(拔高)：立體幾何第一章-空間直線、平面平行垂直【高中數(shù)學(xué)+二輪復(fù)習(xí)】

PAGEPAGE1精品文檔第一章空間直線、平面平行垂直一、考綱解讀1．要理解空間直線和平面各種位置關(guān)系的定義.2．以立體幾何的定義，公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定，理解其判定定理與性質(zhì)定理.二、命題趨勢探究有關(guān)平行的問題是高考的必考內(nèi)容，主要分為兩大類：一類是空間線面關(guān)系的判定和推理；一類是幾何量的計算，主要考查學(xué)生的空間想象能力，思維能力和解決問題的能力.平行關(guān)系是立體幾何中的一種重要位置關(guān)系，在高考中，選擇題、填空題幾乎每年都考，難度一般為中檔題，且常常以棱柱、棱錐為背景.（1）高考始終把直線與平面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)作為考查的重點(diǎn)，通常以棱柱、棱錐為背景設(shè)計命題.考查的方向是直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，結(jié)合平面幾何有關(guān)知識考查.（2）以棱柱、棱錐為依托考查兩平行平面的距離，可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，線面距離和兩異面直線間的距離問題，通常是算、證結(jié)合，考查學(xué)生的滲透轉(zhuǎn)化思想.三、知識點(diǎn)精講(一).直線和平面平行1．定義直線與平面沒有公共點(diǎn)，則稱此直線與平面平行，記作∥2.判定方法(文字語言、圖形語言、符號語言)（見表8-9）表8-9文字語言圖形語言符號語言線∥線線∥面如果平面外的一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（簡記為“線線平行線面平行面∥面線∥面如果兩個平面平行,那么在一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面3.性質(zhì)定理(文字語言、圖形語言、符號語言)（見表8-10）表8-10文字語言圖形語言符號語言線∥面線∥線如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和交線平行(二).兩個平面平行1．定義沒有公共點(diǎn)的兩個平面叫作平行平面,用符號表示為:對于平面和,若,則∥2.判定方法(文字語言、圖形語言、符號語言)（見表8-11）表8-11文字語言圖形語言符號語言判定定理線∥面面∥面如果一個平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行（簡記為“線面平行面面平行線面面∥面如果兩個平面同垂直于一條直線,那么這兩個平面平行∥3.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表8-12）表8-12文字語言圖形語言符號語言面//面線//面如果兩個平面平行，那么在一個平面中的所有直線都平行于另外一個平面性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行（簡記為“面面平行線面平行”）面//面線面如果兩個平面中有一個垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線(三).線面垂直1.定義：如果一條直線和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那稱這條直線和這個平面相互垂直.2.判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表1）表1文字語言圖形語言符號語言判斷定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直面⊥面?線⊥面兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a平行與垂直的關(guān)系1一條直線與兩平行平面中的一個平面垂直，則該直線與另一個平面也垂直__平行與垂直的關(guān)系2兩平行直線中有一條與平面垂直，則另一條直線與該平面也垂直_b_a3．性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）（見表2）表2文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理垂直于同一平面的兩條直線平行_b_a文字語言圖形語言符號語言垂直與平行的關(guān)系垂直于同一直線的兩個平面平行__線垂直于面的性質(zhì)如果一條直線垂直于一個平面，則該直線與平面內(nèi)所有直線都垂直(四).斜線在平面內(nèi)的射影1.斜線的定義一條直線與一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和這個平面的交點(diǎn)叫做斜足.2.射影的定義過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內(nèi)的射影.3.直線與平面所成的角平面內(nèi)的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角.特別地，一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角是直角；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角是的角，故直線與平面所成的角的范圍是.如圖8-122所示，是平面的斜線，為斜足；是平面的垂線，為垂足；是在平面的射影，的大小即為直線與平面所成的角的大小.(五).平面與平面垂直1.二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面；如圖8-123所示，在二面角的棱上任取一點(diǎn)，以點(diǎn)為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則射線和構(gòu)成的叫做二面角的平面角，二面角的范圍是.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面與平面垂直的定義如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直.（如圖8-124所示，若，，且，，，則）一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.3.判定定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直__4.性質(zhì)定理（文字語言、圖形語言、符號語言）文字語言圖形語言符號語言性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直___a四、思路小結(jié)(一).線線平行、線面平行、面面平行的轉(zhuǎn)換如圖0所示.性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定線∥面線∥線面∥面圖0證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對邊，不同向進(jìn)面，延長交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個平面垂直于同一條直線；④證明兩個平面同時平行于第三個平面.證明線線平行的常用方法：eq\o\ac(○,1)利用直線和平面平行的判定定理；eq\o\ac(○,2)利用平行公理；(二).證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系線線線面面面（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)（）；⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（∥）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）.（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）.性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)判定判定判定判定判定線∥面線∥線面∥面線⊥面線⊥線面⊥面圖3五、解答題題型總結(jié)核心考點(diǎn)一：平行證明如圖所示，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面？證明你的結(jié)論．原圖：在棱上存在點(diǎn)，使平面．且為的中點(diǎn)．法一：分別取和的中點(diǎn)，，連結(jié)，，，．由四邊形是平行四邊形，有．又，分別為，的中點(diǎn)，有，∴．這說明、、、共面，所以平面．因四邊形與皆為正方形，，分別為和的中點(diǎn)，所以，且，∴四邊形是平行四邊形，所以．而 平面，平面，故平面．法二：連結(jié)，，，且與交于點(diǎn)，連結(jié)，（要證線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行即）由平行四邊形有，又為棱中點(diǎn)，有，∴，∴，且．∴，且面，面，∴棱上存在中點(diǎn)，使得面．【例2】如圖，已知正方體中，、分別為、的中點(diǎn)，在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面？證明你的結(jié)論．原圖：法一：取使得，則這樣的滿足要求．延長交于，連接、．由，得．又，，∴易知，∴，是平行四邊形∴．另外，由、分別為、的中點(diǎn)，知．∵，∴面面∵面，∴面．法二：延長交于，則．連接交于，則．連接，平面與面的交線即為，要想面，則只需即可．由知，只需即可，即．此時的滿足要求．如圖，已知四棱錐的底面為直角梯形，，，．在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面？請證明你的結(jié)論．原圖：線段的中點(diǎn)就是滿足條件的點(diǎn)．證明如下：取的中點(diǎn)連結(jié)、、，則，．取的中點(diǎn)，連結(jié)、，∵且，∴是正三角形，∴．∴四邊形為矩形，∴．又∵，∴且，四邊形是平行四邊形．∴，而平面，平面，∴平面．核心考點(diǎn)：垂直證明【例1】在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)，證明：平面平面．∵底面，平面，∴；又∵，平面，平面，，∴平面．平面，∴．又∵，是的中點(diǎn)，∴；平面，平面，，∴平面．平面，∴．又∵，、平面，，∴平面，又∵平面，∴平面平面．【例2】如圖，已知中，，，平面，，、分別是、上的動點(diǎn)，且．⑴求證：不論為何值，總有平面平面；⑵當(dāng)為何值時，平面平面？⑴∵平面，∴．∵，且，∴平面．又，故．∴平面．又∵平面，∴不論為何值，總有平面平面．⑵由⑴知，，又平面平面，∴平面，∴．∵，，∴，，．由射影定理，解得，∴．因此時，平面平面．【例3】在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且交于點(diǎn)，證明：平面平面．【解析】∵底面，平面，∴；又∵，平面，平面，，∴平面．平面，∴．又∵，