江蘇省連云港市新海高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期開(kāi)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試題部分（本卷滿(mǎn)分150分共4頁(yè)考試時(shí)間120分鐘）一、單選題（本題共8小題每小題5分共40分）1.已知或，，則＝（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】因或，，所以故選：D.2.設(shè)集合，，則（）．A. B.C. D.x-1≤x≤3【答案】D【解析】【分析】利用集合的并集進(jìn)行求解即可.【詳解】集合，，則，故選：D.3.若集合，，且，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別討論與兩種情況，結(jié)合題意，列出不等式，求解即得.【詳解】因?yàn)榧?，，且，?dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，或，解得；綜上所述，的取值范圍是.故選：D.4.下列命題的否定是全稱(chēng)量詞命題且為真命題的有（）A.， B.所有的正方形都是矩形C.， D.至少有一個(gè)實(shí)數(shù)，使【答案】A【解析】【分析】根據(jù)存在命題的否定是全稱(chēng)量詞命題進(jìn)行判斷B即可.ACD原命題的否定是全稱(chēng)量詞命題，再判斷原命題的否定是否為真命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，A是特稱(chēng)命題，其否定為：，，即為真命題，A正確；對(duì)于B，∵B是全稱(chēng)命題，其否定為特稱(chēng)命題，故B排除；對(duì)于C，C是特稱(chēng)命題，其否定為：，，即為假命題，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，D是特稱(chēng)命題，其否定為：任意實(shí)數(shù)x，都有，代入不成立，為假命題，D錯(cuò)誤；故選：A．5.命題“，”的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】由存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題可得.【詳解】命題“，”的否定是“，”.故選：D.6.已知，，且恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用“1”的代換求得的最小值，再由求解.【詳解】解：設(shè)，則，解得，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為2，又因?yàn)閷?duì)，，且恒成立，所以，故選：B7.牛頓冷卻定律（Newton'slawofcooling）是牛頓在1701年用實(shí)驗(yàn)確定的：物體在空氣中冷卻，如果物體的初始溫度為，環(huán)境溫度為，則分鐘后物體的溫度（單位：）滿(mǎn)足：.已知環(huán)境溫度為，一塊面包從溫度為的烤箱里拿出，經(jīng)過(guò)10分鐘溫度降為，那么大約再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，溫度降為？（參考數(shù)據(jù)：）（）A.33分鐘 B.28分鐘 C.23分鐘 D.18分鐘【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，指數(shù)對(duì)數(shù)互化，解出即可．【詳解】解：依題意，得，化簡(jiǎn)得，解得.設(shè)這塊面包總共經(jīng)過(guò)分鐘，溫度降為30°，則，化簡(jiǎn)得，解得，故大約再經(jīng)過(guò)（分鐘），這塊面包溫度降為30°，故選：C.8.已知為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】把化簡(jiǎn)為為，然后利用基本不等式即可求出最小值【詳解】因?yàn)椋瑒t，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為，故選：C二、多選題（本題共4小題每小題5分滿(mǎn)分20分）9.設(shè)為全集，集合滿(mǎn)足條件，那么下列各式中不一定成立的是（

）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合舉例及集合的運(yùn)算和集合的關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)，，，時(shí)，滿(mǎn)足，此時(shí)，不是的子集，所以A、B不一定成立；，，所以C不一定成立；對(duì)于D，若，則，但，因?yàn)?，所以，于是，所以，同理若，則，，因此，成立，所以D成立.故選：ABC.10.對(duì)任意，記，并稱(chēng)為集合的對(duì)稱(chēng)差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（）A.若且，則A=?B.若且，則C.若且，則D.存在，使得【答案】AB【解析】【分析】集合的新定義，結(jié)合選項(xiàng)以及交并補(bǔ)的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】對(duì)于，因?yàn)椋?，所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，即與是相同的，所以，B正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，所以，即錯(cuò)誤；對(duì)于，由于,而，故，即錯(cuò)誤．故選：AB．11.下列說(shuō)法不正確的是（）A.“”是“”的必要不充分條件B.若，則的最大值為2C.若不等式的解集為，則必有D.命題“，使得．”的否定為“，使得．”【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)充分、必要條件分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)不等式運(yùn)算求解；對(duì)于C：根據(jù)分類(lèi)討論a的符號(hào)，結(jié)合一元二次不等式分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題分析判斷.詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，則，即，滿(mǎn)足題意，但，即充分性不成立；例如，則，即，滿(mǎn)足題意，但，即必要性不成立；所以“”是“”的既不充分也不必要條件，故A不正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為12，故B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；若，則的解集不可能為兩數(shù)之間，不合題意；綜上所述：若不等式的解集為，則必有，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：命題“，使得．”的否定為“，使得”，故D不正確；故選：ABD.12.已知，且，則（）A.最小值是 B.最小值為C.的最大值是 D.的最小值是【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式即可得到A；二元換一元，代入，利用二次函數(shù)求出最值，得出B選項(xiàng)；利用即可得到C選項(xiàng)；利用“1”的妙用得出D.【詳解】對(duì)于A，∵，且，∴，即時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值是，故A不正確；對(duì)于B，∵，∴，，所以，故B正確；對(duì)于C，∵，且，∴，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；對(duì)于D，∵，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是，故D錯(cuò)誤．故選：BC．三、填空題（本題共4小題每小題5分滿(mǎn)分20分）13.設(shè)、是非空集合，定義且.已知，，則________.【答案】或【解析】【分析】先求出，再求出，從而可求?！驹斀狻俊摺⑹欠强占?，且，而，，∴，，故或.故答案為：或.14.已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】可求出集合，然后根據(jù)，得到，從而求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由，可得，由于，且，則，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：15.已知，則________．【答案】5【解析】【分析】設(shè)，再用表達(dá)求解即可.【詳解】設(shè)，則，，，故.故答案為：516.設(shè)，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)，利用基本不等式得到，再將右式配湊成的倍數(shù)，從而得解.【詳解】設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，故.令，解得，，所以，當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用基本不等式，配湊出一個(gè)定值出來(lái)，從而得解.四、解答題（本題共6小題第17題10分第18—22題12分滿(mǎn)分70分）17.設(shè)集合，；（1）若，求實(shí)數(shù)取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分為和兩種情形進(jìn)行討論，根據(jù)，列不等式組求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）分為和兩種情形進(jìn)行討論，根據(jù)，列不等式組求實(shí)數(shù)a的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】由題意，集合，，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，解得，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】由題意，需分為和兩種情形進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，解得，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，解得，或無(wú)解；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.已知集合，，全集.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若“”是“”的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得集合A，進(jìn)而根據(jù)集合的補(bǔ)集和交集運(yùn)算求解；（2）分析可知，根據(jù)包含關(guān)系分析求解.小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，集合，則或，所以.【小問(wèn)2詳解】若“”是“”的必要條件，則，因?yàn)?，則，可知，可得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.19.（1）已知，計(jì)算和的值；（2）已知，，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】運(yùn)用換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：（1）∵，∴；．（2）（方法一）．（方法二）20.（1）設(shè)，求的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】【分析】（1）（2）根據(jù)題意將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式可得，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，則，則所以；（2）因?yàn)椋瑒t，，可得，，則．由題意可得，則，且，所以．21.中國(guó)建設(shè)新的芯片工廠的速度處于世界前列，這是朝著提高半導(dǎo)體自給率目標(biāo)邁出的重要一步.根據(jù)國(guó)際半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)協(xié)會(huì)(SEMI)的數(shù)據(jù)，在截至2024年的4年里，中國(guó)計(jì)劃建設(shè)31家大型半導(dǎo)體工廠.某公司打算在2023年度建設(shè)某型芯片的生產(chǎn)線(xiàn)，建設(shè)該生產(chǎn)線(xiàn)的成本為300萬(wàn)元，若該型芯片生產(chǎn)線(xiàn)在2024年產(chǎn)出萬(wàn)枚芯片，還需要投入物料及人工等成本（單位：萬(wàn)元），已知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，已知生產(chǎn)的該型芯片都能以每枚80元的價(jià)格售出.（1）已知2024年該型芯片生產(chǎn)線(xiàn)的利潤(rùn)為（單位：萬(wàn)元），試求出的函數(shù)解析式.（2）請(qǐng)你為該型芯片的生產(chǎn)線(xiàn)的產(chǎn)量做一個(gè)計(jì)劃，使得2024年該型芯片的生產(chǎn)線(xiàn)所獲利潤(rùn)最大，并預(yù)測(cè)最大利潤(rùn).【答案】（1）；（2）當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元．【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤(rùn)等于售價(jià)減成本可求利潤(rùn)的表達(dá)式；（2）根據(jù)的表達(dá)式分別求出每段函數(shù)的最大值即可.【小問(wèn)1詳解】（1）由題意可得，，所以，即.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，對(duì)稱(chēng)軸，；當(dāng)時(shí)，由基本不等式知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，綜上，當(dāng)2024年該型芯片產(chǎn)量為40萬(wàn)枚時(shí)利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為220萬(wàn)元．22.設(shè)為正整數(shù)，集合．對(duì)于集合中的任意元素和，記．（1）當(dāng)時(shí)，若，，求和的值；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)是的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于中的任意元素，當(dāng)相同時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)不同時(shí)，是偶數(shù)．求集合中元素個(gè)數(shù)的最大值；（3）給定不小于的，從集合中任取個(gè)兩兩互不相同的元素．證明：存在，使得．【答案】（1）2，1；（2）最大值為4個(gè)；（3）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）直接根據(jù)定義計(jì)算；（2）注意到1的個(gè)數(shù)的奇偶性，根據(jù)定義反證證明；（3）設(shè)，，，，則且，對(duì)從集合中任取個(gè)兩兩互不相同的元素，分兩種情況討論，第一種若存在兩個(gè)不同元素同時(shí)屬于一個(gè)；第二種若任意兩個(gè)不同元素都不同時(shí)屬于一個(gè)，由第二種情況推出矛盾即可．【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，．【小?wèn)2詳解】設(shè)，令其中()則，，，則，當(dāng)，且()時(shí)，由題意知，是奇數(shù)，(不同)是偶數(shù)，等價(jià)于是奇數(shù)，(不同)是偶數(shù)．若是奇數(shù)時(shí)，則中等于1的個(gè)數(shù)為1或3，所以，且．將上述集合中的元素分成如下四組：經(jīng)檢驗(yàn)，每組中兩個(gè)元素，均有，所以每組中兩個(gè)