畢業(yè)論文行列式的若干應(yīng)用

TheNumberofApplicationsofTheDeterminants專業(yè):數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者:指導(dǎo)老師:學(xué)校時(shí)間摘要行列式是數(shù)學(xué)研究中的一類重要的工具之一,它的應(yīng)用非常廣泛.本文從以下三個(gè)方面對(duì)行列式的應(yīng)用進(jìn)行了論述:探討了行列式與線性方程組的關(guān)系以與在解線性方程組中的應(yīng)用;舉例說明了行列式在初等代數(shù)中的應(yīng)用,如在因式分解中應(yīng)用,證明不等式以與恒等式;最后綜述了行列式在解析幾何中的若干應(yīng)用.關(guān)鍵詞:行列式;矩陣;線性方程組;秩;因式分解;平面組;點(diǎn)組AbstractDeterminantisakindofimportanttoolsinthemathematicalstudy,itisaverywiderangeofapplications.Inthispaper,wehavebeentodiscussfromthefollowingthreeaspectsoftheapplicationsofthedeterminants:Toexploretherelationshipbetweenthedeterminantandlinearequationsandtheapplicationinthesolutionoflinearequations;examplesoftheapplicationofthedeterminantinalgebra,suchastheapplicationoffactorization,toprovethatinequalityandidentity;inthefinal,wehavemadeoverviewofthenumberofapplicationsofthedeterminantsinanalyticgeometry.Keywords:Determinant;Matrix;Linearequations;Rank;Factorization;Planegroup;Pointgroup目錄摘要 IAbstract II0引言 11行列式在線性方程組中的一個(gè)應(yīng)用 12行列式在初等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用 22.1用行列式分解因式 22.2用行列式證明不等式和恒等式 33行列式在解析幾何中的幾個(gè)應(yīng)用 43.1用行列式表示公式 43.2行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用 63.3行列式在三維空間中的應(yīng)用 8參考文獻(xiàn) 150引言行列式是研究數(shù)學(xué)的重要工具之一.例如線性方程組（見文[1]-[5]）、多元一次方程組的解、三維空間中多個(gè)平面組或多個(gè)點(diǎn)組的相關(guān)位置(見文[2])、初等代數(shù)（見文[9]）、解析幾何（見文[6]-[8]）、維空間的投影變換、線性微分方程組等,用行列式來計(jì)算是很便利的.本文進(jìn)一步研究探討了行列式在線性方程組、初等代數(shù)、解析幾何三個(gè)方面的應(yīng)用.1行列式在線性方程組中的一個(gè)應(yīng)用設(shè)含有個(gè)變元的個(gè)一次線性方程組為（1）設(shè)方程組（1）的系數(shù)矩陣的秩是,不失一般性,假定不等于零的階行列式是行列式中的元素,就是矩陣中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它們的原有位置排列.我們把看作是未知數(shù),是已知數(shù),解方程組(1),得（2）式中是行列式的第列元素?fù)Q以所成的行列式.也就是把中第列移到第一列,得上式右邊的行列式用表示,行列式是矩陣中去掉第列剩余下的元素所組成.故代入（2）式,得,或.結(jié)論[2]:方程組（1）中的與成比例,式中是從矩陣中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2行列式在初等代數(shù)中的幾個(gè)應(yīng)用2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的關(guān)鍵,是把所給的多項(xiàng)式寫成行列式的形式,并注意行列式的排列規(guī)則.下面列舉幾個(gè)例子來說明.例2.1.1分解因式：.解例2.1.2分解因式:.解原式2.2用行列式證明不等式和恒等式我們知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數(shù)后加到另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素上,行列式不變;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么這個(gè)行列式等于零.利用行列式的這些性質(zhì),我們可以構(gòu)造行列式來證明等式和不等式.例2.2.1已知,求證.證明令,則命題得證.例2.2.2已知求證.證明令,則命題得證.例2.2.3已知,求證.證明令,則而,則,命題得證.3行列式在解析幾何中的幾個(gè)應(yīng)用3.1用行列式表示公式3.1.1用行列式表示三角形面積以平面內(nèi)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的的面積S是(3)的絕對(duì)值.證明將平面三點(diǎn)擴(kuò)充到三維空間,其坐標(biāo)分別為,其中為任意常數(shù).由此可得：則面積為3.1.2用行列式表示直線方程直線方程通過兩點(diǎn)和的直線的方程為.（4）證明由兩點(diǎn)式,我們得直線的方程為將上式展開并化簡,得此式可進(jìn)一步變形為此式為行列式(4)按第三行展開所得結(jié)果.原式得證.3.1.3例若直線過平面上兩個(gè)不同的已知點(diǎn),,求直線方程.解設(shè)直線的方程為,不全為0,因?yàn)辄c(diǎn)在直線上,則必須滿足上述方程,從而有這是一個(gè)以為未知量的齊次線性方程組,且不全為0,說明該齊次線性方程組有非零解.其系數(shù)行列式等于0,即則所求直線的方程為同理,若空間上有三個(gè)不同的已知點(diǎn),平面過,則平面的方程為同理,若平面有三個(gè)不同的已知點(diǎn),圓過,則圓的方程為3.2行列式在平面幾何中的一些應(yīng)用3.2.1三線共點(diǎn)平面內(nèi)三條互不平行的直線相交于一點(diǎn)的充要條件是.3.2.2三點(diǎn)共線平面內(nèi)三點(diǎn)在一直線的充要條件是.3.2.3應(yīng)用舉例例平面上給出三條不重合的直線:,若,則這三條直線不能組成三角形.證明設(shè)與的交點(diǎn)為,因?yàn)閷⒌?列乘上,第2列乘上,全加到第3列上去,可得：因?yàn)樵谂c上,所以,且若與平行,若也在上交于一點(diǎn),無論何種情形,都有不組成三角形.這說明由,得到三條直線或兩兩平行或三線交于一點(diǎn).也就是三條直線不能組成三角形.3.3行列式在三維空間中的應(yīng)用3.3.1平面組設(shè)由個(gè)平面方程構(gòu)成的方程組為（5）若方程組(5)中的各代以,并用乘以(5)式兩端:得（6）叫做點(diǎn)的齊次坐標(biāo).這平面組的相關(guān)位置與方程組的系數(shù)所組成的兩矩陣與的秩與有關(guān)系.現(xiàn)在分別敘述如下：(Ⅰ)當(dāng),則方程組中各系數(shù)全是0.(Ⅱ)當(dāng)則方程組(5)不合理,方程組(6)有解.當(dāng),,,將趨近于無窮大（假設(shè)趨近于0）.在這種情況下,我們說這個(gè)平面在無窮遠(yuǎn)重合.(Ⅲ)當(dāng),則在矩陣與中所有二階行列式全是0.所以我們有以上等式表示個(gè)平面相合成一個(gè)平面.(Ⅳ)當(dāng)方程的系數(shù)中至少有兩組數(shù)如與滿足以下關(guān)系式上式表示平面平行但不相合.也就是平面組中個(gè)平面相合或平行,至少有兩個(gè)平面不相合.(Ⅴ)則矩陣與中所有三階行列式全是0,至少有一個(gè)二階行列式不是0.假設(shè)我們必可求得適合下式：式中,否則行列式將等于0.所以以上等式表示平面經(jīng)過直線就是個(gè)平面全經(jīng)過一條直線.（Ⅵ）當(dāng)并假定方程組的系數(shù)至少有一組適合以下關(guān)系：（是中的一數(shù)）以上第一個(gè)等式表示組中第平面與直線平行.又因第二個(gè)不等式表示第平面不經(jīng)過上述直線,所以個(gè)平面有平行的交線.例如由方程組解得因?yàn)樾辛惺蕉渌齻€(gè)行列式不全是零故,就是三個(gè)平面的交點(diǎn)在無窮遠(yuǎn).三個(gè)平面中每兩個(gè)平面的交線是平行的.（Ⅶ）當(dāng),并假定在這種情況下,平面相交于一點(diǎn).又因故平面經(jīng)過前面三個(gè)平面的交點(diǎn),就是個(gè)平面有一個(gè)交點(diǎn),不在無窮遠(yuǎn).（Ⅷ）當(dāng),則矩陣中至少有一個(gè)四階行列式不等于零.假設(shè).（是中的一數(shù)）以上不等式表示平面不經(jīng)過前三個(gè)平面的交點(diǎn).3.3.2點(diǎn)組設(shè)有個(gè)點(diǎn),它們的齊次坐標(biāo)各是此點(diǎn)組的相關(guān)位置與坐標(biāo)做成的矩陣的秩有關(guān)系.分別敘述如下:（Ⅰ）當(dāng),則個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)全是(0,0,0,0)不能確定點(diǎn)的位置.（Ⅱ）當(dāng),假定,很容易推得(因?yàn)橹兴械亩A行列式等于0)上式表示個(gè)點(diǎn)全重合.（Ⅲ）當(dāng),并假設(shè)因中所有三階行列式全等于0,我們可以求得適合以下方程：式中不等于0,否則行列式將等于0.故可求得假設(shè)點(diǎn)與的連線為把的等值代入上式,易驗(yàn)證點(diǎn)在這連線上,故該點(diǎn)與第一與第二兩點(diǎn)共在一直線上.因可以是,所以個(gè)點(diǎn)全在一直線上.（Ⅳ）當(dāng),并假定中所有的四階行列式全是0,我們可以求得適合下式：式中不等于0,否則行列式從以上方程組求得：設(shè)點(diǎn)與所確定的平面是把的等值代入上式,甚易驗(yàn)明點(diǎn)在這個(gè)平面上,故該點(diǎn)與前三個(gè)點(diǎn)共在一平面上.又因?yàn)榭梢允?所以個(gè)點(diǎn)共在一個(gè)平面上.（Ⅴ）當(dāng),中至少有一個(gè)四階行列式如是中任一個(gè)數(shù).以上不等式表示點(diǎn)不在前三個(gè)點(diǎn)所確定的平面上,因?yàn)榧僭O(shè)點(diǎn)在平面上,則以下關(guān)系成立.也就是行列式這與假設(shè)矛盾.致謝本文是在的指導(dǎo)和幫助下完成的,在此對(duì)周老師表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出社,2003.[2]高楊芝.行列式淺說[M].江蘇:江蘇人民出版社,1958.[3]王萼芳,石生明修訂.高等代數(shù)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[4]王品超.高等代數(shù)新方法(下)[M].徐州:中國礦業(yè)大學(xué)出版社,2003.[