2022屆湖南省部分地市（州）學(xué)校高三下學(xué)期5月“一起考”大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

湖南省部分地市（州）學(xué)校2022屆高三下學(xué)期5月“一起考”大聯(lián)考數(shù)學(xué)（時(shí)量：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知，且，則滿足條件的x有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)2．若是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，則（）A．B．0C．2D．43．現(xiàn)有橡皮泥制作的表面積為的球，若將其重新制作成體積不變，高為1的圓錐，則圓錐的母線長為（）A．B．2C．D．14．設(shè)首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（）A．B．C．D．5．已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A．B．C．D．6．已知將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則的值為（）A．B．C．D．7．中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓的上頂點(diǎn)為A，左頂點(diǎn)為B，左焦點(diǎn)為F．已知，記該橢圓的離心率為e，則（）A．B．C．D．8．古希臘哲學(xué)家芝諾提出了如下悖論：一個(gè)人以恒定的速度徑直從A點(diǎn)走向B點(diǎn)，要先走完總路程的三分之一，再走完剩下路程的三分之一，如此下去，會(huì)產(chǎn)生無限個(gè)“剩下的路程”，因此他有無限個(gè)“剩下路程的三分之一”要走，這個(gè)人永遠(yuǎn)走不到終點(diǎn)．另一方面，我們可以從上述第一段“三分之一的路程”開始，通過分別計(jì)算他在每一個(gè)“三分之一距離”上行進(jìn)的時(shí)間并將它們逐個(gè)累加，不難推理出這個(gè)人行進(jìn)的總時(shí)間不會(huì)超過一個(gè)恒定的實(shí)數(shù)．記等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比為q，前n項(xiàng)和為，則造成上述悖論的原理是（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象可能是（）A．B．C．D．10．樹人中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行“慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年”黨史知識(shí)競(jìng)賽．經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖（如圖），則下列說法正確的是（）A．成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30B．成績第名的100人中，高一人數(shù)不超過一半C．成績第名的50人中，高三最多有32人D．成績第名的50人中，高二人數(shù)比高一的多11．已知，且，則（）A．B．C．D．12．函數(shù)滿足，函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)也是其本身的極值點(diǎn)，則可能的表達(dá)式有（）A．B．C．D．三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．13．設(shè)是單位向量，且，則__________．14．___________．15．已知?jiǎng)訄AE與圓外切，與圓內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心E的軌跡方程為__________．16．如圖，在中，，點(diǎn)D是邊（端點(diǎn)除外）上的一動(dòng)點(diǎn)．若將沿直線翻折，能使點(diǎn)A在平面內(nèi)的射影落在的內(nèi)部（不包含邊界），且．設(shè)，則t的取值范圍是_________．四、解答題：本大題共6個(gè)小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分10分）已知數(shù)列中，，且滿足．（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．18．（本小題滿分12分）如圖，多面體的底面是平行四邊形，底面，平面平面．（1）證明：；（2）若直線與平面所成的角為，求該多面體的體積．19．（本小題滿分12分）在中，為上一點(diǎn)，．（1）若D為的中點(diǎn)，求的面積的最大值；（2）若，求的面積的最小值．20．（本小題滿分12分）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生前往電子科技產(chǎn)業(yè)園，學(xué)習(xí)加工制造電子元件．已知學(xué)生加工出的每個(gè)電子元件正常工作的概率都是，且各個(gè)電子元件正常工作的事件相互獨(dú)立．現(xiàn)要檢測(cè)個(gè)這樣的電子元件，并將它們串聯(lián)成元件組進(jìn)行篩選檢測(cè)，若檢測(cè)出元件組正常工作，則認(rèn)為這k個(gè)電子元件均正常工作；若檢測(cè)出元件組不能正常工作，則認(rèn)為這k個(gè)電子元件中必有一個(gè)或多個(gè)電子元件不能正常工作，須再對(duì)這k個(gè)電子元件進(jìn)行逐一檢測(cè)．（1）記對(duì)電子元件總的檢測(cè)次數(shù)為X，求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望；（2）若不對(duì)生產(chǎn)出的電子元件進(jìn)行篩選檢測(cè)，將它們隨機(jī)組裝進(jìn)電子系統(tǒng)中，不考慮組裝時(shí)帶來的影響．已知該系統(tǒng)配置有個(gè)電子元件，如果系統(tǒng)中有多于一半的電子元件正常工作，該系統(tǒng)就能正常工作．將系統(tǒng)正常工作的概率稱為系統(tǒng)的可靠性，現(xiàn)為了改善該系統(tǒng)的性能，擬向系統(tǒng)中增加兩個(gè)電子元件．記當(dāng)系統(tǒng)配置個(gè)電子元件時(shí)，系統(tǒng)正常工作的概率為．我們認(rèn)為當(dāng)時(shí)，增加兩個(gè)電子元件提高了該系統(tǒng)的可靠性．①若滿足什么條件時(shí)，增加兩個(gè)電子元件能提高該系統(tǒng)的可靠性？②對(duì)于滿足什么條件時(shí)，增加兩個(gè)電子元件能提高該系統(tǒng)的可靠性？參考答案1．C解析：因?yàn)?，所以，所以解得或，所以滿足條件的x有，共3個(gè)．故選C．2．D解析：依題意，，所以所以則．故選D．3．A解析：由球的表面積為，得球的半徑為1，則球的體積為．設(shè)圓錐的底面半徑為r，所以，解得，所以圓錐的底面半徑為2，圓錐的母線長為．故選A．4．D解析：由于數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，所以．故選D．5．A解析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，，可得為偶函數(shù)．由和在上單調(diào)遞減，可得在上單調(diào)遞減．又，所以不等式等價(jià)為，可得，解得或，即原不等式的解集為．故選A．6．B解析：依題意，兩邊三角函數(shù)的振幅及周期應(yīng)該相等，故．若，則，不符合要求；若，則，不符合要求；若，則，符合要求；若，則，不符合要求．所以，所以．故選B．7．C解析：（方法一）根據(jù)角平分線定理，結(jié)合及離心率有，化簡(jiǎn)得．設(shè)，求導(dǎo)可以知道在上單調(diào)遞減，所以．（方法二）過F作垂線，垂足為H，則．在中，，所以，則，從而，從而，所以，故，所以，所以．8．D解析：設(shè)這個(gè)人走的第n段距離為，前n段距離總和為，在第n段上的用時(shí)為間的距離為S，人的速度為v，則不難知道，同理，兩式相減，得到，則這個(gè)人在前n段距離上走的總時(shí)間為，這說明這個(gè)人行進(jìn)的總時(shí)間不會(huì)超過，這與第一種說法中這個(gè)人不會(huì)到達(dá)終點(diǎn)在時(shí)間的連續(xù)性上產(chǎn)生矛盾．故選D．9．BD解析：當(dāng)時(shí)，與的圖象都是上升的；當(dāng)時(shí)，與的圖象都是下降的．故選BD．10．ABC解析：由餅狀圖知，成績前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多，A正確；由條形圖知高一學(xué)生在前200名中，前100和后100人數(shù)相等，因此成績第名的100人中，高一人數(shù)為，B正確；成績第名的50人中，高一人數(shù)為，故高三最多有32，C正確；成績第名的50人中，高一人數(shù)為，故高二最多有23人，因此高二人數(shù)比高一少，D錯(cuò)誤．11．AC解析：由于，且，對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤．故選AC．12．ABC解析：設(shè)同時(shí)為的零點(diǎn)和極值點(diǎn)．由知，的零點(diǎn)為的零點(diǎn)．如果可導(dǎo)，則極值點(diǎn)符合：，綜上知，此時(shí)有．對(duì)于A，函數(shù)可導(dǎo)，令，得，化簡(jiǎn)得，從而，取，容易驗(yàn)證，這個(gè)取法符合要求，A正確；對(duì)于B，取，根據(jù)三角變換公式，．根據(jù)圖象顯然有該函數(shù)的零點(diǎn)也為極值點(diǎn)，容易檢驗(yàn)得B符合要求；對(duì)于C，取，考察函數(shù)，當(dāng)或者時(shí)，，而，故是的零點(diǎn)和極值點(diǎn)，符合要求；對(duì)于D，函數(shù)可導(dǎo)，設(shè)，有，從而，故，容易驗(yàn)證不是的變號(hào)零點(diǎn)，從而不是函數(shù)的極值點(diǎn)．也可以根據(jù)；；．得到不符合要求，從而D錯(cuò)誤．13．解析：因?yàn)?，所以，，所以?4．4解析：．15．解析：由圓，可得圓心，半徑；由圓，可得圓心，半徑．設(shè)動(dòng)圓E的半徑為R，由題意可得．所以．由雙曲線的定義可得：動(dòng)圓的圓心E在以定點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上．因?yàn)椋裕詣?dòng)圓圓心E的軌跡方程為．16．解析：如圖，因?yàn)槠矫妫^作，連接，可得，即在過A與的垂線上，又，則在以C為圓心，以為半徑的圓弧上，且在內(nèi)部．分析極端情況：①當(dāng)在上時(shí)，，可得，設(shè)為，在中，，且．可得．設(shè)，則，則，所以．在中，由正弦定理可得：，即，得；②當(dāng)在上時(shí)，有，此時(shí)．因?yàn)樵诘膬?nèi)部（不包含邊界），所以t的取值范圍是．17．解：（1）證明：因?yàn)閿?shù)列中，，且滿足，所以，……（3分）所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以．……（5分）（2）由（1）得數(shù)列的前n項(xiàng)和，，所以，……（7分）所以．……（10分）18．解：（1）證明：因?yàn)榈酌媸瞧叫兴倪呅危?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫驗(yàn)槠矫嫫矫妫?，所以．……?分）（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，為y軸，為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，根據(jù)對(duì)稱性，不妨設(shè)，，……（6分）則．設(shè)平面的法向量為，……（7分）則即?。?分）又因?yàn)椋c平面夾角的正弦值等于上述向量與夾角的余弦值的絕對(duì)值，所以，解得或2或，符合要求的，……（10分）此時(shí)底面是正方形，多面體的體積．……（12分）19．解：（1）因?yàn)镈為的中點(diǎn)，所以，……（1分）．記角的對(duì)邊分別為，因?yàn)椋裕?分）則，……（4分）所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值）．所以．……（6分）（2）．設(shè)，在中，由正弦定理可得，所以．同理可得．由，所以，所以．……（8分）所以．……（10分）設(shè)．則，令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以面積的最小值為．……（12分）20．解：（1）X可能的取值為，的概率分布為X1P……（2分）所以X的數(shù)學(xué)期望．……（3分）（2）①，……（5分）所以，所以，當(dāng)時(shí)，增加兩個(gè)電子元件能提高該系統(tǒng)的可靠性．……（7分）②由①知，，當(dāng)時(shí)，增加兩個(gè)電子元件能提高該系統(tǒng)的可靠性．當(dāng)時(shí)，若前個(gè)電子元件中恰有個(gè)正常工作，此時(shí)后兩個(gè)元件必須同時(shí)正常工作；若前個(gè)電子元件中恰有n個(gè)正常工作，此時(shí)后兩個(gè)元件至少有1個(gè)正常工作；若前個(gè)電子元件中至少有個(gè)正常工作，此時(shí)系統(tǒng)必定正常工作．……（8分）可以求得：，故，……（10分）令，得．即，所以對(duì)于，當(dāng)時(shí)，增加兩個(gè)電子元件能提高該系統(tǒng)的可靠性．……（12分）21．解：（1）設(shè)直線的方程為，則．聯(lián)立消去y，整理得．……（3分）因?yàn)橹本€和橢圓C有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故判別式，整理得．根據(jù)韋達(dá)定理可得，從而，……（4分）故．……（6分）（2）設(shè)，則．由，則H在的中垂線上，與聯(lián)立有．……（8分）而，故為整理得到．①又M在橢圓上，所以．②……（10分）①式兩邊平方并把②式代入有，所以，故點(diǎn)M的坐標(biāo)為．……（12分）22．解：（1）證明：①，因?yàn)?，所以函?shù)在R上單調(diào)遞增．又，所以，故存在，使得，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故為的唯一極小值點(diǎn)．……（3分）②注意到，即．（方法一）．故要證，只需要證明．因?yàn)椋手恍枰C明，即，而，故證畢．……（6分）（方法二）證明，注意到時(shí)有，故只需要證明，即證明