5.2排列問題（第1課時(shí)）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

2排列問題第1課時(shí)第五章計(jì)數(shù)原理北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引

課程標(biāo)準(zhǔn)1.通過實(shí)例理解并掌握排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)的概念及排列數(shù)公式,能利用基本計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式,能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)1

排列的定義一般地,從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素,按照

排成一列,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.

排列分兩步完成,一“取”二“排”

名師點(diǎn)睛在定義中“一定的順序”就是說元素的排列與位置有關(guān),在實(shí)際問題中,究竟何時(shí)有關(guān),何時(shí)無關(guān),要由具體問題的性質(zhì)和條件來決定,這一點(diǎn)要特別注意,這也是與后面將要學(xué)習(xí)的組合的根本區(qū)別.一定的順序思考辨析1.3名學(xué)生排成一行照相,共有多少種排法?提示

設(shè)三名同學(xué)分別為A,B,C.由圖可知,共6種.2.在一個(gè)排列中,若交換其中兩個(gè)元素的位置,還是原來的排列嗎?提示

不是,根據(jù)排列的定義可知,改變了元素的順序就成了一個(gè)新的排列.過關(guān)自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)a,b,c與b,a,c是同一個(gè)排列.(

)(2)在同一個(gè)排列中,同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).(

)×√2.從1,2,3,4四個(gè)數(shù)字中,任選兩個(gè)數(shù)做加、減、乘、除運(yùn)算,分別計(jì)算它們的結(jié)果,在這些問題中,有幾種運(yùn)算可以看作排列問題(

)

A.1種

B.3種

C.2種

D.4種C解析

因?yàn)榧臃ê统朔M足交換律,所以選出兩個(gè)數(shù)做加法和乘法時(shí),結(jié)果與兩數(shù)字位置順序無關(guān),故不是排列問題,而減法、除法與兩數(shù)字的位置順序有關(guān),故是排列問題.3.[人教A版教材習(xí)題]寫出:(1)用0~4這5個(gè)自然數(shù)組成的沒有重復(fù)數(shù)字的全部兩位數(shù);(2)從a,b,c,d中取出2個(gè)字母的所有排列.解

(1)10,12,13,14,20,21,23,24,30,31,32,34,40,41,42,43.(2)ab,ac,ad,ba,bc,bd,ca,cb,cd,da,db,dc.知識(shí)點(diǎn)2

排列數(shù)的定義把從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的

,叫作從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),記作

.注意n和m的位置

所有不同排列的個(gè)數(shù)

名師點(diǎn)睛符號(hào)

中,總是要求n和m都是自然數(shù),且m≤n,以后不再聲明.思考辨析1.“排列”與“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎?提示

不是.排列是完成一件事的方法,排列數(shù)是完成這件事所有方法的種數(shù).自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)在排列數(shù)(m,n∈N+)中,n≥m.(

)√√2.A,B,C,D四人坐成一排照相有多少種坐法?將它們列出來,并用排列數(shù)符號(hào)表示.解

畫出樹形圖.由“樹形圖”可知,所有坐法為ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA,一共有24種坐法.符號(hào)表示為知識(shí)點(diǎn)3

排列數(shù)公式從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)個(gè)元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]種,所以

=

.

上述這個(gè)公式叫作排列數(shù)公式.當(dāng)m=n時(shí),=n(n-1)(n-2)·…·2·1,記作n!,讀作:n的階乘.規(guī)定:=1,即0!=1.n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)]自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯(cuò)誤的畫×)(1)89×90×91×92×…×100可表示為

.(

)(2)甲、乙、丙三名同學(xué)排成一排,不同的排列方法有3種.(

)(3)若

=9×10×11×12,則m=4.(

)√×√2.[人教A版教材習(xí)題]計(jì)算.3.[人教A版教材習(xí)題]求證:重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一排列的概念【例1】

下列問題是排列問題的為

.(填序號(hào))

①從5個(gè)小組中選2個(gè)小組分別去植樹和種菜,有多少種選法?②從5個(gè)小組中選2個(gè)小組去種菜,有多少種選法?③某班40名同學(xué)在假期互發(fā)短信,共發(fā)了多少條短信?④從1,2,3,5,7中任取兩個(gè)數(shù)字相除,有多少種結(jié)果?⑤有10個(gè)汽車站,則站與站之間有多少種車票?①③④⑤

解析

①植樹和種菜是不同的工作,存在順序問題,是排列問題;②不存在順序問題,不是排列問題;③存在順序問題,是排列問題;④兩個(gè)數(shù)相除與這兩個(gè)數(shù)的順序有關(guān),是排列問題;⑤車票使用時(shí)有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分,故車票的使用是有順序的,是排列問題.規(guī)律方法

判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路

變式訓(xùn)練1判斷下列問題是否為排列問題.(1)會(huì)場(chǎng)有50個(gè)座位,要求選出3個(gè)座位,有多少種方法?若選出3個(gè)座位安排三位客人,又有多少種方法?(3)平面上有5個(gè)點(diǎn),其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線,這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線?可確定多少條射線?解

(1)第一問不是排列問題,第二問是排列問題.“入座”問題與“排隊(duì)”問題一樣,與順序有關(guān),故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題.(3)確定直線不是排列問題,確定射線是排列問題.探究點(diǎn)二排列數(shù)及其應(yīng)用角度1.由排列數(shù)進(jìn)行化簡或證明【例2】

(1)4×5×6×…×(n-1)×n等于(

)D規(guī)律方法

1.排列數(shù)公式的逆用:連續(xù)正整數(shù)的積可以寫成某個(gè)排列數(shù),其中最大的是排列元素的總個(gè)數(shù),而正整數(shù)(因式)的個(gè)數(shù)是選取元素的個(gè)數(shù).2.利用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)可利用連乘形式也可利用階乘形式.當(dāng)

中m已知且較小時(shí)用連乘形式,當(dāng)m較大或?yàn)閰?shù)時(shí)用階乘形式.3.應(yīng)用排列數(shù)公式可以對(duì)含有排列數(shù)的式子進(jìn)行化簡和證明,化簡的過程中要對(duì)排列數(shù)進(jìn)行變形,并要熟悉排列數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系,解題時(shí)要靈活地運(yùn)用如下變式:(1)n!=n(n-1)!(n≥1,n∈N+);變式訓(xùn)練2★(1)(多選題)下列等式正確的是(

)ABD(2)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N+,且n<55)=

;

解析

∵55-n,56-n,…,69-n中的最大數(shù)為69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15個(gè)元素,∴(55-n)(56-n)…(69-n)=角度2.與排列數(shù)有關(guān)的方程、不等式的求解

規(guī)律方法

利用排列數(shù)公式展開即得到關(guān)于x的方程(或不等式),但由于x存在于排列數(shù)中,故應(yīng)考慮排列數(shù)對(duì)x的制約,避免出現(xiàn)增根.探究點(diǎn)三排列的簡單應(yīng)用【例4】

用排列數(shù)表示下列問題.(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù),其商的個(gè)數(shù);(2)由0,1,2,3組成的能被5整除且沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù);(3)有4名大學(xué)生可以到5家單位實(shí)習(xí),若每家單位至多招1名新員工,每名大學(xué)生至多到1家單位實(shí)習(xí),且這4名大學(xué)生全部被分配完畢,其分配方案的個(gè)數(shù).解

(1)從100個(gè)兩兩互質(zhì)的數(shù)中取出2個(gè)數(shù),分別作為商的分子和分母,其排列數(shù)為(2)因?yàn)榻M成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)能被5整除,所以這個(gè)四位數(shù)的個(gè)位數(shù)字一定是“0”,故確定此四位數(shù),只需確定千位數(shù)字、百位數(shù)字、十位數(shù)字即可,其排列數(shù)為(3)可以理解為從5家單位中選出4家單位,分別把4名大學(xué)生安排到4家單位,其排列數(shù)為規(guī)律方法

首先分析問題是不是排列問題,若是排列問題,則利用定義解題.變式訓(xùn)練4(1)某高速鐵路自北京南站至上海虹橋站,途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市,設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站,則鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備

種不同的火車票.

解析對(duì)于兩個(gè)火車站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同,因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站.因此,結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中,每次取出2個(gè)不同元素的排列數(shù)

=21×20=420.所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的火車票.420★(2)若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大,則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”.現(xiàn)從2,3,4,5,6,9這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù),組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中“傘數(shù)”的個(gè)數(shù)為

.

40學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234567891011121314A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練15161.[探究點(diǎn)一](多選題)在下面問題中,不是排列問題的是(

)A.由1,2,3三個(gè)數(shù)字組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?B.從40人中選5人組成多少個(gè)籃球隊(duì)?C.從100人中選2人抽樣調(diào)查的選法有多少種?D.從1,2,3,4,5中選2個(gè)數(shù)組成集合有多少個(gè)?BCD解析

選項(xiàng)A中組成的三位數(shù)與數(shù)字的排列順序有關(guān),選項(xiàng)B,C,D只需取出元素即可,與元素的排列順序無關(guān).12345678910111213142.[探究點(diǎn)二]=9×10×11×12,則m等于(

)A.3 B.4 C.5 D.6B15161234567891011121314A.107

B.323 C.320 D.348D15161234567891011121314A.2 B.6 C.7 D.8C1516123456789101112131415165.[探究點(diǎn)三]甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為(

)A.6 B.4 C.8 D.10B解析

列樹形圖如圖,故組成的排列為丙甲乙,丙乙甲,乙甲丙,乙丙甲,共4種.123456789101112131415166.[探究點(diǎn)三]從6本不同的書中選出2本送給兩名同學(xué),每人一本的送法種數(shù)為(

)A.6 B.12 C.30 D.36C解析

相當(dāng)于從6個(gè)不同元素中選2個(gè)進(jìn)行排列,一名同學(xué)有6種送法,另一名同學(xué)有5種送法,則其送法有6×5=30(種).123456789101112131415167.[探究點(diǎn)三]從a,b,c,d,e這5個(gè)元素中每次取出3個(gè)元素,可組成

個(gè)以b為首的不同的排列,它們分別是

.

12解析

bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed

畫出樹形圖如圖,由圖可知共12個(gè),它們分別是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed.123456789101112131415168.[探究點(diǎn)三]由1,4,5,x四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),所有這些四位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和為288,則x=

.

2123456789101112131415169.[探究點(diǎn)三]某中學(xué)高二年級(jí)共16個(gè)班級(jí),教室均分在1號(hào)樓的一至四層,學(xué)生自管會(huì)現(xiàn)將來自不同樓層的4名學(xué)生分配到各樓層執(zhí)行管理工作,要求每名學(xué)生均不管理自己班級(jí)所在的樓層,則共有

種不同的安排方法.

9解析

由題意,第一層的同學(xué)不能管理第一層,有3種安排方法,假設(shè)第一層的同學(xué)管理第二層,則第二層的同學(xué)此時(shí)有3種安排方法,剩下的兩名同學(xué)只有1種安排方法,所以每個(gè)學(xué)生均不管理自己班級(jí)所在樓層的安排方法有3×3×1×1=9(種).1234567891011121314151610.若一個(gè)三位正整數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大,則稱這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”,現(xiàn)從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字,組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中“傘數(shù)”的個(gè)數(shù)為(

)A.60 B.53 C.20 D.35CB級(jí)關(guān)鍵能力提升練1234567891011121314151611.參加完某項(xiàng)活動(dòng)的6名成員合影留念,前排和后排各3人,則不同排法的種數(shù)為(

)A.360 B.720C.2160 D.4320B1234567891011121314151612.由1,2,3,4這四個(gè)數(shù)字組成的首位數(shù)字是1,且恰有三個(gè)相同數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.9 B.12 C.15 D.18B解析

本題要求首位數(shù)字是1,且恰有三個(gè)相同的數(shù)字,用樹形圖表示為

由此可知共有12個(gè)符合題意的四位數(shù).1234567891011121314151613.將詩集《詩經(jīng)》《唐詩三百首》,戲劇《牡丹亭》,四大名著《紅樓夢(mèng)》《西游記》《三國演義》《水滸傳》7本書放在一排,下面結(jié)論成立的是(

)A.戲劇放在中間的不同放法有7!種B.詩集相鄰的不同放法有6!種C.四大名著互不相鄰的不同放法有4!×3!種D.四大名著不放在兩端的不同放法有6×4!種C解析

選項(xiàng)A,戲劇書只有一本,所以其余6本書可以全排列,共有6!種不同排列方法;選項(xiàng)B,詩集共2本,把詩集當(dāng)成一本,不同方法有6!種,這兩本又可交換位置,所以不同放法種數(shù)為2×6!;選項(xiàng)C,四大名著互不相鄰,那只能在這四本書的3個(gè)空隙中放置其他書,共有3!種放法,這四本書又可以全排列,所以不同放法種數(shù)為4!×3!;選項(xiàng)D,四大名著可以在第2至第6這5個(gè)位置上任選4個(gè)位置放置,共有

種放法,這四