高考數(shù)學(xué) 歷真題專題12 概率 理

歷屆真題專題【年高考試題】一、選擇題:1.(年高考浙江卷理科9)有5本不同的書，其中語文書2本，數(shù)學(xué)書2本，物理書1本.若將其隨機(jī)的并排擺放到書架的同一層上，則同一科目的書都不相鄰的概率（A）（B）（C）（D）解析：因為甲乙兩位同學(xué)參加同一個小組有3種方法，兩位同學(xué)個參加一個小組共有種方法；所以，甲乙兩位同學(xué)參加同一個小組的概率為點(diǎn)評：本題考查排列組合、概率的概念及其運(yùn)算和分析問題、解決問題的能力。4.(年高考廣東卷理科6)甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽．現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍.若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為（）A.B.C.D.【解析】D.由題得甲隊獲得冠軍有兩種情況，第一局勝或第一局輸?shù)诙謩伲约钻牜@得冠軍的概率所以選D.5．(年高考湖北卷理科7)如圖，用K、A1、A2三類不同的元件連成一個系統(tǒng).當(dāng)K正常工作且A1、A2至少有一個正常工作時，系統(tǒng)正常工作.已知K、A1、A2正常工作的概率依次為0.9、0.8、0.8，則系統(tǒng)正常工作的概率為可能，最后一小時他們同在一個景點(diǎn)有種，則最后一小時他們同在一個景點(diǎn)的概率是，故選D7.(年高考四川卷理科12)在集合中任取一個偶數(shù)和一個奇數(shù)構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a=（a,b）.從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個向量為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個數(shù)為，其中面積不超過的平行四邊形的個數(shù)為，則()（A）（B）（C）（D）答案：B解析：基本事件：.其中面積為2的平行四邊形的個數(shù)；其中面積為4的平行四【答案】【解析】：，的取值為0，1，2，3，，故2.(年高考江西卷理科12)小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書，則小波周末不在家看書的概率為【答案】【解析】小波周末不在家看書包含兩種情況:一是去看電影;二是去打籃球;所以小波周末不在家看書的概率為.3.(年高考湖南卷理科15)如圖4，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓內(nèi)接正方形.將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE（陰影部分）內(nèi)”，則（1）;（2）.答案：;顯然相同，故①的概率為6.(年高考安徽卷江蘇5)從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，則其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是______【答案】【解析】從1，2，3，4這四個數(shù)中一次隨機(jī)取兩個數(shù)，所有可能的取法有6種,滿足“其中一個數(shù)是另一個的兩倍”的所有可能的結(jié)果有(1,2),(2,4)共2種取法,所以其中一個數(shù)是另一個的兩倍的概率是.7．(年高考福建卷理科13)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機(jī)取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______。【答案】8．(年高考上海卷理科9)馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量的概率分布律如下表請小牛同學(xué)計算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無法完全看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個“？”處的數(shù)值相同。據(jù)此，小牛給出了正確答案。【答案】9．(年高考上海卷理科12)隨機(jī)抽取9個同學(xué)中，至少有2個同學(xué)在同一月出生的概率是（默認(rèn)每月天數(shù)相同，結(jié)果精確到）。【答案】三、解答題:1.(年高考山東卷理科18)（本小題滿分12分）紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A，乙對B，丙對C各一盤，已知甲勝A，乙勝B，丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5，假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立。（Ⅰ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；（Ⅱ）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解析】（Ⅰ）紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為=0.55.（Ⅱ）取的可能結(jié)果為0,1,2,3,則=0.1;++=0.35;=0.4;=0.15.所以的分布列為0123P0.10.350.40.15數(shù)學(xué)期望=0×0.1+1×0.35+2×0.4+3×0.15=1.6.2.(年高考遼寧卷理科19)（本小題滿分12分） 某農(nóng)場計劃種植某種新作物，為此對這種作物的兩個品種（分別稱為品種甲和品種乙）進(jìn)行田間試驗.選取兩大塊地，每大塊地分成n小塊地，在總共2n小塊地中，隨機(jī)選n小塊地種植品種甲，另外n小塊地種植品種乙. （I）假設(shè)n=4，在第一大塊地中，種植品種甲的小塊地的數(shù)目記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望； （II）試驗時每大塊地分成8小塊，即n=8，試驗結(jié)束后得到品種甲和品種乙在個小塊地上的每公頃產(chǎn)量（單位：kg/hm2）如下表：分別求品種甲和品種乙的每公頃產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？附：樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xa的樣本方差，其中為樣本平均數(shù).即X的分布列為X01234PX的數(shù)學(xué)期望是：.3.(年高考安徽卷理科20)（本小題滿分13分）工作人員需進(jìn)入核電站完成某項具有高輻射危險的任務(wù)，每次只派一個人進(jìn)去，且每個人只派一次，工作時間不超過10分鐘，如果有一個人10分鐘內(nèi)不能完成任務(wù)則撤出，再派下一個人。現(xiàn)在一共只有甲、乙、丙三個人可派，他們各自能完成任務(wù)的概率分別，假設(shè)互不相等，且假定各人能否完成任務(wù)的事件相互獨(dú)立.（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的順序派人，求任務(wù)能被完成的概率。若改變?nèi)齻€人被派出的先后順序，任務(wù)能被完成的概率是否發(fā)生變化？=（Ⅱ）當(dāng)依次派出的三個人各自完成任務(wù)的概率分別為時，所需派出人員數(shù)目的分布列為123P所需派出人員數(shù)目的均值（數(shù)字期望）是，若交換前兩人的順序，則變?yōu)?，由此可見，?dāng)時，交換前兩人的順序可減少所需派出人員的數(shù)目的均值。（=2\*romanii）也可將（Ⅱ）中改寫為，若交換后兩人的順序則變?yōu)椋纱丝梢?，保持第一個人不變，當(dāng)4.(年高考全國新課標(biāo)卷理科19)（本小題滿分12分）某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測試了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗結(jié)果：A配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)82042228B配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組頻數(shù)41242328（Ⅰ）分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（Ⅱ）已知用B配方生成的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.（以實驗結(jié)果中質(zhì)量指標(biāo)值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值落入相應(yīng)組的概率）5.(年高考天津卷理科16)（本小題滿分13分）學(xué)校游園活動有這樣一個游戲項目：甲箱子里裝有3個白球、2個黑球，乙箱子里裝有1個白球、2個黑球，這些球除顏色外完全相同，每次游戲從這兩個箱子里各隨機(jī)摸出2個球，若摸出的白球不少于2個，則獲獎.（每次游戲結(jié)束后將球放回原箱）（Ⅰ）求在一次游戲中，（i）摸出3個白球的概率；（ii）獲獎的概率；（Ⅱ）求在兩次游戲中獲獎次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.【解析】本小題主要考查古典概型及其概率計算公式、離散型隨機(jī)變量的分布列、互斥事件和相互獨(dú)立事件等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)用概率知識解決簡單的實際問題的能力.（Ⅰ）（i）設(shè)“在一次游戲中摸出i個白球”為事件,則.（ii）設(shè)“在一次游戲中獲獎”為事件B,則B=,又,且互斥,所以.（Ⅱ）由題意可知的所有可能取值為0,1,,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,所以的分布列是012P的數(shù)學(xué)期望=+=.6．(年高考江西卷理科16)（本小題滿分12分）某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一項測試，以便確定工資級別．公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為A飲料，另外4杯為B飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯A飲料．若4杯都選對，則月工資定為3500元；若4杯選對3杯，則月工資定為2800元，否則月工資定為2100元，令X表示此人選對A飲料的杯數(shù)，假設(shè)此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力．（1）求X的分布列；（2）求此員工月工資的期望．解析：（1）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，則，所以所求的分布列為X01234P（2）設(shè)Y表示該員工的月工資，則Y的所有可能取值為3500，2800，2100，相對的概率分別為，，，所以．所以此員工工資的期望為2280元．本題考查排列、組合的基礎(chǔ)知識及概率分布、數(shù)學(xué)期望．7.(年高考湖南卷理科18)（本小題滿分12分）某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量（件）0123頻數(shù)1595試銷結(jié)束后（假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變）.設(shè)某天開始營業(yè)時由該商品3件，當(dāng)天營業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至3件，否則不進(jìn)貨.將頻率視為概率.求當(dāng)天商店不進(jìn)貨的概率；+故的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望為.評析：本大題主要考查生活中的概率統(tǒng)計知識和方法.求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法，以及互斥事件概率的求法.8.(年高考廣東卷理科17)（本小題滿分13分）為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14件和5件，測量產(chǎn)品中微量元素x，y的含量（單位：毫克）.下表是乙廠的5件產(chǎn)品的測量數(shù)據(jù)：（1）已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共98件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；（2）當(dāng)產(chǎn)品中的微量元素x，y滿足≥175且y≥75，該產(chǎn)品為優(yōu)等品，用上述樣本數(shù)據(jù)估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)等品的數(shù)量；（3）從乙廠抽出的上述5件產(chǎn)品中，隨即抽取2件，求抽取的2件產(chǎn)品中優(yōu)等品數(shù)的分布列及其均值（即數(shù)學(xué)期望）.【解析】解：（1），即乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量為35件。（2）易見只有編號為2，5的產(chǎn)品為優(yōu)等品，所以乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中的優(yōu)等品 故乙廠生產(chǎn)有大約（件）優(yōu)等品，（3）的取值為0，1，2。 所以的分布列為012P 故9.(年高考陜西卷理科20)（本小題滿分13分）如圖，A地到火車站共有兩條路徑和，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：時間（分鐘）的頻率0.10.20.30.20.2的頻率00.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站。（Ⅰ）為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？（Ⅱ）用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對（Ⅰ）的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。X的分布列為X012P0.040.420.54 10.(年高考重慶卷理科17)（本小題滿分13分。（Ⅰ）小問5分（Ⅱ）小問8分.）某市公租房房屋位于A.B.C三個地區(qū)，設(shè)每位申請人只申請其中一個片區(qū)的房屋，且申請其中任一個片區(qū)的房屋是等可能的，求該市的任4位申請人中:（Ⅰ）若有2人申請A片區(qū)房屋的概率;（Ⅱ）申請的房屋在片區(qū)的個數(shù)的分布列與期望。（2）設(shè)甲，乙兩個所付的費(fèi)用之和為，可為分布列.12.(年高考全國卷理科18)(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無效)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0．5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0．3,設(shè)各車主購買保險相互獨(dú)立(I)求該地1位車主至少購買甲、乙兩種保險中的l種的概率；(Ⅱ)X表示該地的l00位車主中，甲、乙兩種保險都不購買的車主數(shù)。求的期望。13．(年高考北京卷理科17)本小題共13分以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組個四名同學(xué)的植樹棵樹。乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認(rèn)，在圖中以X表示。 （Ⅰ）如果X=8,求乙組同學(xué)植樹棵樹的平均數(shù)和方差； （Ⅱ）如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機(jī)選取一名同學(xué)，求這兩名同學(xué)的植樹總棵樹Y的分布列和數(shù)學(xué)期望。 （注：方差，其中為，，……的平均數(shù)）同理可得所以隨機(jī)變量Y的分布列為：Y1718192021PEY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21×=19.14．(年高考福建卷理科19)（本小題滿分13分）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)（I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示：5678P0．4ab0．1且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值；（=2\*ROMANII）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望．（III）在（I）、（II）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．注：（1）產(chǎn)品的“性價比”=；（2）“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．3456780．30．20．20．10．10．1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：345678P0．30．20．20．10．10．1所以即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8.（III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學(xué)等于6，價格為6元/件，所以其性價比為因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性?！灸旮呖荚囶}】（遼寧理數(shù)）（3）兩個實習(xí)生每人加工一個零件．加工為一等品的概率分別為和，兩個零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為（A）(B)(C)(D)【答案】B【命題立意】本題考查了相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率，考查了有關(guān)概率的計算問題【解析】記兩個零件中恰好有一個一等品的事件為A，則P(A)=P(A1)+P(A2)= （江西理數(shù)）11.一位國王的鑄幣大臣在每箱100枚的硬幣中各摻入了一枚劣幣，國王懷疑大臣作弊，他用兩種方法來檢測。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查兩枚。國王用方法一、二能發(fā)現(xiàn)至少一枚劣幣的概率分別為和，則A.=B.<C.>D。以上三種情況都有可能【答案】B【解析】考查不放回的抽球、重點(diǎn)考查二項分布的概率。本題是北師大版新課標(biāo)的課堂作業(yè)，作為舊大綱的最后一年高考，本題給出一個強(qiáng)烈的導(dǎo)向信號。方法一：每箱的選中的概率為，總概率為；同理，方法二：每箱的選中的概率為，總事件的概率為，作差得<。1.（湖北理數(shù)）4.投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A,“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”ABCD（重慶理數(shù)）（13）某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中至多命中一次的概率為，則該隊員每次罰球的命中率為____________.解析：由得（湖南理數(shù)）11．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，則的概率為3.（江蘇卷）3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若從中隨機(jī)地摸出兩只球，兩只球顏色不同的概率是_▲__.[解析]考查古典概型知識。（全國卷2理數(shù)）（20）（本小題滿分12分）如圖，由M到N的電路中有4個元件，分別標(biāo)為T1，T2，T3，T4，電流能通過T1，T2，T3的概率都是p，電流能通過T4的概率是0.9．電流能否通過各元件相互獨(dú)立．已知T1，T2，T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999．（Ⅰ）求p；（Ⅱ）求電流能在M與N之間通過的概率；（Ⅲ）表示T1，T2，T3，T4中能通過電流的元件個數(shù)，求的期望．【命題意圖】本試題主要考查獨(dú)立事件的概率、對立事件的概率、互斥事件的概率及數(shù)學(xué)期望，考查分類討論的思想方法及考生分析問題、解決問題的能力.【參考答案】【點(diǎn)評】概率與統(tǒng)計也是每年的必考題，但對考試難度有逐年加強(qiáng)的趨勢，已經(jīng)由原來解答題的前3題的位置逐漸后移到第20題的位置，對考生分析問題的能力要求有所加強(qiáng)，這應(yīng)引起高度重視.（遼寧理數(shù)）（18）（本小題滿分12分）為了比較注射A,B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只家兔做試驗，將這200只家兔隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A，另一組注射藥物B。（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同組的概率；（Ⅱ）下表1和表2分別是注射藥物A和B后的試驗結(jié)果.（皰疹面積單位：mm2）表1：注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻數(shù)分布表（ⅰ）完成下面頻率分布直方圖，并比較注射兩種藥物后皰疹面積的中位數(shù)大小；（ⅱ）完成下面2×2列聯(lián)表，并回答能否有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積與注射藥物B后的皰疹面積有差異”.表3：解：（Ⅰ）甲、乙兩只家兔分在不同組的概率為……4分（Ⅱ）（i）圖Ⅰ注射藥物A后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖圖Ⅱ注射藥物B后皮膚皰疹面積的頻率分布直方圖可以看出注射藥物A后的皰疹面積的中位數(shù)在65至70之間，而注射藥物B后的皰疹面積的中位數(shù)在70至75之間，所以注射藥物A后皰疹面積的中位數(shù)小于注射藥物B后皰疹面積的中位數(shù)?！?分（ii）表3：由于K2＞10.828，所以有99.9%的把握認(rèn)為“注射藥物A后的皰疹面積于注射藥物B后的皰疹面積有差異”。……12分 （北京理數(shù)）(17)(本小題共13分)某同學(xué)參加3門課程的考試。假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績的概率為，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為，(＞)，且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立。記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為ξ0123(Ⅰ)求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率；(Ⅱ)求，的值；(Ⅲ)求數(shù)學(xué)期望ξ。解：事件表示“該生第門課程取得優(yōu)秀成績”，=1,2,3，由題意知，，（I）由于事件“該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績”與事件“”是對立的，所以該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率是，（II）由題意知整理得，由，可得，.（III）由題意知===（四川理數(shù)）（17）（本小題滿分12分）某種有獎銷售的飲料，瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”或“謝謝購買”字樣，購買一瓶若其瓶蓋內(nèi)印有“獎勵一瓶”字樣即為中獎，中獎概率為.甲、乙、丙三位同學(xué)每人購買了一瓶該飲料。（Ⅰ）求甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率；（Ⅱ）求中獎人數(shù)ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.解：（1）設(shè)甲、乙、丙中獎的事件分別為A、B、C，那么P(A)=P(B)=P(C)=P()=P(A)P()P()=答：甲中獎且乙、丙都沒有中獎的概率為……6分（2）ξ的可能值為0,1,2,3P(ξ=k)=(k=0,1,2,3)所以中獎人數(shù)ξ的分布列為ξ0123PEξ=0×+1×+2×+3×=………………12分（天津理數(shù)）（18）.（本小題滿分12分）（1）解：設(shè)為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則~.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率（Ⅱ）解：設(shè)“第次射擊擊中目標(biāo)”為事件；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件,則==（Ⅲ）解：由題意可知，的所有可能取值為=所以的分布列是（全國卷1理數(shù)）(18)(本小題滿分12分)投到某雜志的稿件，先由兩位初審專家進(jìn)行評審．若能通過兩位初審專家的評審，則予以錄用；若兩位初審專家都未予通過，則不予錄用；若恰能通過一位初審專家的評審，則再由第三位專家進(jìn)行復(fù)審，若能通過復(fù)審專家的評審，則予以錄用，否則不予錄用．設(shè)稿件能通過各初審專家評審的概率均為0.5，復(fù)審的稿件能通過評審的概率為0.3．各專家獨(dú)立評審．(I)求投到該雜志的1篇稿件被錄用的概率；(II)記表示投到該雜志的4篇稿件中被錄用的篇數(shù)，求的分布列及期望．（山東理數(shù)）=，所以的分布列為234數(shù)學(xué)期望=++4=。【命題意圖】本題考查了相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率、考查了離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望的知識，考查了同學(xué)們利用所學(xué)知識解決實際問題的能力。（江蘇卷）22.本小題滿分10分）某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%。生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元。設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨(dú)立。記X（單位：萬元）為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列；求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率。[解析]本題主要考查概率的有關(guān)知識，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。解：（1）由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，-3，且P（X=10）=0.8×0.9=0.72，P（X=5）=0.2×0.9=0.18，P（X=2）=0.8×0.1=0.08，P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。由此得X的分布列為：X1052-3P0.720.180.080.02（2）設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中一等品有件，則二等品有件。由題設(shè)知，解得，又，得，或。所求概率為答：生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率為0.8192?！灸旮呖荚囶}】12．(·山東理)在區(qū)間-1，1：上隨機(jī)取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為()．A．B．C．D．解析：:在區(qū)間-1，1：上隨機(jī)取一個數(shù)x,即時,要使的值介于0到之間,需使或∴或，區(qū)間長度為，由幾何概型知的值介于0到之間的概率為．故選A．答案:A命題立意：:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長度型幾何概型求得．13．(·山東文)在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為()．A．B．C．D．共12對，所以所求概率為，選D10．（·江蘇）現(xiàn)有5根竹竿，它們的長度（單位：m）分別為2．5，2．6，2．7，2．8，2．9，若從中一次隨機(jī)抽取2根竹竿，則它們的長度恰好相差0．3m的概率為．解析：考查等可能事件的概率知識。從5根竹竿中一次隨機(jī)抽取2根的可能的事件總數(shù)為10，它們的長度恰好相差0．3m的事件數(shù)為2，分別是：2．5和2．8，2．6和2．9，所求概率為0．2。13．（·廣東理）（本小題滿分12分）對某城市一年（365天）的空氣質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，獲得的API數(shù)據(jù)按照區(qū)間，，，，，進(jìn)行分組，得到頻率分布直方圖如圖5．（1）求直方圖中的值；（2）計算一年中空氣質(zhì)量分別為良和輕微污染的天數(shù)；（3）求該城市某一周至少有2天的空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示．已知，，，）解：（1）由圖可知，解得；（2）；（3）該城市一年中每天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為，則空氣質(zhì)量不為良且不為輕微污染的概率為，一周至少有兩天空氣質(zhì)量為良或輕微污染的概率為．14．（·浙江理）（本題滿分14分）在這個自然數(shù)中，任取個數(shù)．（I）求這個數(shù)中恰有個是偶數(shù)的概率；（II）設(shè)為這個數(shù)中兩數(shù)相鄰的組數(shù)（例如：若取出的數(shù)為，則有兩組相鄰的數(shù)和，此時的值是）．求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望．解析：（I）記“這3個數(shù)恰有一個是偶數(shù)”為事件A，則；．（II）隨機(jī)變量的取值為的分布列為012P所以的數(shù)學(xué)期望為．15．(·山東理)(本小題滿分12分)在某校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進(jìn)一球得3分，在B處每投進(jìn)一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學(xué)在A處的命中率q為0．25，在B處的命中率為q，該同學(xué)選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分，其分布列為02345p0．03P1P2P3P4求q的值；求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E;試比較該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。解:（1）設(shè)該同學(xué)在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨(dú)立,且P(A)=0．25,,P(B)=q,．根據(jù)分布列知:=0時=0．03,所以，q=0．8．（2）當(dāng)=2時,P1==0．75q()×2=1．5q()=0．24當(dāng)=3時,P2==0．01,當(dāng)=4時,P3==0．48,當(dāng)=5時,P4==0．24所以隨機(jī)變量的分布列為02345p0．030．240．010．480．24隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（3）該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為;該同學(xué)選擇（1）中方式投籃得分超過3分的概率為0．48+0．24=0．72．由此看來該同學(xué)選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大．命題立意：:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨(dú)立事件的概率和數(shù)學(xué)期望,以及運(yùn)用概率知識解決問題的能力．17．（·安徽理）（本小題滿分12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到過疫區(qū)．B肯定是受A感染的．對于C，因為難以斷定他是受A還是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同樣也假定D受A、B和C感染的概率都是．在這種假定之下，B、C、D中直接受A感染的人數(shù)X就是一個隨機(jī)變量．寫出X的分布列(不要求寫出計算過程),并求X的均值（即數(shù)學(xué)期望）．本小題主要考查古典概型及其概率計算，考查取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列和均值的概念，通過設(shè)置密切貼近現(xiàn)實生活的情境，考查概率思想的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。體現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價值。本小題滿分12分。解：隨機(jī)變量X的分布列是X123PX的均值為附：X的分布列的一種求法共有如下6種不同的可能情形，每種情形發(fā)生的概率都是：①②③④⑤⑥A—B—C—DA—B—C└DA—B—C└DA—B—D└CA—C—D└B在情形①和②之下，A直接感染了一個人；在情形③、④、⑤之下，A直接感染了兩個人；在情形⑥之下，A直接感染了三個人。18．（·安徽文）（本小題滿分12分）某良種培育基地正在培育一種小麥新品種A，將其與原有的一個優(yōu)良品種B進(jìn)行對照試驗，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù)（單位：千克）如下：．品種A:357，359，367，368，375，388，392，399，400，405，414，415，421，423，423，427，430，430，434，443，445，451，454品種B：363，371，374，383，385，386，391，392，394，395，397397，400，401，401，403，406，407，410，412，415，416，422，430（Ⅰ）完成所附的莖葉圖（Ⅱ）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？．（Ⅲ）通過觀察莖葉圖，對品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計結(jié)論。思路：由統(tǒng)計知識可求出A、B兩種品種的小麥穩(wěn)定性大小并畫出莖葉圖，用莖葉圖處理數(shù)據(jù)，看其分布就比較明了。．解析：（1）莖葉圖如圖所示AB973587363537148383569239124457750400113675424102567331422400430553444145（2）用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)不僅可以看出數(shù)據(jù)的分布狀況,而且可以看出每組中的具體數(shù)據(jù)．（3）通過觀察莖葉圖，可以發(fā)現(xiàn)品種A的平均每畝產(chǎn)量為411．1千克，品種B的平均畝產(chǎn)量為397．8千克．由此可知,品種A的平均畝產(chǎn)量比品種B的平均畝產(chǎn)量高．但品種A的畝產(chǎn)量不夠穩(wěn)定，而品種B的畝產(chǎn)量比較集中D平均產(chǎn)量附近．20．（·遼寧理）（本小題滿分12分）某人向一目射擊4次，每次擊中目標(biāo)的概率為。該目標(biāo)分為3個不同的部分，第一、二、三部分面積之比為1：3：6。擊中目標(biāo)時，擊中任何一部分的概率與其面積成正比。（Ⅰ）設(shè)X表示目標(biāo)被擊中的次數(shù)，求X的分布列；（Ⅱ）若目標(biāo)被擊中2次，A表示事件“第一部分至少被擊