2024年新高一（初升高）數(shù)學暑期銜接講義-數(shù)與式的運算（學生版）

專題01數(shù)與式的運算

【知識點梳理】

知識點1:絕對值

絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零.即：

a,a>0,

\a\=<0,a=0,

-a,a<0.

絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離.

兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)。和數(shù)6之間的距離.

知識點2：乘法公式

我們在初中已經(jīng)學習過了下列一些乘法公式：

(1)平方差公式(。+0)(。一〃)=a2—b2；

(2)完全平方公式(Q±bY=a2±2ab+b1.

我們還可以通過證明得到下列一些乘法公式：

(1)立方和公式(〃+—必+〃)=+蘇；

(2)立方差公式(〃一/2)伍2+ab+b2)=a3-b3；

(3)三數(shù)和平方公式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)；

(4)兩數(shù)和立方公式(a+bp=a3+302b+3ab2+b3；

(5)兩數(shù)差立方公式(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.

知識點3：二次根式

一般地，形如G(。20)的代數(shù)式叫做二次根式.根號下含有字母、且不能夠開得盡方的式子稱為無理

式.例如3a+J/+6+26,證+及等是無理式,而后尤+1,x2+y/2xy+y2,病等是有理式.

⑴分母(子)有理化

把分母(子)中的根號化去，叫做分母(子)有理化.為了進行分母(子)有理化，需要引入

有理化因式的概念.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩

個代數(shù)式互為有理化因式，例如也與血，3G與G，6+屈與6-娓,2石-3夜與26+3應，等

等.一般地，。?與?,。?+久萬與。五%+8與互為有理化因式.

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化

則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程

在二次根式的化簡與運算過程中，二次根式的乘法可參照多項式乘法進行，運算中要運用公式

^^b=^(a>0,b>0)；而對于二次根式的除法，通常先寫成分式的形式，然后通過分母有理化進行運算;

二次根式的加減法與多項式的加減法類似，應在化簡的基礎上去括號與合并同類二次根式.

(2)二次根式后■的意義

向第=晨°’

[-a,a<0.

知識點4：分式

(1)分式的意義

形如4的式子，若8中含有字母，且則稱4為分式.當嶼0時，分式4具有下列性質：

BBB

AAxM

B~BxM'

A_A^M

B~B^M'

上述性質被稱為分式的基本性質.

(2)繁分式

a

像上，0這樣,分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式.

c+d2m

n+p

【題型歸納目錄】

題型一：絕對值

題型二：乘法公式

題型三：二次根式

題型四：分式

【典例例題】

題型一：絕對值

例1.(2023?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市中實學校?？计谥?如果|x-4|+(y+2)2=0,那么U=

例2.(2023?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期中)若向二+性-1|=0,則(°+6產3=.

例3.(2023?上海靜安?六年級上海市回民中學?？计谥?比較大?。?5；-(-5.75).

變式1.(2023?天津東麗?八年級校聯(lián)考期中)已知實數(shù)X、，滿足|尤-1|+?+3|=0,則x+y的值為

變式2.（2023?四川南充?七年級四川省南充高級中學?？茧A段練習）已知：實數(shù)a,b在數(shù)軸上的位置如圖所

示，化簡：+2,（1-媒-2_q=.

ab

______ill11A

-101

變式3.（2023?黑龍江哈爾濱?六年級哈爾濱市第十七中學校?？计谥校┮阎跀?shù)軸上A、3兩點分別表示的數(shù)

是。和b,14=2,同=4,卜-4=。-6,點P在數(shù)軸上且與點A、點8的距離相等，則點尸表示的數(shù)是.

題型二：乘法公式

例4.（2023?黑龍江齊齊哈爾?統(tǒng)考三模）下列運算正確的是（）

A.2a2-a2=2B.a3-al=-a3C.（2a3）3=8a9D.（a-b）1=a2-b2

例5.（2023?北京海淀?八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）多項式A與2x+y的乘積含有一孫項，那

么A可能是（）

A.3x-yB.2x-yC.1-xD.y-2

例6.（2023?北京西城?八年級北京市第一六一中學校考開學考試）下列因式分解結果正確的是（）

A.IO.，+5片=5/（2a+l）B.4X2—9=（4%+3）（4%-3）

C.—5x-6=（x+6）（x-1）D.a?—2.—1=（々―I）?

變式4.（2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模）加、〃為正整數(shù)，m2+n2+l=2m+2n,則m十幾的值為（）

A.2B.3C.4D.5

變式5.（2023?四川內江?威遠中學校?？级＃┫铝羞\算正確的是（）

A.x4+x4=x8B.（x—y）2=x2—y2

C.x5-x4=x7D.Qx?）=2%6

變式6.（2023?安徽合肥?統(tǒng)考三模）下列運算正確的是（）

A.〃2.〃4=々8B.—Z?）2=a2—b2C.a6a3=a2D.（—2/。）=4aAb2

變式7.（2023?山東東營?統(tǒng)考二模）下列運算結果正確的是（）

5

A.x2+2xi=3J^B.（%+2）2=/+4

C.我一亞=2D.（3尤2）3=9/

題型三：二次根式

例7.（2023?湖北武漢?八年級校聯(lián)考期中）計算:

（1）727-712+^/3;

x>/6.

例8.（2023?北京海淀?八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）先化簡，再求值:

例9.（2023?北京海淀?八年級首都師范大學附屬中學?？奸_學考試）計算：（3+A/7）（3-a）-?AT+（g

OY[Y1

變式8.（2023?全國?九年級專題練習）先化簡，再求值：（Wy-一其中x=6+l

x2-4x+2x-2

變式9.（2023?北京?八年級統(tǒng)考期中）計算：屈-國屈:娓.

變式10.（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四十七中學校考模擬預測）先化簡，再求值1+

其中x=2sin450—1

變式IL（2023?福建龍巖?八年級統(tǒng)考期中）一個三角形的三邊長分別為5、口，-X.E.

V524V5x

（1）求它的周長（用含X的式子表示）；

（2）請你給一個適當?shù)膞值，使該三角形的周長為整數(shù)，并利用海倫公式求出此三角形的面積.（海倫公式:

S=Jp（p-a）（p-b）（p-c）,其中a，b，c分別是三角形的三邊長，記,="+；+，）

題型四：分式

21

例10.（2023.廣東佛山.八年級佛山市惠景中學?？计谥校┓质饺c丁三的最簡公分母是.

例11.（2023?內蒙古包頭?二模）化簡：fa+1----+2"°31=____________-

Ia-lja-2（2+1

例12.（2023?河北邯鄲?八年級統(tǒng)考期中）在函數(shù)丫=匹1中，自變量x的取值范圍是

x-5

變式12.（2023?江蘇蘇州?七年級蘇州市立達中學校?？计谥校┮阎?〃尸=3，貝/.

V+1

變式13.（2023?廣東佛山?校聯(lián)考二模）若式子f—在實數(shù)范圍內有意義，則無的取值范圍是.

變式14.（2023?河北滄州?統(tǒng)考二模）已知租+2〃=1,求下列各式的值.

（1）2"x2?"+2=;

（2）3"，+6mn+6n—?

【過關測試】

一、單選題

2

1.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）數(shù)1,0,—2中最小的是（）

A.-2B.0C.--D.1

3

2.（2023?北京海淀?七年級101中學?？奸_學考試）下列代數(shù)式中浦2,孫+z2,3/bc5,-石國守卷中，單項式

67

（）

A.1個B.2C.3個D.4個

2

3.（2023?八年級單元測試）直線/：y=（〃-3）x+”2（加、w為常數(shù)）的圖象如圖，化簡：|m_3|-7z?-4^+4

4.（2023?湖北武漢?八年級校聯(lián)考期中）下列計算亞礁的有（）

A.0+&=遙B.273-73=2C.已=2&D.應x布=26

5.（2023.湖北武漢.八年級校聯(lián)考期中）下列二次根式中，最簡二次根式是（）

A.J12B.C.-^6D.Jl.8

6.（2023?陜西西安?校考三模）在下列計算中，正確的是（）

A.々3+2Y=3/B.+3。）—cib

C.cr'b?2f22=2,ct6bD.（-2〃%）'=—6tz3/?3

7.（2023?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市中實學校?？计谥校┯欣頂?shù)根、〃在數(shù)軸上的位置如圖，則下列關系

式正確的個數(shù)有（）

①加+〃<0；?n-m>0；@2m-n>0；@-n-m>0；（§）—>--

mn

n0m->

A.1個B.2個C.3個D.4個

8.（2023?內蒙古包頭?二模）已知根，〃是一元二次方程6=0的兩個實數(shù)根，貝U代數(shù)式/+2加+〃的

值等于（）

A.4B.5C.6D.7

9.（2023?陜西榆林?校考模擬預測）若實數(shù)。、6在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列結論中正確的是（）

--1-----1----'>

b0a

A.—a>—bB.同<網(wǎng)C.ab>0D.a<0<b

10.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）同學們都熟悉“幻方”游戲，現(xiàn)將“幻方”游戲稍作改進變成“幻圓”游戲.將

-1,2,-3,4,-5,6,-7,8分別填入圖中的圓圈內，使橫、豎以及內外兩圈上的4個數(shù)字之和都相

等，則a+8的值為（）

A.1或-1B.-1或-4C.-3或一6D.1或一8

二、填空題

11.（2023?遼寧葫蘆島?統(tǒng)考二模）分解因式：/+2/+。=.

12.（2023?廣西南寧??？级＃┤羰阶覩T在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍_______.

13.（2023?廣東佛山?八年級佛山市惠景中學?？计谥校┗啠簒+y--=.

y

14.（2023?云南曲靖?統(tǒng)考二模）分解因式：a3-6a2+9a=.

15.（2023?陜西榆林?七年級綏德中學?？茧A段練習）課堂上老師布置了四道運算題目，小剛做的結果為：①

（-3/丫=_27心②（一0廣/=_05；③（2x_y）2=4f_y2；④2/.46=8",他做對的有.（填序

號）

三、解答題_

16.（2023?浙江溫州??？级＃?）計算：后十5|+（-5）。-5]

3x+2>x

（2）解不等式組x+2,,并把解表示在數(shù)軸上.

------<x-l

13

-4-3-2-101234

17.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）化簡與計算:

（1）化簡：（x+lj-x（x+l）；

⑵計算:（-1）2023+2-2+4COS230°.

18.（2023.江蘇蘇州?統(tǒng)考二模）計算：（-2）2-卜3|+（兀-2023）°.

19.（2023?河北滄州??？寄M預測）如圖，數(shù)軸上點。為原點，點A,8,C表示的數(shù)分別是m+1,2，9-4〃?.

9-4w2-mm+\

~CBOA~

WAB=（用含加的代數(shù)式表示）；

（2）求當BC與AB的差不小于g時m的最小值.

/12\x2+x2龍-7<3（尤-1）①

20.（2023?河南南陽?統(tǒng)考三模）化簡求值：7k其中x是不等式組4.2…的

[1x-\）l-2x+x-X+3<1——％②

I33

整數(shù)解.

21.（2023?湖南長沙?九年級校聯(lián)考期中）先化簡，再求值：”1.右一4其中。滿足4=2.

Q+2Q—2〃+1CL—1

22.（2023?上海靜安?六年級上海市回民中學校考期中）若方程2（x+l）-5=3（x-1）+4的解是關于x的方程