相似三角形應用舉例1

第二十七章相似相似三角形應用舉例進一步了解數(shù)學建模思想，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的數(shù)學模型，提高分析問題、解決問題的能力.(難點)學習目標12能夠利用相似三角形的知識，求出不能直接測量的物體的高度和寬度.(重點)復習引入新課導入1.相似三角形的判定方法有哪幾種？（1）定義：對應邊成比例，對應角相等的兩個三角形相似；（2）判定定理1：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似

；（3）判定定理2：三邊成比例的兩個三角形相似；（4）判定定理3：兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；（5）判定定理4：兩角分別相等的兩個三角形相似；（6）直角三角形相似的判定方法：一組直角邊和斜邊成比例的兩個直角三角形相似.2.

相似三角形的性質(zhì)有哪些？（1）相似三角形的對應角相等，對應邊成比例.（2）相似三角形對應線段的比等于相似比.（3）相似三角形周長的比等于相似比.（4）相似三角形面積的比等于相似比的平方.情景一世界上最高的樹——紅杉，你能測量它的高度嗎？情景二神秘的埃及金字塔，你能測量它的高度嗎？情景三世界上最寬的河——亞馬遜河，你能測量它的高度嗎？知識講解★利用相似三角形測量物體的高度

據(jù)史料記載,古希臘數(shù)學家,天文學家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的頂部立一根木桿.借助太陽光線構成兩個相似三角形,來測量金字塔的高度.例1

如圖，木桿EF長2m，它的影長FD為3m，測得OA為201m，求金字塔的高度BO.解：太陽光是平行的光線，因此∠BAO=∠EDF.又∠AOB=∠DFE=90°，∴△ABO∽△DEF.∴，∴

因此金字塔的高度為134m.歸納：測量不能到達頂部的物體的高度，可以用“在同一時刻物高與影長成正比例”的原理解決.物1高：物2高=影1長：影2長例2如圖，某水平地面上建筑物的高度為AB，在點D和點F處分別豎立高是2米的標桿CD和EF，兩標桿相隔52米，并且建筑物AB、標桿CD和EF在同一豎直平面內(nèi)．從標桿CD后退2米到點G處，在G處測得建筑物項端A標桿頂端C在同一條直線上；從標桿FE后退4米到點H處，在H處測得建筑物頂端A和標桿頂端E在同一直線上，求建筑物的高度．

歸納：測量不能到達頂部的物體的高度，也可以用“利用標桿測量高度”的原理解決.

例3

如圖是一位學生設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖．點P處放一水平的平面鏡，光線從點A發(fā)出經(jīng)平面鏡反射后剛好到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD,測得AB=2米，BP=3米，PD=12米，求該古城墻的高度．

歸納：測量不能到達頂部的物體的高度，也可以用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決.★利用相似三角形測量物體的寬度例4

如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一個目標作為點A，再在河的這一邊選點B和C，使AB⊥BC，然后，再選點E，使EC⊥BC，用視線確定BC和AE的交點D．

此時如果測得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求兩岸間的大致距離AB．EADCB60m50m120m解：∵∠ADB＝∠EDC，

∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD.

∴，即，解得AB=100.因此，兩岸間的大致距離為100m.

測量如河寬等不易直接測量的物體的寬度，常構造相似三角形求解.歸納：隨堂訓練1.學校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置BD繞O點旋轉(zhuǎn)到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分別為B，D，AO=4m，ABm，CO=1m，則欄桿C端應下降的垂直距離CD為（）A．m B．m C．m D．mC

D3.

如圖，為了測量水塘邊A、B兩點之間的距離，在可以看到A、B的點E處，取AE、BE延長線上的C、D兩點，使得CD∥AB.若測得CD＝5m，AD＝15m，ED=3m，則A、B兩點間的距離為

m.ABEDC204.如圖所示，有點光源S在平面鏡上面，若在P點看到點光源的反射光線，并測得AB＝10cm，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，則點光源S到平面鏡的距離SA的長度為

.12cm5.如圖，在高為4m的平房頂上A處望一幢樓的底部D時，視線恰好過一棵樹的頂端E，從平房底部B處望樓頂C時，視線也恰好經(jīng)過小樹的頂端E.如果測得小樹的高度為3m，求這幢樓的高度.解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.∵EF=3，AB=4，∴,∴.∵EF∥AB，∴△BEF∽△BCD，∴,∴CD=4EF=12m.答：這幢樓的高度為12m.6.如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是AB=8m和CD=12m，兩樹底部的距離BD=5m，一個人估計自己的眼睛距地面1.6m．她沿著正對這兩棵樹的一條水平直路l

從左向右前進，當她與左邊較低的樹的距離小于多少時，就不能看到右邊較高的樹的頂點C了？解：如圖，假設觀察者從左向右走到點E

時，她的眼睛的位置點E與兩棵樹的頂端A、C恰在一條直線上．∵AB⊥l，CD⊥l，∴AB∥CD，∴△AEH∽△CEK，∴=，即