二項分布 (典型題型歸類訓練)（解析版）-2024年高考數(shù)學復習解答題解題思路訓練

專題01二項分布（典型題型歸類訓練）

一、必備秘籍

1、伯努利試驗與二項分布

〃重伯努利試驗的定義

①我們把只包含兩個可能結果的試驗叫做伯努利試驗.

②將一個伯努利試驗獨立地重復進行〃次所組成的隨機試驗稱為〃重伯努利試驗.

2、二項分布

一般地，在及重伯努利試驗中，設每次試驗中事件Z發(fā)生的概率為夕（0<0<1）,

用X表示事件Z發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P（X=Q=Cf/（l—"=0」,2,…〃）

如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布（binomialdistribution）,

記作X?

事件N發(fā)生的概率

事件/發(fā)生的概率/

汽X=k）=C：?〃。?（［］一"）1（其中4=0,］2???斯）

試監(jiān)總次數(shù)事件/發(fā)生的次數(shù)

二、典型題型

題型一：利用二項分布求分布列

1.（2024?陜西榆林?統(tǒng)考一模）某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市"知識競賽,

從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將100個樣本數(shù)據(jù)按［30,40）、［40,50）、［50,60）、［60,70）、［70,80）、

［80,90］分成6組，并整理得到如下頻率分布直方圖.

⑴請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).

(2)以樣本頻率估計概率，若競賽成績不低于60分，則被認定為成績合格，低于60分說明成績不合格.從參

加知識競賽的市民中隨機抽取5人，用X表示成績合格的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.

【答案】⑴68.3

(2)分布列見解析，E(X)=?

【分析】(1)將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，再將所得結果全部相加，即可得出這100份

樣本數(shù)據(jù)的平均值；

(2)由題意可知，利用二項分布可得出隨機變量X的分布列，利用二項分布的期望公式可

求得￡(X)的值.

【詳解】([)解：由頻率分布直方圖可知，100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為

x=(35x0.005+45x0.010+55x0.010+65x0.020+75x0.032+85x0.023)x10=68.3.

3

(2)解：競賽成績不低于60分的頻率為(0.020+0.032+0.023)x10=0.75=“

低于60分的頻率為(0.005+0.010+0.010)x10=0.25=：.

1

由題意可知尸(x=0)=C；

1024

尸(X=l)=C：

P(X=2)=Cl45

[A)1024512

/1Y_270_135

P(X=3)=C；

-1024~512

1405243

尸(X=4)=C；x_—____尸(X=5)=C；

4-10241024

所以X的分布列為

X012345

11545135405243

P

1024102451251210241024

315

期望E(X)=5xa=T

2.(2024?廣東中山?中山一中?？寄M預測)杭州亞運會吉祥物為一組名為“江南憶”的三個吉祥物"宸宸”，

"琮琮"，"蓮蓮"，聚焦共同的文化基因，蘊含獨特的城市元素.本次亞運會極大地鼓舞了中國人民參與運動

的熱情.某體能訓練營為了激勵參訓隊員，在訓練之余組織了一個"玩骰子贏禮品”的活動，他們來到一處訓

練場地，恰有20步臺階，現(xiàn)有一枚質地均勻的骰子，游戲規(guī)則如下：擲一次骰子，出現(xiàn)3的倍數(shù)，則往上

爬兩步臺階，否則爬一步臺階，再重復以上步驟，當隊員到達第7或第8步臺階時，游戲結束.規(guī)定：到

達第7步臺階，認定失??；到達第8步臺階可贏得一組吉祥物.假設平地記為第0步臺階.記隊員到達第〃

步臺階的概率為％(04〃V8),記。。=1.

⑴投擲4次后，隊員站在的臺階數(shù)為第X階，求X的分布列；

(2)①求證:數(shù)列g-P,i}(1<?<7)是等比數(shù)列;

②求隊員贏得吉祥物的概率.

【答案】(1)答案見解析

547

(2)①證明見解析；

21o7

【分析】(I)由題意可得爬一步臺階的概率為:2，爬兩步臺階的概率為司1，列出隨機變量X可能取值，求

出對應的概率，求出分布列即可；

(2)(i)由題意可得Pi-4=-;，分類討論到達第〃步臺階的情況，求出對應的概率，進而

(〃=2,3,--,7),結合等比數(shù)列的定義即可證明；(ii)由(i),根據(jù)等比數(shù)列

的通項公式可得利用累加法求得"=泊，(〃=1,2,…,7)

令〃=8計算即可求

解.

21

【詳解】(1)由題意得每輪游戲爬一步臺階的概率為:，爬兩步臺階的概率為:，

所以隨機變量X可能取值為4,5,6,7,8,

1630Y

可得尸(X=4)=尸(X=5)=C；x

尸(X=6)心電《Ijd，尸(X=7)=C：《)3X|哈

1

P（X=8）=

81

所以X的分布列:

X45678

16322481

P

8181818181

(2)(i)證明：n=l,即爬一步臺階，是第1次擲骰子,

21

向上點數(shù)不是3的倍數(shù)概率貝1]百-4=-]

到達第〃步臺階有兩種情況:

①前一輪爬到第〃-2步臺階，又擲骰子是3的倍數(shù)得爬兩步臺階，其概率為;0一，

②前一輪爬到第n-l步臺階，又擲骰子不是3的倍數(shù)爬一步臺階，其概率為

17

所以％2+§P,i("=2,3,…,7),

則。=一!(。"一1一。"2)(?=2,3,---,7),

所以數(shù)列｛%-外/(〃=1,2/-,7)是首項為-；，公比為一;的等比數(shù)列.

(ii)因為數(shù)歹是首項為-g,公比為的等比數(shù)列，

所以p“_p〃-1,所以“一夕0=_],P2~Pi,…'p“_p〃-,

各式相加，得：P「Po=_；1—，所以(題=1,2,…,7),

所以活動參與者得到紀念品的概率為

113116547

Ps=-P6=-x—+—x

4432187

3.(2024?全國?模擬預測)網(wǎng)球運動是一項激烈且耗時的運動，對于力量的消耗是很大的，這就需要網(wǎng)球

運動員提高自己的耐力.耐力訓練分為無氧和有氧兩種訓練方式.某網(wǎng)球俱樂部的運動員在某賽事前展開

了一輪為期90天的封閉集訓，在封閉集訓期間每名運動員每天選擇一種方式進行耐力訓練.由訓練計劃知,

在封閉集訓期間，若運動員第〃(八￡N*,〃489)天進行有氧訓練，則第〃+1天進行有氧訓練的概率為■!，第

47

〃+1天進行無氧訓練的概率為若運動員第〃天進行無氧訓練，則第〃+1天進行有氧訓練的概率為3,第

〃+1天進行無氧訓練的概率為:,若運動員封閉集訓的第1天進行有氧訓練與無氧訓練的概率相等.

⑴封閉集訓期間，記3名運動員中第2天進行有氧訓練的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望；

⑵封閉集訓期間，記某運動員第〃天進行有氧訓練的概率為月，求

【答案】⑴分布列見解析，2

m1(2Y37

33⑺11

【分析】(1)分別求出運動員第2天進行有氧訓練與無氧訓練的概率，判斷X服從二項分布并求概率，列

分布列，求數(shù)學期望；

(2)求/月的遞推關系，構造數(shù)列［匕,一并證其為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式求結果.

【詳解】(1)設運動員第2天進行有氧訓練為事件第2天進行無氧訓練為事件N,

-彳、1517122…八141231

則P(M)=—x—+—x—=——=—,P(N)=—x—+—x—,

2929183292993

所以3名運動員第2天進行有氧訓練的人數(shù)X?,可知X=0,1,2,3,

貝ljP(X=0)=—,P(X=1)=C'x-x

2733I

尸-2)=需"=3)=88

27

所以X的分布列為

5727

⑵依題意可得心產7>3+(1-耳>5,即4用=一34+3(”eN*,且"489).

72，7、717

則心FFWFJUN*,且整89),且々-nF=-藥"

所以數(shù)列［勺-:)是首項為-,，公比為-|的等比數(shù)列，

37

所以45=-——X+—=

2211

4.(2024?四川綿陽?統(tǒng)考二模)綿陽市37家A級旅游景區(qū)，在2023年國慶中秋雙節(jié)期間，接待人數(shù)和門

票收入大幅增長.綿陽某旅行社隨機調查了市區(qū)100位市民平時外出旅游情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：

喜歡旅游不喜歡旅游總計

男性203050

女性302050

總計5050100

⑴能否有95%的把握認為喜歡旅游與性別有關？

(2)將頻率視為概率，從全市男性市民中隨機抽取2人進行訪談，記這2人中喜歡旅游的人數(shù)為乙求J的分

布列與數(shù)學期望.

n(ad-bcf

(a+b)(c+(/)(?+c)(b+d)

2

P(K>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)有95%的把握認為喜歡旅游與性別有關

4

(2)分布列見解析，￡(,=]

【分析】(1)將表中數(shù)據(jù)代入K2的計算公式并將計算結果與3.841比較大小，由此可知結果；

(2)根據(jù)條件判斷出J：然后計算出J在不同取值下的概率，由此可求分布列，根據(jù)分布列可求

%).

【詳解】(1)因為K2J°°x(2°x20-30x30)2=4>3,841

50x50x50x50

所以有95%的把握認為喜歡旅游與性別有關.

202

(2)由表中數(shù)據(jù)可知：從全市男性市名中隨機抽取一人，該人喜歡旅游的概率為三,

由題意可知：4：臺上，1；J的可能取值為0,1,2.

所以尸(八。)=當[1一|。1]=/

尸…心陋卜弓堞,

所以4的分布列為:

012

9124

P

252525

aio44?4

^^E(^)=Ox—+lx—+2x—=-(或者E(J)=2x、=三).

乙J乙J乙JJJJ

題型二：服從二項分布的隨機變量概率最大問題

1.（2024?云南昆明?統(tǒng)考一模）聊天機器人（chatterbot）是一個經由對話或文字進行交談的計算機程序.

當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結果進行應答.在對某款聊天機器人進行測

試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%,若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概

率為30%.假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%.

⑴求一個問題的應答被采納的概率；

（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數(shù)為X,

事件丫=上"=0,1,…,8）的概率為尸（X=左），求當尸（X=口最大時左的值.

【答案】（1）0.75

（2）6

【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，

（2）根據(jù)二項分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.

【詳解】（］）記"輸入的問題沒有語法錯誤"為事件A,"一次應答被采納"為事件8,

由題意尸（N）=0.1,尸（叫工）=0.8,尸（8同=0.3,則

P(N)=l-P(1)=0.9,

尸(2)=尸(/B)+尸(1B)=尸(Z)尸+尸0.9x0.8+0.1x0.3=0.75.

(2)依題意，X~3(8,玄，P(X=fc)=C*(|)*(l)8-\

P(X=k)>P(X=k+l),

當尸（X=口最大時，有＜

P(X=k)>P(X=k-l),

上eN,

44

故當「（丫=左）最大時，k=6.

2.（2024?江西?校聯(lián)考模擬預測）近年來，隨著智能手機的普及，網(wǎng)絡購物、直播帶貨、網(wǎng)上買菜等新業(yè)

態(tài)迅速進入了我們的生活，改變了我們的生活方式.現(xiàn)將一周網(wǎng)上買菜次數(shù)超過3次的市民認定為"喜歡網(wǎng)上

買菜"，不超過3次甚至從不在網(wǎng)上買菜的市民認定為“不喜歡網(wǎng)上買菜”.某市M社區(qū)為了解該社區(qū)市民網(wǎng)上

買菜情況，隨機抽取了該社區(qū)100名市民，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示:

喜歡網(wǎng)上買菜不喜歡網(wǎng)上買菜合計

年齡不超過45歲的市民401050

年齡超過45歲的市民203050

合計6040100

⑴是否有99.9%的把握認為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關？

(2)M社區(qū)的市民李華周一、周二均在網(wǎng)上買菜，且周一從A,8兩個買菜平臺隨機選擇其中一個下單買菜.

4

如果周一選擇A平臺買菜，那么周二選擇A平臺買菜的概率為二；如果周一選擇B平臺買菜，那么周二選

擇8平臺買菜的概率為:，求李華周二選擇平臺B買菜的概率；

⑶用頻率估計概率，現(xiàn)從M社區(qū)市民中隨機抽取20名市民，記其中喜歡網(wǎng)上買菜的市民人數(shù)為X,事件

"X=左”的概率為尸(X=k),求使=k)取得最大值時的左的值.

2

2n^ad—bc\

參考公式:”(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中〃=a+b+c+d.

P(K…)0.10.050.010.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】⑴有99.9%的把握認為"社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關.

(3)12

【分析】(1)根據(jù)題意，計算出/的值即可求解;

(2)根據(jù)概率的乘法公式求解；

(3)利用二項分布求出尸(X=左)，然后計算，可得結果.

【詳解】(1)零假設4：M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡無關，

由題可得，

n[ad-bcy100x(40x30-10x20)?

r2=------r—y——-----r=----------------------46.667510.828,

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x50x60x40

所以零假設不成立，

所以有99.9%的把握認為M社區(qū)的市民是否喜歡網(wǎng)上買菜與年齡有關.

(2)周二選擇3平臺買菜的情況有：

①周一選擇A平臺買菜，周二選擇B平臺買菜，概率為耳=；x（l-g）=￡,

②周一選擇3平臺買菜，周二選擇B平臺買菜，概率為月=gx（l

13

所以李華周二選擇平臺B買菜的概率為片+￡=茄.

（3）由表知，喜歡網(wǎng)上買菜的頻率為，泉=|,則X：^（20,1）,

所以P（X=左）x]|]（"=0,1,2,L,20）.

設,…3；g

又一…

令,=3（21：笈）＞],解得無＜12.6,P（x=k）＞P（x=k-l）；

2k

/=3（2i）＜],解得上＞12.6,P（x=k）＜P（x=k-D

2k

所以當上=12時，P（以=人）最大,

所以使尸（X=L）取得最大值時的無的值為12.

3.（2023?貴州貴陽?校聯(lián)考三模）為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒

拒毒意識"，我市組織開展青少年禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄"禁毒知識競賽/PP',參加各種學

習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人賽是由網(wǎng)絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1

個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效

局，根據(jù)得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名

的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分，獲得第2、3、4名的得1分；后18局是無效

局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統(tǒng)計，小明每天在第1局四人賽中獲得3分,2分,1分的概

率分別為！，；，]，在第2局四人賽中獲得2分、1分的概率分別為!，4，

⑴設小明每天獲得的得分為X,求X的分布列和數(shù)學期望；

（2）若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第1名從而贏得該局比賽的概率為每局是否贏得

比賽相互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？

13

【答案】⑴分布列答案見解析，數(shù)學期望：v

⑵在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大

【分析】（]）記事件4?=1,2,3）表示第一局獲得i分，事件4?=1,2）表示第二局獲得i分，X的可能值為

5,4,3,2,根據(jù)事件相互獨立求出X的分布列、數(shù)學期望；

（2）設小工每天贏得的局數(shù)為y,則y?從而得到關于左的不等式組，解之即可得解.

【詳解】（1）記事件4?=1,2,3）表示第一局獲得i分，事件瓦?=1,2）表示第二局獲得i分，

這些事件相互獨立，由條件知X的可能值為5,4,3,2.

P（X=5）=尸（4與）=尸（4）p（與）=。X<=［；

4410

P（^=4）=JP（451）+JP（452）=1X|+1X1=A;

13117

P(X=3)=P(A2Bi)^P(AiB2)=-x-+-x-=-

133

P-㈤干廣正

則其分布列為

X5432

1573

P

16161616

廠八八l1“5_7_35213

以E(X)—5x----F4x----F3x-----F2x—二—二—

16161616164

（2）設小明每天贏得的局數(shù)為Y,則易知y?臺120,；

假設贏得先局的概率最大，則據(jù)條件得

」1>12

整理得］1721

解之得

.20^14-1+14

又因為左eZ,所以左=5,

因此在每天的20局四人賽中，小明贏得5局的比賽概率最大.

4.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考模擬預測）某款自營生活平臺以及提供配送服務的生活類軟件主要提供的產品有

水產海鮮，水果，蔬菜，食品，日常用品等.某機構為調查顧客對該軟件的使用情況，在某地區(qū)隨機訪問

了100人，訪問結果如下表所示.

使用人數(shù)未使用人數(shù)

女性顧客4020

男性顧客2020

（1）從被訪問的100人中隨機抽取2名，求所抽取的都是女性顧客且使用該軟件的概率;

（2）用隨機抽樣的方法從該地區(qū)抽取10名市民，這10名市民中使用該軟件的人數(shù)記為X,問

位=0,1,2,…,10）為何值時，尸（X=k）的值最大？

【答案】（1）晨

163

（2）左=6

【分析】（1）根據(jù)題意，由古典概型的概率計算公式，代入計算，即可得到結果；

（2）根據(jù)題意，由二項分布的概率計算公式列出式子，然后即可得到其最大值.

【詳解】（］）設事件A為"從被訪問的100人中隨機抽取2名，所抽取的都是女性顧客且使用該軟件"，從

被訪問的人中隨機抽取名，共有個基本事件，事件共有個基本事件，

1002AC^o

則尸⑷卷喂

（2）由題意，X服從二項分布，且使用該軟件的概率為需=g

k10-*

32

所以尸(X=左)=Cf°x\XI(左=0,1,2,…,10).

5

IOHI

3

p(x=k)c'°xX

t]，

設公西Rf—k-\L0,12,…,10).

3、2K

jox|IX

若/＞1,則左＜6.6,尸（X=左）＞尸（X=左一1）；

若，＜1,貝!］，＞6.6,尸（X=左）〈尸=

所以左=6時，尸（X）最大.

題型三：建立二項分布模型解決實際問題

1.（2023?全國?模擬預測）5G技術是未來信息技術的核心，而芯片是5G通信技術的關鍵之一.我國某科創(chuàng)

企業(yè)要用新技術對一種芯片進行試生產.現(xiàn)對這種芯片進行自動智能檢測，已知自動智能檢測顯示該種芯片

的次品率為1.5%,且每個芯片是否為次品相互獨立.該企業(yè)現(xiàn)有試生產的芯片10000個，給出下面兩種檢測

方法：

方法1：對10000個芯片逐一進行檢測.

方法2：將10000個芯片分為1000組，每組10個，把每組10個芯片串聯(lián)起來組成一個芯片組，對該芯片

組進行一次檢測，如果檢測通過，那么可斷定該組10個芯片均為正品，如果不通過，那么再逐一進行檢測.

⑴按方法2,求一組芯片中恰有1個次品的概率（結果保留四位有效數(shù)字）；

（2）從平均檢測次數(shù)的角度分析，哪種方法較好？請說明理由.

參考數(shù)據(jù)：0.985晨0.8861,0.985晨0.8728,0.98510?0.8597.

【答案】（1）0.1309

⑵方法2較好，理由見解析

【分析】（］）由題意根據(jù)二項分布的概率公式直接計算即可.

（2）對于方法一，其檢測次數(shù)為10000,對于方法二，分析得出每組芯片需要被檢測的X次數(shù)的所有可能

取值為1,11,分別求出尸（X=1）,P（X=11）,再結合均值公式即可得解，比較大小即可判斷.

【詳解】（1）因為每個芯片是否為次品相互獨立，

所以所求概率P=C；°X0.015X（1_0.015）9=0.15X0.9859?0.1309.

（2）方法1的檢測次數(shù)為10000.

方法2：對于某組芯片，如果進行一次檢測且通過，那么對這10個芯片只檢測1次；

如果檢測不通過，那么需對這10個芯片再逐一進行檢測，這時共需進行11次檢測.

每組芯片需要被檢測的X次數(shù)的所有可能取值為1,11,

且若一組芯片均為正品，則X=l;若含有次品，則X=ll.

因止匕p（X=l）=0.985i°70.8597.

jp（X=ll）=l-P（X=1）?0.1403,

所以E（X）=1x0.8597+11x0.1403=2.403,

所以1000組芯片的檢驗次數(shù)的均值為1000x2.403=2403.

因此方法2較好.

2.（2023?山東煙臺?統(tǒng)考二模）某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產線，為了解零件質量情況，采用隨機抽樣

方法從兩條生產線共抽取180個零件，測量其尺寸（單位：mm）得到如下統(tǒng)計表，其中尺寸位于［55,58）的

零件為一等品，位于［54,55）和［58,59）的零件為二等品，否則零件為三等品.

生產線[53,54][54,55)[55,56)[56,57)[57,58)[58,59)[59,60]

甲49232824102

乙214151716151

⑴完成2x2列聯(lián)表，依據(jù)e=0.05的獨立性檢驗能否認為零件為一等品與生產線有關聯(lián)?

一等品非一等品

甲

乙

（2）將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產線中分別隨機抽取2個零件，每次抽取零件互不影響，以4表

示這4個零件中一等品的數(shù)量，求J的分布列和數(shù)學期望￡仁）;

⑶已知該企業(yè)生產的零件隨機裝箱出售，每箱60個.產品出廠前，該企業(yè)可自愿選擇是否對每箱零件進行

檢驗.若執(zhí)行檢驗，則每個零件的檢驗費用為5元，并將檢驗出的三等品更換為一等品或二等品；若不執(zhí)

行檢驗，則對賣出的每個三等品零件支付120元賠償費用.現(xiàn)對一箱零件隨機檢驗了10個，檢出了1個三

等品.將從兩條生產線抽取的所有樣本數(shù)據(jù)的頻率視為概率，以整箱檢驗費用與賠償費用之和的期望作為

決策依據(jù)，是否需要對該箱余下的所有零件進行檢驗？請說明理由.

n(ad-咐

2=其中n=a+b+c+d；■^o.os=3.841.

(a+6)(c+”Xa+c)3+4)

【答案】⑴填表見解析；可以認為零件是否為一等品與生產線有關聯(lián)

（2）分布列見解析；期望為言

⑶應對剩下零件進行檢驗，理由見解析

【分析】（1）由表格填寫列聯(lián)表，計算卡方，與3.841比較后得到結論;

（2）首先計算出任取一個甲生產線零件為一等品和任取一個乙生產線零件為一等品的概率，求出J的可能

取值及相應的概率，得到分布列，求出期望值；

（3）設余下的50個零件中的三等品個數(shù)為X,求出￡（X）,再設檢驗費用與賠償費用之

和為匕得到y(tǒng)=10x5+120X,求出￡（￥）=350,計算出若對余下的所有零件進行檢驗，則檢驗費用

60x5=300元，比較后得到結論.

【詳解】（1）由題意得列聯(lián)表如下:

因為4.621>3.841=，依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，可以認為零件是否為一等品與生產線有關

聯(lián).

⑵由已知任取一個甲生產線零件為一等品的概率為土『q,任取一個乙生產線零件為一等品的

15+17+163

概率為

805

J的所有可能取值為0,1,2,3,4.

11224

P(^=0)=-x-x-x-=——,

4455400

2

i321:36

P(^=l)=C^x-x-x

52554400

2222

3213117

尸6=2)=x+x+Cjxlx-xCx|x|

4545244400

2

33i2162

尸6=3)=xC；

42552445400

2

33I281

尸e=4)=x

454005

所以《的分布列為

401234

43611716281

P

400400400400400

三+當+風上

￡0=0x4+lx2xm+3x4x

40040040040040010

4+2+2+11

（3）由已知，每個零件為三等品的頻率為

180--20)

設余下的50個零件中的三等品個數(shù)為X,則X,

所以￡（8）=50':=?

設檢驗費用與賠償費用之和為Y,

若不對余下的所有零件進行檢驗，則丫=10x5+120X,

￡（丫）=50+120xE（X）=50+120x|=350.

若對余下的所有零件進行檢驗，則總檢驗費用為60x5=300元.

因為350>300,所以應對剩下零件進行檢驗.

3.（2023?河北張家口?統(tǒng)考一模）某醫(yī)療用品生產商用新舊兩臺設備生產防護口罩，產品成箱包裝，每箱

500個.

⑴若從新舊兩臺設備生產的產品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產的100箱樣本中有10箱

存在不合格品，舊設備生產的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數(shù)據(jù)，填寫完成2x2列聯(lián)表，并

依據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為"有不合格品"與"設備"有關聯(lián)？

單位：箱

是否有不合格品

無不合格品有不合格品合計

設備

新

舊

合計

（2）若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱口罩中任取

20個做檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有口罩做檢驗.設每個口罩為不合格品的概率都為

P（O<P<1）,且各口罩是否為不合格品相互獨立.記20個口罩中恰有3件不合格品的概率為求〃0）

最大時〃的值。。.

⑶現(xiàn)對一箱產品檢驗了20個，結果恰有3個不合格品，以（2）中確定的為作為〃的值.已知每個口罩的

檢驗費用為0.2元，若有不合格品進入用戶手中，則生產商要為每個不合格品支付5元的賠償費用.以檢驗

費用與賠償費用之和的期望為決策依據(jù)，是否要對這箱產品余下的480個口罩做檢驗？

附表：

a0.1000.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

附._____加d-be)?_______其中

-a+b+c+d

?(Q+b)(c+d)(a+c)3+d)、

【答案】⑴填表見解析；認為箱中有不合格品與新舊設備有關聯(lián)

⑶應該對余下的480個口罩進行檢驗

【分析】（1）根據(jù)題中的條件可填寫2x2列聯(lián)表，利用卡方計算公式計算出卡方值，結合標準誤差可以判

斷出關聯(lián)性；

（2）利用獨立重復性實驗的計算公式得出20個口罩中恰有3件不合格品的概率為了（p）的表達式，利用求

導方法解出的最大時的P;

（3）先設y表示余下的480件產品中不合格品的數(shù)量，y符合二項分布，解出期望，再設產品的檢驗費用

與賠償費用的和記為x,找出x、y的等式關系，即可求出y,進而判斷結果.

【詳解】(1)解:單位：箱

是否有不合格品

無不合格品有不合格品合計

設備

新9010100

舊7525100

合計16535200

零假設為有不合格品與新舊設備無關聯(lián).

由列聯(lián)表可知/的觀測值

2n(ad-be/200x(90x25-10x75)2

r=---------------=--------------?7.792>6.635=x,

{a+b\c+d\a+c\b+d)100x100x165x350n0n1l

根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為箱中有不合格品與新舊設備有關聯(lián)，此推斷

犯錯誤的概率不大于0.01.

(2)由題意，得/(p)=C；oP"l-0。

則HP)=CL[3/(l-rt17-17^(l-rt16]=以。2(i_(3_20。)，

216

4f'(P)=C[0p(1-p)(3-2Qp)=0,又0<”1,得PJ.

當Pe1O，*1寸，f'(P)>Q，當時，f'(P)<0,

3

所以/(2)最大時夕的值“)=：.

3

(3)由(2)矢口夕=三.

設Y表示余下的480件產品中不合格品的數(shù)量，依題意知Y?B[480,京)，

3

所以￡(y)=480x、=72.

若不對該箱余下的口罩做檢驗，這一箱產品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,則X=0.2x20+5y,

所以E(X)=0.2x20+5xE(Y)=364.

如果對余下的產品做檢驗，這一箱產品所需要的檢驗費為0.2x500=100(元).

364遠大于100,所以應該對余下的480個口罩進行檢驗.

4.(2023?全國?東北師大附中校聯(lián)考模擬預測)調查問卷中常常涉及到個人隱私或本人不愿正面回答的問

題，被訪人可能拒絕回答，即使回答，也不能期望答案是真實的.某小區(qū)要調查業(yè)主對物業(yè)工作是否滿意的

真實情況，現(xiàn)利用"隨機化選答抽樣"方法制作了具體調查方案，其操作流程如下：在一個箱子里放3個紅球

和2個白球，被調查者在摸到球后記住顏色并立即將球放回，如果抽到的是紅球，則回答"你的性別是否為

男性？"如果抽到的是白球，則回答“你對物業(yè)工作現(xiàn)狀是否滿意？”兩個問題均用“是"或"否"回答.

⑴共收取調查問卷100份，其中答案為"是"的問卷為60份，求一個業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的概率，己知

該小區(qū)共有業(yè)主500人，估計該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的人數(shù)；

(2)現(xiàn)為了提高對物業(yè)工作滿意的業(yè)主比例，對小區(qū)業(yè)主進行隨機訪談，請表示不滿意的業(yè)主在訪談中提出

兩個有待改進的問題.

(i)若物業(yè)對每一個待改進的問題均提出一個相應的解決方案，該方案需要由5名業(yè)主委員會代表投票決

定是否可行.每位代表投贊同票的概率均為:，方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，并最終解決該問

題，求某個問題能夠被解決的概率P。；

(ii)假設業(yè)主所提問題各不相同，每一個問題能夠被解決的概率都為外，并且都相互獨立.物業(yè)每解決一

個問題，業(yè)主滿意的比例將提高一個百分點.為了讓業(yè)主滿意的比例提高到80%,試估計至少要訪談多少位

業(yè)主？

3

【答案】⑴"人

(2)(i)—：(ii)至少要訪談48位業(yè)主

81

【分析】(1)根據(jù)紅球與白球的個數(shù)比例以及問卷調查的情況，通過比例求解即可；

(2)(i)由每位代表投贊同票的概率均為;，且方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，根據(jù)二項分布

的概率公式運算求解即可；

(ii)由(1)知，該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的概率為一3,要使?jié)M意度提高到80%,可設設至少要訪談〃位

業(yè)主，列出關于〃的不等式，解不等式即可.

【詳解】(1)記：事件"業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意”，則尸(/)xg+gx；=?^=尸(/)=；,

3

所以'500xr375（人）’

故該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作表示滿意的人數(shù)約為375人;

(2)(i)由己知得，每位代表投贊同票的概率均為:，

方案需至少3人投贊成票，方能予以通過，所以《=仁("02+＜；]41+仁,]=那,

17

故某個問題能夠被解決的概率々=￡；

O1

3

(ii)設至少要訪談〃位業(yè)主，由(工)知，該小區(qū)業(yè)主對物業(yè)工作滿意的概率為

要使業(yè)主滿意的比例提高到80%,則有

x2>fso%—L100^>n>—°47￡

4J81I4j17

故至少要訪談48位業(yè)主.

三、專項訓練

1.(2023?湖南永州?統(tǒng)考二模)在某網(wǎng)絡平臺組織的禁毒知識挑戰(zhàn)賽中，挑戰(zhàn)賽規(guī)則如下：每局回答3道

題，若回答正確的次數(shù)不低于2次，該局得3分，否則得1分，每次回答的結果相互獨立.已知甲、乙兩

人參加挑戰(zhàn)賽，兩人答對每道題的概率均為g.

⑴若甲參加了3局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，設甲得分為隨機變量X,求X的分布列與期望；

(2)若甲參加了2M〃eN*)局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，乙參加了2〃+2,eN*)局禁毒知識挑戰(zhàn)賽，記甲在禁毒知識

挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于4〃的概率為0,乙在禁毒知識挑戰(zhàn)賽中獲得的總分大于4〃+4的概率為。2,證明:

Pi<P2-

【答案】⑴分布列見解析；6

(2)證明見解析

【分析】(1)確定隨機變量X的可能取值，求出每個值相應的概率，即可得分布列，繼而求得期望；

(2)設在甲參加了的2〃(〃eN*)局禁毒知識挑戰(zhàn)賽中，獲勝局數(shù)為匕可得y>〃，由此求出百的表達

式沒利用作差法，即可證明結論.

【詳解】(1)依題意可得，隨機變量Xe{3,5,7,9},

設甲、乙在一局比賽中得3分的概率為尸，則尸=；，

P(X=7)=C；［￡|=|,尸(X=9)=

故X的分布列為:

(2)證明：設在甲參加了的2〃(〃eN*)局禁毒知識挑戰(zhàn)賽中，獲勝局數(shù)為匕

則所獲總分為3丫+(2〃-y)=2Y+2〃，若2y+2〃>4〃，則Y>〃,

則口=尸(y>〃)，因為MY>")=。(丫<〃)，

2n

1-c

故i-p（y=?）_^I，同理可得

Pl=

22

則p「Pz=c黑2_c，“）

（2"+2）!（2"）!

（2）4（M+1）!（M+1）!n\n\n\

_n『+i（2”）![（2〃+2）（2〃+1）-4（〃+1）2]

一⑴4（??+l）!（n+l）!

（2〃）!（一2~2）4

⑸4（?+1）!（?+1）!

故Pl<P2-

2.（2024?廣東廣州?廣州市培正中學校考二模）某校高二（1）班的元旦聯(lián)歡會設計了一項抽獎游戲：準備

了10張相同的卡片，其中只在6張卡片上印有"獎"字.

⑴采取放回抽樣方式，從中依次抽取3張卡片，求抽到印有"獎"字卡片張數(shù)X的分布列、數(shù)學期望及方差；

（2）采取不放回抽樣方式，從中依次抽取3張卡片，求第一次抽到印有"獎"字卡片的條件下，第三次抽到未印

有"獎"字卡片的概率.

Q1Q

【答案】⑴分布列答案見解析,E（X）=-,D{X）=—

嗚

【分析】（I）分析可知，X?由二項分布可得出X的分布列，利用二項分布的期望和方差公式

可得出X的期望和方差;

（2）記事件/:第一次抽到印有"獎"字卡片，事件8:第三次抽到未印有"獎"字卡片，計算出尸（4）、P[AB）

的值，利用條件概率公式可求得尸（8⑷的值，即為所求.

【詳解】（[）解：由題意可知，X?8（3,1

則p（x=o）=

2■53）=

尸（X=2）=c]

5

所以，隨機變量X的分布列如下表所示:

X0123

8365427

P

125125125125

aq12

所以，E（X）=3x《=『￡>（^）=3xjx-=—.

（2）解：記事件/:第一次抽到印有"獎"字卡片，事件3:第三次抽到未印有"獎"字卡片,

則尸⑷43,尸（碼=空4

1UJAo15,

由條件概率公式可得尸（z叫./