浙江省衢州市五校聯(lián)盟高三4月聯(lián)考試題新高考數(shù)學(xué)試題試卷

浙江省衢州市五校聯(lián)盟高三4月聯(lián)考試題新高考數(shù)學(xué)試題試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知i是虛數(shù)單位，若z=l+ai,z1=2，則實(shí)數(shù)。=（）

A.—五或叵B.-1或1C.1D.V2

2.已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,且2a+>=g（a>0,>>0）,則

此三棱錐外接球表面積的最小值為（）

A.—71B.-71C.4萬D.57r

44

3.在三棱錐P—A3C中，AB±BP,AC±PC,AB±AC,PB=PC=2收,點(diǎn)P到底面ABC的距離為2,

則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（）

A.3萬B.義工C.12萬D.24〃

2

4.已知數(shù)列｛q｝滿足：％=L4+1則％=（）

[2a“+l,a”為偶數(shù)

A.16B.25C.28D.33

5.小張家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6:30-7:30之間把報(bào)送到小張家，小張離開家去工作的時(shí)間在早上

7.00-8:00之間.用A表示事件：“小張?jiān)陔x開家前能得到報(bào)紙”，設(shè)送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間為x,小張離開家的時(shí)間為V,

（x，y）看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（）

6.已知耳，凡是雙曲線。:±-工=1(。>0,6>0)的左、右焦點(diǎn)，A,3是C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)尸在過耳且斜率為正的

。b4

直線上，為等腰三角形，NAB尸=120。，則C的漸近線方程為()

A.y=±gxB.y=±2xC.y=土與XD.y=+y/3x

7.在復(fù)平面內(nèi)，出復(fù)數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共朝復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()

1-z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

8.已知等差數(shù)列｛%｝的前幾項(xiàng)和為S",且。2=-2,網(wǎng)=10,則Sg=()

A.45B.42C.25D.36

9.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖，左視圖也叫側(cè)視圖)，則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是

().

(俯視用)

A.2網(wǎng)B.4C.2石D.272

10.從拋物線上一點(diǎn)p(P點(diǎn)在x軸上方)引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為"，且|PM|=5,設(shè)拋物線的焦點(diǎn)

為尸，則直線的斜率為()

44

A.-2B.2C.

33

11.復(fù)數(shù)z=(6—l)+(a—l)*aeR)為純虛數(shù)，則z=()

A.iB.-2iC.2iD.-i

12.已知幕函數(shù)/(x)=K的圖象過點(diǎn)(3,5),且a=，b=W，c=log^,則a,b,c的大小關(guān)系為(

a)

A.c<a<bB.a<c<bC.a<b<cD.c<b<a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.若奇函數(shù)/(%)滿足/(x+2)=-/(x),g(x)為R上的單調(diào)函數(shù),對(duì)任意實(shí)數(shù)xeR都有g(shù)[g(x)-2'+21=1,

當(dāng)xe[O,l]時(shí),/(x)=g(x),J!!|/(log212)=.

14.已知拋物線C:V=標(biāo)的焦點(diǎn)為R,直線/與拋物線C相切于M點(diǎn)、，N是I上一點(diǎn)(不與M重合)，若以線段MN

為直徑的圓恰好經(jīng)過F,則點(diǎn)N到拋物線頂點(diǎn)。的距離|0N|的最小值是.

15.已知函數(shù)；，且Vp＜7"，沏＞加，使得/■(p)+/(q)=O,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

16.如圖，在矩形ABC。中，AD=2AB=4,E是AD的中點(diǎn)，將八45E，△口＞￡分別沿BE,CE折起，使得

平面ABE_L平面BCE,平面CDE_L平面BCE,則所得幾何體ABCDE的外接球的體積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知等差數(shù)列｛?｝滿足=7,+〃7=26.

(I)求等差數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)c,求數(shù)列｛g｝的前幾項(xiàng)和7；.

anan+l

18.(12分)已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)/(0,1),且與直線/：y=-1相切，動(dòng)圓圓心的軌跡為C,過歹作斜率為左/N0)的直線

機(jī)與C交于兩點(diǎn)A,B,過A,3分別作c的切線，兩切線的交點(diǎn)為「，直線PR與C交于兩點(diǎn)M,N.

(1)證明：點(diǎn)P始終在直線/上且LAB；

(2)求四邊形AMBN的面積的最小值.

19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并在兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單

位.已知曲線。的極坐標(biāo)方程為〃=2cos仇直線/的參數(shù)方程為一一.(，為參數(shù)，a為直線的傾斜角).

y=tsma

⑴寫出直線/的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若直線/與曲線C有唯一的公共點(diǎn)，求角a的大小.

20.(12分)設(shè)廠為拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)，P,。為拋物線C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)若點(diǎn)/在線段PQ上，求|PQ|的最小值；

(II)當(dāng)OPLPQ時(shí)，求點(diǎn)?？v坐標(biāo)的取值范圍.

21.（12分）已知在多面體ABCDEF中，平面CDEE，平面ABC。，且四邊形EC￡>歹為正方形，且。C〃AB,

AB=3DC=6,AD=BC=5,點(diǎn)P,Q分別是助，AD的中點(diǎn).

（1）求證：P。//平面EEC。；

（2）求平面與平面PC。所成的銳二面角的余弦值.

22.（10分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測(cè)，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病

毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（Coro〃aWr“sZ>isease2019,COVID—19）,簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”.下圖

是2020年1月15日至1月24日累計(jì)確診人數(shù)隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖.

A累計(jì)■診人數(shù)隨時(shí)間變化敏點(diǎn)陰

IHUH1H1THIH1?Hin?HUIllHiHnllI，114H?IM

為了預(yù)測(cè)在未采取強(qiáng)力措施下，后期的累計(jì)確診人數(shù)，建立了累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量f的兩個(gè)回歸模型，根據(jù)1

月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量f的值依次1,2,10）建立模型§=°+力和9=a+a1.5'.

⑴根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，§=c+力與》=a+力15哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量?的回歸方程類型？（給

出判斷即可，不必說明理由）

（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）以下是1月25日至1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題:

時(shí)間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日

累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)19752744451559747111

（i）當(dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)差值的絕對(duì)值與真實(shí)數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1

則認(rèn)為模型可靠，請(qǐng)判斷（2）的回歸方程是否可靠？

（ii）2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下，全國(guó)人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5

天后，真實(shí)數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護(hù)措施有效，請(qǐng)判斷預(yù)防措施是否有效？

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（（%匕），（%,匕），……，（/，匕），其回歸直線u=a+的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

"乂匕一V）

三1

a=?一伙小

—1io

參考數(shù)據(jù)：其中1-5\0=右2。，?

,=i

10101010

ty3E城之％1.5111.5121.5131.5141.515

J=11=1i=l1=1

5.539019385764031525154700100150225338507

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

由題意得，zZ=（l+力乂1—切）=1+/，然后求解即可

【詳解】

Vz=1+ai,zz=（l+az）（l—5）=l+a~.又zz=2，*,?1+a2=2>a=+1.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題

2、B

【解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而

得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值.

【詳解】

由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體ABC。-A4CA的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐A-Cq2,且

長(zhǎng)方體ABC。—A4C。的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,

...此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-A4G。的外接球，

且球半徑為R=也2+/+/="+/+?,

22

???三棱錐外接球表面積為4〃"+〃+”=?（4+/+/）=5?,—1J+生￡,

121

...當(dāng)且僅當(dāng)a=l,6=—時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為二》.

24

故選B.

【點(diǎn)睛】

（1）解決關(guān)于外接球的問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓

面起襯托作用.

（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問題時(shí)可考慮通

過構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過長(zhǎng)方體的外球球來研究三棱錐的外接球的問題.

3、C

【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定OP=Q4=O3=OC,由此可知。為三棱錐外接球的球心，在AB鉆中，可以算出AP的

一個(gè)表達(dá)式，在AOAG中，可以計(jì)算出A0的一個(gè)表達(dá)式，根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑，進(jìn)而求出球的表面積.

【詳解】

取AP中點(diǎn)。，由ABLBP,AC_LPC可知：OP=OA=OB=OC,

:.O為三棱錐P-ABC外接球球心，

過P作PH，平面ABC,交平面ABC于連接AH交于G,連接。G,HB,HC,

PB=PC,:.HB=HC,..AB=AC,..G為8C的中點(diǎn)

由球的性質(zhì)可知：。3，平面715。，，06%E，且OG=^P"=1.

2

設(shè)AB=x,

QPB=2V2>AO=^PA=^Vx2+8,

AG=，BC=史x，=在AOAG中，AG2+OG2=OA2,

22

二三棱錐P—ABC的外接球的半徑為：AO=/x2+(2立了=g,4+0何=6，

???三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4兀改=12兀.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題，求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心

的位置.

4、C

【解析】

依次遞推求出4得解.

【詳解】

n=l時(shí)，％=1+3=4,

n=2時(shí)，/=2X4+1=9,

n=3時(shí)，%=9+3=12,

n=4時(shí)，々5=2x12+1=25,

n=5時(shí)，a6=25+3=28.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題主要考查遞推公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.

5、D

【解析】

這是幾何概型，畫出圖形，利用面積比即可求解.

【詳解】

解：事件A發(fā)生，需滿足即事件A應(yīng)位于五邊形BCD防內(nèi)，作圖如下：―A

6:307

1----X—X—

故選:D

【點(diǎn)睛】

考查幾何概型，是基礎(chǔ)題.

6、D

【解析】

根據(jù)△上43為等腰三角形，=120°可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，又由P耳的斜率為"可得出。關(guān)系，即可求出漸

近線斜率得解.

【詳解】

如圖，

因?yàn)椤?為等腰三角形，ZABP=120°,

所以|P3|=|AB|=2〃，N尸5M=60。,

:.xp=|PB\cos600+a=2a,yp=|PB|sin60°=,

7y/3d—0\/3

XkpF-------——，

「A2Q+C4

:.2a=c

3a2=b1，

解得2=后，

a

所以雙曲線的漸近線方程為y=土瓜,

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.

7、D

【解析】

將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得z=l+2i,z=l-2z?，即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,-2)，即可得出結(jié)果.

【詳解】

z==:：+??+?=1+2/=1-2/,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.

1-1(1一。(1+2)

故選:D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共期復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)，難度容易.

8、D

【解析】

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知4+%=?2+/，進(jìn)而代入等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式即可?

【詳解】

由題,S9=%+為）=9a+⑷=9%（-2+⑼=36.

222

故選:D

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

9、A

【解析】

作出其直觀圖，然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.

【詳解】

根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖，如圖所示，其中底面是直角梯形，且AO=A3=2,BC=4,

上4,平面ABC。，且PA=2,

?*-PB=A/22+22=2A/2PD=5+于=2貶,CD=2y/2>PC=y/p^+AC2=74+20=276?

.?.這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算，正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】

根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出點(diǎn)P坐標(biāo)和焦點(diǎn)產(chǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)"的坐標(biāo)，代入斜率公式即可求解.

【詳解】

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（毛,%）,%>0,

由題意知，焦點(diǎn)b(1,0),準(zhǔn)線方程/:x=—1,

所以|PM|=%+1=5,解得/=4,

把點(diǎn)P(4,%)代入拋物線方程可得，

%=±4,因?yàn)?＞。，所以%=4,

所以點(diǎn)M坐標(biāo)為(—1,4),

代入斜率公式可得，kMF=^-=-2.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力；屬于基礎(chǔ)題.

11,B

【解析】

復(fù)數(shù)z=(6-l)+(a—為純虛數(shù)，則實(shí)部為0,虛部不為0,求出即得z.

【詳解】

Vz=(a2_i)+(a_1)[aeR)為純虛數(shù)，

/一1=0

**?\，解得a=-1.

。一1w0

z=—2z.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的分類，屬于基礎(chǔ)題.

12、A

【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)a,根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

【詳解】

依題意，得3a=5，故a=log35e(l,2),

門、啕

5_______。=電鳴5；＜0,

故0<〃=卜)<1,b=^log35>1,

則cvavZ?.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1

13、——

3

【解析】

根據(jù)“無+2)=—/(￡)可得，函數(shù)/(%)是以4為周期的函數(shù)，令8(力—2'+2=左，可求g(x)=2、—1,從而可得

f(x)=g(x)=r-1,/(log212)=-/(2-log23)代入解析式即可求解.

【詳解】

令g(x)—2'+2=左，則g(x)=A+2，—2,

由g[g(x)-2，+2]=l,則=

所以g(Z)=k+2J2=l,解得左=1,

所以g(x)=2j

由尤e[0,l]時(shí)，f(x)=g(x),

所以xe[(U]時(shí)，f(x)=2x-l；

由/(x+2)=-/(^)，所以/(x+4)=—/(1+2)=/(x),

所以函數(shù)/(%)是以4為周期的函數(shù)，

/(log212)=/(log23+log24)=/(log23+2)=/(log23-2),

又函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

故答案為：-彳

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了換元法求函數(shù)解析式、函數(shù)的奇偶性、周期性的應(yīng)用，屬于中檔題.

14、2

【解析】

根據(jù)拋物線C:/=8x,不妨設(shè)〃m,,取y=207,通過求導(dǎo)得勺=

1\y-2,yl2m=x-m\,再根據(jù)以線段MN為直徑的圓恰好經(jīng)過R，則MFJ.A下，得到

72-m

-二HX2）,兩式聯(lián)立，求得點(diǎn)N的軌跡，再求解最值.

【詳解】

因?yàn)閽佄锞€C:y2=8x,不妨設(shè)〃m,，取y=2A/2X,

所以/=亍，即4

所以/:y-2而=[=(x—m

因?yàn)橐跃€段MN為直徑的圓恰好經(jīng)過R,

所以MFLNV,

12—777

所以幻

々MF2y[2ni

所以，版：y=松（“一2），

由，解得x=—2,

所以點(diǎn)N在直線x=—2上,

所以當(dāng)N（—2,0）時(shí)，|ON|最小，最小值為2.

故答案為：2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系直線的交軌問題，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.

15、（-co,0]

【解析】

根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=-/（可在（-8,m）上的值域是函數(shù)y=/（可在[m,轉(zhuǎn)）上的值域的子集;分別求值域即可得

到結(jié)論.

【詳解】

解：依題意，f(q)=—f(p)，

即函數(shù)y=-/⑴在(TXV")上的值域是函數(shù)y=/(力在［私+8)上的值域的子集.

因?yàn)槎?/(%)在［私”)上的值域?yàn)椋?4,+8)(m4一2)或［療+4機(jī),+oo］(m>-2),

y=-/(x)在(一8,上的值域?yàn)?一加,+8),

m<-2fm>-2

故4或24，

—m>—4［—m>m+4m

解得加KO

故答案為：(7,0］.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分段函數(shù)的值域求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.

32

16、—71

3

【解析】

根據(jù)題意，畫出空間幾何體，設(shè)BE,EC,3c的中點(diǎn)分別為"，N,O,并連接

AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,利用面面垂直的性質(zhì)及所給線段關(guān)系，可知幾何體ABCDE的外接球的球

心為。，即可求得其外接球的體積.

【詳解】

由題可得ZkABE,△CDE,△BEC均為等腰直角三角形，如圖所示，

設(shè)BE,EC,3C的中點(diǎn)分別為以，N,O,

連接AM,CM,AO,DN,NO,DO,OE,

則ONICE.

因?yàn)槠矫鍭BE_L平面BCE,平面CDE_L平面BCE,

所以O(shè)M_L平面ASE,ON_L平面DEC,

易得OA=OB=OC=OD=OE=2,

則幾何體ABCDE的外接球的球心為。，半徑R=2,

432

所以幾何體ABCDE的外接球的體積為7=—冗試=一冗.

33

32

故答案為：—71.

【點(diǎn)睛】

本題考查了空間幾何體的綜合應(yīng)用，折疊后空間幾何體的線面位置關(guān)系應(yīng)用，空間幾何體外接球的性質(zhì)及體積求法,

屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

n

17、(1)4=2H+1；

6n+9

【解析】

試題分析：(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝滿的首項(xiàng)為%,公差為d,代入兩等式可解q,d。

⑵由(!)4=2"+1,代入得'所以通過裂項(xiàng)求和可求得小

q+2d=7q=3

試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由題意可得解得

2a1+10J=26d—2

所以%=3+2(〃-1)=2〃+1.

11

(2)因?yàn)閏n=------=(,

4一+1(2〃+1)(2〃+3)

所以。—]?

所以小果111---q

-------1------------\~

5572n+l2n+3)2(32n+3)6n+9

18、(1)見解析(2)最小值為1.

【解析】

(1)根據(jù)拋物線的定義，判斷出C的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡C的方程.設(shè)出A,3兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得

切線PAM的方程，由此求得P點(diǎn)的坐標(biāo).寫出直線機(jī)的方程，聯(lián)立直線心的方程和曲線C的方程，根據(jù)韋達(dá)定理求

得P點(diǎn)的坐標(biāo)，并由此判斷出P始終在直線/上，且。尸，A5.

(2)設(shè)直線的傾斜角為a,求得|A目的表達(dá)式，求得的表達(dá)式，由此求得四邊形AMBN的面積的表達(dá)式

進(jìn)而求得四邊形AMBN的面積的最小值.

【詳解】

⑴..?動(dòng)圓過定點(diǎn)廠(0,1),且與直線/：y=-l相切，.?.動(dòng)圓圓心到定點(diǎn)廠(0,1)和定直線y=-l的距離相等，動(dòng)圓圓

心的軌跡C是以尸(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線，.?.軌跡C的方程為：好=4〉，

設(shè)8(%,多,"=4%.?.直線B4的方程為：丫-亨=卜-西)，即：分=2再x-X；①,

同理，直線P5的方程為：4y=2%%-月②，

由①②可得：P(三逗,中)，

24

直線加方程為：y=kx+l,聯(lián)立+1可得：f_4觸—4=0,:.P(2k,—1),

[x=4y

左弘x左=—工義左=—1,...點(diǎn)P始終在直線/上且P尸，AB；

k

(2)設(shè)直線A3的傾斜角為a,由(1)可得：|AB|=+4(1+k2)=4(1+tan2a)=,

COScc

44

:.\MN\=--------------

cos?(a+90)sin2a

io32

四邊形AMBN的面積為：-x\AB\x\MN\=-------=..>32,當(dāng)且僅當(dāng)々=45或135，即人=±1時(shí)

2sinacosasin_2a

取等號(hào)，.?.四邊形AMBN的面積的最小值為1.

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計(jì)算，考查

運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

7TTF

19、(1)當(dāng)a=—時(shí)，直線/方程為》=-1；當(dāng)aw—時(shí)，直線/方程為

22

TT57r

j=(x+l)tana；X2+J2=2X(2)一或—.

-66

【解析】

(1)對(duì)直線/的傾斜角分類討論，消去參數(shù)，即可求出其普通方程；由夕2=f+/,Pcos8=x,即可求出曲線C的

直角坐標(biāo)方程;

（2）將直線/的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程，根據(jù)條件/=0,即可求解.

【詳解】

⑴當(dāng)a=—時(shí)，直線，的普通方程為”=一1；

2

71

當(dāng)。。一時(shí)，消去參數(shù)/得

2

直線I的普通方程為y=（x+l）tana.

由"=2cos0,得p2=2pcos0,

22

所以x+y=2xf即為曲線C的直角坐標(biāo)方程.

⑵把x=—1+^cosa,y=￡sina代入x2+y2=2x,

整理得Z2—4rcosa+3=0.

3

由J=16cos2a—12=0,得cos2a=—,

4

所以cosa=^-或cosa=--,

22

故直線/的傾斜角a為丁或苧.

【點(diǎn)睛】

本題考查參數(shù)方程化普通方程，極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程，考查直線與曲線的關(guān)系，屬于中檔題.

20.（I）4（II）（-^,-8][8,”）

【解析】

（由拋物線的性質(zhì)，當(dāng)，軸時(shí)，最小;（）設(shè)點(diǎn)「（%,%）,y）,分別代入拋物線方程和OPPQ=0

DPQx|PQ|22（X2,2

得到三個(gè)方程，消去占,吃,得到關(guān)于%的一元二次方程，利用判別式即可求出乃的范圍.

【詳解】

解：（1）由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，P=2,根據(jù)拋物線的性質(zhì)，當(dāng)軸時(shí)，|尸0最小，最小值為2p,即為4.

（2）由題意，設(shè)點(diǎn)P（%，X）,。（乙,%），其中%/為?

因?yàn)镺P_LPQ,0p=(xi，yj,PQ=(x2-xl,y2-yl),

所以O(shè)PPQ=玉(/_/)+X(%—X)=°?③

由①②③，得y；+y2y1+16=0,

由且…，得△=>”64?0,

解不等式，得點(diǎn)?？v坐標(biāo)為的范圍為(-,-8][8,+8).

【點(diǎn)睛】

本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問題，考查運(yùn)算能力，此類問題能較好的考查考生的邏輯思維能

力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等，易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)解.

21、(1)證明見解析；⑵琶.

【解析】

(1)構(gòu)造直線PQ所在平面由面面平行推證線面平行；

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出兩個(gè)平面的法向量，再由法向量之間的夾角，求得二面角的

余弦值.

【詳解】

(1)過點(diǎn)PH_LBC交BC于H點(diǎn),連接如下圖所示:

因?yàn)槠矫鍯D尸平面ABC。，且交線為CD,

又四邊形CDEE為正方形，故可得CELCD,

故可得CEJ_平面ABC。，又CBu平面ABC。，

故可得CELCB.

在三角形C3E中，因?yàn)镻為鹿中點(diǎn)，PH±CB,CE±CB,

故可得PH〃CE,"為CB中點(diǎn)；

又因?yàn)樗倪呅蜛BC。為等腰梯形，”,。是的中點(diǎn)，

故可得HQ//CD；

又PHcHQ=H,CDcCE=C,

且“Qu平面尸CD,CEu平面DFEC,

故面〃面EEDC,

又因?yàn)镻Qu平面P〃Q,

故PQ//面莊C￡>.即證.

(2)連接AE,AC,作LAB交AB于