江蘇省鹽城市射陽(yáng)中學(xué)2025屆高三上學(xué)期8月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)學(xué)科階段練習(xí)（二）時(shí)間：120分鐘分值：150分命題人：審核人一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先解一元二次不等式和對(duì)數(shù)函數(shù)不等式求出集合，由并集定義求解即可.【詳解】由可得：，所以，由可得：，所以，所以.故選：D2.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，且存在這樣的使不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，得，則化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求出其最小值為4，從而得，解不等式可求得答案.【詳解】由，，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：C．3.函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)比選項(xiàng)中的圖象，再分別計(jì)算和時(shí)，的取值情況，即可作出選擇．【詳解】當(dāng)時(shí)，，，則，排除選項(xiàng)B和C；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)A，選項(xiàng)D符合題意.故選：D4.已知函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，判斷函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性及單調(diào)性，再比較大小即可.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，則，所以.故選：B5.已知，是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，滿(mǎn)足，若對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)構(gòu)造方程組求出的解析式，再根據(jù)題意得到在單調(diào)遞增，分類(lèi)討論即可求解.【詳解】由題意可得，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，是偶函數(shù)，所以，聯(lián)立，解得，又因?yàn)閷?duì)于任意的，都有成立，所以，所以成立，構(gòu)造，所以由上述過(guò)程可得在單調(diào)遞增，（1）若，則對(duì)稱(chēng)軸，解得；（2）若，則在單調(diào)遞增，滿(mǎn)足題意；（3）若，則對(duì)稱(chēng)軸恒成立；綜上，.故選：D.6.函數(shù)與函數(shù)公切線(xiàn)的縱截距為（）A.1或0 B.-1或0 C.1或 D.-1或【答案】B【解析】【分析】先設(shè)切點(diǎn)分別為，并通過(guò)點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出兩條切線(xiàn)方程，根據(jù)公切線(xiàn)方程得，最后計(jì)算值即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)分別為，,且導(dǎo)數(shù)為，所以切斜方程為既為，也為，所以，所以，所以，所以或，所以公切線(xiàn)的縱截距為或.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查求公切線(xiàn)問(wèn)題，解題關(guān)鍵是分別在函數(shù)上設(shè)不同切點(diǎn)并求切線(xiàn)方程，根據(jù)兩切線(xiàn)方程一樣來(lái)求解公切線(xiàn)斜率.7.已知函數(shù)，則滿(mǎn)足的x的取值范圍為（）A.1,+∞ B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由奇偶函數(shù)的定義得出為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，由導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性進(jìn)而得出在上單調(diào)遞增，根據(jù)抽象函數(shù)不等式解法求解即可．【詳解】由題意得，的定義域?yàn)椋?，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)，令，則，因?yàn)楹驮谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．由，得，所以，兩邊平方并整理，得，解得．故選：B．8.已知函數(shù)若恰有三個(gè)不同實(shí)根，則的取值范圍是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，一般需要用換元法，再結(jié)合函數(shù)圖象進(jìn)行討論.【詳解】令，則，①當(dāng)時(shí)，的圖象如圖所示若恰有三個(gè)不同實(shí)根，則一定要有兩個(gè)不同的根，所以，設(shè)的兩根為且則一定有所以解得當(dāng)時(shí)，如圖所示，若恰有三個(gè)不同實(shí)根，則必須有，即解得②當(dāng)時(shí)，或時(shí)，只有一個(gè)根，此時(shí)不能有三個(gè)不同實(shí)根.③當(dāng)時(shí)，，、的圖象如圖所示，若有三個(gè)不同的實(shí)根則，即，此不等式無(wú)解綜上所述：故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得θ分．9.下列說(shuō)法正確是（）A.若，則B.命題“，”的否定是“，或”C.若，則函數(shù)的最小值為2D.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是【答案】BD【解析】【分析】特殊值法判斷A,特稱(chēng)命題的否定判斷B,應(yīng)用基本不等式判斷C,應(yīng)用恒成立得出判別式即可求參判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，命題“”的否定是“或”，故B正確；對(duì)于C，則，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)無(wú)解，故取不到等號(hào)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上所述，，故D正確.故選：BD.10.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，，則（）A. B.為奇函數(shù)C.在R上單調(diào)遞減 D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，賦值法得到，，；B選項(xiàng)，先賦值得到，令得，故B正確；C選項(xiàng)，令，且，當(dāng)時(shí)，，故，從而在R上單調(diào)遞增；D選項(xiàng)，先變形得到，又，故，由函數(shù)單調(diào)性得到D正確.【詳解】A選項(xiàng)，中，令得，，又，故，令中，令得，令得，即，A正確；B選項(xiàng)，中，令得，解得，中，令得，故為奇函數(shù)，B正確；C選項(xiàng)，中，令，且，故，即，當(dāng)時(shí)，，故，即，故在R上單調(diào)遞增，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，，又，故，又在R上單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD11.已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.函數(shù)為周期函數(shù)C.函數(shù)為上的偶函數(shù) D.【答案】AB【解析】【分析】首先利用函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合關(guān)系式的變換得到函數(shù)周期判斷B，利用特殊值代入判斷A，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性結(jié)合關(guān)系式和偶函數(shù)定義判斷C，根據(jù)函數(shù)的關(guān)系式和單調(diào)性判斷D.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，故函數(shù)圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，f2x+1為奇函數(shù)，1），函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)于B，，故2是函數(shù)的周期，函數(shù)為周期函數(shù)，故B正確；對(duì)于A，，令，故f1=0，又，故A正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，f'x>0，即函數(shù)在上遞增，函數(shù)圖象關(guān)于1,0對(duì)稱(chēng)，故函數(shù)在上遞減，故函數(shù)在上遞增，所以，故函數(shù)不是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：AB.【點(diǎn)睛】抽象函數(shù)的判斷一般會(huì)從函數(shù)奇偶性、周期性和對(duì)稱(chēng)性的定義推得相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)；三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且.若對(duì)任意的、且，都有成立，則不等式的解集是______.【答案】【解析】【分析】依題意不妨令，即可得，令，x∈-∞,0∪0,+∞，即可得到在0,+∞上單調(diào)遞增，再由及奇偶性得到在0,+∞上的取值情況，從而得到【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的、且，都有成立，不妨令，則，即，所以，令，x∈-則當(dāng)且時(shí)，，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，又函數(shù)y=fx是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)且，則所以，所以當(dāng)時(shí)，gx<0，當(dāng)時(shí)，gx>0則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以不等式的解集是.故答案為：13.函數(shù)的極小值點(diǎn)為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】2【解析】【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，由題設(shè)可得或，再進(jìn)行檢驗(yàn)，即可求解.【詳解】因?yàn)?，得到，由題知，解得或，當(dāng)時(shí)，，由，得到或，由，得到，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是極大值點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，，由，得到或，由，，則f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是極小值點(diǎn)，符合題意，故答案為：.14.中國(guó)的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)中的數(shù)學(xué)原理之一是香農(nóng)公式：，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C取決于信道帶寬W、信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率S、信道內(nèi)部的高斯噪音功率N的大小，其中叫做信噪比．己知當(dāng)x比較大時(shí)，，按照香農(nóng)公式，由于技術(shù)提升，寬帶W在原來(lái)的基礎(chǔ)上增加20%，信噪比從1000提升至8000，則C大約增加了____________（附：）【答案】【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，由香農(nóng)公式分別計(jì)算信噪比為1000和8000時(shí)C的比值即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可設(shè)技術(shù)提升前最大信息傳送速率，信道帶寬，信噪比；提升后分別為，信道帶寬，信噪比；且滿(mǎn)足，；易知，所以；所以可得C大約增加了.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.回答下面兩個(gè)題：（1）（2）【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算公式，化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】原式．【小問(wèn)2詳解】原式.16.已知奇函數(shù)處取得極大值16.（1）求的解析式；（2）求經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并與曲線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先由是奇函數(shù)求得，再結(jié)合在處取得極大值16構(gòu)成方程組即可求得a和c，則解析式可求；（2）先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以f-x即，則，從而，.因?yàn)樵谔幦〉脴O大值16，所以解得經(jīng)檢驗(yàn)知此時(shí)在處取得極大值，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，切線(xiàn)方程.因?yàn)榍芯€(xiàn)經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，解得，故經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)并與曲線(xiàn)y=fx17.已知函數(shù)．（1）若，在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上的值域是（m、），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】（1）由，在恒成立，采用分離參數(shù)求最值，即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以時(shí)左端點(diǎn)取得最小值，在右端點(diǎn)取得最大值，再借助一元二次函數(shù)根的分布列出不等式，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】由可得：，即，在上恒成立，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即m、n為方程的兩個(gè)不同的正根，也就是方程有兩個(gè)不同的正根，于是，解得．18.已知函數(shù)，，．（1）討論：當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）當(dāng)時(shí)，，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，分別討論當(dāng)和導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性，從而求出極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）對(duì)求導(dǎo)，確定其最小值，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成不等式成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)確定其單調(diào)性，即可求解.【小問(wèn)1詳解】，，①當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，所以有唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以有一個(gè)極小值點(diǎn)，無(wú)極大值點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以，即，所以的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0．綜上所述，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．【小問(wèn)2詳解】，由，得，由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，使得，所以只需成立，即不等式成立．令，則，則，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出，從而轉(zhuǎn)化為求出不等式成立．19.給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱(chēng)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．已知函數(shù)．（1）若是函數(shù)的“拐點(diǎn)”，求a的值和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)的“拐點(diǎn)”在y軸右側(cè)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1