12.3 角的平分線的性質(zhì) 初中數(shù)學(xué)人教版八年級上冊導(dǎo)學(xué)課件

12.3角的平分線的性質(zhì)第十二章全等三角形逐點學(xué)練本節(jié)小結(jié)作業(yè)提升本節(jié)要點1學(xué)習(xí)流程2作已知角的平分線角的平分線的性質(zhì)證明幾何命題的一般步驟角的平分線的判定三角形的角平分線的性質(zhì)(拓展點)知識點作已知角的平分線11.角的平分線的作法(1)折疊法：將已知角折疊，使角的兩邊重合，折痕就是角的平分線所在的直線.(2)度量法：用量角器度量已知角的度數(shù)，并除以2，再用量角器畫出這個角的平分線.(3)尺規(guī)作圖法：保留作圖痕跡，并指出結(jié)論.

例1

解題秘方：利用尺規(guī)作圖作兩次角平分線即可.

1-1.如圖是利用尺規(guī)作∠AOB的平分線OC.在用尺規(guī)作角平分線時，用到的三角形全等的判定方法是()A.SSSB.SASC.ASAD.AASA知識點角的平分線的性質(zhì)21.性質(zhì)定理角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.角的平分線的性質(zhì)的兩個必要條件：(1)點在角平分線上；(2)這個點到角兩邊的距離即點到角兩邊的垂線段的長度.兩者缺一不可.2.幾何語言如圖12.3-3，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E，∴PD＝PE.只要符合基本模型，直接得出結(jié)論不需要證全等.特別提醒●角的平分線的性質(zhì)是由兩個條件(角平分線，垂線)得到一個結(jié)論(線段相等).●利用角的平分線的性質(zhì)證明線段相等時，證明的線段是“垂直于角兩邊的線段”而不是“垂直于角平分線的線段”.如圖12.3-4，OD平分∠EOF，在OE，OF上分別取點A，B，使OA＝OB，P為OD上一點，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.求證：PM＝PN.例2解題秘方：在圖中找出符合角的平分線的性質(zhì)的模型，利用角的平分線的性質(zhì)證線段相等.

B2-2.如圖，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，交AB的延長線于點E，DF⊥AC于點F，且DB＝DC.求證：BE＝CF.如圖12.3-5，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點D，DE⊥AB，垂足為E.若AB＝8cm，求△DEB的周長.解題秘方：運用角的平分線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，將△DEB的周長轉(zhuǎn)化為線段AB的長.例3

3-1.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，有下列結(jié)論：①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④DA平分∠CDE.其中正確的結(jié)論的個數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4D如圖12.3-6，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝90cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，求DE的長.例4解題秘方：緊扣總面積等于各部分面積的和求解.

4-1.[中考·湖州]如圖，已知在四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，則四邊形ABCD的面積是()A.24B.30C.36D.42B知識點證明幾何命題的一般步驟31.證明一個幾何命題的一般步驟(1)明確命題中的已知和求證；(2)根據(jù)題意，畫出圖形，并用符號表示已知和求證；(3)經(jīng)過分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過程.2.推理證明中常見的分析方法(1)綜合法：從已知條件入手，根據(jù)已學(xué)過的定義、定理、全等的判定方法等，逐步推出要證的結(jié)論.(2)分析法：從要證明的結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已學(xué)過的定義、定理、全等的判定方法等，尋找使結(jié)論成立所需的條件，這樣一步步逆推，一直追溯到結(jié)論成立的條件與已知條件吻合.(3)“兩頭湊”的方法：分別從已知條件和結(jié)論入手，當(dāng)從已知條件推導(dǎo)出的結(jié)論與從結(jié)論倒推出所需的條件相吻合時，問題可得證.特別提醒●證明一個命題的步驟不是固定不變的，要根據(jù)題目的情況而定，但是總體必須是完整的，并且證明的過程必須“步步有據(jù)”.●證明幾何命題所畫圖形應(yīng)符合題意，并具有一般性和代表性.在畫圖時，要考慮是否存在不同的情形，若存在，則要分別畫出圖形，再分別進(jìn)行證明.求證：兩角和其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等.例5解題秘方：緊扣證明幾何命題的一般步驟進(jìn)行解答.解：已知：如圖12.3-7，在△ABC和△A′B′C′中，AD，A′D′分別為∠BAC，∠B′A′C′的平分線，且∠B＝∠B′，∠BAC＝∠B′A′C′，AD＝A′D′.求證：△ABC≌△A′B′C′.

5-1.“全等三角形對應(yīng)邊上的中線相等”這個命題的已知是________________，結(jié)論是___________________.兩個三角形全等對應(yīng)邊上的中線相等5-2.求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半.知識點角的平分線的判定41.判定定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.特別提醒1.使用該判定定理的前提是這個點必須在角的內(nèi)部.2.角的平分線的判定是由兩個條件(垂線，線段相等)得到一個結(jié)論(角平分線).3.角的平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便快捷.2.幾何語言如圖12.3-8，∵點P為∠AOB內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD＝PE，∴點P在∠AOB的平分線OC上.3.角的平分線的判定定理與性質(zhì)定理的關(guān)系(1)如圖12.3-8，都與距離有關(guān)，即條件PD⊥OA，PE⊥OB都具備；(2)點在角的平分線上(角的內(nèi)部的)點到角兩邊的距離相等.性質(zhì)判定如圖12.3-9，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D.求證：AD平分∠BAC.例6解題秘方：利用角的平分線的判定定理證明角平分線時，緊扣點在角的內(nèi)部且點到角兩邊的距離相等進(jìn)行證明.

6-1.[中考·株洲]如圖，點O在一塊直角三角尺ABC上(其中∠ABC＝30°)，OM⊥AB于點M，ON⊥BC于點N，若OM＝ON，則∠ABO＝_______°．156-2.如圖，在△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，且BO＝CO.求證：AO平分∠BAC.如圖12.3-9，BE＝CF，BF⊥AC于點F，CE⊥AB于點E，BF和CE交于點D.求證：AD平分∠BAC.例7解題秘方：緊扣“到CA，CN的距離相等的點在∠ACN的平分線上”進(jìn)行證明.證明：如圖12.3-10，過點D作DE⊥BM于點E，DF⊥BN于點F，DG⊥AC于點G.∵BD平分∠ABC，∴DE＝DF.∵AD平分∠MAC，∴DE＝DG.∴DG＝DF，∴CD平分∠ACN.由此例的結(jié)論可知，三角形的一條內(nèi)角平分線與兩條外角平分線相交于一點.7-1.如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CE與內(nèi)角∠ABC的平分線BE交于點E.若∠BAC＝70°，則∠CAE＝_______°.55知識點三角形的角平分線的性質(zhì)(拓展點)51.性質(zhì)定理三角形的三條角平分線交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.這一點叫三角形的內(nèi)心.2.幾何語言如圖12.3-11，在△ABC中，AD，BM，CN

分別是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分線，AD，BM，CN交于一點O，且點O到三邊BC，AB，AC的距離(OE，OG，OF的長)相等，即OE＝OG＝OF.特別解讀三角形的三條角平分線相交于三角形內(nèi)一點，且該點到三角形三邊的距離相等.反之，三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點是三角形三條角平分線的交點.如圖12.3-12，在△ABC中，點O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點，AB＋BC＋AC＝20.過O作OD⊥BC

于點D.且OD＝3,求△ABC的面積.例8解題秘方：緊扣三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是內(nèi)心到三邊的距離相等.

8-1.如圖，有一塊三角形的空地ABC.其三邊長AB，AC，BC分別為30m，40m，50m.現(xiàn)要把它分成面積比為3∶4∶5的三部分種植三種不同的花，請你設(shè)計一種方案，并簡要說明理由.解：方案如圖．分別作∠ABC和∠ACB的平分線，兩線交于點P，連接AP