2025屆高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)列與數(shù)學(xué)文化（含解析）

高考復(fù)習(xí)專題一一數(shù)列與數(shù)學(xué)文化

新課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）進一步明確了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的地位，數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考

查的四大內(nèi)涵之一，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題將是新高考的考察內(nèi)容，數(shù)列與數(shù)學(xué)文化有著

緊密的聯(lián)系，本文總結(jié)了近年來數(shù)學(xué)文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。

一、中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)列問題

1、（2024?鶴壁市高三模擬）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）

在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,….我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱

世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”

的堆垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球，…）.若一“落一形”

三角堆垛有10層，則該堆垛總共球的個數(shù)為（）

三角堆垛

A.55B.220

C.285D.385

2、（2024?全國II卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、

中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9

塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上

一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，

且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

二、源于世界數(shù)學(xué)名題的高考試題

p當(dāng)為為偶數(shù),

1、（湖北高考）已知數(shù)列自｝滿意:a=加加為正整數(shù)），a“+尸

、3a〃+l,當(dāng)當(dāng)為奇數(shù),

若a=1,則〃全部可能的取值為.

跟蹤練習(xí)

1、我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：”今有垣厚十尺，

兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第

幾天相逢？（）

A.2B.3

1

2、（2017?全國n卷）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，

紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381

盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞

C.5盞D9盞

3、（多選）（2024?福州質(zhì)檢）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為探討對象的幾何學(xué).如

圖，有一列曲線A,P\,…，P?,已知R是邊長為1的等邊三角形，8+1是對8進

行如下操作而得到的：將8的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三

角形，再將中間部分的線段去掉（"=0,1,2,???）,記只的周長為面積為S.對于

下列結(jié)論不正確的是（）

C.3舷>0,使乙X"3M>0,使S?<M

4、五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1,其次位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)所報

出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；

②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.

已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依次循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)

為.

5、S為等差數(shù)列｛aj的前〃項和，且ai=l,S=28.記6〃=[lgaJ,其中[x]表示不超過x

的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[1g99]=1.

⑴求61,bn,6101；

⑵求數(shù)列｛4｝的前1000項和.

6、設(shè)xdR,記不超過x的最大整數(shù)為[x],｛x｝=了一[x],則[J1]乘2^1（）

A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

2

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

7、滿意a=a2=l,的數(shù)列｛aj稱為斐波那契數(shù)

列，又稱黃金分割數(shù)列.依次以斐波那契數(shù)列｛aj各項為邊長作正方形,

在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90°的圓弧，依次連

接圓弧端點所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線（也稱“黃金螺旋

線”）.如圖，圓心角為90。的扇形如6中的曲線是斐波那契螺旋線的

一段，則陰影部分面積與扇形面積的比值為（）

8、（多選）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中出

現(xiàn)了球體堆壘的形態(tài)，后人稱為“三角垛”（其平面圖形如圖。8強

所示），其中最上層有1個球，其次層有3個球，第三層有6

個球，….設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛a｝,則下列說法正確的是（）

=

A.54=12B.a.n+idn~\~n~\~1

C.3IOO=5050D.2an+i=an?H〃+2

9、一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群.該塔群隨

山勢鑿石分階而建，依山勢自上而下，第一階1座，其次階3座，第三階3座，第四階5

座，第五階5座，從第五階起先塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5,公差為2的等差數(shù)列，總計108

座，故名一百零八塔.則該塔的階數(shù)是（）

A.10B.11

C.12D.13

10、我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金維，長五尺，斬本一尺，重四斤,

斬末一尺，重二斤.”意思是：現(xiàn)有一根金垂，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重

2斤.若該金維從頭到尾，每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列，則該金量共重為（）

A.6斤B.7斤

C.9斤D.15斤

11、（2024?安徽淮北模擬）定義：若數(shù)列｛aj對隨意的正整數(shù)〃，都有以〃+/+忖/=或4為

常數(shù)），則稱｛aj為“肯定和數(shù)列”，d叫作“肯定公和”.已知“肯定和數(shù)列”｛aj中，&

=2,肯定公和為3,則其前2023項的和￡儂的最小值為（）

3

A.-2023B.-3010

C.-3031D.-3027

高考復(fù)習(xí)專題一一數(shù)列與數(shù)學(xué)文化

（解析版）

新課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）進一步明確了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的地位，數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考

查的四大內(nèi)涵之一，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題將是新高考的考察內(nèi)容，數(shù)列與數(shù)學(xué)文化有著

緊密的聯(lián)系，本文總結(jié)了近年來數(shù)學(xué)文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。

一、中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)列問題

1、（2024?鶴壁市高三模擬）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點（或圓球）

在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1,3,6,10,15,….我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱

世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落一形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”

的堆垛（如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球，…）.若一“落一形”

三角堆垛有10層，則該堆垛總共球的個數(shù)為（）

三角堆垛

A.55B.220

C.285D.385

【解析】“三角形數(shù)”的通項公式&

〃(〃+1)_1/+22^------l+2d--------------

前n項和公式為S=l+3+6H----卜-

2-=2+2

〃(〃+1)(2刀+1)?刀(〃+1)

12+一4―，

皿」10X(10+1)X(20+1),10X(10+1)

當(dāng)〃=10時，So=------------------------------+---------——^=220.故選B.

4

2、（2024?全國II卷）北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、

中、下三層.上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9

塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上

一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，

且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）（）

A.3699塊B.3474塊

C.3402塊D.3339塊

［解析］由題意知，由天心石起先向外的每環(huán)的扇面形石板塊數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列，記為

｛aj,易知其首項為=9,公差d=9,所以為=國+（〃-1）d=9〃.設(shè)數(shù)列｛aj的前〃項和為

S?,由等差數(shù)列的性質(zhì)知S,Sin—Sn,￡〃一甌也成等差數(shù)列，所以2（甌-S）=S+&〃一甌,

.、/、2n9+18/7n9+9〃,?

所以（&〃一顯）-（甌一S）=S2-2S?=-------------2X----------=W=729,得zn=9,

所以三層共有扇面形石板的塊數(shù)為9t27〃=3X9義R+27X9=3402,故選

C.

二、源于世界數(shù)學(xué)名題的高考試題

P當(dāng)當(dāng)為偶數(shù),

（湖北高考）已知數(shù)列｛2｝滿意：4=〃（"為正整數(shù)），4+1=

、3a+1,當(dāng)為為奇數(shù),

若a=l,則加全部可能的取值為.

［解析］因為以為正整數(shù)，由數(shù)列｛a〃｝的遞推公式可得數(shù)列｛aj各項均為正整數(shù).所以

36=l=a5=2今&=4=>a3=8或a3=l,當(dāng)as=8時，可知a?=16今&=32或4=5.當(dāng)a3=l

時，可知az=2=ai=4,因此國即r全部可能的取值為4,5,32.

跟蹤練習(xí)

1、我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，

兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第

幾天相逢？（）

A.2B.3

C.4D.6

解：（2）不妨設(shè)大老鼠和小老鼠每天穿墻的厚度為數(shù)列｛aj和｛4｝,

則由題意可知，數(shù)列｛aj是首項為1,公比為2的等比數(shù)列，

數(shù)列｛4｝是首項為1,公比為q的等比數(shù)列，

設(shè)前〃天兩鼠總共穿墻的厚度之和為S,

5

1—

1—2〃,

則Sn=+1,

1-21

1—5

35

當(dāng)〃=3時,s=7〈io,

135

當(dāng)?shù)?4時,5<=-z->10,

O

故兩個老鼠在第4天相逢.

2、（2017?全國II卷）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，

紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381

盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（）

A.1盞B.3盞

C.5盞D.9盞

解：每層塔所掛的燈數(shù)從上到下構(gòu)成等比數(shù)列，記為｛aj,則前7項的和S=381,公比q

7

a1—9

=2,依題意，得S=----------=381,解得4=3.

1—2

3、（多選）（2024?福州質(zhì)檢）分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為探討對象的幾何學(xué).如

圖，有一列曲線R,P\,P2,P?,已知R是邊長為1的等邊三角形，8+1是對七進

行如下操作而得到的：將8的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三

角形，再將中間部分的線段去掉（"=0,1,2,???）.記只的周長為乙，面積為S.對于〃GN,

下列結(jié)論不正確的是（）

A.號為等差數(shù)列B.］胃為等比數(shù)列

C.3舷>0,使Ln<MD.3M>0,使Sn<M

解析：ABC易知封閉曲線的周長數(shù)列g(shù)｝的首項。=3,公比為看故。=3X。".易

知8的邊數(shù)為3X4）邊長為故8+1的面積比8的面積增加了3X4*X^X

X副，所以￡+1=￡+*義歙（A=0,1,2,…），所以—今gx尋.所以巨

873-373X

￡

,所以工不為等差數(shù)列也不為等比數(shù)列，所以A、B均錯誤；當(dāng)〃一+8

60X

6

時，A=3X(J|〃一十8,所以c錯誤；而SX竽，所以D正確.故選A、B、C.

4、五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，其次位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1,之后每位同學(xué)所報

出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；

②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次.

已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依次循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)

為.

解析：先列出前若干個數(shù)：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,可以發(fā)覺第4個、

第8個、第12個數(shù)能被3整除.由此猜想第4"("dN*,AW25)個數(shù)能被3整除.因為依次

循環(huán)報數(shù)中，甲同學(xué)為第一個報數(shù)，故甲同學(xué)所報的數(shù)為第1個，第6個，…，第(5力-4)(t

GN*,辰20)個，…，第96個數(shù)，令4A=5力-4,得4(4+1)=5大，故方只能取4,8,12,16,20,

即甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為5.

5、S為等差數(shù)列｛aj的前〃項和，且&=1,S=28.記4=[lga/,其中[x]表示不超過x

的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[lg99]=l.

(1)求bi,bn,Z)ioi;

⑵求數(shù)列伍｝的前1000項和.

解:(1)設(shè)數(shù)列｛a｝的公差為4由已知得7+21d=28,解得d=l.

所以數(shù)列｛aj的通項公式為

bi—[1g1]=0,bn=[1g11]=1,Z?ioi=[1g101]—2.

ro,

i,10WA<100,

(2)因為bn=\

2,IOOWACI000,

、3,n—1000,

所以數(shù)列伍｝的前1000項和為1X90+2X900+3X1=1893.

6、設(shè)xCR,記不超過x的最大整數(shù)為[x],｛x｝=x—[x],則[mJ1],J乖/1()

A.是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列

B.是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列

C.既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列

D.既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列

7

7、滿意a=勿=1,1+a-2（〃23）的數(shù)列｛a｝稱為斐波那契數(shù)

列，又稱黃金分割數(shù)列.依次以斐波那契數(shù)列｛a｝各項為邊長作正方形,

在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90°的圓弧，依次連

接圓弧端點所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線（也稱“黃金螺旋

線”）.如圖，圓心角為90。的扇形以夕中的曲線是斐波那契螺旋線的

一段，則陰影部分面積與扇形以8面積的比值為（）

3157

A.?C，D.

8B288

JI

解析：由題意得，31=32=1,石3=2,a=3,55=5,則陰影部分面積為］（晶+/+W+

=yX（12+12+22+32+52）=10Ji,扇形小6的面積為7=16"，所以所求比值為

10JI5

16n=8'

8、（多選）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中出

現(xiàn)了球體堆壘的形態(tài)，后人稱為“三角垛”（其平面圖形如圖。*強

所示），其中最上層有1個球，其次層有3個球，第三層有6

個球，….設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列｛a｝,則下列說法正確的是（）

A.&=12B.a+1=a+〃+1

C.Eioo^5050D.2A+I=H〃?3〃+2

解析：由題意歸納可知，a產(chǎn)〃.則&=4—；+1=]o,故A錯誤.a〃+i=

an+n+l,故B正確.400=100義—整f-=5050,故C正確.Za+iuS+l)?(〃+2),

n72+1刀+2〃+3

3，n?5/7+2-j明顯2an+\=an?a+2不恒成立，故D錯誤.

9、一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群.該塔群隨

山勢鑿石分階而建，依山勢自上而下，第一階1座，其次階3座，第三階3座，第四階5

座，第五階5座，從第五階起先塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5,公差為2的等差數(shù)列，總計108

座，故名一百零八塔.則該塔的階數(shù)是（）

A.10B.11

C.12D.13

8

解析：由第一階1座，其次階3座，第三階3座，第四階5座，則前四階共12座.則

從第五階后共有108—12=96座.設(shè)第五階塔的數(shù)目為國,則a=5,設(shè)從第五階起先自上

而下，每一層的塔的數(shù)目為為，由從第五階起先塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5,公差為2的等

差數(shù)列.所以a〃=&+（〃-1）d=