畢業(yè)論文行列式的若干應用

TheNumberofApplicationsofTheDeterminants專業(yè):數學與應用數學作者:指導老師:學校時間摘要行列式是數學研究中的一類重要的工具之一,它的應用非常廣泛.本文從以下三個方面對行列式的應用進行了論述:探討了行列式與線性方程組的關系以與在解線性方程組中的應用;舉例說明了行列式在初等代數中的應用,如在因式分解中應用,證明不等式以與恒等式;最后綜述了行列式在解析幾何中的若干應用.關鍵詞:行列式;矩陣;線性方程組;秩;因式分解;平面組;點組AbstractDeterminantisakindofimportanttoolsinthemathematicalstudy,itisaverywiderangeofapplications.Inthispaper,wehavebeentodiscussfromthefollowingthreeaspectsoftheapplicationsofthedeterminants:Toexploretherelationshipbetweenthedeterminantandlinearequationsandtheapplicationinthesolutionoflinearequations;examplesoftheapplicationofthedeterminantinalgebra,suchastheapplicationoffactorization,toprovethatinequalityandidentity;inthefinal,wehavemadeoverviewofthenumberofapplicationsofthedeterminantsinanalyticgeometry.Keywords:Determinant;Matrix;Linearequations;Rank;Factorization;Planegroup;Pointgroup目錄摘要 IAbstract II0引言 11行列式在線性方程組中的一個應用 12行列式在初等代數中的幾個應用 22.1用行列式分解因式 22.2用行列式證明不等式和恒等式 33行列式在解析幾何中的幾個應用 43.1用行列式表示公式 43.2行列式在平面幾何中的一些應用 63.3行列式在三維空間中的應用 8參考文獻 150引言行列式是研究數學的重要工具之一.例如線性方程組（見文[1]-[5]）、多元一次方程組的解、三維空間中多個平面組或多個點組的相關位置(見文[2])、初等代數（見文[9]）、解析幾何（見文[6]-[8]）、維空間的投影變換、線性微分方程組等,用行列式來計算是很便利的.本文進一步研究探討了行列式在線性方程組、初等代數、解析幾何三個方面的應用.1行列式在線性方程組中的一個應用設含有個變元的個一次線性方程組為（1）設方程組（1）的系數矩陣的秩是,不失一般性,假定不等于零的階行列式是行列式中的元素,就是矩陣中去掉第一列的元素以后剩下的元素,并按照它們的原有位置排列.我們把看作是未知數,是已知數,解方程組(1),得（2）式中是行列式的第列元素換以所成的行列式.也就是把中第列移到第一列,得上式右邊的行列式用表示,行列式是矩陣中去掉第列剩余下的元素所組成.故代入（2）式,得,或.結論[2]:方程組（1）中的與成比例,式中是從矩陣中去掉第列剩余下的元素做成的行列式.2行列式在初等代數中的幾個應用2.1用行列式分解因式利用行列式分解因式的關鍵,是把所給的多項式寫成行列式的形式,并注意行列式的排列規(guī)則.下面列舉幾個例子來說明.例2.1.1分解因式：.解例2.1.2分解因式:.解原式2.2用行列式證明不等式和恒等式我們知道,把行列式的某一行（列）的元素乘以同一數后加到另一行（列）的對應元素上,行列式不變;如果行列式中有一行（列）的元素全部是零,那么這個行列式等于零.利用行列式的這些性質,我們可以構造行列式來證明等式和不等式.例2.2.1已知,求證.證明令,則命題得證.例2.2.2已知求證.證明令,則命題得證.例2.2.3已知,求證.證明令,則而,則,命題得證.3行列式在解析幾何中的幾個應用3.1用行列式表示公式3.1.1用行列式表示三角形面積以平面內三點為頂點的的面積S是(3)的絕對值.證明將平面三點擴充到三維空間,其坐標分別為,其中為任意常數.由此可得：則面積為3.1.2用行列式表示直線方程直線方程通過兩點和的直線的方程為.（4）證明由兩點式,我們得直線的方程為將上式展開并化簡,得此式可進一步變形為此式為行列式(4)按第三行展開所得結果.原式得證.3.1.3例若直線過平面上兩個不同的已知點,,求直線方程.解設直線的方程為,不全為0,因為點在直線上,則必須滿足上述方程,從而有這是一個以為未知量的齊次線性方程組,且不全為0,說明該齊次線性方程組有非零解.其系數行列式等于0,即則所求直線的方程為同理,若空間上有三個不同的已知點,平面過,則平面的方程為同理,若平面有三個不同的已知點,圓過,則圓的方程為3.2行列式在平面幾何中的一些應用3.2.1三線共點平面內三條互不平行的直線相交于一點的充要條件是.3.2.2三點共線平面內三點在一直線的充要條件是.3.2.3應用舉例例平面上給出三條不重合的直線:,若,則這三條直線不能組成三角形.證明設與的交點為,因為將第1列乘上,第2列乘上,全加到第3列上去,可得：因為在與上,所以,且若與平行,若也在上交于一點,無論何種情形,都有不組成三角形.這說明由,得到三條直線或兩兩平行或三線交于一點.也就是三條直線不能組成三角形.3.3行列式在三維空間中的應用3.3.1平面組設由個平面方程構成的方程組為（5）若方程組(5)中的各代以,并用乘以(5)式兩端:得（6）叫做點的齊次坐標.這平面組的相關位置與方程組的系數所組成的兩矩陣與的秩與有關系.現在分別敘述如下：(Ⅰ)當,則方程組中各系數全是0.(Ⅱ)當則方程組(5)不合理,方程組(6)有解.當,,,將趨近于無窮大（假設趨近于0）.在這種情況下,我們說這個平面在無窮遠重合.(Ⅲ)當,則在矩陣與中所有二階行列式全是0.所以我們有以上等式表示個平面相合成一個平面.(Ⅳ)當方程的系數中至少有兩組數如與滿足以下關系式上式表示平面平行但不相合.也就是平面組中個平面相合或平行,至少有兩個平面不相合.(Ⅴ)則矩陣與中所有三階行列式全是0,至少有一個二階行列式不是0.假設我們必可求得適合下式：式中,否則行列式將等于0.所以以上等式表示平面經過直線就是個平面全經過一條直線.（Ⅵ）當并假定方程組的系數至少有一組適合以下關系：（是中的一數）以上第一個等式表示組中第平面與直線平行.又因第二個不等式表示第平面不經過上述直線,所以個平面有平行的交線.例如由方程組解得因為行列式而其它三個行列式不全是零故,就是三個平面的交點在無窮遠.三個平面中每兩個平面的交線是平行的.（Ⅶ）當,并假定在這種情況下,平面相交于一點.又因故平面經過前面三個平面的交點,就是個平面有一個交點,不在無窮遠.（Ⅷ）當,則矩陣中至少有一個四階行列式不等于零.假設.（是中的一數）以上不等式表示平面不經過前三個平面的交點.3.3.2點組設有個點,它們的齊次坐標各是此點組的相關位置與坐標做成的矩陣的秩有關系.分別敘述如下:（Ⅰ）當,則個點的坐標全是(0,0,0,0)不能確定點的位置.（Ⅱ）當,假定,很容易推得(因為中所有的二階行列式等于0)上式表示個點全重合.（Ⅲ）當,并假設因中所有三階行列式全等于0,我們可以求得適合以下方程：式中不等于0,否則行列式將等于0.故可求得假設點與的連線為把的等值代入上式,易驗證點在這連線上,故該點與第一與第二兩點共在一直線上.因可以是,所以個點全在一直線上.（Ⅳ）當,并假定中所有的四階行列式全是0,我們可以求得適合下式：式中不等于0,否則行列式從以上方程組求得：設點與所確定的平面是把的等值代入上式,甚易驗明點在這個平面上,故該點與前三個點共在一平面上.又因為可以是,所以個點共在一個平面上.（Ⅴ）當,中至少有一個四階行列式如是中任一個數.以上不等式表示點不在前三個點所確定的平面上,因為假設點在平面上,則以下關系成立.也就是行列式這與假設矛盾.致謝本文是在的指導和幫助下完成的,在此對周老師表示衷心的感謝!參考文獻[1]北京大學數學系幾何與代數教研室代數小組.高等代數(第三版)[M].北京:高等教育出社,2003.[2]高楊芝.行列式淺說[M].江蘇:江蘇人民出版社,1958.[3]王萼芳,石生明修訂.高等代數(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.[4]王品超.高等代數新方法(下)[M].徐州:中國礦業(yè)大學出版社,2003.[