二次函數(shù)與一元二次方程不等式6種常見(jiàn)考法歸類（原卷版）

2.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式6種常見(jiàn)考法歸類1、一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)2、二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．3、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒(méi)有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??注：一元二次不等式與一元二次函數(shù)關(guān)系：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸上方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集就是一元二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象在x軸下方的點(diǎn)的橫坐標(biāo)x的集合．4、簡(jiǎn)單的分式不等式的解法(1)eq\f(ax＋b,cx＋d)＞0(＜0)?(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0).(2)eq\f(ax＋b,cx＋d)≥0(≤0)?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1((ax＋b)(cx＋d)≥0(≤0)，,cx＋d≠0.))總之，簡(jiǎn)單的分式不等式可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式求解．圖示如下：思考eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價(jià)嗎？eq\f(x－3,x＋2)≥0與(x－3)(x＋2)≥0等價(jià)嗎？答案eq\f(x－3,x＋2)>0與(x－3)(x＋2)>0等價(jià)；eq\f(x－3,x＋2)≥0與(x－3)(x＋2)≥0不等價(jià)，前者的解集中沒(méi)有－2，后者的解集中有－2.5、一元二次不等式恒成立問(wèn)題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))（2）分離參數(shù)，將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題．6、利用不等式解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)．（2）由題目中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．（3）求解所列出的不等式(組)．（4）結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案．7、解一元二次不等式的一般步驟(1)將一元二次不等式化為一端為0的形式(習(xí)慣上二次項(xiàng)系數(shù)大于0)．(2)求出相應(yīng)一元二次方程的根，或判斷出方程沒(méi)有實(shí)根．(3)畫出相應(yīng)二次函數(shù)示意草圖，方程有根的將根標(biāo)在圖中．(4)觀察圖象中位于x軸上方或下方的部分，對(duì)比不等式中不等號(hào)的方向，寫出解集．注：(1)若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠因式分解，即能夠轉(zhuǎn)化為幾個(gè)代數(shù)式的乘積形式，則可以直接由一元二次方程的根及不等號(hào)方向得到不等式的解集．(2)若不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程能夠化為完全平方式，不論取何值，完全平方式始終大于或等于零，則不等式的解集易得．(3)若上述兩種方法均不能解決，則應(yīng)采用求一元二次不等式的解集的通法，即判別式法．8、解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟特別提醒：(1)對(duì)應(yīng)方程的根優(yōu)先考慮用因式分解確定，分解不開(kāi)時(shí)再求判別式Δ，用求根公式計(jì)算．(2)在解含參數(shù)的一元二次型的不等式時(shí)，往往要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，討論需從如下三個(gè)方面進(jìn)行考慮：①關(guān)于不等式類型的討論：二次項(xiàng)系數(shù)a＞0，a＜0，a＝0.②關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的討論：兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根(Δ＞0)，兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根(Δ＝0)，無(wú)實(shí)數(shù)根(Δ＜0).③關(guān)于不等式對(duì)應(yīng)的方程根的大小的討論：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.9、三個(gè)“二次”之間的關(guān)系(1)三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體，討論二次函數(shù)主要是為了將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來(lái)研究．(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過(guò)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題，關(guān)系如下：10、根據(jù)一元二次不等式解集求參數(shù)已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循(1)根據(jù)解集來(lái)判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)．(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來(lái)并代入所要解的不等式．(3)約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解．11、分式不等式的解法(1)對(duì)于比較簡(jiǎn)單的分式不等式，可直接轉(zhuǎn)化為一元二次不等式或一元一次不等式組求解，但要注意等價(jià)變形，保證分母不為零．(2)對(duì)于不等號(hào)右邊不為零的較復(fù)雜的分式不等式，先移項(xiàng)再通分(不要去分母)，使之轉(zhuǎn)化為不等號(hào)右邊為零，然后再用上述方法求解．注：解分式不等式的思路是轉(zhuǎn)化為整式不等式求解．化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式的方法：移項(xiàng)，通分，不等式右邊化為0，左邊化為乘積的形式．將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式同解不等式的變形方法如下表：分式不等式整式同解不等式eq\f(y1,y2)＞0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＞0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＜0))同解；與y1y2＞0同解eq\f(y1,y2)＜0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＞0，,y2＜0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1＜0，,y2＞0))同解；與y1y2＜0同解eq\f(y1,y2)≥0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≥0，,y2≠0))同解eq\f(y1,y2)≤0與eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y1y2≤0，,y2≠0))同解特別地，形如eq\f(y1,y2)＞a(a≠0)的分式不等式，可同解變形為eq\f(y1－ay2,y2)＞0，故可轉(zhuǎn)化為解y2(y1－ay2)＞0.12、一元二次不等式恒成立問(wèn)題的解法(1)轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，考慮兩個(gè)方面：x2的系數(shù)和對(duì)應(yīng)方程的判別式的符號(hào)．(2)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題：分離參數(shù)后，求相應(yīng)二次函數(shù)的最值，使參數(shù)大于(小于)這個(gè)最值．注：(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)對(duì)于x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＞0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0)；))一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(≤0)對(duì)于x∈R恒成立的條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜0，,Δ＝b2－4ac＜0(≤0).))(2)在解關(guān)于x的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)對(duì)一切x恒成立問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行討論，需研究二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)是否滿足題意．13、解不等式應(yīng)用題的步驟考點(diǎn)一一元二次不等式的解法考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法（一）對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的討論（二）對(duì)判別式的討論（三）對(duì)兩根大小的討論考點(diǎn)三根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)考點(diǎn)四簡(jiǎn)單的分式不等式的解法考點(diǎn)五一元二次不等式的恒成立問(wèn)題考點(diǎn)六一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一一元二次不等式的解法1．（2023春·遼寧鐵嶺·高二校聯(lián)考期末）已知集合，，則．2．（2023秋·廣東佛山·高一佛山市第二中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)．3．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）解下列不等式：（1）（2）（3）（4）4．（2023·上海·高一專題練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則y>0的解集為（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}5．（2023秋·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)校考期中）關(guān)于的不等式解集是．考點(diǎn)二含參數(shù)的一元二次不等式的解法（一）對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的討論6．（2023秋·北京·高一北京市第五十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解不等式.7．（2023秋·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）解關(guān)于x的不等式:.8．（2023秋·北京西城·高一北京鐵路二中校考期中）設(shè)，解關(guān)于的不等式：．9．（2023秋·黑龍江鶴崗·高一鶴崗一中校考期中）已知，，求關(guān)于的不等式的解集.（二）對(duì)判別式的討論10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．11．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式.（三）對(duì)兩根大小的討論12．（2023·全國(guó)·高一假期作業(yè)）若，解不等式．13．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）解關(guān)于x的不等式14．（2023秋·高一?？紗卧獪y(cè)試）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于的不等式；(2)若，解關(guān)于的不等式..15．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）解關(guān)于x的不等式：(1)(2)考點(diǎn)三根據(jù)一元二次不等式的解集求參數(shù)16．（2023秋·福建福州·高一福州三中校考階段練習(xí)）已知不等式的解集是，則（

）A．10 B．6 C．0 D．217．（2023秋·陜西西安·高一統(tǒng)考期末）已知不等式的解集是，則的值為（

）A． B．7 C． D．18．（2023秋·廣西柳州·高一柳鐵一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集是（

）A．或 B．C．或 D．19．（2023秋·福建泉州·高一校考階段練習(xí)）若關(guān)于的不等式的解集是，則（

）A． B． C． D．20．【多選】（2023秋·河南鄭州·高一鄭州市第四十七高級(jí)中學(xué)校考期末）已知關(guān)于的不等式解集為或，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．不等式的解集為C．D．不等式的解集為或21．（2023秋·內(nèi)蒙古通遼·高一?？计谥校┮阎坏仁降慕饧癁?，則不等式的解集為（

）A．或 B．C． D．或22．【多選】（2023秋·福建福州·高一福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┮阎P(guān)于的不等式，下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，不等式的解集為B．當(dāng)時(shí)，不等式的解集可以為的形式C．不等式的解集恰好為，那么或D．不等式的解集恰好為，那么23．（2023秋·四川瀘州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．(1)若關(guān)于x的不等式的解集為，求a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，解關(guān)于x的不等式．24．（2023·湖南長(zhǎng)沙·高二長(zhǎng)郡中學(xué)?？紝W(xué)業(yè)考試）若關(guān)于x的不等式只有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．25．【多選】（2023春·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）關(guān)于x的不等式的解集中恰有3個(gè)正整數(shù)解，則a的值可以為（

）A． B． C． D．2考點(diǎn)四簡(jiǎn)單的分式不等式的解法26．（2023·上海楊浦·同濟(jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)校考三模）不等式的解集是27．（2023秋·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）不等式的解集是．28．（2023秋·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）不等式的解集為．29．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知集合，則．30．（2023秋·陜西西安·高一?？计谥校?）解關(guān)于x的不等式；（2）解關(guān)于x的不等式.考點(diǎn)五一元二次不等式的恒成立問(wèn)題31．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若不等式的解集為R，求m的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式．32．（2023春·江蘇南京·高二南京市中華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．33．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．34．（2023秋·高一單元測(cè)試）設(shè).(1)若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)解關(guān)于的不等式.考點(diǎn)六一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用35．（2023秋·廣西桂林·高一?？计谥校⑦M(jìn)貨單價(jià)40元的商品按50元一個(gè)售出，能賣出500個(gè)；若此商品每漲價(jià)1元，其銷售量減少10個(gè).為了賺到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)定為元.36．（2023秋·浙江溫州·高一校聯(lián)考期中）為了宣傳第56屆世乒賽，某體育用品商店購(gòu)進(jìn)一批乒乓球拍，每副進(jìn)價(jià)200元，售價(jià)260元，每月可以賣出160副．由于疫情原因，商家決定降價(jià)促銷，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，每降價(jià)10元，每月可多賣出80副，降價(jià)后，商家要使每月的銷售利潤(rùn)最大，應(yīng)該將售價(jià)定為元．37．（2023春·北京密云·高二統(tǒng)考期末）一個(gè)車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（單位：輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（單位：元）之間的關(guān)系為：.如果這家工廠希望在一個(gè)星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收60000元以上，請(qǐng)你給出一個(gè)該工廠在這周內(nèi)生成的摩托車數(shù)量的建議，使工廠能夠達(dá)成這個(gè)