勾股定理核心知識點(diǎn)章末復(fù)習(xí)與提升（解析版） 八年級數(shù)學(xué)下冊專題訓(xùn)練

專題04勾股定理核心知識點(diǎn)章末復(fù)習(xí)與提升（解析版）核心知識點(diǎn)一兩個定理定理1勾股定理及其認(rèn)識1．（2022春?岷縣月考）如圖，帶陰影的長方形面積是（）A．9cm2 B．24cm2 C．45cm2 D．51cm2【思路引領(lǐng)】先根據(jù)勾股定理求出AB的長，再由長方形的面積公式進(jìn)行解答即可．【解答】解：由圖可知，△ABC是直角三角形，∵AC＝8cm，BC＝12cm，∴AB=BC2?A∴S陰影＝15×3＝45cm2．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查的是勾股定理及矩形的面積公式，先根據(jù)勾股定理求出AB的長是解答此題的關(guān)鍵．2．（2023春?西青區(qū)期中）如圖，陰影部分是一個正方形，此正方形的面積為64cm2．【思路引領(lǐng)】由勾股定理和正方形的面積公式解答．【解答】解：由圖可知正方形的邊長為172?152=8【總結(jié)提升】此題很簡單，只要熟知勾股定理和正方形的面積公式即可解答．3．（2022春?香河縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于12AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O，若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則AF的長為3，CD的長為22【思路引領(lǐng)】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AF＝FC．再根據(jù)ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關(guān)系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長．【解答】解：如圖，連接FC，則AF＝FC，∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO，在△FOA與△BOC中，∠FAO=∠BCOOA=OC∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝22．故答案為：3，22．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角梯形，作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，求出CF與DF是解題的關(guān)鍵．4．（2023春?博山區(qū)期末）如圖，AB⊥BC于點(diǎn)B，AB⊥AD于點(diǎn)A，點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，若BC＝5，AD＝10，BE=132，求【思路引領(lǐng)】延長BE交AD于點(diǎn)F，根據(jù)垂直定義可得∠CBA＝∠A＝90°，從而可得CB∥AD，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠D＝∠C，從而根據(jù)ASA證明△CEB≌△DEF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得DF＝BC＝5，BE＝EF=132，從而可得AF＝5，最后在Rt△【解答】解：延長BE交AD于點(diǎn)F，∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴∠CBA＝∠A＝90°，∴CB∥AD，∴∠D＝∠C，∵點(diǎn)E是CD中點(diǎn)，∴CE＝DE，在△CEB和△DEF中，∠D=∠CDE=CE∴△CEB≌△DEF（ASA），∴DF＝BC＝5，BE＝EF=13∵AD＝10，∴AF＝AD﹣DF＝5，在Rt△ABF中，BF＝BE+EF＝13，∴AB=B∴AB的長為12．【總結(jié)提升】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．定理2勾股定理的逆定理5．（2023春?開州區(qū)期末）已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，則下列條件中不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝5，b＝12，c＝13 B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4 C．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5 D．a(chǎn)＝6，b＝8，c＝10【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形．【解答】解：A、∵52+122＝132，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；B、∵22+32≠42，∴該三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故選項(xiàng)符合題意；C、∵32+42＝52，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意；D、∵62+82＝102，∴該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷．6．（2022春?順平縣期中）三角形的三邊長滿足（a+b）2＝c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【思路引領(lǐng)】對等式進(jìn)行整理，再判斷其形狀．【解答】解：化簡（a+b）2＝c2+2ab，得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了因式分解的應(yīng)用，直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．7．（2022秋?溧陽市期中）如圖，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH【思路引領(lǐng)】設(shè)出正方形的邊長，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的長度，再由勾股定理的逆定理分別驗(yàn)算，看哪三條邊能夠成直角三角形．【解答】解：設(shè)小正方形的邊長為1，則AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．因?yàn)镃D2+EF2＝AB2，所以能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB、CD、EF．故選：A．【總結(jié)提升】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形是解題的關(guān)鍵．也考查了勾股定理．核心知識點(diǎn)二兩種應(yīng)用應(yīng)用1勾股定理的應(yīng)用（1）邊長計(jì)算8．（2023春?漳平市期中）暑假中，小明和同學(xué)們到某海島去探寶旅游，按照如圖所示的路線探寶．他們登陸后先往東走8km，又往北走2km，遇到障礙后又往西走3km，再折向北走6km處往東一拐，僅走1km就找到了寶藏，則登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離為10km．【思路引領(lǐng)】通過行走的方向和距離得出對應(yīng)的線段的長度，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．【解答】解：過點(diǎn)B作BD⊥AC于點(diǎn)D，根據(jù)題意可知，AD＝8﹣3+1＝6千米，BD＝2+6＝8（千米），在Rt△ADB中，由勾股定理得AB=A答：登陸點(diǎn)到埋寶藏點(diǎn)的直線距離為10千米．故答案為：10．【總結(jié)提升】本題考查了矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，解題的根據(jù)是結(jié)合圖形，讀懂題意，根據(jù)題意找到需要的數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用勾股定理求線段的長度．9．（2022春?大同期中）《九章算術(shù)》是我國古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，同折者高幾何？翻譯成數(shù)學(xué)問題是：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的長．設(shè)AC為x，則可列方程為x2+32＝（10﹣x）2．【思路引領(lǐng)】直接利用已知表示出AB的長，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：設(shè)AC＝x，則AB＝10﹣x，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴x2+32＝（10﹣x）2，故答案為：x2+32＝（10﹣x）2．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．10．（2023?大連）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，2），連接AB，以點(diǎn)A為圓心、AB的長為半徑畫弧，與x軸正半軸相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是5+1【思路引領(lǐng)】由勾股定理求出AB的長，進(jìn)而得到AC的長，再求出OC的長，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可解決問題．【解答】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB=O∵以點(diǎn)A為圓心，以AB長為半徑畫弧，∴AC＝AB=5∴OC＝AC+OA=5∵交x軸正半軸于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（5+故答案為：5+【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．（2022春?扶溝縣期中）如圖，在校園內(nèi)有兩棵樹相距12米，一棵樹高14米，另一棵樹高9米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛多少米？【思路引領(lǐng)】根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的頂端進(jìn)行直線飛行，所行的路程最短，運(yùn)用勾股定理可將兩點(diǎn)之間的距離求出．【解答】解：如圖所示，AB，CD為樹，且AB＝14米，CD＝9米，BD為兩樹距離12米，過C作CE⊥AB于E，則CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，在直角三角形AEC中，AC=A答：小鳥至少要飛13米．【總結(jié)提升】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是從實(shí)際問題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識，然后利用直角三角形的性質(zhì)解題．（2）折疊問題12．（2021春?莆田期中）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF＝4，PH＝3，則矩形ABCD的邊BC的長為（）A．10 B．11 C．12 D．15【思路引領(lǐng)】利用折疊的性質(zhì)得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解BC．【解答】解：∵矩形紙條ABCD沿EF，GH同時折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，∵∠FPH＝90°，∴FH=P∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，故選：C．【總結(jié)提升】本題考查折疊的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理和折疊的性質(zhì)求出FH，BF，CH．13．（2023秋?海淀區(qū)校級期中）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4，AC＝5，將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，得折痕DE，則△ABE的周長等于7．【思路引領(lǐng)】根據(jù)勾股定理求得AB＝3，由題意得，AE＝CE，則△ABE的周長等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC，即可求解．【解答】解：在Rt△ABC中，BA=A由折疊過程可得，AE＝CE，則△ABE的周長等于AB+BE+AE＝AB+BE+EC＝AB+BC＝5+4＝7．故答案為：7．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理及圖形的折疊的知識，折疊構(gòu)成的全等圖形是常用的隱含條件．（3）網(wǎng)格與作圖14．（2009秋?思明區(qū)校級期中）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)分別按下列要求畫出圖形：（1）在圖中，從點(diǎn)A出發(fā)畫一條線段AB，使它的另一個端點(diǎn)B在格點(diǎn)上，且長度為17；（2）在圖中，畫出一個以AB為腰的等腰三角形△ABC，使另一個頂點(diǎn)C也在格點(diǎn)上，且另一邊的長度也是無理數(shù)；（3）求S△ABC．【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)勾股定理可得，兩條直角邊分別為1、4的直角三角形的斜邊為17；（2）以（1）的方式畫出AC即可；（3）根據(jù)S△ABC＝S正方形AMFE﹣S△AMB﹣S△AEC﹣S△BFC進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：（1）所畫圖形如下（答案不唯一）：（2）所畫圖形如下所示（答案不唯一）：（3）由圖形可得，S△ABC＝S正方形AMFE﹣S△AMB﹣S△AEC﹣S△BFC＝16﹣2﹣2﹣4.5＝7.5．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理的知識及三角形的面積，難點(diǎn)在第三問，有一定的技巧性，注意利用面積差進(jìn)行求解，難度一般．應(yīng)用2勾股定理逆定理的應(yīng)用15．（2022秋?萊西市期中）如圖，小明的家位于一條南北走向的河流MN的東側(cè)A處，某一天小明從家出發(fā)沿南偏西30°方向走60m到達(dá)河邊B處取水，然后沿另一方向走80m到達(dá)菜地C處澆水，最后沿第三方向走100m回到家A處．問小明在河邊B處取水后是沿哪個方向行走的？并說明理由．【思路引領(lǐng)】首先根據(jù)勾股定理逆定理得出∠ABC＝90°，然后再判斷AD∥NM，可得∠NBA＝∠BAD＝30°，再根據(jù)平角定義可得∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，進(jìn)而得到答案．【解答】解：∵AB＝60m，BC＝80m，AC＝100m，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠ABC＝90°，∴AD∥NM，∴∠NBA＝∠BAD＝30°，∴∠MBC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴小明在河邊B處取水后是沿南偏東60°方向行走的．【總結(jié)提升】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．核心知識點(diǎn)三兩個概念概念1勾股數(shù)16．（2022春?南山區(qū)校級月考）下列各組數(shù)：①3、4、5②4、5、6③2.5、6、6.5④8、15、17，其中是勾股數(shù)的有（）A．4組 B．3組 C．2組 D．1組【思路引領(lǐng)】勾股數(shù)的定義：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，根據(jù)定義即可求解．【解答】解：①32+42＝52，符合勾股數(shù)的定義；②42+52≠62，不符合勾股數(shù)的定義；③2.5、6.5不是正整數(shù)，不符合勾股數(shù)的定義；④82+152＝172，符合勾股數(shù)的定義．故選：C．【總結(jié)提升】本題考查了勾股數(shù)的定義，注意：①作為勾股數(shù)的三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…．17．（2021?玉州區(qū)二模）附加題：觀察以下幾組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…請你寫出有以上規(guī)律的第⑤組勾股數(shù)：11，60，61．【思路引領(lǐng)】勾股定理和了解數(shù)的規(guī)律變化是解題關(guān)鍵．【解答】解：從上邊可以發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是奇數(shù)，且逐步遞增2，故第5組第一個數(shù)是11，又發(fā)現(xiàn)第二、第三個數(shù)相差為一，故設(shè)第二個數(shù)為x，則第三個數(shù)為x+1，根據(jù)勾股定理得：112+x2＝（x+1）2，解得x＝60，則得第5組數(shù)是：11、60、61．故答案為：11、60、61．【總結(jié)提升】本題考查了勾股數(shù)的概念也是找規(guī)律題，發(fā)現(xiàn)第一個數(shù)是從3，5，7，9，…的奇數(shù)．概念2互逆命題和互逆定理18．（2022?西城區(qū)校級模擬）命題：“如果a＝b，那么3a＝3b”的逆命題是如果3a＝3b，那么a＝b，該逆命題是真（填“真”或“假”）命題．【思路引領(lǐng)】把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，再判斷命題的真假即可．【解答】解：根據(jù)題意得：命題“如果a＝b，那么3a＝3b”的條件是如果a＝b，結(jié)論是3a＝3b，故逆命題是如果3a＝3b，那么a＝b，該命題是真命題．故答案為：如果3a＝3b，那么a＝b，真．【總結(jié)提升】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結(jié)論，而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．也考查了命題的真假判斷．19．（2022秋?通山縣月考）已知下列命題：①若a＞b，則a2＞b2；②若a＞1，則（a﹣1）0＝1；③兩個全等三角形的面積相等；④四條邊相等的四邊形是菱形，其中原命題與逆命題均為真命題的數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1【思路引領(lǐng)】分別判斷原命題與逆命題的正誤后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：①若a＞b，則a2＞b2，為假命題；逆命題為若a2＞b2，則a＞b，為假命題；②若a＞1，則（a﹣1）0＝1，為真命題，逆命題為若（a﹣1）0＝1，則a＞1，為假命題；③兩個全等三角形的面積相等，為真命題，逆命題為面積相對的兩個三角形全等，為假命題；④四條邊相等的四邊形是菱形，為真命題，逆命題為菱形的四條邊相等，為真命題；故選：D．【總結(jié)提升】本題考查的是命題的真假判斷、逆命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．核心知識點(diǎn)四兩種數(shù)學(xué)思想思想1分類討論思想20．（2023春?大觀區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝210，BC邊上的高AD＝6，則BC的長為10或6．【思路引領(lǐng)】分兩種情況考慮，如圖所示，分別在Rt△ABC與Rt△ACD中，利用勾股定理求出BD與CD的長，即可求出BC的長．【解答】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，如圖1所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?A此時BC＝BD+CD＝8+2＝10；如圖2所示，AB＝10，AC＝210，AD＝6，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理得：BD=AB2?A此時BC＝BD﹣CD＝8﹣2＝6，則BC的長為6或10．故答案為：10或6．【總結(jié)提升】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．21．（2023?襄城區(qū)模擬）在△ABC中，已知AB＝20，AC＝13，BC邊上的高AD＝12，則BC的長為21或11．【思路引領(lǐng)】分兩種情況討論：高在三角形里面和高在三角形外面，根據(jù)勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC＝BD+CD，在鈍角三角形中，BC＝CD﹣BD．【解答】解：（1）如圖，在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中，AB＝20，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝202﹣122＝256，∴BD＝16，在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，∴BC的長為BD+DC＝16+5＝21；（2）在△ABC中，AB＝20，AC＝13，BC邊上高AD＝12，在Rt△ABD中AB＝20，AD＝12，由勾股定理得：BD2＝AB2﹣AD2＝202﹣122＝256，∴BD＝16，在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝