陣，特征值分別為-2,1,則|54”=.

17.若N、8為5階方陣，且4r=0只有零解，目.兒5尸3,則445)=.

"2-10、

18.實(shí)對(duì)稱矩陣-101所對(duì)應(yīng)的二次型/(X1,X2,X3)=.

、0>1>

'7、

19.設(shè)3元非齊次線性方程組Ax=b有解a產(chǎn)a2=2且4/)=2,則Ax=b的通解是

、3,

20.設(shè)a=,則/=a”的非零特征值是.

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

20001

02000

21.計(jì)算5階行列式。=

00200

10002

'200、a00、P-43、

22.設(shè)矩陣X滿足方程0-10X001=20-1求X.

10

;002)10,-2

xt+x2-3X3-x4=1

23.求非齊次線性方程組■3網(wǎng)-々-3七+4X4=4的通解.

X]+5X2-9X3—8x4=0

24.求向量組a尸(1,2,-1,4),々2=(9/00,10,4),a3=22,4,2,-8)的秩和一個(gè)極大無關(guān)組.

，2-12、

25.已知Z=5a3的一個(gè)特征向量<=(1,1,-1)「，求a,，及小所對(duì)應(yīng)的特征值，并寫

、Tb-2,

出對(duì)應(yīng)于這個(gè)特征值的全部特征向量.

'-211-2、

26.設(shè)4=1-21a,試確定a使,0)=2.

、1'-22>

四、證明題(本大題共1小題，6分)

27.若a1，a2,々3是的線性無關(guān)解，證明a2-ct|,g-q是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組4x=0的

線性無關(guān)解.

全國2010年4月高等教育自學(xué)考試

線性代數(shù)(經(jīng)管類)試題

課程代碼：04184

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共20小題，每小題1分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，清將其代碼填寫在題后的括號(hào)

內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.已知2階行列式"i"2=,"，'=〃，則許"=()

許b2C|c2at+qa2+c2

X.m-nB.w-wC.tn+nD.-(〃?+〃)

2.設(shè)4,6,。均為〃階方陣，AB=BA,AC=CA,貝U()

A.ACBB.C4BC.CBAD.BCA

3.設(shè)4為3階方陣，8為4階方陣，且行列式⑷=1,園=?2,則行列式彷⑷之值為()

A.-8B.-2C.2D.8

12al3'40o)100、

4.已知4=a21422a23,B=。213。22。23,P=030，Q=310，則B=()

、a31432a33)gQ%2")001001

A.PAB.Z尸C.QAD.AQ

5.已知4是一個(gè)3x4矩陣，下列命題中正確的是（）

A.若矩陣4中所有3階子式都為0,則秩（N）=2B.若4中存在2階子式不為0,則秩（4）

=2

C.若秩（A）=2,則/中所有3階子式都為0D.若秩（A）=2,則4中所有2階子式

都不為0

6.下列命題中僧誤的是（）

A.只含有一個(gè)零向量的向量組線性相關(guān)B.由3個(gè)2維向量組成的向量組線性相關(guān)

C.由?個(gè)非零向量組成的向量組線性相關(guān)D.兩個(gè)成比例的向量組成的向量組線性相關(guān)

7.已知向量組內(nèi),0（2,013線性無關(guān)，?）,?2,?3>/線性相關(guān)，貝I］（）

A.四必能由ct2,otj?6線性表出B.a?必能由（z1,013,4線性表出C.a?必能由a1,a2,￡線性表出

D/必能由ai,a2,?3線性表出

8.設(shè)A為鏟"矩陣，，"加，則齊次線性方程組Ax=0只有零解的充分必要條件是/的秩（）

A.小于B.等于5C.小于〃D.等于〃

9.設(shè)/為可逆矩陣，則與X必有相同特征值的矩陣為（）

A.JTB.A2C.A-'D.A'

10.二次型/（xgXj）=靖+X2+X3+2xtx2的正慣性指數(shù)為（）

A.OB.1C.2D.3

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。

錯(cuò)填、不填均無分。

20072008

11.行列式的值為.

20092010

1-131（20）1

12.設(shè)矩陣4=,B=，則/%=______________________________.

1201J10\）

13.設(shè)4維向量a=（3,-1,0,2）V=（3,1,-1,4）T.若向量y滿足2a+產(chǎn)3￡,則產(chǎn).

14.設(shè)A為n階可逆矩陣，且⑷=-?!?，則.

n

15.設(shè)4為〃階矩陣，8為〃階非零矩陣，若8的每一個(gè)列向量都是齊次線性方程組/x=0的解,

則\A|=.

16.齊次線性方程組rr,+與=0的基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)為________________.

\2x}-x2+3巧=0

17.設(shè)〃階可逆矩陣/的一個(gè)特征值是-3,則矩陣必有一個(gè)特征值為.

/X

1-2-2

18.設(shè)矩陣4=-2x0的特征值為4,1,-2,則數(shù)x=.

-200

(1)

Q30

V2

4=h0

19.已知4=是正交矩陣，則“+b=

V2

001

1J

20.二次型/(X|,X2,x^)=-4工1工2+21|》3+6^213的矩陣是,

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

ahc

21.計(jì)算行列式。=a2b2c2的值。

Q+/b+h3c+c3

22.已知矩陣8=(2,1,3),C=(1,2,3),求(1)A=BJC；(2)A2.

23.設(shè)向量組a1=(2,l,3,l)\a2=(l,2,0,l)T,a3=(-1,1,-3,0)\。4=(1,1,1,1)T,求向量組的秩及一

個(gè)極大線性無關(guān)組，并用該極大線性無關(guān)組表示向量組中的其余向量。

/X/、

123-14

24.已知矩陣A=012，B=25.（1）求不；（2）解矩陣方程正以

1-3

001

\7\/

Xj+2X2+3X3=4

25.fn]4為何值時(shí)，線性方程組（2工2+方3=2有惟一解？有無窮多解？并在有解時(shí)求出其

2x}+2X2+3工3=6

解（在有無窮多解時(shí)，要求用一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示全部解）。

200

26.設(shè)矩陣/=03a的三個(gè)特征值分別為1,2,5,求正的常數(shù)。的值及可逆矩陣P,使

0。3

100

PAAP=020

005

四、證明題（本題6分）

27.設(shè)4B,4+3均為〃階正交矩陣，證明（4+8）――L

全國2010年1月高等教育自學(xué)考試

《線性代數(shù)（經(jīng)管類）》試題及答案

課程代碼：04184

試題部分

說明：本卷中，表示矩陣力的轉(zhuǎn)置，/表示向量〃的轉(zhuǎn)置，￡表示單位矩陣，L4I

表示方陣4的行列式，4I表示方陣/的逆矩陣，r（4）表示矩陣4的秩.

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共30分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的,請(qǐng)將代碼填寫在題后的括

號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

xyz2x2z

4

1.設(shè)行列式403=1,則行列式()

3

111111

A-1B.1

D』

C.2

3

2.設(shè)力，B,。為同階可逆方陣，則(ABC)-1=()

K.A'B'C'B.C'B'A'

c.C'A'B'D.A'C'B'

3.設(shè)外,a2,3,。4是4維列向量，矩陣4=(a”a2,a3,。4）.如果⑷=2,貝味2川=

()

A.-32B.-4

C.4D.32

4設(shè)a1，&2,a3,,是三維實(shí)向量，則()

A.a\,a2,。3,。4一定線性無關(guān)B.a1一定可由巴，a3,心線性表出

C.a,,a2,。3,%一定線性相關(guān)D.ai，a2,。3一定線性無關(guān)

5.向量組a|=(1,0,0）,。2=（1，1，0）,a3=（1，1，1）的秩為（)

A.1B.2

C.3D.4

6.設(shè)4是4X6矩陣,r（Z）=2,則齊次線性方程組4r=0的基礎(chǔ)解系中所含向量的個(gè)數(shù)是

)

A.1B.2

C.3D.4

7.設(shè)/是洲X〃矩陣,已知4尸0只有零解，則以下結(jié)論正確的是（)

A.加、〃^.Ax=b（其中5是〃?維實(shí)向量）必有唯一解

C.r(A)=mD.Ax=0存在基礎(chǔ)解系

4-52

8.設(shè)矩陣4=5-73,則以下向量中是力的特征向量的是()