《數字信號處理-理論與實踐》課件第2章

第2章模擬信號的數字化2.1采樣2.2頻帶受限信號的無失真采樣2.3奈奎斯特采樣定理

2.4帶通信號采樣定理

2.5采樣信號的內插

2.6量化2.7采樣和量化的工程實現

2.8

MATLAB實現習題

2.1采樣

首先請讀者思考兩個問題：

1）從時間軸上看，模擬信號經采樣后顯然會丟失大量時間點上的信號。那么，用采樣后的信號是否能完全表征原來的模擬信號？換言之，我們能否由采樣信號完全恢復出原始的模擬信號？

2）模擬信號幅度的量化同樣會導致原模擬信號在幅度上的損失，我們如何盡量減小這些損失，并使得這些損失能在我們可接受的范圍之內呢？首先，讓我們看兩個簡單的模擬信號采樣的例子。

例2-1對于一條連續(xù)的有無窮多點的直線信號，回答兩個問題：

(1)是否可以通過有限的采樣點表征原直線信號？

(2)如果可以,如何采樣?

解一條直線可由任意不同的兩點完全確定，因此可以通過兩個不同的采樣點表征原直線信號。采樣時，隨機采集兩個不同的樣點即可，如圖2-1所示。圖2-1直線信號的采樣例2-2對于一個有無窮多點的圓周信號，回答兩個問題：(1)是否可以利用有限的采樣點表征原圓周信號？

(2)如果可以,如何采樣?圖2-2圓周信號的采樣解(1)根據三個不同的點可以確定一個圓的原理，可以利用三個不同的采樣點來表征原圓周信號。

(2)采樣時，在圓上隨機采集三個不同的樣點即可，方法如圖2-2所示。

從上述兩個特例我們可以得出如下重要的啟示：當對模擬信號加以某些限制時，我們就有可能用離散信號來表征原始的模擬信號。

例2-1的限制是信號為直線，也就是一次多項式；例2-2的限制是信號為圓周，也就是二次多項式。事實上，我們知道，對于任意n次多項式表示的模擬曲線信號，我們只需隨機采集n+1個不同的樣點即可完全表征原始的模擬曲線信號。2.1.1模擬信號的特性限制

我們先直觀分析一下能夠對波動信號的哪些要素加以限制。以音樂會為例，坐在前排和后排的聽眾感覺到的音樂是相同的，但是我們知道，到達前排和后排的音樂信號的音量（振幅）和到達的時間先后（相位）是不同的，也就是說，不同范圍的振幅和相位并沒有影響聽眾欣賞音樂。這個現象意味著：如果我們要對波動信號的要素加以限制，振幅和相位范圍一定不是要加以限制的主要要素。如果要對信號的特性加以限制，最合理的做法是對信號的頻率范圍加以限制。事實表明，對待處理的模擬信號的頻率范圍加以限制是合理的。仍以音樂信號為例，大提琴和小提琴的基本形狀和發(fā)聲原理都是一樣的，但是聽起來卻不同，這主要是因為大提琴和小提琴產生聲音的振動弦長和共鳴腔大小是不同的，導致產生的樂聲的頻率范圍不同，所以兩者音色不同。對不同的信號，的確具有不同的頻率范圍。如人耳能聽到的音頻信號的頻率范圍為20Hz~20kHz；20kHz以上為超聲，20Hz以下為次聲，超聲和次聲都是人耳聽不到的。事實上，不僅聲音信號，其他信號如無線電波、光、量子射線等，均具有不同的頻率范圍限制。由此我們可以得出如下結論：對模擬信號合理的限制是限制其頻率范圍。那么，對于一個頻率范圍受限的模擬信號，能否用離散的采樣信號來完全表征呢？2.1.2采樣信號的時頻特性

用離散的采樣信號完全表征原始的模擬信號，意味著在時間上原始模擬信號的連續(xù)時域波形可以由離散信號無失真地恢復，或等價地，原始模擬信號的連續(xù)頻譜可以由離散信號的頻譜無失真地恢復。既然是對模擬信號的頻率范圍進行限制，我們就從頻域的角度來分析模擬信號的無失真采樣問題。

假定圖2-3的(a)、(b)分別是原始模擬信號與其采樣后的信號的時域波形，圖2-3(a1)是原始信號的頻譜。問：圖2-3中的(b1)、(b2)、(b3)哪個圖對應于采樣信號的頻譜呢？其中fm表示原始信號的最大頻率,fs表示采樣周期頻率。圖2-3原始信號和采樣信號的時域波形和頻譜圖為了加深讀者的印象，在這里我們給出另外一條定性的思路來回答這個問題。必須牢記：信號在時域上和頻域上往往具有相反的特性，服從著名的測不準原理:Δt·Δω≥1/2。測不準原理定性的解釋是：如果信號在時域上具有“窄”的特性，則在頻域上一定具有“寬”的特性。從時域上看，采樣信號只保留了原始模擬信號在采樣點處的信號，把其他位置的信號完全舍棄。每個采樣點信號在時域上具有“無窮窄”的分布特性，因此在頻域上必然相反，采樣信號的頻譜具有“無窮寬”的分布特性。圖2-3(b1)、(b2)、(b3)中只有圖2-3(b3)滿足這一特性。因此，圖2-3(b3)對應于采樣信號的頻譜。定性上，頻帶受限模擬信號和其采樣后的信號具有不同的時—頻特性，表現方式如下：

模擬信號：時域無限（連續(xù)時間），頻域的頻帶受限；采樣信號：時域受限（離散樣點），頻域無限（頻帶周期無限重復）。

下面我們討論如何對頻帶受限模擬信號進行無失真采樣。2.2頻帶受限信號的無失真采樣

2.2.1理想采樣

設xa(t)是一個連續(xù)時間模擬信號，假定對其進行理想采樣，在t=nTs時采樣得到的信號用表示，Ts是采樣周期，n取整數。

數學上，可以把采樣過程描述為連續(xù)時間信號xa(t)和一個由周期為Ts的理想沖激函數δ(t)組成的周期沖激序列p(t)的乘積。這樣就可將理想采樣表示為(2.2-1)式中，p(t)為(2.2-2)注意，這里的采樣信號只是時間離散信號，其幅度還是連續(xù)的。所以信號還要經過幅度量化編碼后才能成為數字信號。2.2.2理想采樣信號的頻譜

下面討論理想采樣信號與模擬信號xa(t)的頻譜之間的關系。記式(2.2-1)中各信號的傅里葉變換分別如下式(2.2-2)中周期沖激序列p(t)的傅里葉變換為(2.2-3)式中，Ωs=2π/Ts，稱為采樣角頻率，單位為弧度/秒。根據傅里葉變換的卷積定理性質：兩信號在時域相乘的傅里葉變換等于兩信號分別的傅里葉變換的卷積，利用式(2.2-1)可得出理想采樣信號的傅里葉變換為(2.2-4)式（2.2-4）表明，連續(xù)時間信號經過理想采樣后，采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜Xa(jΩ)沿頻率軸每間隔采樣角頻率Ωs一次，或者說采樣信號的頻譜是原模擬信號的頻譜Xa(jΩ)以Ωs為周期的周期擴展，把這稱為頻譜的周期延拓。也就是說，采樣信號的頻譜包括原信號的頻譜和無限多個經過平移的原信號頻譜，這些頻譜都乘以系數1/Ts，如圖2-4所示。

設原帶限信號xa(t)的最高角頻率為Ωc，其頻譜如圖2-4(a)所示，稱為基帶頻譜。采樣信號的頻譜和采樣頻率之間存在怎樣的關系呢？什么時候采樣信號能夠完全不失真地恢復出原始信號呢？圖2-4采樣信號的頻譜由圖2-4可以看出:

(1)當Ωs－Ωc>Ωc，即Ωs>2Ωc時，的周期延拓部分不會重疊，如圖2-4（b）所示。此時，在每個整數倍的Ωs上，仍保持一個與Xa(jΩ)完全一樣的副本（附加一個幅度因子1/Ts）。這樣，Xa(jΩ)就可以用一個理想低通濾波器從中恢復出來。

(2)當Ωs－Ωc≤Ωc，即Ωs≤2Ωc時，的周期延拓部分會互相重疊，重疊部分的頻率成分的幅值與原信號的不同，這種現象稱為混疊現象，如圖2-4(c)所示。這時，Xa(jΩ)就不能用理想低通濾波器從中恢復出來。由上述分析可知：

（1）模擬帶限信號經理想采樣后信號的頻譜是原信號基帶頻譜的周期延拓，周期為Ωs，但頻譜的幅度有1/Ts的加權。因此除了幅度的區(qū)別外，每一個延拓的譜分量都和原基帶頻譜分量相同。

（2）對模擬帶限信號，其采樣信號的頻譜可能會發(fā)生混疊現象。如果原信號不是帶限信號，則混疊必然存在。

（3）對模擬帶限信號，只有在其采樣信號的頻譜不發(fā)生混疊時，才能夠從采樣信號頻譜中恢復原信號的頻譜。

由此引入了著名的奈奎斯特(Nyquist)采樣定理。2.3奈奎斯特采樣定理

奈奎斯特采樣定理：設模擬信號xa(t)是頻帶有限的信號，其信號譜的最高頻率為fc，則當采樣頻率fs>2fc時，可由采樣信號完全不失真地還原出原信號xa(t)。

思考：當采樣頻率fs>2fc時，從上節(jié)分析知，采樣信號的基帶頻譜的平移不會發(fā)生混疊。那么當采樣頻率fs=2fc時，是不是也不會造成混疊呢？下面我們看一個例子。如圖2-5(a)所示，連續(xù)信號為，信號的最高頻率fc=f0，對其以頻率fs=2f0進行采樣，采樣信號如圖2-5(b)所示，這時采樣的結果均為零值。顯然，由完全為零值的采樣信號是根本恢復不出原始信號的。因此，采樣頻率必須大于2fc才能保證由采樣信號無失真地恢復出原模擬信號。采樣頻率小于2fc的采樣通常稱為欠采樣。一般情況下，欠采樣是不能由采樣信號無失真地恢復出原模擬信號的。圖2-5fs=2fc的采樣2.4帶通信號采樣定理

若模擬信號xa(t)的頻譜Xa(jΩ)是一窄帶信號，即信號的

頻譜范圍位于最高角頻率Ωh（或頻率fh）和最低角頻率Ωl（或頻率fl）之間，如圖2-6(a)所示，則把這樣的信號稱為帶通信號。

思考：要從采樣信號中無失真地恢復出帶通信號，對信號的采樣頻率是否必須滿足Ωs>2Ωh?

圖2-6窄帶信號的采樣頻譜信號時域采樣造成信號基帶頻譜在頻域上的周期延拓，只要我們能保證采樣后信號的基帶頻譜在頻域的周期延拓不發(fā)生混疊，就可以恢復出原信號。原信號為實信號時，信號傅里葉變換的頻譜關于縱軸對稱，如圖2-6(a)所示。采樣后信號頻譜在±nfs上周期延拓，負半軸的頻譜經延拓后，有可能與正半軸的頻譜發(fā)生混疊（或反之），這種情況是我們要避免的。若原信號的負半軸頻譜經過(n－1)fs以及nfs延拓后靠近原信號頻譜的正半軸頻譜，則只有當這兩個延拓部分分別位于原信號正半軸頻譜的兩邊且與原信號頻譜不相交（如圖2-6(b)所示）時，才能夠保證不發(fā)生混疊現象。因此不發(fā)生混疊的條件為－fl+(n－1)fs<fl

(2.4-1)

－fh+nfs>fh

(2.4-2)

由式(2.4-1)及式(2.4-2)可得(2.4-3)即(2.4-4)由此不難得出，n必須滿足(2.4-5)式(2.4-5)中，B=fh－fl，通常稱為信號帶寬。由于n為整數，式(2.4-5)表明，n的最大取值如下(2.4-6)其中int(·)為取整函數。將n的最大值代入式(2.4-3)，可得出最小采樣頻率fs滿足(2.4-7)即只要采樣頻率fs滿足，就可以由采樣信號無失真地恢復出原帶通信號。

討論：

（1）若fh是帶寬B的整數倍，即，將此m值代入式(2.4-7)，可知

，即最低采樣頻率大于信號帶寬的兩倍。這意味著當帶通信號的最大頻率fh很高而帶寬B很小時，采樣頻率fs只需滿足fs>2B即可，即fs遠遠小于奈奎斯特采樣定理要求的2fh，大大降低了對采樣頻率的要求。這在實際情況中就意味著降低了采樣系統(tǒng)的成本。

(2)當m=1時，式(2.4-7)表明fs的最小值要大于2fh才不會混疊，此時正好對應奈奎斯特采樣定理。

由此我們得出帶通型信號的采樣定理:

對于頻譜范圍fl≤f≤fh(其中fl>0)的帶通型信號，當采樣頻率滿足時，能保證信號采樣后不發(fā)生混疊。其中，fl為信號的最低頻率，

fh為信號的最高頻率，m為不超過fh/B的最大整數，B=fh－fl為信號帶寬。

實際中遇到的許多信號都是帶通信號。例如，一個蜂窩電話在900MHz頻段上占30kHz帶寬，根據以上推導，如果在采樣前對信號進行窄帶帶通濾波，只需要比60kHz略高的采樣頻率而非1.8GHz，就可以恢復信號。窄帶信號的采樣與恢復過程如圖2-7所示。有兩種采樣方式:圖2-7(a)是對窄帶信號直接采樣，按照帶通型采樣定理確定采樣的最低頻率；圖2-7(b)是先對窄帶信號進行頻域的頻移處理，把信號變換為基帶信號，然后利用奈奎斯特采樣定理確定采樣的最低頻率，對窄帶信號進行采樣，這是一種間接方式。由于采樣方式的不同，信號重建過程中采用的濾波器也不相同。關于信號的內插恢復原理就是下節(jié)要講的內容。圖2-7窄帶信號的處理過程

2.5采樣信號的內插

前面已經指出，如果理想采樣滿足奈奎斯特定理，即采樣頻率大于模擬信號最高頻率的兩倍，采樣信號的頻譜就不會發(fā)生混疊，且采樣信號的頻譜與模擬信號xa(t)的頻譜之間具有如下關系(2.5-1)(2.5-2)故將采樣信號通過頻率特性為(2.5-3)的理想低通濾波器就可濾出原始模擬信號的頻譜，即(2.5-4)因此，在該濾波器的輸出端就能得到原始模擬信號

ya(t)=xa(t)(2.5-5)從而完成信號的恢復，通常把這個過程稱為信號的恢復或重建。下面討論如何由采樣值恢復原始模擬信號xa(t)，即信號恢復的時域描述。式(2.5-3)的理想低通濾波器的沖擊響應為(2.5-6)由于

，因此理想低通濾波器的輸出ya(t)為(2.5-7)式(2.5-7)中的h(t－nTs)稱為內插函數，即(2.5-8)

h(t－nTs)的特點為：在采樣點nTs上，函數值為1，而在其余采樣點上，函數值為0。它的波形如圖2-8所示。式(2.5-7)就稱為內插公式，它表明只要采樣頻率高于兩倍信號的最高頻率，模擬信號就可以由它的采樣值代替，而不會丟掉任何信息，即模擬信號完全可以由它的采樣值來表述。注意，在內插公式中的每一個采樣點上，只有該采樣值所對應的內插函數為1，從而保證了重建信號在各采樣點上信號值不變，而采樣點之間的信號值則是由所有采樣值對應的內插函數的波形延伸疊加而成的，這實際上是不可能實現的，原因在于理想低通濾波器的沖擊響應是非因果的，所以這里的內插公式只具有理論意義。圖2-8內插函數2.6量化

如圖2-9所示，模擬信號進行采樣以后，其采樣值還是隨信號幅度連續(xù)地變化，即采樣值可以取無窮多個可能值。如果用b位二進制數字信號來代表該樣值的大小，以進行數字處理，那么b位二進制信號只能同M=2b個電平樣值相對應，而不能同無窮多個電平值相對應。這樣一來，采樣值必須劃分成M個離散電平，此電平被稱做量化電平。b稱為量化比特，b越高，量化精度越高，但是由于數據的增加，實際處理難度也隨之增加。圖2-9量化示意圖信號的采樣是對時間進行數字化,在采樣滿足一定條件下由采樣信號可以無失真地恢復原始信號；信號的量化是在幅度上對采樣信號進行數字化，從而把信號幅度的任意取值轉換為有限值表示。因此，信號量化過程中引入的量化誤差，造成量化信號無法無失真地恢復采樣信號。

量化過程是模擬信號數字化處理的關鍵環(huán)節(jié)，量化器的性能直接影響量化后數字信號的處理結果，且與量化的方法有關。量化方法通常有均勻量化和非均勻量化，不同的量化方法用量化誤差來衡量其性能。下面我們在首先討論量化器的模型基礎上，講述量化器的性能、常用的均勻量化方法和有關實現問題。2.6.1量化器的模型

量化是把信號在幅度域上的連續(xù)取值變換為幅度域上的離散取值的過程。量化過程是一個近似表示的過程，即把允許在無限多個數值中取值的模擬信號轉化為僅在有限個數值中取值的離散信號的近似過程。從信號數據取值的變化上看，量化器是把信號的變化從無限狀態(tài)轉換為有限狀態(tài)的過程。量化器的數學模型如圖2-10所示，圖中采樣后的信號經過量化后輸出為yn，信號yn就是時間和幅度均離散的信號，即第3章討論的序列信號。圖2-10量化器的數學模型若信號x量化后形成的離散點用集合C={y1,y2,…,yM}表示，且滿足{y1<y2<…<yM}；采樣信號x的最大取值范圍為區(qū)間R=［xmin,xmax］，且

－∞≤xmin<xmax≤∞，則M點的量化就相當于把區(qū)間［xmin,xmax］劃分為M個區(qū)段Ri，且Ri=(mi－1,mi］，i=1,2,…,M－1,M,即

Ri

為半開半閉區(qū)間。顯然，區(qū)間的劃分要滿足

∪iRi=R,Ri∩Rj=(i≠j)(2.6-1)

不同的分段方法及采樣信號的樣值大小決定了量化器的輸出，因此我們采用記號Q={(yi,Ri),i=1,2,…,M}來表示這種

關系。一個正規(guī)的量化器還應滿足如下條件:

（1）每個分段Ri都是一個連續(xù)的區(qū)間，可以是開的或半開半閉的；

（2）每個區(qū)間上的量化值yi∈Ri=(mi－1,mi］。

我們把每個分段的邊界點mi稱為分層電平或判決點。正規(guī)量化器的分層電平mi及量化輸出yi滿足如下關系

xmin=m0<y1<m1<y2<m2<…<yM<mM=xmax

（2.6-2）

圖2-11表示了這種關系。圖中的階梯曲線是量化的典型曲線，當輸入信號在區(qū)間(mi－1,mi］內時，量化輸出為yi，并且yi∈Ri=(mi－1,mi］。圖2-11正規(guī)量化器的典型量化曲線圖2.6.2量化器的性能

量化器的功能就是將輸入信號采樣值用有限精度的離散值來代替，因此不可避免地要引起信號失真。因為一般量化樣本y不同于樣本的真值x，量化是將一個區(qū)間上的所有數值近似用一個數代替，所以量化會引起量化誤差。由于這種誤差的影響相當于干擾或噪聲，故又稱為量化噪聲。

1.絕對誤差

測量結果與被測量(約定)真值之差的絕對值稱為絕對誤差。若用Q(x)表示量化后的數值，x表示它的精確數值，則絕對誤差就是|x－Q(x)|。量化器的性能還可以用失真度來衡量。最常用的失真測度是平方誤差，定義為

d(x,Q(x))=|x－Q(x)|2(2.6-3)

更為一般的失真測度是乘冪誤差，定義如下

dm(x,Q(x))=|x－Q(x)|m(2.6-4)

其中，m=1時式(2.6-4)即為絕對誤差，m=2時式(2.6-4)即為式(2.6-3)的平方誤差，這兩種情形應用得最為廣泛。

通常輸入信號是一個隨機變量，相應地每個輸入值的量化誤差也是一個隨機變量。量化器的性能指標應是描述所有輸入值的量化誤差引起的總的失真效應，因此常采用統(tǒng)計平均的方法來解決這類問題。假設輸入信號用隨機過程X描述，其概率密度函數為p(x)，則輸入信號的量化誤差的數學期望為(2.6-5)式中的yi為區(qū)間Ri上的量化值，此時的性能測度又稱為均方誤差，可寫為(2.6-6)

2.相對誤差

測量的絕對誤差與被測量(約定)真值之比稱為相對誤差。用Q(x)表示量化后的數值，x表示它的精確數值，即量化前的采樣信號值，則相對誤差就是|x－Q(x)|/x。信噪比是另一個常用的量化器性能測度，定義為(2.6-7)式中,E［(X－E(X))2］是信號方差，D是均方誤差，SNR的單位是分貝（dB）。式(2.6-7)也可寫成(2.6-8)式中，σ2x為信號功率，σ2e=D為噪聲功率。可見，SNR也是一種相對失真測度，它在實際應用中更有意義。2.6.3均勻量化把輸入信號的取值域按等距離分割的量化稱為均勻量化。

1.均勻量化的量化電平設采樣信號x∈Ri=(mi－1,mi］，信號x的概率密度函數為p(x)，則量化輸出為yi時的量化噪聲為為了使量化噪聲最小，令，得(2.6-9)進一步，有(2.6-10)式(2.6-10)意味著，量化輸出yi應是每個量化間隔的重心位置。若輸入信號x是均勻分布的，則根據式(2.6-10)，有(2.6-11)式(2.6-11)表明：輸入采樣信號均勻分布時，要使量化噪聲最小，則最佳量化值就是取各個區(qū)間的中點。通常把每個量化值稱為量化電平。

2.均勻量化的量化噪聲

均勻量化器是一個正規(guī)量化器。當輸入信號位于區(qū)間

［a,b］的有界范圍內，即xmin=a,xmax=b,區(qū)間大小為B=b－a時，假定信號量化電平數為M，則每個量化區(qū)間的長度為Δ=B/M。所以，信號的概率密度函數為p(x)=1/B，信號的平均量化誤差為(2.6-12)將式(2.6-11)代入式(2.6-12)，可得D1=0，即均勻量化的平均量化誤差等于零。在均勻量化時的量化噪聲功率為(2.6-13)若量化電平M用b位的二進制數表示，即M=2b，則有(2.6-14)由式(2.6-14)可見，在用二進制數表示量化電平時，若量化樣本的字長增加一位，則量化噪聲功率降低為原來的1/4，因此在信號功率相同的情況下，量化器的信號功率與量化噪聲功率的比值（稱為量噪比）提高6dB。所以在實際應用中，為了降低量化誤差的影響，通常選用高位的A/D轉換器。上述均勻量化的主要缺點是，無論采樣值大小如何，量化噪聲的均方根值，即噪聲功率都固定不變。因此，當信號較弱時，信號的量噪比就很小。通常，把滿足量噪比要求的輸入信號取值范圍定義為信號的動態(tài)范圍?？梢?，均勻量化的信號動態(tài)范圍將受到極大的限制。為了克服這個缺點，實際中常常采用非均勻量化。

例2-3（量化效應）在－2V和2V之間變化的采樣信號用b位量化。b取何值時可以保證量化誤差的均方根小于5mV?

解信號的動態(tài)范圍是

B=2－(－2)=4V由式(2.6-13)可得信號量化的均方根誤差σ為若σ=0.005V，則由式(2.6-14)可得到

b=7.85對結果取整，得b=8。所以b至少為8時，量化器的量化誤差才滿足要求。2.7采樣和量化的工程實現

在諸如數字計算機和其他一些數字系統(tǒng)中，離散時間信號是以數字的形式給出的。用于實現A/D轉換的器件就稱為模擬/數字(A/D)轉換器，它集成了采樣、量化和編碼，可以把模擬信號轉化為數字信號；而實現D/A轉換的器件就稱為數字/模擬(D/A)轉換器。如圖2-12所示，實際模擬信號經過模擬/數字(A/D)轉換器，變成數字信號。數字信號通過數字信號處理系統(tǒng)，得到想要轉換的數字信號后，再經過數字/模擬(D/A)轉換器，把數字信號轉化為模擬信號輸出。圖2-12采樣和量化的工程實現在實際處理系統(tǒng)中，選取A/D轉換器時，主要考慮的性能指標有量化精度和轉換率。量化精度通常用A/D轉換器的位數衡量，即每個量化電平用多少二進制比特數來表示。目前，A/D轉換器常用的位數有8位、12位、16位，隨著位數的增加，量化誤差雖然減少了，但A/D轉換器的價格卻越來越貴。轉換率主要指轉換器單位時間內完成數據采集并數字化的次數，從實時性考慮，一般希望轉換率越高越好，但同樣會增加轉換器的成本。所以實際應用中，要綜合多方面要求選取。

一般信號在采樣時，由于需要滿足奈奎斯特采樣定理，這就決定了信號的轉換率必須大于采樣率。例如音樂信號的帶寬為20kHz，量化噪聲為48dB，那么我們怎么選取音樂信號數字化的A/D轉換器呢？首先根據采樣定理，我們選擇的轉換率必須大于40kHz，采樣時間要小于1/40ms。然后根據量化噪聲的限制，我們決定采用16位的A/D來量化信號。2.8MATLAB實現

2.8.1模擬信號的數字化

為了更好地理解采樣定理和模擬信號的數字化，下面我們舉一個例子。

例2-4已知模擬信號xa(t)=e-1000|t|，完成以下問題：

(1)畫出其波形,求其連續(xù)傅里葉變換并畫圖。

(2)若采樣頻率fs=5000Hz，試畫出采樣信號x1(n)的波形及其傅里葉變換的頻譜圖。

(3)若采樣頻率fs=2500Hz，試畫出采樣信號x2(n)的波形及其傅里葉變換的頻譜圖,并同(2)進行比較。

解

(1)嚴格地說，MATLAB是數值計算軟件，所以用它來進行模擬信號的分析計算存在困難。但是如果采用時間間隔足夠小的致密網格對模擬信號進行分割，就可在足夠長的時間區(qū)間內得到一條平滑的曲線來逼近原來的模擬信號，這樣就可對模擬信號進行高精度的近似計算和分析。

信號xa(t)=e－1000|t|的連續(xù)傅里葉變換為注意到當t=0.005時，e－1000t≈0，故可用－0.005≤t≤0.005之間的有限長信號來近似原來的模擬信號xa(t)，同時由上式可知,當Ω≥2π×2000時，Xa(jΩ)=1.27×10－5≈0，故取有這樣就可以利用xa(mΔt)仿真xa(t)，m取整數。

MATLAB程序如下:

dt=0.00005;t=－0.005:dt:0.005;

xa=exp(－1000*abs(t));

wmax=2*pi*2000;K=500;k=0:1:K;W=k*wmax/K;

Xa=xa*exp(－j*t′*W)*dt;

Xa=real(Xa);

W=［－fliplr(W),W(2:501)］;

Xa=［fliplr(Xa),Xa(2:501)］;

figure(1);

subplot(2,1,1);plot(t*1000,xa);

xlabel(′tinmsec′);title(′analogsignal′);ylabel(′xa(t)′);subplot(2,1,2);plot(W/(2*pi*1000),Xa*1000);

程序運行結果如圖2-13所示。圖2-13模擬信號及其傅里葉變換的頻譜圖

(2)由(1)的分析可知，該模擬信號的帶寬是2000Hz,那么根據奈奎斯特采樣定律知道，采樣頻率至少應為4000Hz，給定的采樣頻率顯然大于4000Hz，所以采樣后頻譜不會發(fā)生混疊的現象。

MATLAB程序如下：

ts=0.0002;n=－25:1:25;

x=exp(－1000*abs(n*ts));

K=500;k=0:1:K;w=pi*k/K;X=x*exp(－j*n′*w);X=real(x);

w=［－fliplr(w),w(2:k+1)］;X=［fliplr(X),X(2:k+1)］;

subplot(2,1,1);stem(n*t*100,x);

subplot(2,1,2);plot(n/(8*pi),X);

程序運行結果如圖2-14所示。圖2-14fs=5000Hz時的采樣信號及其頻譜圖

(3)采樣頻率fs=2500Hz，顯然低于采樣定理要求的最低采樣頻率，采樣信號的頻譜發(fā)生混疊。MATLAB程序和(2)

的類似，讀者自行去實驗，這里只給出它的結果,如圖2-15所示。

比較(2)和(3)的運行結果發(fā)現，采樣頻率不滿足采樣定理導致頻譜的混疊，信號的頻譜被展寬了。圖2-15fs=2500Hz時的采樣信號及其頻譜圖2.8.2由采樣信號重構模擬信號

由采樣定理和例2-4可以清楚地看到，對有限帶寬信號xa(t)以高于它的奈奎斯特采樣頻率進行采樣，就可以從采樣序列x(n)中重構原來的模擬信號。重構過程可以采用公式進行，上式中x(n)為采樣序列，sinc(x)=sinx/x。

例2-5

對例2-4中已經獲得的xa(t)的不同采樣率下的樣本x1(n)和x2(n)進行重構。

解

x1(n)是以采樣頻率fs=5000Hz對xa(t)采樣得到的，現在－0.0005s~0.0005s的時間區(qū)間內采用柵格為0.00005s作內插。相應地，在－25~25的區(qū)間內給出x2(n),用同樣的方法對x2(n)進行重構。相應的重構程序如下：

clear,closeall;

ts1=0.0002;fs1=1/ts1;n1=-25:1:25;nts1=n1*ts