第二十七章 相似

第頁第二十七章相似27．1圖形的相似01基礎(chǔ)題知識點1相似圖形形狀相同的圖形叫做相似圖形．1．下列選項中，哪個才是相似圖形的本質(zhì)屬性(C)A．大小不同 B．大小相同C．形狀相同 D．形狀不同2．下列各組圖形相似的是(B)知識點2比例線段對于四條線段a，b，c，d，如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另兩條線段的比相等，如eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，我們就說這四條線段成比例．3．下列各線段的長度成比例的是(D)A．2cm，5cm，6cm，8cmB．1cm，2cm，3cm，4cmC．3cm，6cm，7cm，9cmD．3cm，6cm，9cm，18cm4．(常州中考)在比例尺為1∶40000的地圖上，某條道路的長為7cm，則該道路的實際長度是2.8km.知識點3相似多邊形兩個邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的角分別相等，邊成比例，那么這兩個多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做相似比．相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例．如：兩個大小不同的四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中，若∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1，那么四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似．5．兩個相似多邊形一組對應(yīng)邊分別為3cm，4.5cm，那么它們的相似比為(A)A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2) C.eq\f(4,9) D.eq\f(9,4)6．如下的各組多邊形中，相似的是(B)A．(1)(2)(3) B．(2)(3)C．(1)(3) D．(1)(2)7．在一張復(fù)印出來的紙上，一個多邊形的一條邊由原圖中的2cm變成了6cm，這次復(fù)印的放縮比例是1∶3．8．如圖所示是兩個相似四邊形，求邊x、y的長和α的大?。猓骸邇蓚€四邊形相似，∴eq\f(AD,A′D′)＝eq\f(BC,B′C′)＝eq\f(AB,A′B′)，即eq\f(4,16)＝eq\f(6,x)＝eq\f(7,y).∴x＝24，y＝28.∵∠B＝∠B′＝73°，∴α＝360°－∠A－∠D－∠B＝83°.易錯點沒有分情況討論導(dǎo)致漏解9．已知三條線段的長分別為1cm、2cm、eq\r(2)cm，如果另外一條線段與它們是成比例線段，那么另外一條線段的長為eq\r(2)__cm，2eq\r(2)__cm或eq\f(\r(2),2)__cm.02中檔題10．下列說法：①放大(或縮小)的圖片與原圖片是相似圖形；②比例尺不同的中國地圖是相似圖形；③放大鏡下的五角星與原來的五角星是相似圖形；④放電影時膠片上的圖象和它映射到屏幕上的圖象是相似圖形；⑤平面鏡中，你的形象與你本人是相似的．其中正確的說法有(D)A．2個 B．3個C．4個 D．5個11．如圖，正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，則下列結(jié)論正確的是(B)A．2DE＝3MNB．3DE＝2MNC．3∠A＝2∠FD．2∠A＝3∠F12．如圖所示，兩個等邊三角形，兩個矩形，兩個正方形，兩個菱形各成一組，每組中的一個圖形在另一個圖形的內(nèi)部，對應(yīng)邊平行，且對應(yīng)邊之間的距離都相等，那么兩個圖形不相似的一組是(B)13．如圖所示，它們是兩個相似的平行四邊形，根據(jù)條件可知，α＝125°，m＝12.14．如圖，左邊格點圖中有一個四邊形，請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形，要求大小與左邊四邊形不同．解：如圖所示．15．為了鋪設(shè)一矩形場地，特意選擇某地磚進行密鋪，為了使每一部分都鋪成如圖所示的形狀，且由8塊地磚組成，問：(1)每塊地磚的長與寬分別為多少？(2)這樣的地磚與所鋪成的矩形地面是否相似？試明你的結(jié)論．解：(1)設(shè)矩形地磚的長為acm，寬為bcm，由題圖可知4b＝60，即b＝15.因為a＋b＝60，所以a＝60－b＝45，所以矩形地磚的長為45cm，寬為15cm.(2)不相似．理由：因為所鋪成矩形地面的長為2a＝2×45＝90(cm)，寬為60cm，所以eq\f(長,寬)＝eq\f(90,60)＝eq\f(3,2)，而eq\f(a,b)＝eq\f(45,15)＝eq\f(3,1)，eq\f(3,2)≠eq\f(3,1)，即所鋪成的矩形地面的長與寬和地磚的長與寬不成比例．所以它們不相似．03綜合題16．(教材9下P28習(xí)題T6變式)如圖：矩形ABCD的長AB＝30，寬BC＝20.(1)如圖1，若沿矩形ABCD四周有寬為1的環(huán)形區(qū)域，圖中所形成的兩個矩形ABCD與A′B′C′D′相似嗎？請說明理由；(2)如圖2，x為多少時，圖中的兩個矩形ABCD與A′B′C′D′相似？解：(1)不相似，AB＝30，A′B′＝28，BC＝20，B′C′＝18，而eq\f(28,30)≠eq\f(18,20)，故矩形ABCD與矩形A′B′C′D′不相似．(2)矩形ABCD與A′B′C′D′相似，則eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(B′C′,BC)或eq\f(A′B′,BC)＝eq\f(B′C′,AB).則：eq\f(30－2x,30)＝eq\f(20－2,20)，或eq\f(30－2x,20)＝eq\f(20－2,30).解得x＝1.5或9，故當(dāng)x＝1.5或9時，矩形ABCD與A′B′C′D′相似．

27.2相似三角形27．2.1相似三角形的判定第1課時平行線分線段成比例01基礎(chǔ)題知識點1相似三角形的定義和相似比如果兩個三角形的三個角分別相等，三條邊成比例，我們就說這兩個三角形相似．相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．相似用符號“∽”表示．如圖，在△ABC和△A1B1C1中，如果∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，eq\f(AB,A1B1)＝eq\f(BC,B1C1)＝eq\f(AC,A1C1)，那么△ABC∽△A1B1C1.1．如圖所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)A.eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)B.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)C.eq\f(AD,AE)＝eq\f(AC,AB)＝eq\f(DE,BC)D.eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,EC)＝eq\f(DE,BC)2．兩個三角形相似，且相似比k＝1，則這兩個三角形全等．知識點2平行線分線段成比例(1)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．如圖1，直線l1∥l2∥l3，分別交直線m，n于點A，B，C，D，E，F(xiàn)，則eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，eq\f(AB,AC)＝eq\f(DE,DF)，eq\f(BC,AC)＝eq\f(EF,DF)．圖1圖2(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例．如圖2，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點D，E，則eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC)，eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，eq\f(DB,AB)＝eq\f(EC,AC)．3．(杭州中考)如圖，已知a∥b∥c，直線m分別交直線a，b，c于點A，B，C，直線n分別交直線a，b，c于點D，E，F(xiàn).若eq\f(AB,BC)＝eq\f(1,2)，則eq\f(DE,EF)＝(B)A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(2,3) D．14．(成都中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，則EC的長為(B)A．1 B．2 C．3 D．4知識點3相似三角形判定的預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．如圖2，在△ABC中，DE∥BC，DE分別交AB，AC于點D，E，則△ADE∽△ABC.5．(貴陽中考)如圖，在△ABC中，DE∥BC，eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，BC＝12.則DE的長是(B)A．3 B．4 C．5 D．6第5題圖第6題圖6．如圖，點E，F(xiàn)分別在△ABC的邊AB，AC上，且EF∥BC，點M在邊BC上，AM與EF交于點D，則圖中相似三角形共有(B)A．4對 B．3對 C．2對 D．1對02中檔題7．(上海中考)如圖，已知在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于(A)A．5∶8 B．3∶8C．3∶5 D．2∶5第7題圖第8題圖8．如圖，AB∥CD∥EF，則圖中相似三角形有(B)A．4對 B．3對C．2對 D．1對9．(遵義中考)如圖，△ABC中，E是BC中點，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于點F.若AB＝11，AC＝15，則FC的長為(C)A．11B．12C．13D．1410．如圖，在△ABC中，點D，E分別為AB，AC的中點，連接DE，線段BE，CD相交于點O，若OD＝2，則OC＝4.第10題圖第11題圖11．(六盤水中考)如圖，在?ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，在BA的延長線上取一點E，連接OE交AD于點F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，則AF＝eq\f(16,9)．12．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，點D在邊AB所在的直線上，且AD＝2，過點D作DE∥BC交邊AC所在直線于點E，則CE的長為6或12．13．中國高鐵近年來用震驚世界的速度不斷發(fā)展，已成為當(dāng)代中國一張耀眼的“國家名片”，修建高鐵時常常要逢山開道、遇水搭橋，如圖，某高鐵在修建時需打通一直線隧道MN(M、N為山的兩側(cè))，工程人員為了計算M、N兩點之間的直線距離，選擇作MN的平行線BC，并測得AM＝900米，AB＝30米，BC＝45米，求直線隧道MN的長．解：∵BC∥MN，∴△ABC∽△AMN.∴eq\f(AB,AM)＝eq\f(BC,MN)，即eq\f(30,900)＝eq\f(45,MN).∴MN＝1350米答：直線隧道MN的長為1350米．14．如圖，延長正方形ABCD的一邊CB至E，ED與AB相交于點F，過F作FG∥BE交AE于G，求證：GF＝FB.證明：∵GF∥AD，∴eq\f(GF,AD)＝eq\f(EF,ED).又FB∥DC，∴eq\f(FB,DC)＝eq\f(EF,ED).又AD＝DC，∴eq\f(GF,AD)＝eq\f(FB,AD).∴GF＝FB.03綜合題15．如圖，AD∥EG∥BC，EG分別交AB，DB，AC于點E，F(xiàn)，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，F(xiàn)G的長．解：∵在△ABC中，EG∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴eq\f(EG,BC)＝eq\f(AE,AB).∵BC＝10，AE＝3，AB＝5，∴eq\f(EG,10)＝eq\f(3,5)，∴EG＝6.∵在△BAD中，EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴eq\f(EF,AD)＝eq\f(BE,AB).∵AD＝6，AE＝3，AB＝5，∴eq\f(EF,6)＝eq\f(5－3,5).∴EF＝eq\f(12,5).∴FG＝EG－EF＝eq\f(18,5).

第2課時相似三角形的判定定理1，201基礎(chǔ)題知識點1相似三角形的判定定理1三邊成比例的兩個三角形相似．如圖，已知△ABC和△DEF中，eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)＝eq\f(BC,EF)，則△ABC∽△DEF.1．將一個三角形的各邊長都縮小eq\f(1,2)后，得到的三角形與原三角形(A)A．一定相似 B．一定不相似C．不一定相似 D．無法確定2．若△ABC各邊分別為AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝6cm，△DEF的兩邊為DE＝5cm，EF＝4cm，則當(dāng)DF＝3cm時，△ABC∽△DEF.3．試判斷圖中的兩個三角形是否相似，并說明理由．解：相似．理由如下：在Rt△ABC中，BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(32－2.42)＝1.8，在Rt△DEF中，DF＝eq\r(DE2－EF2)＝eq\r(62－3.62)＝4.8，∴eq\f(AB,DE)＝eq\f(BC,EF)＝eq\f(AC,DF)＝eq\f(1,2)，∴△ABC∽△DEF.4．(教材9下P42例3變式)(佛山中考)網(wǎng)格圖中每個方格都是邊長為1的正方形．若A，B，C，D，E，F(xiàn)都是格點，試說明△ABC∽△DEF.證明：∵AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，AB＝4，DF＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2)，EF＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10)，ED＝8，∴eq\f(AC,DF)＝eq\f(BC,EF)＝eq\f(AB,DE)＝eq\f(1,2).∴△ABC∽△DEF.知識點2相似三角形的判定定理2兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．如圖，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，且eq\f(AB,DE)＝eq\f(AC,DF)，則△ABC∽△DEF.5．能判定△ABC∽△A′B′C′的條件是(B)A.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)B.eq\f(AB,AC)＝eq\f(A′B′,A′C′)且∠A＝∠A′C.eq\f(AB,BC)＝eq\f(A′B′,A′C′)且∠B＝∠C′D.eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)且∠B＝∠B′6．如圖，已知△ABC，則下列4個三角形中，與△ABC相似的是(C)7．如圖AB與CD相交于點O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，當(dāng)OC＝eq\f(18,5)時，△AOC∽△BOD.8．如圖，點C，D在線段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的長．解：∵eq\f(AE,BF)＝eq\f(3,4.5)＝eq\f(2,3)，eq\f(AD,BC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(AE,BF)＝eq\f(AD,BC).又∵∠A＝∠B，∴△AED∽△BFC，∴eq\f(AD,BC)＝eq\f(DE,CF).∴eq\f(2,3)＝eq\f(5,CF).∴CF＝eq\f(15,2).易錯點對應(yīng)邊沒有確定時容易漏解9．(隨州中考)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，點D在邊AB上，且AD＝2，點E在邊AC上，當(dāng)AE＝eq\f(12,5)或eq\f(5,3)時，以A，D，E為頂點的三角形與△ABC相似．02中檔題10．(貴陽中考)如圖，在方格紙中，△ABC和△EPD的頂點均在格點上，要使△ABC∽△EPD，則點P所在的格點為(C)A．P1 B．P2 C．P3 D．P411．如圖，在△ABC中，點P在AB上，下列四個條件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能滿足△APC和△ACB相似的條件有(B)A．1個 B．2個 C．3個 D．0個第11題圖第12題圖12．如圖，已知∠DAB＝∠CAE，請補充一個條件：eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)，使△ABC∽△ADE.13．如圖，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求證：△DEF∽△ABC.證明：∵AB∥DE，∴△ODE∽△OAB.∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(OE,OB).∵BC∥EF，∴△OEF∽△OBC.∴eq\f(EF,BC)＝eq\f(OE,OB)＝eq\f(OF,OC).∵AC∥DF，∴△ODF∽△OAC.∴eq\f(DF,AC)＝eq\f(OF,OC).∴eq\f(DE,AB)＝eq\f(EF,BC)＝eq\f(DF,AC).∴△DEF∽△ABC.14．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點，且滿足AB2＝DB·CE.求證：△ADB∽△EAC.證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∴∠ABD＝∠ACE.∵AB2＝DB·CE，∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(DB,AB).又AB＝AC，∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(DB,AC).∴△ADB∽△EAC.15．如圖，正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP＝3PC，Q是CD的中點，求證：△ADQ∽△QCP.證明：設(shè)正方形的邊長為4a，則AD＝CD＝BC＝4a.∵Q是CD的中點，BP＝3PC，∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.∴eq\f(DQ,PC)＝eq\f(AD,CQ)＝eq\f(2,1).又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.03綜合題16．(宿遷中考改編)如圖，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，點P為AB邊上一動點，若△PAD與△PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)是(C)A．1 B．2 C．3 D．4

第3課時相似三角形的判定定理301基礎(chǔ)題知識點1相似三角形的判定定理3兩角分別相等的兩個三角形相似．如圖，已知△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，則△ABC∽△DEF.1．下列各組圖形中有可能不相似的是(A)A．各有一個角是45°的兩個等腰三角形B．各有一個角是60°的兩個等腰三角形C．各有一個角是105°的兩個等腰三角形D．兩個等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下圖各三角形中與△ABC相似的是△EFD，△HGK.3．如圖，銳角三角形ABC的邊AB，AC上的高線EC，BF相交于點D，請寫出圖中的兩對相似三角形答案不唯一，如△BDE∽△CDF，△ABF∽△ACE等．(用相似符號連接)4．如圖，點B、D、C、F在一條直線上，且AB∥EF，AC∥DE，求證：△ABC∽△EFD.證明：∵AB∥EF，AC∥DE，∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.∴△ABC∽△EFD.5．如圖，∠1＝∠2，∠C＝∠D.求證：△ABC∽△AED.證明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD＝∠2＋∠CAD，即∠BAC＝∠EAD.又∵∠C＝∠D，∴△ABC∽△AED.知識點2斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似．如圖，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°，∠C′＝90°，eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(AC,A′C′)，則Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.6．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，則當(dāng)A′B′＝10時，△ABC∽△A′B′C′.7．一個直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別為8cm和15cm，另一個直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別是6cm和eq\f(45,4)cm，這兩個直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．8．一個直角三角形的兩邊長分別為3和6，另一個直角三角形的兩邊長分別為2和4，那么這兩個直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．易錯點對應(yīng)角沒有確定時容易漏解9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有兩點A(6，0)，B(0，3)，如果點C在x軸上(C與A不重合)，當(dāng)點C的坐標(biāo)為(－eq\f(3,2)，0)，(eq\f(3,2)，0)，(－6，0)時，△BOC與△AOB相似．02中檔題10．如圖，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，且∠DCE＝∠B.那么下列判斷中，錯誤的是(D)A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACDC．△DEC∽△CDB D．△ADE∽△DCB第10題圖第11題圖11．(本溪中考)如圖，已知△ABC和△ADE均為等邊三角形，點D在BC上，DE與AC相交于點F，AB＝9，BD＝3，則CF等于(B)A．1 B．2 C．3 D．412．如圖，已知：∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝eq\r(6)，AC＝2，求AD的長為多少時，圖中兩直角三角形相似？解：①若△ABC∽△ADB，則eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AB).∴AD＝3；②若△ABC∽△DAB，則eq\f(AB,AD)＝eq\f(BC,AB).∴AD＝3eq\r(2).綜上所述，當(dāng)AD＝3或3eq\r(2)時，兩直角三角形相似．13．(畢節(jié)中考改編)如圖，在?ABCD中，過點A作AE⊥DC，垂足為E，連接BE，F(xiàn)為BE上一點，且∠AFE＝∠D.求證：△ABF∽△BEC.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC.∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.又∵∠AFB＋∠AFE＝180°，且∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB.又∵∠ABF＝∠BEC，∴△ABF∽△BEC.14．(濱州中考改編)如圖，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，點P為AB邊上一動點，DP交AC于點Q.(1)求證：△APQ∽△CDQ；(2)P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動，移動時間為t秒．當(dāng)t為何值時，DP⊥AC?解：(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴△APQ∽△CDQ.(2)當(dāng)DP⊥AC時，∠QCD＋∠QDC＝90°.∵∠ADQ＋∠QDC＝90°，∴∠DCA＝∠ADP.又∵∠ADC＝∠DAP＝90°，∴△ADC∽△PAD.∴eq\f(AD,PA)＝eq\f(DC,AD)，∴eq\f(10,PA)＝eq\f(20,10)，解得PA＝5.∴t＝5.03綜合題15．如圖，在△ABC中，AD、BF分別是BC，AC邊上的高，過點D作AB的垂線交AB于點E，交BF于點G，交AC的延長線于點H，求證：DE2＝EG·EH.證明：∵AD、BF分別是BC、AC邊上高，∴∠ADB＝∠BED＝90°.∴∠EBD＋∠EDB＝∠EDB＋∠ADE.∴∠EBD＝∠EDA.∴△AED∽△DEB.∴DE2＝AE·BE.又∵∠HFG＝90°，∠BGE＝∠HGF，∴∠EBG＝∠H.∵∠BEG＝∠HEA＝90°，∴△BEG∽△HEA.∴eq\f(EG,AE)＝eq\f(BE,EH)，即EG·EH＝AE·BE.∴DE2＝EG·EH.

27.2.2相似三角形的性質(zhì)01基礎(chǔ)題知識點1相似三角形性質(zhì)定理1相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線的比都等于相似比．如圖，已知△ABC∽△A1B1C1，其相似比為k，AD和A1D1分別是BC和B1C1邊上的高，CF和C1F1分別是AB和A1B1邊上的中線，BE和B1E1分別是∠ABC和∠A1B1C1的平分線，則eq\f(AD,A1D1)＝eq\f(CF,C1F1)＝eq\f(BE,B1E1)＝k.1．(蘭州中考)已知△ABC∽△DEF，若△ABC與△DEF的相似比為eq\f(3,4)，則△ABC與△DEF對應(yīng)中線的比為(A)A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,3)C.eq\f(9,16) D.eq\f(16,9)2．若△ABC∽△A′B′C′，AB＝16cm，A′B′＝4cm，AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′，A′D′＝3cm，則AD＝12cm.3．已知：△ABC∽△A′B′C′，AB＝4cm，A′B′＝10cm，AE是△ABC的一條高，AE＝4.8cm.求△A′B′C′中對應(yīng)高線A′E′的長．解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴eq\f(AE,A′E′)＝eq\f(AB,A′B′).∴eq\f(4.8,A′E′)＝eq\f(4,10).∴A′E′＝12cm.知識點2相似三角形性質(zhì)定理2相似三角形周長的比等于相似比．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，則△ABC與△A′B′C′的周長比為k．4．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為1∶3，則△ABC與△A′B′C′周長的比為(A)A．1∶3 B．3∶1C．1∶9 D．9∶15．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，DE∥BC，且AD＝eq\f(1,3)AB，則△ADE的周長與△ABC的周長的比為1∶3.知識點3相似三角形性質(zhì)定理3相似三角形面積的比等于相似比的平方．若△ABC∽△A′B′C′，相似比為k，則△ABC與△A′B′C′的面積比為k2．6．(黔西南中考)已知△ABC∽△A′B′C′，且eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(1,2)，則S△ABC∶S△A′B′C′為(C)A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶17．(廣東中考)若兩個相似三角形的周長比為2∶3，則它們的面積比是4∶9．8．(懷化中考)如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC上的中點，則S△ADE∶S△ABC＝1∶4．第8題圖第9題圖9．(濱州中考)如圖，平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等，則eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(2),2)．10．某小區(qū)廣場有兩塊相似三角形的草坪，相似比為2∶3，面積差是30m2，則小區(qū)廣場兩塊相似三角形的草坪面積分別是24__m2、54__m2．02中檔題11．(湘西中考)如圖，在?ABCD中，E是AD邊上的中點，連接BE，并延長BE交CD延長線于點F，則△EDF與△BCF的周長之比是(A)A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5第11題圖第12題圖12．(黔西南中考)如圖，在△ABC中，點D在AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于點E，則下列結(jié)論不正確的是(D)A．BC＝3DE B.eq\f(BD,BA)＝eq\f(CE,CA)C．△ADE∽△ABC D．S△ADE＝eq\f(1,3)S△ABC13．已知△ABC與△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝∠A′，BC＝6，AC＝8，A′B′＝20，則△A′B′C′的斜邊上的高為eq\f(48,5)．14．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D為AC上一點，AD＝4，在AB上取一點E，得到△ADE，若這兩個三角形相似，則它們的周長之比是4∶9或1∶3．15．如圖，在△ABC中，D，E分別是△ABC的AB，AC邊上的點，DE∥BC，CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線，已知AD∶DB＝4∶3，AB＝18cm，EG＝4cm，求CF的長．解：∵AD∶DB＝4∶3，∴AD∶AB＝4∶7.∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.∵CF，EG分別是△ABC與△ADE的中線，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(EG,CF).∴eq\f(4,7)＝eq\f(4,CF).∴CF＝7cm.16．如圖，?ABCD中，AE∶EB＝2∶3，DE交AC于點F.(1)求證：△AEF∽△CDF；(2)求△AEF與△CDF的周長之比；(3)如果△CDF的面積為20cm2，求△AEF的面積．解：(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB.∴△AEF∽△CDF.(2)∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC＝AB.∵AE∶EB＝2∶3，設(shè)AE＝2k，則BE＝3k，DC＝5k.又∵△AEF∽△CDF，∴eq\f(C△AEF,C△CDF)＝eq\f(AE,DC)＝eq\f(2,5).∴△AEF與△CDF的周長之比為2∶5.(3)∵△AEF∽△CDF，∴eq\f(S△AEF,S△CDF)＝(eq\f(AE,DC))2.∵eq\f(AE,DC)＝eq\f(2,5)，△CDF的面積為20cm2，∴△AEF的面積為eq\f(16,5)cm2.03綜合題17．如圖，在△ABC中，DF∥EG∥BC，且AD＝DE＝EB，△ABC被DF、EG分成三部分，且三部分面積分別為S1，S2，S3，求S1∶S2∶S3的值．解：∵DF∥EG∥BC，∴△ADF∽△AEG∽△ABC.又∵AD＝DE＝EB，∴三個三角形的相似比是1∶2∶3.∴面積的比是1∶4∶9.設(shè)△ADF的面積是a，則△AEG與△ABC的面積分別是4a，9a，∴S2＝3a，S3＝5a，則S1∶S2∶S3＝1∶3∶5.

小專題15相似三角形的基本模型(教材變式)模型1X字型及其變形(1)如圖1，對頂角的對邊平行，則△ABO∽△DCO；(2)如圖2，對頂角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ABO∽△CDO.教材母題1：(教材九下P58復(fù)習(xí)題T9)如圖，AD⊥BC，垂足為D，BE⊥AC，垂足為E，AD與BE相交于點F，連接ED.你能在圖中找出一對相似三角形，并說明相似的理由嗎？解：△AEF∽△BDF.理由：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF＝∠BDF＝90°.又∵∠AFE＝∠BFD，∴△AEF∽△BDF.1．(恩施中考)如圖，在?ABCD中，AC與BD交于點O，E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點F，則DF∶FC等于(D)A．1∶4 B．1∶3C．2∶3 D．1∶22．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，對角線AC與BD相交于點O.找出圖中的相似三角形，并說明理由．解：△ABO∽△CDO.理由如下：∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠OAB，∠ODC＝∠OBA.∴△ABO∽△CDO.模型2A字型及其變形(1)如圖1，公共角的對邊平行，則△ADE∽△ABC；(2)如圖2，公共角的對邊不平行，且有另一對角相等，則△ADE∽△ABC；(3)如圖3，公共角的對邊不平行，兩個三角形有一條公共邊，且有另一對角相等，則△ACD∽△ABC.教材母題2：(教材九下P35例2)如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一點，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長．解：∵ED⊥AB，∴∠EDA＝90°.又∠C＝90°，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB).∴AD＝eq\f(AC·AE,AB)＝eq\f(8×5,10)＝4.3．如圖，點D是△ABC的邊AC的上一點，且∠ABD＝∠C.如果eq\f(AD,CD)＝eq\f(1,3)，求eq\f(BD,BC)的值．解：∵∠DAB＝∠BAC，∠ABD＝∠C，∴△DAB∽△BAC.∴eq\f(DA,BA)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,BC).∴AB2＝AD·AC.∵eq\f(AD,CD)＝eq\f(1,3)，∴設(shè)AD＝a(a＞0)，則CD＝3a.∴AB2＝a(a＋3a)＝4a2.∴AB＝2a.∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(DA,BA)＝eq\f(a,2a)＝eq\f(1,2).模型3雙垂直型直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.教材母題3：(教材九下P36練習(xí)T2)如圖，Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高．求證：(1)△ACD∽△ABC；(2)△CBD∽△ABC.證明：(1)∵Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∴∠ACB＝∠ADC＝90°.又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC.(2)∵∠ACB＝∠CDB＝90°，∠ABC＝∠CBD，∴△CBD∽△ABC.4．如圖，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D為垂足，且AD＝3，AC＝3eq\r(5)，則斜邊AB的長為(B)A．3eq\r(6)B．15C．9eq\r(5)D．3＋3eq\r(5)模型4M字型及其變形(1)如圖1，Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊互相垂直，則有△ABD∽△CEB；(2)如圖2，點B，C，E在同一條直線上，∠ABC＝∠ACD，則再已知一組條件，可得△ABC與△DCE相似．教材補充：如圖，AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE.已知ED＝1，BD＝4，求AB的長．解：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°，∠ACB＋∠A＝90°.∵AC⊥CE，∴∠ACB＋∠ECD＝90°.∴∠A＝∠ECD.∴△ABC∽△CDE.∴eq\f(AB,CD)＝eq\f(BC,DE).又∵C是線段BD的中點，ED＝1，BD＝4，∴AB＝4.5．(宿遷中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點E在邊BC上移動(點E不與點B，C重合)，滿足∠DEF＝∠B，且點D，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．(1)求證：△BDE∽△CEF；(2)當(dāng)點E移動到BC的中點時，求證：FE平分∠DFC.解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF.∴△BDE∽△CEF.(2)∵△BDE∽△CEF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(DE,EF).∵點E是BC的中點，∴BE＝CE.∴eq\f(CE,CF)＝eq\f(DE,EF).∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.

小專題16相似三角形的性質(zhì)與判定類型1利用相似三角形求線段長1．(寧夏中考)如圖，在△ABC中，AB＝6，點D是AB的中點，過點D作DE∥BC，交AC于點E，點M在DE上，且ME＝eq\f(1,3)DM.當(dāng)AM⊥BM時，則BC的長為8.第1題圖第2題圖2．如圖，已知菱形BEDF內(nèi)接于△ABC，點E，D，F(xiàn)分別在AB，AC和BC上．若AB＝15cm，BC＝12cm，則菱形的邊長為eq\f(20,3)cm.3．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D，E分別在邊BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝eq\f(15,2).第3題圖第4題圖4．(深圳中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，點P在AC上，PM交AB于點E，PN交BC于點F，當(dāng)PE＝2PF時，AP＝3.5．如圖，在△ABC中，點D是BA邊延長線上一點，過點D作DE∥BC，交CA延長線于點E，點F是DE延長線上一點，連接AF.(1)如果eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，DE＝6，求邊BC的長；(2)如果∠FAE＝∠B，F(xiàn)A＝6，F(xiàn)E＝4，求DF的長．解：(1)∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(DE,BC).∵DE＝6，∴BC＝9.(2)∵∠FAE＝∠B，∠B＝∠D，∴∠EAF＝∠D.∵∠F＝∠F，∴△FAE∽△FDA.∴eq\f(EF,FA)＝eq\f(FA,DF).∴DF＝eq\f(FA2,EF)＝9.類型2利用相似三角形求角度6．如圖，A，B，C，P四點均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上，則∠BAC的度數(shù)是135°.第6題圖第7題圖7．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，D為CB延長線上一點，E為BC延長線上一點，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，則∠DAE＝110°.類型3利用相似三角形求比值8．如圖，AB∥DC，AC與BD交于點E，EF∥DC交BC于點F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，則eq\f(DC,AB)等于(B)A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(3,5)9．如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，且DE∥AC，AE，CD相交于點O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，則S△BDE與S△CDE的比是(B)A．1∶3 B．1∶4C．1∶5 D．1∶25第9題圖第10題圖10．(桂林中考)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作EA⊥CA交DB的延長線于點E.若AB＝3，BC＝4，則eq\f(AO,AE)的值為eq\f(7,24).類型4利用相似三角形證明等積式與比例式11．如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的點，且BD＝2AD，CE＝2AE.求證：(1)△ADE∽△ABC；(2)DF·BF＝EF·CF.證明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴AB＝3AD，AC＝3AE.∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3).∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.(2)∵eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(1,3)，∴DE∥BC.∴△DEF∽△CBF.∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(EF,BF).∴DF·BF＝EF·CF.12．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，E為AC的中點，ED，CB的延長線交于點F.求證：eq\f(DF,CF)＝eq\f(BC,AC).證明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.∴∠A＝∠BCD.∴△ABC∽△CBD.∴eq\f(BC,BD)＝eq\f(AC,CD)，即eq\f(BC,AC)＝eq\f(BD,CD).又∵E為AC中點，∴AE＝CE＝ED.∴∠A＝∠EDA.∵∠EDA＝∠BDF，∴∠FCD＝∠BDF.又∠F為公共角，∴△FDB∽△FCD.∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(BD,CD).∴eq\f(DF,CF)＝eq\f(BC,AC).類型5利用相似求點的坐標(biāo)13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，連接AB并延長到C，連接CO.若△COB∽△CAO，則點C的坐標(biāo)為(B)A．(1，eq\f(5,2)) B．(eq\f(4,3)，eq\f(8,3))C．(eq\r(5)，2eq\r(5)) D．(eq\r(3)，2eq\r(3))第13題圖第14題圖14．如圖，已知直線y＝－eq\f(1,2)x＋2與x軸交于點A，與y軸交于點B，在x軸上有一點C，使B，O，C三點構(gòu)成的三角形與△AOB相似，則點C的坐標(biāo)為(－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．

27.2.3相似三角形應(yīng)用舉例01基礎(chǔ)題知識點1利用相似三角形測量物高1．為了加強視力保護意識，小明要在書房里掛一張視力表．由于書房空間狹小，他想根據(jù)測試距離為5m的大視力表制作一個測試距離為3m的小視力表．如圖，如果大視力表中“E”的高度是3.5cm，那么小視力表中相應(yīng)“E”的高度是(D)A．3cm B．2.5cmC．2.3cm D．2.1cm第1題圖第2題圖2．小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖)，然后在A處樹立一根高2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長AC為3米，則樓高為10米．3．如圖是一束平行的陽光從教室窗戶射入的平面示意圖，光線與地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影長MN＝2eq\r(3)米．若窗戶的下檐到教室地面的距離BC＝1米，則窗戶的上檐到教室地面的距離AC為3米．第3題圖第4題圖4．(黔南中考)如圖是小明設(shè)計用手電來測量都勻南沙洲古城墻高度的示意圖，點P處放一水平的平面鏡，光線從點A出發(fā)經(jīng)過平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么該古城墻的高度是8米(平面鏡的厚度忽略不計)．知識點2利用相似三角形測量寬度5．(北京中考)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A，E，D在同一條直線上．若測得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，則河的寬度AB等于(B)A．60m B．40mC．30m D．20m第5題圖第6題圖6．如圖，為了測量一池塘的寬DE，在岸邊找到一點C，測得CD＝30m，在DC的延長線上找一點A，測得AC＝5m，過點A作AB∥DE交EC的延長線于B，測出AB＝6m，則池塘的寬DE為(C)A．25m B．30mC．36m D．40m7．(教材9下P40例6變式)如圖，一條河的兩岸有一段是平行的，在河的南岸邊每隔5米有一棵樹，在北岸邊每隔60米有一根電線桿．小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸，發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住，并且在這兩棵樹之間還有三棵樹，則河寬為30米．第7題圖第8題圖8．如圖，測量小玻璃管口徑的量具ABC，AB的長為30cm，AC被分為60等份．如果小玻璃管口DE正好對著量具上20等份處(DE∥AB)，那么小玻璃管口徑DE是20cm.02中檔題9．如圖，鐵道口的欄桿短臂OA長1m，長臂OB長8m．當(dāng)短臂外端A下降0.5m時，長臂外端B升高(B)A．2m B．4mC．4.5m D．8m第9題圖第10題圖10．如圖，已知零件的外徑為25mm，現(xiàn)用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等，OC＝OD)量零件的內(nèi)孔直徑AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10mm，則零件的厚度x＝2.5mm.11．(遵義中考)“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點E，南門點F分別是AB，AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH＝1.05里．12．(陜西中考)某市為了打造森林城市，樹立城市新地標(biāo)，實現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念，在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園，小亮、小芳等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何知識測量“望月閣”的高度，來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力．他們經(jīng)過觀察發(fā)現(xiàn)，觀測點與“望月閣”底部間的距離不易測得，因此經(jīng)過研究需要兩次測量，于是他們首先用平面鏡進行測量，方法如下：如圖，小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡，在鏡面上做了一個標(biāo)記，這個標(biāo)記在直線BM上的對應(yīng)位置為點C.鏡子不動，小亮看著鏡面上的標(biāo)記，他來回走動，走到點D時，看到“望月閣”頂端點A在鏡面中的像與鏡面上的標(biāo)記重合．這時，測得小亮眼睛與地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在陽光下，他們用測影長的方法進行了第二次測量，方法如下：如圖，小亮從D點沿DM方向走了16米，到達“望月閣”影子的末端F點處，此時，測得小亮身高FG的影長FH＝2.5米，F(xiàn)G＝1.65米．如圖，已知AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計，請你根據(jù)題中提供的相關(guān)信息，求出“望月閣”的高AB的長度．解：由題意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF.∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.∴eq\f(AB,ED)＝eq\f(BC,DC)，eq\f(AB,GF)＝eq\f(BF,FH).∴eq\f(AB,1.5)＝eq\f(BC,2)，eq\f(AB,1.65)＝eq\f(BC＋16＋2,2.5).解得AB＝99.∴“望月閣”的高AB為99米．03綜合題13．(紹興中考)課本中有一道作業(yè)題：如圖，有一塊三角形余料ABC，它的邊BC＝120mm，高AD＝80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm?小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算；(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．解：(1)設(shè)矩形的邊長PN＝2ymm，則PQ＝y(tǒng)mm，由條件可得△APN∽△ABC，∴eq\f(PN,BC)＝eq\f(AE,AD)，即eq\f(2y,120)＝eq\f(80－y,80).解得y＝eq\f(240,7).∴PN＝eq\f(240,7)×2＝eq\f(480,7)(mm)．答：這個矩形零件的兩條邊長分別為eq\f(240,7)mm，eq\f(480,7)mm.(2)設(shè)PN＝xmm，由條件可得△APN∽△ABC，∴eq\f(PN,BC)＝eq\f(AE,AD).即eq\f(x,120)＝eq\f(80－PQ,80).解得PQ＝80－eq\f(2,3)x.∴S＝PN·PQ＝x(80－eq\f(2,3)x)＝－eq\f(2,3)x2＋80x＝－eq\f(2,3)(x－60)2＋2400.∴S的最大值為2400mm2，此時PN＝60mm，PQ＝80－eq\f(2,3)×60＝40(mm).27.3位似第1課時位似圖形的概念及畫法01基礎(chǔ)題知識點1位似圖形及位似中心兩個多邊形不僅相似，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這點叫做位似中心．1．下圖中的兩個圖形不是位似圖形的是(D)2．圖中的兩個四邊形是位似圖形，它們的位似中心是(D)A．點MB．點NC．點OD．點P知識點2位似圖形的性質(zhì)3．兩個圖形中，對應(yīng)點到位似中心的線段比為2∶3，則這兩個圖形的相似比為(A)A．2∶3 B．4∶9C.eq\r(2)∶eq\r(3) D．1∶24．如圖，兩個位似圖形△ABO和△A′B′O，且AB∥A′B′，若OA∶OA′＝3∶1，則正確的是(A)A．AB∶A′B′＝3∶1B．AA′∶BB′＝AB∶A′B′C．OA∶OB′＝2∶1D．∠A＝∠B′5．如圖，△DEF與△ABC是位似圖形，點O是位似中心，點D，E，F(xiàn)分別是OA，OB，OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是(C)A．1∶6B．1∶5C．1∶4D．1∶26．如圖，以點O為位似中心，將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′，已知OA＝10cm，OA′＝20cm，則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是1∶2．7．如圖，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且位似比是1∶2，若AB＝2cm，則A′B′＝4cm，并在圖中畫出位似中心O.解：如圖所示．知識點3位似圖形的畫法8．如圖，以O(shè)為位似中心，將四邊形ABCD縮小為原來的一半．解：圖略．9．如圖，邊長為1的正方形網(wǎng)格紙中，△ABC為格點三角形(頂點都在格點上)．在網(wǎng)格紙中，以O(shè)為位似中心畫出△ABC的一個位似圖形△A′B′C′，使△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2.(不要求寫畫法)解：如圖所示．(只需畫出一個符合條件的△A′B′C′)02中檔題10．如圖，三個正六邊形全等，其中成位似圖形關(guān)系的有(D)A．0對B．1對C．2對D．3對11．(東營中考)下列關(guān)于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點的連線所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么，這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比．其中正確命題的序號是(A)A．②③ B．①②C．③④ D．②③④12．如圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形，且AC∶AF＝2∶3，則下列結(jié)論不正確的是(B)A．四邊形ABCD與四邊形AEFG是相似圖形B．AD與AE的比是2∶3C．四邊形ABCD與四邊形AEFG的周長比是2∶3D．四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比是4∶9第12題圖第13題圖13．如圖，O點是△ABC與△D1E1F1的位似中心，△ABC的周長為1.若D1，E1，F(xiàn)1分別是線段OA、OB、OC的中點，則△D1E1F1的周長為eq\f(1,2)；若OD2＝eq\f(1,3)OA，OE2＝eq\f(1,3)OB，OF2＝eq\f(1,3)OC，則△D2E2F2的周長為eq\f(1,3)；…若ODn＝eq\f(1,n)OA，OEn＝eq\f(1,n)OB，OFn＝eq\f(1,n)OC，則△DnEnFn的周長為eq\f(1,n)．(用正整數(shù)n表示)14．如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．(1)畫出位似中心O；(2)求出△ABC與△A′B′C′的相似比；(3)以點O為位似中心，再畫一個△A1B1C1，使它與△ABC的相似比等于1.5.解：(1)位似中心O的位置如圖所示．(2)∵eq\f(OA,OA′)＝eq\f(1,2)，∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2.(3)如圖所示．03綜合題15．如圖，已知B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE.(1)求證：四邊形BCDE位似于四邊形B′C′D′E′；(2)若eq\f(AB′,B′B)＝3，S四邊形BCDE＝20，求S四邊形B′C′D′E′.解：(1)證明：∵B′C′∥BC，C′D′∥CD，D′E′∥DE，∵eq\f(AB′,AB)＝eq\f(B′C′,BC)＝eq\f(AC′,AC)＝eq\f(C′D′,CD)＝eq\f(AD′,AD)＝eq\f(D′E′,DE)＝eq\f(AE′,AE)，∠AB′C′＝∠ABC，∠AC′B′＝∠ACB，∠AC′D′＝∠ACD，∠AD′C′＝∠ADC，∠AD′E′＝∠ADE，∠AE′D′＝∠AED.∴∠AC′B′＋∠AC′D′＝∠ACB＋∠ACD，∠AD′C′＋∠AD′E′＝′ADC＋′ADE，即∠B′C′D′＝∠BCD，∠C′D′E′＝∠CDE.∵eq\f(AB′,AB)＝eq\f(AE′,AE)，∠B′AE′＝∠BAE，∴△B′AE′∽△BAE.∴eq\f(B′E′,BE)＝eq\f(A′B′,AB)，∠AE′B′＝∠AEB，∠AB′E′＝∠ABE.∴eq\f(B′C′,BC)＝eq\f(C′D′,CD)＝eq\f(D′E′,DE)＝eq\f(B′E′,BE)，∠AB′C′－∠AB′E′＝∠AB∠AE′D′－∠AE′B′＝∠AED－∠AEB，即∠E′B′C′＝∠EBC，∠B′E′D′＝∠BED.∴四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′是相似圖形．又∵四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′對應(yīng)頂點相交于一點A，∴四邊形BCDE位似于四邊形B′C′D′E′.(2)∵eq\f(AB′,B′B)＝3，∴eq\f(AB′,AB)＝eq\f(3,4).∴四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′位似之比為eq\f(4,3).∵S四邊形BCDE＝20，∴S四邊形B′C′D′E′＝eq\f(20,（\f(4,3)）2)＝20×eq\f(9,16)＝eq\f(45,4).

第2課時平面直角坐標(biāo)系中的位似01基礎(chǔ)題知識點1位似圖形的坐標(biāo)變化規(guī)律一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點為位似中心，新圖形與原圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(x，y)對應(yīng)的位似圖形上的點的坐標(biāo)為(kx，ky)或(－kx，－ky)．1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為位似中心，將△AOB擴大到原來的2倍，得到△OA′B′.若點A的坐標(biāo)是(1，2)，則點A′的坐標(biāo)是(C)A．(2，4) B．(－1，－2)C．(－2，－4) D．(－2，－1)第1題圖第2題圖2．(武漢中考)如圖，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A(6，6)，B(8，2)，以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的eq\f(1,2)后得到線段CD，則端點C的坐標(biāo)為(A)A．(3，3) B．(4，3) C．(3，1) D．(4，1)3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點O為位似中心，將△OCD放大得到△OAB，點C，D的坐標(biāo)分別為(2，1)，(2，0)，且△OCD與△OAB的面積之比為1∶4，則點A的坐標(biāo)為(C)A．(8，4) B．(8，2)C．(4，2) D．(4，8)第3題圖第4題圖4．(教材9下P50練習(xí)T2變式)如圖，正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形，O為位似中心，相似比為1∶eq\r(2)，點A的坐標(biāo)為(1，0)，則E點的坐標(biāo)為(C)A．(eq\r(2)，0) B．(eq\f(3,2)，eq\f(3,2))C．(eq\r(2)，eq\r(2)) D．(2，2)5．某學(xué)習(xí)小組在討論“變化的魚”時，知道大魚與小魚是位似圖形(如圖所示)，則大魚上的一點(a，b)對應(yīng)小魚上的點的坐標(biāo)是(－0.5a，－0.5b)．6．(柳州中考)如圖，以原點O為位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB與△OCD的相似比．解：∵點B的坐標(biāo)是(4，0)，點D的坐標(biāo)是(6，0)，∴OB＝4，OD＝6.∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).∵△OAB與△OCD關(guān)于點O位似，∴△OAB與△OCD的相似比為eq\f(2,3).知識點2坐標(biāo)系內(nèi)圖形的位似作圖7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，作出五邊形ABCDE的位似圖形，使得新圖形A1B1C1D1E1與原圖形對應(yīng)線段的比為2∶1，位似中心是坐標(biāo)原點O.解：如圖所示．易錯點位似中的漏解8．(濱州中考)在平面直角坐標(biāo)系中，點C，D的坐標(biāo)分別為C(2，3)，D(1，0)，現(xiàn)以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB.若點D的對應(yīng)點B在x軸上且OB＝2，則點C的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為(4，6)或(－4，－6)．02中檔題9．如圖，△OAB與△OA′B′位似，其中A、B的對應(yīng)點分別為A′、B′，A′、B′均在圖中正方形網(wǎng)格格點上，若線段AB上有一點P(m，n)，則點P在A′B′上的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為(C)A．(eq\f(m,2)，eq\f(n,2)) B．(m，n)C．(2m，2n) D．(2n，2m)第9題圖第10題圖10．(東營中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A(－3，6)、B(－9，－3)，以原點O為位似中心，相似比為eq\f(1,3)，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)是(D)A．(－1，2) B．(－9，18)C．(－9，18)或(9，－18) D．(－1，2)或(1，－2)11．如圖，原點O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，點A(1，0)與A′(－2，0)是對應(yīng)點，△ABC的面積是eq\f(3,2)，則△A′B′C′的面積是6.12．如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，已知△ABC，畫出△ABC以坐標(biāo)原點O為位似中心的位似圖形△A′B′C′，使△A′B′C′在第三象限，與△ABC的位似比為eq\f(1,2)，寫出三角形各頂點的坐標(biāo)，位似變換后對應(yīng)頂點的坐標(biāo)發(fā)生了什么變化？解：△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(6，4)，C(4，6)．△A′B′C′三個頂點的坐標(biāo)分別是A′(－1，－1)，B′(－3，－2)，C′(－2，－3)．觀察圖形可知，△A′B′C′各頂點的坐標(biāo)分別是將△ABC各對應(yīng)頂點坐標(biāo)都乘了－eq\f(1,2).13．如圖，正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn，如圖位置依次擺放，已知點C1，C2，C3，…，Cn在直線y＝x上，點A1的坐標(biāo)為(1，0)．(1)寫出正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心的坐標(biāo)；(2)正方形A4A5B4C4四個頂點的坐標(biāo)．解：(1)正方形A1A2B1C1，A2A3B2C2，A3A4B3C3，…，AnAn＋1BnCn的位似中心的坐標(biāo)為(0，0)．(2)∵點C1，C2，C3，…，Cn在直線y＝x上，點A1的坐標(biāo)為(1，0)，∴OA1＝A1C1＝1，OA2＝A2C2＝2.∴A3O＝A3C3＝4.∴OA4＝A4C4＝8.∴OA5＝16.∴A4(8，0)，A5(16，0)，B4(16，8)，C4(8，8)．03綜合題14．(巴中中考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC三個頂點坐標(biāo)分別為A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)請畫出△ABC關(guān)于x軸對稱的△A1B1C1；(2)將△A1B1C1的三個頂點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時乘－2，得到對應(yīng)的點A2，B2，C2，請畫出△A2B2C2；(3)求△A1B1C1與△A2B2C2的面積比，即S△A1B1C1∶S△A2B2C2＝1∶4．(不寫解答過程，直接寫出結(jié)果)解：(1)如圖所示，△A1B1C1即為所求．(2)如圖所示，△A2B2C2即為所求．

章末復(fù)習(xí)(七)相似01分點突破知識點1平行線分線段成比例(遵義2019T12)1．如圖，已知直線a∥b∥c，直線m，n與a，b，c分別交于點A，C，E，B，D，F(xiàn).若AC＝3，AE＝8，BD＝2，則DF的值是(B)A．4 B.eq\f(10,3) C.eq\f(7,3) D.eq\f(5,2)第1題圖第2題圖2．如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝3，BC＝1.點D在AB邊上，點E在CB的延長線上，已知AD＝1，BE＝1，連接ED并延長交AC于點F，則線段AF的長為(B)A.eq\f(2,5) B.eq\f(3,5) C.eq\f(4,5) D．1知識點2相似三角形的性質(zhì)與判定(遵義2019T26、2019T27、2019T17、2019T26、2019T9、2019T26、2019T26)3．如圖，在?ABCD中，E