2024年新高一（初升高）數(shù)學(xué)暑期銜接講義-數(shù)與式的運(yùn)算（學(xué)生版）

專(zhuān)題01數(shù)與式的運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)梳理】

知識(shí)點(diǎn)1:絕對(duì)值

絕對(duì)值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，零的絕對(duì)值仍是零.即：

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，是數(shù)軸上表示它的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.

兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)6之間的距離.

知識(shí)點(diǎn)2：乘法公式

我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+0)(。一〃)=a2—b2；

(2)完全平方公式(Q±bY=a2±2ab+b1.

我們還可以通過(guò)證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(〃+—必+〃)=+蘇；

(2)立方差公式(〃一/2)伍2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+bp=a3+302b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

知識(shí)點(diǎn)3：二次根式

一般地，形如G(。20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號(hào)下含有字母、且不能夠開(kāi)得盡方的式子稱(chēng)為無(wú)理

式.例如3a+J/+6+26,證+及等是無(wú)理式,而后尤+1,x2+y/2xy+y2,病等是有理式.

⑴分母(子)有理化

把分母(子)中的根號(hào)化去，叫做分母(子)有理化.為了進(jìn)行分母(子)有理化，需要引入

有理化因式的概念.兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩

個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如也與血，3G與G，6+屈與6-娓,2石-3夜與26+3應(yīng)，等

等.一般地，。?與?,。?+久萬(wàn)與。五%+8與互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號(hào)的過(guò)程；而分子有理化

則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號(hào)的過(guò)程

在二次根式的化簡(jiǎn)與運(yùn)算過(guò)程中，二次根式的乘法可參照多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，運(yùn)算中要運(yùn)用公式

^^b=^(a>0,b>0)；而對(duì)于二次根式的除法，通常先寫(xiě)成分式的形式，然后通過(guò)分母有理化進(jìn)行運(yùn)算;

二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，應(yīng)在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)與合并同類(lèi)二次根式.

(2)二次根式后■的意義

向第=晨°’

[-a,a<0.

知識(shí)點(diǎn)4：分式

(1)分式的意義

形如4的式子，若8中含有字母，且則稱(chēng)4為分式.當(dāng)嶼0時(shí)，分式4具有下列性質(zhì)：

BBB

AAxM

B~BxM'

A_A^M

B~B^M'

上述性質(zhì)被稱(chēng)為分式的基本性質(zhì).

(2)繁分式

a

像上，0這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

【題型歸納目錄】

題型一：絕對(duì)值

題型二：乘法公式

題型三：二次根式

題型四：分式

【典例例題】

題型一：絕對(duì)值

例1.(2023?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)哈爾濱市中實(shí)學(xué)校?？计谥?如果|x-4|+(y+2)2=0,那么U=

例2.(2023?福建龍巖?八年級(jí)統(tǒng)考期中)若向二+性-1|=0,則(°+6產(chǎn)3=.

例3.(2023?上海靜安?六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥?比較大?。?5；-(-5.75).

變式1.(2023?天津東麗?八年級(jí)校聯(lián)考期中)已知實(shí)數(shù)X、，滿(mǎn)足|尤-1|+?+3|=0,則x+y的值為

變式2.（2023?四川南充?七年級(jí)四川省南充高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知：實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所

示，化簡(jiǎn)：+2,（1-媒-2_q=.

ab

______ill11A

-101

變式3.（2023?黑龍江哈爾濱?六年級(jí)哈爾濱市第十七中學(xué)校?？计谥校┮阎跀?shù)軸上A、3兩點(diǎn)分別表示的數(shù)

是。和b,14=2,同=4,卜-4=。-6,點(diǎn)P在數(shù)軸上且與點(diǎn)A、點(diǎn)8的距離相等，則點(diǎn)尸表示的數(shù)是.

題型二：乘法公式

例4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.2a2-a2=2B.a3-al=-a3C.（2a3）3=8a9D.（a-b）1=a2-b2

例5.（2023?北京海淀?八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）多項(xiàng)式A與2x+y的乘積含有一孫項(xiàng)，那

么A可能是（）

A.3x-yB.2x-yC.1-xD.y-2

例6.（2023?北京西城?八年級(jí)北京市第一六一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列因式分解結(jié)果正確的是（）

A.IO.，+5片=5/（2a+l）B.4X2—9=（4%+3）（4%-3）

C.—5x-6=（x+6）（x-1）D.a?—2.—1=（々―I）?

變式4.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）加、〃為正整數(shù)，m2+n2+l=2m+2n,則m十幾的值為（）

A.2B.3C.4D.5

變式5.（2023?四川內(nèi)江?威遠(yuǎn)中學(xué)校?？级＃┫铝羞\(yùn)算正確的是（）

A.x4+x4=x8B.（x—y）2=x2—y2

C.x5-x4=x7D.Qx?）=2%6

變式6.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模）下列運(yùn)算正確的是（）

A.〃2.〃4=々8B.—Z?）2=a2—b2C.a6a3=a2D.（—2/。）=4aAb2

變式7.（2023?山東東營(yíng)?統(tǒng)考二模）下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）

5

A.x2+2xi=3J^B.（%+2）2=/+4

C.我一亞=2D.（3尤2）3=9/

題型三：二次根式

例7.（2023?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中）計(jì)算:

（1）727-712+^/3;

x>/6.

例8.（2023?北京海淀?八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值:

例9.（2023?北京海淀?八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）計(jì)算：（3+A/7）（3-a）-?AT+（g

OY[Y1

變式8.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再求值：（Wy-一其中x=6+l

x2-4x+2x-2

變式9.（2023?北京?八年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：屈-國(guó)屈:娓.

變式10.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）先化簡(jiǎn)，再求值1+

其中x=2sin450—1

變式IL（2023?福建龍巖?八年級(jí)統(tǒng)考期中）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為5、口，-X.E.

V524V5x

（1）求它的周長(zhǎng)（用含X的式子表示）；

（2）請(qǐng)你給一個(gè)適當(dāng)?shù)膞值，使該三角形的周長(zhǎng)為整數(shù)，并利用海倫公式求出此三角形的面積.（海倫公式:

S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,其中a，b，c分別是三角形的三邊長(zhǎng)，記,="+；+，）

題型四：分式

21

例10.（2023.廣東佛山.八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？计谥校┓质饺c丁三的最簡(jiǎn)公分母是.

例11.（2023?內(nèi)蒙古包頭?二模）化簡(jiǎn)：fa+1----+2"°31=____________-

Ia-lja-2（2+1

例12.（2023?河北邯鄲?八年級(jí)統(tǒng)考期中）在函數(shù)丫=匹1中，自變量x的取值范圍是

x-5

變式12.（2023?江蘇蘇州?七年級(jí)蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？计谥校┮阎?〃尸=3，貝/.

V+1

變式13.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考二模）若式子f—在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則無(wú)的取值范圍是.

變式14.（2023?河北滄州?統(tǒng)考二模）已知租+2〃=1,求下列各式的值.

（1）2"x2?"+2=;

（2）3"，+6mn+6n—?

【過(guò)關(guān)測(cè)試】

一、單選題

2

1.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）數(shù)1,0,—2中最小的是（）

A.-2B.0C.--D.1

3

2.（2023?北京海淀?七年級(jí)101中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）下列代數(shù)式中浦2,孫+z2,3/bc5,-石國(guó)守卷中，單項(xiàng)式

67

（）

A.1個(gè)B.2C.3個(gè)D.4個(gè)

2

3.（2023?八年級(jí)單元測(cè)試）直線(xiàn)/：y=（〃-3）x+”2（加、w為常數(shù)）的圖象如圖，化簡(jiǎn)：|m_3|-7z?-4^+4

4.（2023?湖北武漢?八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列計(jì)算亞礁的有（）

A.0+&=遙B.273-73=2C.已=2&D.應(yīng)x布=26

5.（2023.湖北武漢.八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列二次根式中，最簡(jiǎn)二次根式是（）

A.J12B.C.-^6D.Jl.8

6.（2023?陜西西安??？既＃┰谙铝杏?jì)算中，正確的是（）

A.々3+2Y=3/B.+3。）—cib

C.cr'b?2f22=2,ct6bD.（-2〃%）'=—6tz3/?3

7.（2023?黑龍江哈爾濱?七年級(jí)哈爾濱市中實(shí)學(xué)校?？计谥校┯欣頂?shù)根、〃在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關(guān)系

式正確的個(gè)數(shù)有（）

①加+〃<0；?n-m>0；@2m-n>0；@-n-m>0；（§）—>--

mn

n0m->

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（2023?內(nèi)蒙古包頭?二模）已知根，〃是一元二次方程6=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，貝U代數(shù)式/+2加+〃的

值等于（）

A.4B.5C.6D.7

9.（2023?陜西榆林?校考模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)。、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）

--1-----1----'>

b0a

A.—a>—bB.同<網(wǎng)C.ab>0D.a<0<b

10.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）同學(xué)們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進(jìn)變成“幻圓”游戲.將

-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分別填入圖中的圓圈內(nèi)，使橫、豎以及內(nèi)外兩圈上的4個(gè)數(shù)字之和都相

等，則a+8的值為（）

A.1或-1B.-1或-4C.-3或一6D.1或一8

二、填空題

11.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）分解因式：/+2/+。=.

12.（2023?廣西南寧??？级＃┤羰阶覩T在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍_______.

13.（2023?廣東佛山?八年級(jí)佛山市惠景中學(xué)?？计谥校┗?jiǎn)：x+y--=.

y

14.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考二模）分解因式：a3-6a2+9a=.

15.（2023?陜西榆林?七年級(jí)綏德中學(xué)?？茧A段練習(xí)）課堂上老師布置了四道運(yùn)算題目，小剛做的結(jié)果為：①

（-3/丫=_27心②（一0廣/=_05；③（2x_y）2=4f_y2；④2/.46=8",他做對(duì)的有.（填序

號(hào)）

三、解答題_

16.（2023?浙江溫州??？级＃?）計(jì)算：后十5|+（-5）。-5]

3x+2>x

（2）解不等式組x+2,,并把解表示在數(shù)軸上.

------<x-l

13

-4-3-2-101234

17.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）化簡(jiǎn)與計(jì)算:

（1）化簡(jiǎn)：（x+lj-x（x+l）；

⑵計(jì)算:（-1）2023+2-2+4COS230°.

18.（2023.江蘇蘇州?統(tǒng)考二模）計(jì)算：（-2）2-卜3|+（兀-2023）°.

19.（2023?河北滄州?校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)。為原點(diǎn)，點(diǎn)A,8,C表示的數(shù)分別是m+1,2，9-4〃?.

9-4w2-mm+\

~CBOA~

WAB=（用含加的代數(shù)式表示）；

（2）求當(dāng)BC與AB的差不小于g時(shí)m的最小值.

/12\x2+x2龍-7<3（尤-1）①

20.（2023?河南南陽(yáng)?統(tǒng)考三模）化簡(jiǎn)求值：7k其中x是不等式組4.2…的

[1x-\）l-2x+x-X+3<1——％②

I33

整數(shù)解.

21.（2023?湖南長(zhǎng)沙?九年級(jí)校聯(lián)考期中）先化簡(jiǎn)，再求值：”1.右一4其中。滿(mǎn)足4=2.

Q+2Q—2〃+1CL—1

22.（2023?上海靜安?六年級(jí)上海市回民中學(xué)?？计谥校┤舴匠?（x+l）-5=3（x-1）+4的解是關(guān)于x的方程